Методы математической физики : уравнение теплопроводности на отрезке

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2023 

Кафедра математики

И.Э. Гурьянова 
В.Г. Облаков 

Методы математической физики 

Уравнение теплопроводности на отрезке 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова, И.Э. 
Г95  
Методы математической физики : уравнение теплопроводности на отрезке : учеб. пособие / И.Э. Гурьянова, В.Г. Облаков. – 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 34 с. 
ISBN 978-5-87623-397-4 

Издание представляет собой часть курса «Методы математической физики». В нем излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач 
для уравнения теплопроводности в конечном стержне.  
Предназначено  для студентов второго курса всех специальностей, может 
быть использовано при самостоятельной работе и в ходе подготовки к экзаменам. 

УДК 51 

ISBN 978-5-87623-397-4 
© И.Э. Гурьянова, 
В.Г. Облаков, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Формулировка краевой задачи. Первая смешанная задача 
для уравнения теплопроводности ...........................................................5 
2. Вторая смешанная задача для уравнения теплопроводности.........15 
3. Третья смешанная задача для уравнения теплопроводности  
(тип а).......................................................................................................22 
4. Третья смешанная задача для уравнения теплопроводности  
(тип б) ......................................................................................................29 
Библиографический список...................................................................33 

Предисловие 

Предлагаемое издание представляет собой часть курса лекций 
по математической физике, в нем излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач для уравнения теплопроводности 
для конечного стержня. 
Несмотря на обилие учебников по математической физике, большинство из них предназначены для специальностей с усиленной программой по математике и фактически малопригодны для большинства студентов технических вузов из-за чрезмерной сложности изложения и большого объема. Данное пособие отличается более простым изложением с подробными разъяснениями и предназначено в 
помощь студентам при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам. 
Так как курс «Методы математической физики» читается и в других институтах МИСиС, пособие, как надеются авторы, будет полезно и для студентов этих институтов. 

1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. 
ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Рассматривается однородный стержень длины ℓ , тонкий, его боковая поверхность теплоизолирована. 
Рассмотрим процесс распространения тепла в стержне и родственный ему процесс диффузии: 

 

0
x
ℓ
 

Так называемое уравнение теплопроводности имеет вид 

 
(
)

2
2
2
,
u
u
a
f x t
t
x
∂
∂
=
+
∂
∂
, 
(1.1) 

где 
2
k
a
c
= ρ , 

здесь k – коэффициент теплопроводности; 
 c – удельная теплоемкость; 
 ρ – плотность стержня; 
 
(
)
,
f t x  – плотность теплового источника. 

Искомая функция – 
(
)
,
u x t  – температура в момент времени t в 
сечении стержня с абциссой x. 
Чтобы решение уравнения (1.1) было вполне определено, функция 
(
)
,
u x t  должна удовлетворять краевым условиям и начальным условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия так называемой первой смешанной задачи формируются следующим образом: 
– граничные условия: 

 
(
)
( )
(
)
( )

1

2

0,
;

,
;

u
t
t

u
t
t

⎧
= ψ
⎪⎨
= ψ
⎪⎩
ℓ
 

– начальные условия: 

 
(
)
( )
,0
u x
x
= ϕ
. 

Таким образом, первая смешанная задача принимает вид 

(
)

(
)
( )

(
)
( )
(
)
( )

2
2
2

1

2

,
;
0
;
0;
(1.2)

,0
начальное условие (0
);
(1.3)

0,
;
(1.4)
граничные условия (
0).
(1.5)
,
;

u
u
a
f x t
x
t
t
x

u x
x
x

u
t
t
t
u
t
t

⎧∂
∂
⎪
=
+
<
<
>
⎪ ∂
∂
⎪
= ϕ
−
≤
≤
⎪
⎨
⎪
⎫
= ψ
⎪
⎪
≥
⎪
⎬
= ψ
⎪
⎪
⎭
⎩

ℓ

ℓ

ℓ

 

Такие задачи называются смешанными, так как в них присутствуют и начальное и граничные условия. 
Условие (1.3) – начальная температура стержня в момент времени 
0
t =
 (задана температура в различных сечениях). 
Условия (1.4) и (1.5) означают, что на концах стержня при 
0
x =
 и 
x = ℓ  поддерживается температура, равная 
( )
1 t
ψ
 и 
( )
2 t
ψ
. 
Предположим теперь, что функция f(x,t) определена и непрерывна 
в Π = Π ∪ Γ , где 
{( , ): 0
; 0
}
x t
x
t
Π =
<
<
< < ∞
ℓ
; Γ – граница Π ; 

( )x
ϕ
 – непрерывна на отрезке [0,l]; ψ1(t) и ψ2(t) непрерывны на отрезке [0,∞] и выполнены условия согласования: 
1
(0)
(0);
ϕ
= ψ
 

2
( )
(0)
ϕ
= ψ
ℓ
. 

Определение 

Функция 
(
)t
x
u
,
, определенная в Π , называется классическим 
решением смешанной задачи (1.2) – (1.5), если: 

1) (
)t
x
u
,
 удовлетворяет в Π  уравнению (1.2); 

2) (
)t
x
u
,
 непрерывна на Π ; 

3) (
)t
x
u
,
удовлетворяет на Γ условиям (1.3), (1.4), (1.5); 

4) u

t

∂
∂  и 

2

2
u
x

∂
∂
непрерывны в Π . 

Замечание 
Аналогичные определения имеют место для второй и третьей 
смешанных задач. 

Решение проведем в три этапа. 
1. Смешанную задачу удобно решать, если граничные условия – 
нулевые (однородные). 
Сделаем их нулевыми с помощью замены: 

 
(
)
(
)
( )
( )
,
,
u x t
v x t
a t x
b t
=
+
+
, 

где (
)
,
v x t  – новая искомая функция, а ( )
a t  и ( )
b t  найдем, используя 

условия 
(
)
(
)

0,
0;

,
0;

v
t

v
t

⎧
=
⎪⎨
=
⎪⎩
ℓ
 

 

(
)
(
)
( )
( )
( )

(
)
(
)
( )
( )
( )

( )
( )
( )

1

1
2

2
1

0,
0,
0
;

,
,
;

.

u
t
v
t
a t
b t
t

u
t
v
t
a t
t
t

t
t
a t

=
+
⋅
+
= ψ

=
+
+ ψ
= ψ

ψ
− ψ
=

ℓ
ℓ
ℓ

ℓ

 

Таким образом, 

 
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
1
1
,
,
t
t
u x t
v x t
x
t
ψ
− ψ
=
+
+ ψ
ℓ
. 

Подставим выражения для (
)
,
u x t  в уравнение (1.2) и начальное 
условие (1.3), предварительно определив соответствующие производные: 

 

( )
( )
( )

( )
( )

2
1
1

2
1

;

;

t
t
u
v
x
t
t
t

t
t
u
v
x
x

′
′
ψ
− ψ
∂
∂
′
=
+
+ ψ
∂
∂

ψ
− ψ
∂
∂
=
+
∂
∂

ℓ

ℓ

 

 

2
2

2
2

u
v

x
x

∂
∂
=
∂
∂
; 

после необходимых преобразований получаем: 

( )
( )
( )
(
)

(
)
( )
( )
( )

(
)

(
)
(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
( )

2
2
1
2
1
2

2
2
1
2
1
2

2
1
1

2
1
1

,
;

,
;

,

0
0
,0
,0
0
;

0
0
,0
0
.

t
t
v
v
x
t
a
f x t
t
x

t
t
v
v
a
f x t
x
t
t
x
F x t

u x
v x
x
x

v x
x
x
x

′
′
ψ
− ψ
∂
∂
′
+
+ ψ
=
+
∂
∂

′
′
ψ
− ψ
∂
∂
′
=
+
−
− ψ
∂
∂

ψ
− ψ
=
+
+ ψ
= ϕ

ψ
− ψ
= ϕ
−
− ψ
= ϕ

ℓ

ℓ
ℓ

ℓ

 

Для функции (
)
,
v x t  получаем новую смешанную задачу с однородными краевыми условиями и видоизмененным начальным условием ( )
x
ϕ, а также свободным членом уравнения 
(
)
,
F x t : 

 

(
)

(
)
( )
(
)
(
)

2
2
2
,
;

,0
;

0,
0;

,
0.

v
v
a
F x t
t
x

v x
x

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪⎪
= ϕ
⎨
⎪
=
⎪
⎪
=
⎩

ℓ

 
(1.6) 

2. Решение задачи (1.6) ищем методом разделения переменных 
(методом Фурье). 
Найдем решение соответствующего однородного уравнения 

 

2

2

2

v
v
a
t
x

∂
∂
=
∂
∂
 
(1.7) 

с однородными краевыми условиями (
)
(
)
0,
,
0
v
t
v
t
=
=
ℓ
. 

Ищем 
нетривиальное 
решение 
(
)
,
0
v x t ≡/
 
в 
виде 

(
)
( ) ( )
,
v x t
X x T t
=
 (переменные разделены). 
Выражения 

 
( ) ( )
( )
( )

2

2
;
v
v
X
x T t
X x T
t
t
x
∂
∂
′′
′
=
=
∂
∂
 

подставляем в уравнение (1.7): 

 
( )
( )
( ) ( )
2
X x T
t
a X
x T t
′
′′
=
. 

Разделим переменные: 

 
( )
( )

( )
( )
2
const
T
t
X
x

X x
a T t

′
′′
=
= μ ≡
 

(эти отношения равны const, так как равны функции от разных переменных x и t). 
Для 
( )
X x  мы получили задачу, которая называется задачей 
Штурма – Лиувилля: 

 
( )
( )

0;

0
0;

0.

X
X

X

X

⎧
′′ − μ
=
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
ℓ

 
(1.8) 

Задача Штурма – Лиувилля (1.8) – это задача о нахождении так 
называемых собственных функций задачи, т.е. отличных от нуля 
функций, а также о нахождении значений параметра μ  (так называемых собственных значений), при которых эти функции существуют и удовлетворяют уравнению и краевым условиям. 
Решим задачу (1.8) для различных значений μ . 

а) 
2
0,
μ >
μ = λ . 
Решим характеристическое уравнение: 

 
( )
( )

( )
(
)

( )

2
2

1
2

1
2
2
1

1
1
1

1
2

0,
;

;

0
0,
;

0;

0,
0,
0.

x
x

x
x
x
x

k
k

X x
c e
c e

X
c
c
c
c

X
c e
c e
c e
e

c
c
X x

λ
−λ

λ
−λ
λ
−λ

− λ =
= ±λ

=
+

=
+
=
= −

=
−
=
−
=

=
=
≡

ℓ

 

б) 
0.
μ =
 

 
( )
1
2
0,
;
X
X x
c x
c
′′ =
=
+
 

( )
( )
( )

2
1
1
0
0,
0,
0;

0.

X
c
X
c
c

X x

=
=
=
=
=

≡

ℓ
ℓ
 

в) 
2
0
μ = −λ <
. 

 
( )
( )
( )

2
2

1
2

1
2
1

2
2

0,
;

cos(
)
sin(
);

0
1
0
0,
0;

sin(
)
0: или
0, или sin(
)
0;

k
k
i

X x
c
x
c
x

X
c
c
c

X
c
c

+ λ =
= ±λ

=
λ
+
λ

=
⋅ +
⋅
=
=

=
λ
=
=
λ
=
ℓ
ℓ
ℓ

 

 
;
n
n
n
π
λ = π
λ =
ℓ
ℓ  – собственные значения; 

 
2c  – имеют любые значения. 

Полагая 
2
1
c = , получаем: 

( )
sin
n

n
X
x
x
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
ℓ
 – собственные функции задачи (1.8), 
1,2,3,
n =
… ; 

 

2
2

2
n

n
π
μ =
ℓ
 – собственные значения. 

3. Решение задачи (1.6) будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи: 

 
(
)
( )
( )
( )

1
1
,
sin
n
n
n
n
n

n
v x t
T
t X
x
T
t
x

∞
∞

=
=

π
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
ℓ
. 
(1.9) 

Замечание 
Для упрощения техники решения уравнения (1.6) будем искать 
решение в виде суммы 
1
2
v
v
v
=
+
, 

где 
(
)
1
,
v
x t  – решение задачи 

(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
1
1
2

1

1

1

,
;

,0
0;

0,
0;

,
0,

v
v
a
F x t
t
x

v
x

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
=
⎩
ℓ

 
(1.10) 

а 
2
v  – решение задачи 

 
(
)
( )
(
)
(
)

2
2
2
2
2

2

2

2

;

,0
;

0,
0;

,
0.

v
v
a
t
x

v
x
x

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪⎪
= ϕ
⎨
⎪
=
⎪
⎪
=
⎩

ℓ

 
(1.11) 

Решим задачу (1.10), т.е. найдем функции 
( )
n
T
t . Для этого продифференцируем ряд (1.9) почленно и подставим в уравнение (1.6): 

 
( )
1

1
sin
n
n

v
n
T
t
x
t

∞

=

∂
π
⎛
⎞
′
=
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∑
ℓ
; 

 
( )

2
2
1
2
1
sin
n
n

v
n
n
T
t
x

x

∞

=

∂
π
π
⎛
⎞
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
ℓ
ℓ
. 

Свободный член уравнения также разложим в ряд Фурье по собственным функциям: 

 
(
)
( )

1
,
sin
n
n

n
F x t
b
t
x

∞

=

π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
ℓ
, 

где  
( )
(
)

0

2
,
sin
d
n
n
b
t
F x t
x
x
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫

ℓ

ℓ
ℓ
; 

( )
( )
( )

2
2

1
1
1
sin
sin
sin
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
T
t
x
a
T
t
x
b
t
x

∞
∞
∞

=
=
=

π
π
π
π
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
′
= −
+
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
.