Методы математической физики : волновое уравнение на отрезке

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2024 

Кафедра математики

И.Э. Гурьянова 
В.Г. Облаков 

Методы математической физики 

Волновое уравнение на отрезке 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова, И.Э. 
Г95  
Методы математической физики : волновое уравнение на 
отрезке : учеб. пособие / И.Э. Гурьянова, В.Г. Облаков. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2011. – 28 с. 
ISBN 978-5-87623-396-7 

Издание представляет собой часть курса «Методы математической физики». В нем излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач 
для уравнения колебаний конечной струны.  
Предназначено  для студентов второго курса всех специальностей, может 
быть использовано при самостоятельной работе и в ходе подготовки к экзаменам. 

УДК 51 

ISBN 978-5-87623-396-7 
© И.Э. Гурьянова, 
В.Г. Облаков, 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Формулировка краевой задачи. Первая смешанная задача 
для уравнения колебаний конечной струны ..........................................5 
2. Вторая смешанная задача для уравнения колебаний конечной 
струны......................................................................................................13 
3. Третья смешанная задача для уравнения колебаний конечной 
струны (тип а) .........................................................................................18 
4. Третья смешанная задача для уравнения колебаний конечной 
струны (тип б).........................................................................................23 
Библиографический список...................................................................27 

Предисловие 

Предлагаемое издание представляет собой часть курса лекций 
по математической физике, в нем излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач для уравнения колебаний конечной струны. 
Несмотря на обилие учебников по математической физике, большинство из них предназначены для специальностей с усиленной программой по математике и фактически малопригодны для большинства студентов технических вузов из-за чрезмерной сложности изложения и большого объема. Данное пособие отличается более простым изложением с подробными разъяснениями и предназначено в 
помощь студентам при самостоятельной работе и подготовке к экзаменам. 
Так как курс «Методы математической физики» читается и в других институтах МИСиС, пособие, как надеются авторы, будет полезно и для студентов этих институтов. 

1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. 
ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ КОНЕЧНОЙ 
СТРУНЫ 

Уравнение колебаний рассматривается для тонкой струны длины .ℓ  
Рассмотрим процесс малых поперечных колебаний струны около 
положения равновесия (
)
,
0
u x t ≡
: 

 
(
)

2
2
2
2
2
,
u
u
a
f x t

t
x
∂
∂
=
+
∂
∂
. 
(1.1) 

Искомая функция (
)
,
u x t  – отклонение точки струны с абсциссой 

x в момент времени t; 
2
0 ;
T
a = ρ  T0 – величина натяжения струны – 

const; ρ – плотность струны – const; 
(
)
(
)
,
,
R x t
f x t =
ρ
, 
(
)
,
R x t  – на
грузка, приложенная к струне в точке с абсциссой x в момент времени t. Если 
(
)
,
0
f x t ≡
, то уравнение (1.1) описывает свободные коле
бания струны, если же 
(
)
,
0
f x t ≡/
, то говорят о вынужденных коле
баниях струны. 
Чтобы решение уравнения (1.1) было вполне определенно, функ
ция (
)t,x
u
 должна удовлетворять краевым и начальным условиям, 

соответствующим физическим условиям задачи. 
Краевые условия так называемой первой смешанной задачи формулируются следующим образом: 

 
(
)
( )
(
)
( )

1

2

0;
,
0;

;
,
0

u
t
t
t

u
t
t
t

⎧
= ψ
≥
⎪⎨
= ψ
≥
⎪⎩
ℓ
 
(1.2) 

и представляют собой граничные условия I типа (условия закрепления на концах). 
Начальные условия формулируются следующим образом: 

(
)
( )

(
)
( )

1

2

,0
– начальная форма струны при
0;

,0
– начальная скорость каждой точки струны

при
0.

u x
x
t

u x
x
t
t

⎧
= ϕ
=
⎪∂
⎪
= ϕ
⎨ ∂
=
⎪
⎪⎩

 (1.3) 

Таким образом, первая смешанная задача для колебания струны 
принимает следующий вид: 

(
)

(
)
( )

(
)
( )
(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

2
2
2
2
2

1

2

1

2

,
; 0
;
0;
(1.4)

(1.5)
,0
;
– начальные условия 0
;
,0
;
(1.6)

0,
;
(1.7)

–  граничные условия 
0 .
8
,
;
(1. )

u
u
a
f x t
x
t
t
x

u x
x
x
u x
x
t

u
t
t
t
u
t
t

⎧∂
∂
⎪
=
+
<
<
>
⎪∂
∂
⎪
= ϕ
⎫
⎪⎪
⎪
≤
≤
∂
⎨
⎬
= ϕ
⎪
⎪
∂
⎭
⎪
⎪
⎫
= ψ
⎪
⎪
≥
⎬
⎪
= ψ
⎪⎭
⎩

ℓ

ℓ

ℓ

 

Предположим теперь, что функция f(x,t) определена и непрерывна 
в Π = Π ∪ Γ , где 
{( , ):0
; 0
}
x t
x
t
Π =
<
<
< < ∞
ℓ
; Γ  – граница 
;
Π  

1( )x
ϕ
 и 
2( )
x
ϕ
 – непрерывны на отрезке [0,l]; ψ1(t) и ψ2(t) непрерывны 
на 
отрезке 
[0,∞] 
и 
выполнены 
условия 
согласования: 

1
1
(0)
(0),
ϕ
= ψ
 
1
2
( )
(0)
ϕ
= ψ
ℓ
. 

Определение 
Функция 
(
)
,
,
u x t
 определенная в 
,
Π  называется классическим 
решением смешанной задачи (1.4) – (1.8), если: 
1) (
)
,
u x t  удовлетворяет в Π  уравнению (1.4); 

2) (
)
,
u x t  непрерывна на 
;
Π  

3) (
)
,
u x t  удовлетворяет на Γ  условиям (1.5), (1.6), (1.7), (1.8); 

4) 

2

2
u
t

∂
∂
 и 

2

2
u
x

∂
∂
 непрерывны в 
.
Π  

Замечание 
Аналогичные определения имеют место для второй и третьей 
смешанных задач. 

Решение, как и в [1], проведем в два этапа. 
1. Сделаем граничные условия нулевыми с помощью замены 

 
(
)
(
)
( )
( )
,
,
:
u x t
v x t
a t
x
b t
=
+
+
, 

где (
)
,
v x t  – новая искомая функция, а функции ( )
a t  и ( )
b t  найдем, 
используя условия 

 
(
)
(
)

0,
0;

,
0:

v
t

v
t

⎧
=
⎪⎨
=
⎪⎩
ℓ
 

 
(
)
(
)
( )
( )
( )
1
0,
0,
0
;
u
t
v
t
a t
b t
t
=
+
⋅
+
= ψ
(
)
(
)
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )

1
2

2
1
1

,
,
;

,
.

u
t
v
t
a t
t
t

t
t
a t
b t
t

=
+
+ ψ
= ψ

ψ
− ψ
=
= ψ

ℓ
ℓ
ℓ

ℓ

 

Таким образом, (
)
(
)
( )
( )
( )
2
1
1
,
,
t
t
u x t
v x t
x
t
ψ
− ψ
=
+
+ ψ
ℓ
. 
(1.9) 

Подставим теперь (
)
,
u x t  из (1.9) в уравнение (1.4) и начальные 
условия (1.5), (1.6), предварительно определив следующие величины: 

 
( )
( )
( )
2
1
1
t
t
u
v
x
t
t
t

′
′
ψ
− ψ
∂
∂
′
=
+
+ ψ
∂
∂
ℓ
; 

 
( )
( )
( )

2
2
2
1
1
2
2
t
t
u
v
x
t

t
t

′′
′′
ψ
− ψ
∂
∂
′′
=
+
+ ψ
∂
∂
ℓ
; 

 
( )
( )
2
1
t
t
u
v
x
x

ψ
− ψ
∂
∂
=
+
∂
∂
ℓ
; 

2
2

2
2

u
v

x
x

∂
∂
=
∂
∂
; 

таким образом, получаем: 

 
(
)
( )
( )
( )

(
)

2
2
2
1
2
1
2
2
,

,

t
t
v
v
a
f x t
x
t

t
x
F x t

′′
′′
ψ
− ψ
∂
∂
′′
=
+
−
− ψ
∂
∂
ℓ
; 

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
1
1
0
0
,0
0
v x
x
x
x
ψ
− ψ
= ϕ
−
− ψ
= ϕℓ
; 

 
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
0
0
,0
0
v x
x
x
x
t

′
′
ψ
− ψ
∂
′
= ϕ
−
− ψ
= ϕ
∂
ℓ
. 

Для функции (
)
,
v x t  получаем новую смешанную задачу с однородными (нулевыми) краевыми условиями и видоизмененными начальными условиями 
( )
( )
1
2
,
x
x
ϕ
ϕ
, а также видоизмененным урав
нением с новым свободным членом 
(
)
,
F x t : 

 

(
)

(
)
( )

(
)
( )

(
)
(
)

2
2
2
2
2

1

2

,
;

,0
;

,0
;

0,
0;

,
0.

v
v
a
F x t

t
x

v x
x

v x
x
t

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
+
⎪∂
∂
⎪
⎪
= ϕ
⎪⎪∂
⎨
= ϕ
⎪ ∂
⎪
=
⎪
⎪
=
⎪⎩

ℓ

 
(1.10) 

2. Решение задачи (1.10) ищем, как и в [1], методом разделения переменных (методом Фурье). Для упрощения техники решения будем 
искать решение задачи (1.10) в виде суммы (
)
(
)
(
)
1
2
,
,
,
v x t
v
x t
v
x t
=
+
, 

где 
(
)
1
,
v
x t  – решение задачи 

 

(
)

(
)

(
)

(
)
(
)

2
2
2
1
1
2
2

1

1

1

1

,
;

,0
0;

,0
0;

0,
0;

,
0

v
v
a
F x t

t
x

v
x

v
x
t

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
=
⎪⎪∂
⎨
=
⎪ ∂
⎪
⎪
=
⎪
=
⎪⎩
ℓ

 
(1.11) 

и 
(
)
2
,
v
x t  – решение задачи 

(
)
( )

(
)
( )

(
)
(
)

2
2
2
2
2
2
2

2
1

2
2

2

2

;

,0
;

,0
;

0,
0;

,
0.

v
v
a
t
x

v
x
x

v
x
x
t

v
t

v
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
= ϕ
⎪⎪∂
⎨
= ϕ
⎪ ∂
⎪
⎪
=
⎪
=
⎪⎩

ℓ

 
(1.12) 

Решим задачу для (1.12) методом разделения переменных, как 
в [1], найдя при этом собственные функции соответствующей задачи 
Штурма – Лиувилля: подставим 
(
)
( ) ( )
2
,
v
x t
X x T t
=
 в первое уравнение задачи (1.12) и получим соотношение 

 
( )
( )

( )
( )
2
const.
T
t
X
x

X x
a T t

′′
′′
=
= μ ≡
 

Для 
( )
X x  имеем задачу Штурма – Лиувилля: 

 
( )
( )

0;

0
0;

0.

X
X

X

X

⎧
′′ − μ
=
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
ℓ

 
(1.13) 

Решение (1.13) такое же, как и в [1]: 

 
( )
sin
n

n x
X
x
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
ℓ
 – собственные функции; 

 

2
2

2
n

n
π
μ =
ℓ
 – собственные значения, 

здесь 
1, 2, 3
n =
…. 

Разложим функции 
( )
1 x
ϕи 
( )
2 x
ϕв ряд Фурье по собственным 
функциям задачи: 

 
( )
1
1
sin
n
n

nx
x
p

∞

=

π
⎛
⎞
ϕ
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
ℓ
; 

( )
2
1
sin
n
n

nx
x
q

∞

=

π
⎛
⎞
ϕ
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
ℓ
, 

где 
( )
1
0

2
sin
d
n
nx
p
x
x
π
⎛
⎞
=
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫

ℓ
ℓ
ℓ
; 

( )
2
0

2
sin
d
n
nx
q
x
x
π
⎛
⎞
=
ϕ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫

ℓ
ℓ
ℓ
. 

Тогда для функций 
( )
n
T
t  получаем задачу 

 
( )
( )
( )
( )

2
0;

0
;

0
.

n
n n

n
n

n
n

T
t
a
T
t

T
p

T
q

⎧ ′′
+
μ
=
⎪⎪
=
⎨
⎪ ′
=
⎪⎩

 

Решением 
( )
( )
2
n
n n
T
t
a
T
t
′′
= −
μ
 является 

 
( )
cos
sin
n
n
n

nat
nat
T
t
c
d
π
π
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ℓ
ℓ
;   
n

na
π
α =
ℓ
. 

Решение (1.12) будет иметь вид 

 
(
)
(
)
(
)
2
1
,
cos
sin
sin
n
n
n
n
n

n x
v
x t
c
t
d
t

∞

=

π
⎛
⎞
⎡
⎤
=
α
+
α
⎜
⎟
⎣
⎦
⎝
⎠
∑
ℓ
. 
(1.14) 

Из начальных условий для 
(
)
2
,
v
x t  получим: 

( )

( )
( )

1
0

2
2
0
0

2
sin
d ;

2
2
sin
d
sin
d
.

n

n

n

n
n

n x
c
x
x

q
n x
n x
d
x
x
x
x
na

⎧
π
⎛
⎞
=
ϕ
⎪
⎜
⎟
⎝
⎠
⎪⎨
π
π
⎛
⎞
⎛
⎞
⎪
=
ϕ
=
ϕ
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
α
π
α
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩

∫

∫
∫

ℓ

ℓ
ℓ

ℓ
ℓ

ℓ
ℓ
ℓ

 (1.15) 

Для 
(
)
1
,
v
x t  будем искать решение задачи (1.11) в виде ряда по 

собственным функциям 
( )
sin
n

n x
X
x
π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
ℓ
, полученным при реше
нии задачи (1.12) для 
(
)
2
,
v
x t : 

(
)
( )
2
1
,
sin
n
n

nx
v
x t
T
t

∞

=

π
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
ℓ
, 
(1.16) 

где 
( )
n
T
t  – неизвестные функции. 

Тогда 

 
(
)
( )

( )
(
)

1

0

,
sin
;

2
,
sin
d .

n
n

n

nx
F x t
b
t

nx
b
t
F x t
x

∞

=

⎧
π
⎛
⎞
=
⎪
⎜
⎟
⎝
⎠
⎪⎨
π
⎛
⎞
⎪
=
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩

∑

∫

ℓ
ℓ

ℓ
ℓ

 
(1.17) 

Подставим (1.16), (1.17) в (1.11) – в уравнение и начальные условия, и получим задачу Коши: 

 
( )
( )
( )

( )
( )

2
2
;

0
0;
0
0.

n
n
n

n
n

n
T
t
a
T
t
b
t

T
T

⎧
π
⎛
⎞
′′
+
=
⎪
⎜
⎟
⎨
⎝
⎠
⎪
′
=
=
⎩

ℓ
 
(1.18) 

Задачу Коши (1.18) для 
( )
n
T
t  решаем методом вариации постоян
ной, как в [1], обозначив 

2
2

2
2

2
n

n
a π
α =
ℓ
. 

Решим сначала соответствующее однородное уравнение: 

 
( )
( )
2
2
2
0;
0;
.
n
n n
n
n
T
t
T
t
k
k
i
′′
+ α
=
+ α =
= ±α
( )
(
)
(
)
0
0
0
0
cos
sin
;
,
const.
n
n
n
n
n
n
n
T
t
c
t
d
t
c
d
=
α
+
α
−
Будем искать 
( )
n
T
t  в виде 

 
( )
( )
(
)
( )
(
)
cos
sin
,
n
n
n
n
n
T
t
c
t
t
d
t
t
=
α
+
α
 
(1.19) 

где 
( )
( )
,
n
n
c
t
d
t  – неизвестные функции, для которых имеем систему 
уравнений: 

 
( )
(
)
( )
(
)

( )(
)
(
)
( )
(
)
( )

cos
sin
0;

sin
cos
.

n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n

c
t
t
d
t
t

c
t
t
d
t
t
b
t

⎧
α
+
α
=
⎪⎨
−α
α
+
α
α
=
⎪⎩