Методы математической физики. Ч. 1. Одномерное уравнение теплопроводности в конечном стержне

УДК 517.95:53 
Г95 

Р е ц е н з е н т 
кандидат технических наук, профессор Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э., Облаков В.Г. 

Г95 Методы математической физики. Ч. 1. Одномерное уравнение 
теплопроводности в конечном стержне: Учеб. пособие.- М.: 
МИСиС, 2004. - 27 с. 

Издание представляет собой первую часть курса «Методы математической физики». В пособии излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач для уравнения теплопроводности в конечном стержне. 

Предназначено для студентов второго курса технологических факультетов, может быть использовано при самостоятельной работе и в ходе подготовки к экзаменам. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2004 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Формулировка краевой задачи. Первая смешанная задача 
4 

2. Вторая смешанная задача 
12 

3. Третья смешанная задача (тип а) 
18 

4. Третья смешанная задача (тип б) 
24 

Библиографический список 
26 

3 

1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. 
ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 

Уравнение теплопроводности рассматривается для тонкого однородного стержня длиной i, боковая поверхность которого теплоизолирована. 

Рассмотрим процесс распространения тепла в стержне и родственный ему процесс диффузии. 

О
х 
i 

Так называемое уравнение теплопроводности имеет вид 

Искомая функция u{x,t) - температура в момент времени t в сечении стержня с абсциссой х. 

где а - коэффициент температуропроводности; 
к - коэффициент теплопроводности; 
с - удельная теплоемкость; 
р - плотность стержня; 

/(х, t) - плотность теплового источника. 

Чтобы решение уравнения теплопроводности было вполне определено, функция u{x,t) должна удовлетворять краевым и начальным 
условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые 
условия так называемой первой смешанной задачи формулируются 
следующим образом: 

начальное условие: м(х, О) = ф(х). 

4 

Таким образом, первая смешанная задача принимает вид 

Г 

^ ^ a ' ^ + f{x,t), 
0<x<i;t>0 
(1.1) 

и{х,0) = ф(х), 
0<х<£ 
(начальное условие) 
(1.2) 

u{0,t) = ^vM 
t>0 
] 
. 
, 

u{i,th^M 
t>0 
I 
(граничные условия) 

(1.3) 

(1.4) 

Такие задачи называются смешанными, так как в них присутствуют и начальное и граничное условия. 

Условие (1.2) - начальная температура стержня в момент времени 
t = О (температура задана во всех точках стержня). 

Условия (1.3) и (1.4) означают, что на концах стержня при х = О и 
х^£ 
поддерживается температура, равная у,(0 и y^W
Определение. Функцию u{x,t) называют классическим решением 

смешанной задачи, если она удовлетворяет уравнению (1.1) и условиям (1.2), (1.3), (1.4) и является дважды непрерывно дифференцируемой 
при О < X < ^, О < г < Г и непрерывной при О < х < ^, 
Q<t<T. 

Решение проведем в три этапа. 
1. Смешанную задачу удобно решать, если граничные условия 
нулевые (однородные). 

Сделаем их нулевыми с помощью замены: 

u{x,t)^v{x,t)+a{t)x 
+ b{t), 

где v(x,?) -новая искомая функция, а a{t) и b{t) найдем, используя 

условия \ ) 
i 

\v{l,t)^Q. 

M(0,0 = v(0,0+a(0-0 + 6(0 = y,(0, 

u{l, 0 = V {I, t)+ a(t)i + у 1 (0 = У2 (О, 

=0 
..-,_V2(0-Vl(0 

5 

Таким образом, 

u{x,t)-v{x,t) + 
x + y^.it). 

Подставим u{x,t) в уравнение (1.1) и начальное условие (1.2), 
предварительно найдя 

dudv 
V,{t)-V,{t) 
= ^ + 

dt 
dt 
i 
x+y;(4 

ди dv v,(^)-v,(^) 
= ^ + 
dx 
dx 
I 

dx' 
dx'' 

получаем 

5^ 
5x 
^ 
x-Vi 

M(X,0) = V(X,0)+ v,(o)-v,(o) 

F(x,0 

х + у,(0) = ф(х), 

у(х,0)^ф(х,0)-^^(");^'(")х-у,(0)^ф(х). 

Для функции v(x,?) получаем новую смешанную задачу с однородными краевыми условиями и видоизмененными начальными условием ф(х) и свободным членом уравнения F(x, 0: 

(1.5) 

dt 

<v(x,0) 

v(0,^) = 
v{l,t)-
f:..(. 

= ф(х), 

0, 

0. 

t\ 

, 

6 

2. Решение задачи (1.5) ищем методом разделения переменных 
(методом Фурье). 

Найдем решение соответствующего однородного уравнения: 

— = а ^ ^ 
(1.6) 

с однородными краевыми условиями v(О, 
t)^v{i,t)^0. 

Ищем нетривиальное решение v{x,t)фO в виде v{x,t)^ 
x{x)-T{t) 
(переменные разделены). 

подставим в уравнение (1.6): 

x{x)-T'{t)^a^X''{x)-T{t). 

Разделим переменные: 

^'(^) = ^ 
= ^ = const. 
a^t) 
Х{х) 

(эти отношения const, так как равны функции от разных переменных 
X и О
Для Х{х) 
мы получили задачу, которая называется задачей 
Штурма - Лиувилля: 

<Х(0) = 0, 
(1.7) 

Задача Штурма - Лиувилля - это задача о нахождении так называемых собственных функций, т.е. отличных от нуля, а также о нахождении значений параметра ц (так называемых собственных значений), при которых эти функции 3 и удовлетворяют уравнению и 
краевым условиям. 

Решим задачу (1.7) для различных значений ц . 

а)ц>0, ц = ^ \ 

7 

Решим характеристическое уравнение 

X(0) = q+C2=0, 
C2=-q, 

cj=0, 
C2=0, X(x)=0; 

б)ц = 0. 

X(0) = C2=0, x(^) = c / = 0, ci=0, 

X(x) = 0; 

X(0)=q-l + C2-0 = 0, 
q = 0 , 

X{() = C2 sin^^ = 0; или C2 = 0 или sin^^ = 0. 

Xi = ли; Xn^—- 
собственные значения. 

I 

C2 имеют V значения ;.0. 
Полагая C2=l, получаем 

X„ (x) = sin—X - собственные функции задачи (1.7), и = 1,2,3,...; 

^^ 

3. Решение задачи (1.5) будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи: 

Замечание. Для упрощения техники решения уравнения (1.5) будем искать решение в виде суммы: 

V = V i + V 2 , 

8 

ц^ = ^ ^ 
- собственные значения. 

где v^{x,t) 
решение задачи 

dt ~ 
дх' 

;i(x,0)=0, 
^1(0,0 = 0, 

+ F{x,t\ 

(1.9) 

а V2 -решение задачи 

К 
.5S 

У2(х,0) = ф(х), 

V2(0,?)=0, 

(1.10) 

Решим задачу (1.9) и найдем функцию v^{x, t), т.е. функции T^{t). 
Для этого продифференцируем ряд (1.8) почленно и подставим в 
уравнение (1.5). 

дх 
„=i 

nn 
I 

Свободный член уравнения также разложим в ряд Фурье по собственным функциям: 

» 

F (x,<)=2:*„ws.n 

И = 1 
^ 
Г"« 

I 

где й, „(')=^iHv)4" 
^ о 

smi — x \ d x . 

2 

9 

и=1 
" 
и=1 
" 
V " у 
и=1 

Для нахождения функции Т^\t) получаем 

. Tin 
s m X . 

г„(о)=о. 

(1.11) 

Решим сначала соответствующее однородное уравнение 

^Л0 + а1-кЛ0 = О. 

где с„ - const. 

Применим метод вариации постоянной 

Подставим Tj^yt) в уравнение (1.11): 

с е 
cXt)a\ — I е 
^a^\^\cXt)e 
^^^ ^Kit), 

тМ iKis) 

2 ни 
а 
5 

е ^'^ 
ds + cl 

Для нахождения с„ {t) используем условие Г„ (о) = О, с* = 0. 
Решим задачу (1.10) для функции V2\x,t). 
Для функций Гд\t) получаем уравнение 

10 

7;(0) = a„, 

где a„ - коэффициенты разложения в ряд Фурье по собственным 
функциям начального условия ф(х), 

ф(х) = £)а„ sin ^ х I 
а„ = - j(p(x)sin ^ х Wx, 

т ( ЛИ 1 

п\ / 
п 
' 
п\ 
/ 
п 
и' 

и=1 

ли 

Замечание 1. Решение является формальным, так как мы не проверяли продифференцированные ряды на сходимость. 

Можно доказать, что если ф(х) и f\x,t) 
достаточно гладкие, то 
формальное решение будет классическим. 

Замечание 2. Если при решении задачи (1.10) для V2\x,t) начальное условие ф(х) есть линейная комбинация собственных функций 
соответствующей задачи Штурмана - Лиувилля, то решение Vj (х, t) 
будет состоять из конечного числа слагаемых. 

Замечание 3. Если при решении задачи (1.9) для v^[x,t) функция 

F{X, t) будет иметь вид 

где Х^ (х) - собственные функции; 
a{t) - функция от t, 

то решение задачи (1.9) будет состоять из одного слагаемого, так как 
все b^[t) кроме одного, будут равны нулю, следовательно, будут 
равны нулю и соответствующие Т^ [t). 

11 

2. ВТОРАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 

\9}i^a'^ 
+ f{x,t\ 
0<x<i, 
t>0, 
I dt 
dx 

м(х,0) = ф(х), 
Q<x<l, 

du 
kf^{i,thUt\ 
t>o, 

т.е. 

dx 

{l,t)^^,{t) 
t>0, 

dx 

du 
dx 

где к - коэффициент теплопроводности; 

к 
^^;).liW; 

к 
-величинатеплового потока. 

1. Произведем замену искомой функции для обнуления граничных условий: 

u{x,t)^v{x,t)+^^^^^^^^^^x' 
+xv,{t)x. 

Докажем, что граничные условия обнулятся. 

dx^'^'~dx 

dx^'^'~dx 

dv 

(0,^) = ^(0,^) + 0 + y,(?) = y,(?), 

{l,t)^^{l,t)+^^,^{t)-^^,^{t)+^^,^{t)^^^>,{t), 

а.(^''Ь
12