Высшая математика. Основные общематематические понятия и некоторын сведения из элементарной математики. Часть 1

№1499 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕШШЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 

Кафедра высшей математики 

Григорев П.В., Разумейко Б.Г., Сабурова Т.Н. 

Одобрено Методическим 
советом института 

Высшая математика 

Основные общематематические понятия и 
некоторые сведения из элементарной математики 

Часть I 

Учебное пособие 

Москва 1998 

АННОТАЦИЯ 

Настоящее издание представляет собой первую часть учебного 
пособия по высшей математике, которая содержит вводный раздел 
курса математического анализа: математическая символика и терминология, множества и операции над ними, действительные и комплексные числа, а также задачи по этим разделам и ответы к ним. 
Пособие предназначено для студентов всех факультетов МИСиС. 

© Московский 
государственный 
институт 
стали 
и 
сплавов 
(МИСиС), 1998. 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И ТЕРМИНОЛОГИЯ. 
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 
б 

1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И ТЕРМИНОЛОГИЯ 
6 

1.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ 
„ 9 

1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 
10 

1.4*. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 
» 
13 

ГЛАВА 2 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. 

ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 
20 

2.1. ПОНЯТИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 
20 

2.2. ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 
21 

2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДЕЙСТВШРЛЬНЫХЧИСЕЛ 
25 

2.4. ОСНОВНЫЕ ПРОМЕЖУТКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 
25 

2.5. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ 
ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА 
29 

ГЛАВА 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 
33 

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 

НАД НИМИ 
33 

3.2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 
3 6 

3.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО 

ЧИСЛА 
41 

3.4. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. 
49 

ГЛАВА 4 ЗАДАЧИ И УКАЗАНИЯ К ИХ РЕШЕНИЮ. 
51 

4.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА и ТЕРМИНОЛОГИЯ. МНОЖЕСТВА И 
ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 
5 1 

4.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. 
53 

4.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 
55 

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 
68 

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 
.....72 

^ 

Учебное пособие 

ВВЕДЕНИЕ 

Авторы пособия стремились сделать изложение высшей математики с одной стороны максимально доступным и легким для восприятия, а с другой стороны достаточно полным и строгим. С этой 
целью подробно обсуждается каждое новое понятие, рассматриваются многочисленные.примеры, приводятся геометрические иллюстрации, по материалу каждой главы разбираются решения ряда задач, а 
также дается достаточное количество задач для самостоятельного 
решения ( с ответами). Такое сочетание учебник-ирешебник"-задачник отличает пособие от существующих учебников по высшей математике. 

В пособии излагается материал, входящий в стандартный вузовский курс высшей математики. Теоретический материал составляет содержание первых трех глав. 

Глава 1. Математическая символика и терминология. Множества и операции над ними. 

Глава 2. Действительные числа. Числовые множества. 
Глава 3. Комплексные числа. 
Далее глава 4 содержит разбор решений задач и задачи для самостоятельного решения по материалу каждой из первых трех глав. 

В разделе справочный материал дается сводка всех обозначений, а также латинский и греческий алфавиты. 

Последний раздел содержит ответы к задачам главы 4 . 
Пособие предназначено для студентов всех специальностей, 
изучающих курс высшей математики. При этом разделы пособия, помеченные символом " * " , можно опустить при первом чтении. Они 
предназначаются для студентов тех специальностей, учебные программы которых предполагают более углубленное изучение высшей 
математики. 

А 

Григорьев П В, Разумейко Б Г., Сабурова Т.Н. 

ГЛАВА 1. 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И 

ТЕРМИНОЛОГИЯ. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ 

НАД НИМИ 

1.1. Математическая символика 
и терминология 

В основании любой научной дисциплины лежат базовые понятия, с помощью которых формулируются остальные утверждения. В 
математике к этой категории относится понятие множества. 

Множество - это любая совокупность некоторых предметов. 
Например, множество всех действительных чисел; множество 
носовых платков у студентов, живущих в общежитии; множество 
всех действительных чисел и слонов в зоопарках России. 

Эти примеры показывают, что предметы, входящие в множество, могут быть самыми различными. 

В математике, естественно, рассматривают множества чисел, 
функций, точек и других математических объектов. Для наиболее 
употребительных множеств существуют традиционные обозначения. 
Вот некоторые из них: 

N - множество натуральных (целых положительных) чисел; 
Z - множество целых чисел; 
Q - множество рациональных чисел; 
R - множество всех действительных чисел. 
Впоследствии, по мере необходимости, будем пополнять этот список. 
Иногда вместо термина множество употребляют термин 
класс или совокупность. Так например, вместо " множество множеств" говорят "класс множеств" или " совокупность множеств". 

Предметы, входящее в данное множество называются его элементам. 
Будем в дальнейшем обозначать элементы множества 

< 

Учебное пособие 

строчными буквами, а сами множества - заглавными буквами латинского алфавита. 

Тот факт, что а — элемент множества А записывают так: а е А 
или А э а (читается: "а принадлежит множеству А", или "а есть элемент множества А"). Здесь значки "е" и "э" - символы принадлежности. Например, 2 е N; 2 е Q Если а не принадлежит множеству А, 
то есть а не является элементом множества А, то пишут: а 4 А . Например, 4l « N; 1/2 <Ё Z. 

Если множество А состоит из конечного числа элементов 

axfti,...,an,то пишут: А =.{аиаг,...^„). Например, А = {2, 3, - 4}. 

' Для удобства вводится и понятие пустого множества, то есть 
множества, не содержащего элементов. Его обозначают символом 0. 

Математика так же, как и любая другая наука , по мере развития вырабатывает свой специфический язык, отличающийся от разговорного. Это помогает точно и сжато передавать смысл различных 
математических утверждений. Причем удачная математическая символика помогает не только легко писать и читать математический 
текст, но и автоматизировать проведение некоторых простейших рассуждений. Один из создателей дифференциального и интегрального 
исчислений немецкий математик Г.Лейбниц сказал:" Если обозначения удобны для открытий,... то поразительным образом сокращается 
работа мысли". Конечно, сразу усвоить этот язык невозможно, да и не 
нужно для тех, кто не занимается математикой профессионально. Мы 
постепенно и только по мере необходимости будем знакомить вас с 
этим языком. 

Утверждение: " множество А состоит из элементов а множества В, обладающих определенным свойством " будем записывать так: 
А » {аеВ:...}. Например, множество рациональных чисел 

Q « {х е R: х = mln, где т е Z, п е N }. 
Эта краткая запись читается "по-человечески" так: "Q - это 
множество действительных чисел таких , что каждое из них можно 
представить в виде отношения некоторого целого числа т к некоторому натуральному числу п". В рассмотренной записи символ ":" заменяет слова "таких, что". 

Рассмотрим теперь два логических символа, которыми также 
будем пользоваться для сокращенной записи различных утвержде
6 

Григорьев П В.. Разумейте Б Г., Сабурова Т Н. 

кий В формулировках теорем, определений и т. д часто встречаются 
выражения "для каждого", "для любого", "для всякого", поэтому ввели специальный символ, заменяющий эти слова V - знак общности 
Этот символ представляет собой перевернутую букву А - первую 
букв\ английского слова any - любой ( иногда считают что это обозначение происходит от слова all - все) Также часто встречаются 
слова "существует", "найдется" Их заменяют символом 3 - знак существования Этот символ представляет собой перевернутую букву Е 
- первую букву английского слова exist - существовать Эти символы 
называют кванторам V - квантор всеобщности и 3 - квантор существования 

Рассмотрим пример краткой записи математического утверждения с помощью этих символов Уже R, Зу e R:x+y 
= 0 Следу-* 
ет читать " для любого действительного числа х существует действительное число у такое, что х + у * О" 

Введем теперь 2 термина, которые также часто используются в 
формулировках теорем 

Если из утверждения Р следует утверждение Q, то будем писать Р => Q ( читается "из Р следует Q") В этом случае Р называют 
достаточным условием Q, a Q называют необходимым условием Р. 

Рассмотрим несколько примеров Р - утверждение' "Коля получил выигрыш по лотерейному билету", 

Q, - утверждение " Коля купил хотя бы один лотерейный билет". 
Q2 - утверждение " Коля купил 10 лотерейных билетов"; 
Q3 - утверждение " Коля купил все лотерейные билеты". 

Очевидно между этими утверждениями будет следующая логическая связь Р => Qi (Q, - необходимое условие Р); Qj =* P (Qj - достаточное условие Р), из Q2 не следует Р и из Р не следует Q2, то есть 
Qj не является ни необходимым, ни достаточным условием Р. 

Математик всегда стремится получить условие, которое является и необходимым, и достаточным одновременно Только в этом случае он будет считать исследование полностью законченным 

Например. Р - утверждение " треугольник ABC - равнобедренный", Q - утверждение " в треугольнике ABC два угла равны" 
Здесь Р для Q является и необходимым, и достаточным условием (так 

7 

Учебное пособие 

же, как и Q для Р) В этом случае пишут Р <=> Q ( или Q о Р) Эта 
запись читается "Q - необходимое и достаточное условие Р" (Р - необходимое и достаточное условие Q) Например, для того, чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы у него два угла были равны Иногда говорят несколько иначе. 
"Для того, чтобы Р было справедливо, необходимо и достаточно, чтобы было справедливо Q", или "Р имеет место в том и только в том 
случае, если выполняется Q", или "Р справедливо тогда и только тогда, когда справедливо Q". Заметим, что во всех этих утверждениях Р 
и Q можно поменять местами 

1.2. Соотношения между множествами 

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Пишут А = В В противном случае, если А 
не равно В, пишут А * В Таким образом, равенство множеств означает просто, что одно и то же множество обозначили разными буквами. Если же мы хотим доказать, что два множества равны, то, очевидно, надо показать, что каждый элемент множества А является 
элементом множества В, то есть, если х б А, то х е В и наоборот, если х е В, т о х е А ( пользуясь нашей символикой эти утверждения 
можно записать короче: х е А <=> х е В) Например, при решении 
уравнения cos2x * 0 вы получили ответ х = ±я/4 + ля, где л е Z, то 
есть множество решений этого уравнения есть множество 
А - {х е R: х = ±я/4 + ля, л е Z), но в задачнике ответ записан иначе: 
В = {х € R" х = я/4 + ля/2, n e Z} - множество решений этого уравнения Чтобы понять, правильно ли вы решили уравнение, нужно проверить равенство этих множеств. 

Пусть сначала г е А их « я/4 + ля, л е Z, тогда 
х =* я/4 + (2л)я/2 и так как 2л € Z, то х е В Если же х е А и 
х* -я /4 + ля, л е Z, то х * я/4 + (2л - 1) я/2, то есть и в этом случае 
х е В Таким образом х € А =» х е В. С другой стороны, если х е В и 
х » я/4 + ля/2, л е Z, то при п • 2к, х а я/4 + kit, TAP к е Z, а при 
л * 2к - 1 получим х =» -я/4 + кп, где к € Z и, следовательно, в любом 

я 

Григорьев П В, Раэумейко Б Г., Сабурова Т.Н 

случае х € В => х е А. Таким образом, мы доказали, что А = В, и при 
решении уравнения мы получили правильный ответ. 

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то есть х е А = ? х е В, то А называется подмножеством (частью) множества В Пишут: А с В или В э А ; читают "А содержится 
в В" или "В содержит А". Здесь знак "с" и "э" - символы включения. 
Рисунок 1 I, а) иллюстрирует эту ситуацию. 

а) А с В 
Ь ) А и В 
с ) А о В 
d)B\A 

Рис. 1.1. 

Например, Z с Q, Q с R, (0,8) с (0;32), А={1, 2, 3, 8, - 5} 
с (- 10, 154) Заметим, что для любого множества А верно, что А с А 
и 0 с А, поэтому само множество А и пустое множество 0 иногда 
называют несобственными подмножествами А. 

1.3. Операции над множествами 

1) Объединением (или суммой)множеств А и В называется 
множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В. Обозначают объединение множеств так: А и В. 
Здесь знак \ J " - символ объединения. Используя нашу символику,можно записать: 

A yj В • (х: х е А или х е В }. 

Рассмотрим ряд примеров: [0,3) yj [3;7] = f0;7], 
(0,4) yj |2,7) = (0,7), если А - {a,b,c,d) и В » {c,d,e}, 

о 

УЧСОНОС посооие 
то А ^ В = {a,b,c,d,e} . А и 0 = Аи вообще, если BcA=>Av^»B«A. 
Операцию объединения множеств иллюстрирует рис II, Ь) 

2) Пересечением ( или произведением ) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих и в множество А 
и в множество В, то есть общая часть А и В. Обозначают пересечение 
множеств так: А о В. Здесь знак *п!" - символ пересечения. Используя нашу символику запишем 

А г ) В * { х х е А и х е В ) . 

Рассмотрим примеры[-1,2) г» (0,3j=-(0,2J, если Km{a,b,eJ) и 
B3*{a,c,d,e), то А о В » [а.е] Если В с А , т о А ^ В * В , поэтому 
А л 0 я 0 . 

Операцию пересечения множеств иллюстрирует рис I I, с) 
Эти две операции естественным образом распространяются на 
случай произвольной совокупности множеств (конечной или бесконечной). Например, 

Ul-"."]=(-«.+«>); ПН'*.!/*!. П(°.,/")=0
3) Разностью множеств В и А называется множество 

В\А« {х:же В и г е А}, 

то есть это множество тех элементов в В, которые останутся, если из 
В выбросить элементы, входящие в А. Таким образом BVA = В\(ВоА). 

Например: [0,10]\[5,7] - (0,5) и (7,10). |- 7,8)\{- 7} - (- 7,8); 
В\В = 0 ; В\0 » В. Операцию вычитания множеств иллюстрирует 
рис.1.1, d). 

Рассмотрим один важный частный случай Если все множества 
являются подмножествами некоторого основного множества W, то 
разность W\A называют дополнением А и обозначается А Очевидно 
A n A » 0 H A u A - W . 

Для дополнений справедливо так называемое соотношение 

двойственности А именно - 
А и В = А п В и А п В = АиВ,то 

Григорьев П В, Разумейко Б Г, Сабурова Т.Н. 

есть дополнение объединения равно пересечению дополнений и дополнение пересечения равно объединению дополнений. 

4*) Прямым произведением или декартовым произведением 
множеств А и В называется новое множество, обозначаемое X х Y, 
элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары 
элементов, первый элемент пары берется из X, а второй - из Y, то 
есть X х Y • {(х,у) х е X ну е Y). Из этого определения следует, что 
вообще говоря X х Y * Y х X. Только если X * Y, то можно говорить 
о таком равенстве Обычно вместо X х X пишут X2. Например, декартова прямоугольная система координат на плоскости сопоставляет 
каждой точке плоскости ее координаты (х,у) - упорядоченную пару 
чисел, и тем самым плоскость становиться прямым произведением 
числовых осей Другой пример [0,1} х (- ао , + оо) Этому прямому 
произведению будет на плоскости соответствовать вертикальная полоса (см рис 1 2, а)), а прямому произведению (- оо , + оо) х (0,1 J будет соответствовать горизонтальная полоса ( см рис 1.2, Ь)). Эти два 
примера наглядно иллюстрируют тот факт, что вообще говоря 
X x Y * Y * X 

i* 

WW 
ж 
mm 

т 

) [0,1] X (-00, +00) 
b)(-oo, + oo)*[0,ll 

Рис.12. 

II