Высшая математика. Основные общематематические понятия и некоторын сведения из элементарной математики. Часть 1
Покупка
Тематика:
Основы математики
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 1998
Кол-во страниц: 74
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
Настоящее издание представляет собой первую часть учебного пособия по высшей математике, которая содержит вводный раздел курса математического анализа: математическая символика и терминология, множества и операции над ними, действительные и комплексные числа, а также задачи по этим разделам и ответы к ним. Пособие предназначено для студентов всех факультетов МИСиС.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
№1499 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕШШЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ (ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра высшей математики Григорев П.В., Разумейко Б.Г., Сабурова Т.Н. Одобрено Методическим советом института Высшая математика Основные общематематические понятия и некоторые сведения из элементарной математики Часть I Учебное пособие Москва 1998
АННОТАЦИЯ Настоящее издание представляет собой первую часть учебного пособия по высшей математике, которая содержит вводный раздел курса математического анализа: математическая символика и терминология, множества и операции над ними, действительные и комплексные числа, а также задачи по этим разделам и ответы к ним. Пособие предназначено для студентов всех факультетов МИСиС. © Московский государственный институт стали и сплавов (МИСиС), 1998.
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И ТЕРМИНОЛОГИЯ. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ б 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И ТЕРМИНОЛОГИЯ 6 1.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ „ 9 1.3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 10 1.4*. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ » 13 ГЛАВА 2 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 20 2.1. ПОНЯТИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА 20 2.2. ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 21 2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДЕЙСТВШРЛЬНЫХЧИСЕЛ 25 2.4. ОСНОВНЫЕ ПРОМЕЖУТКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 25 2.5. ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА 29 ГЛАВА 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 33 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 33 3.2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 3 6 3.3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 41 3.4. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. 49 ГЛАВА 4 ЗАДАЧИ И УКАЗАНИЯ К ИХ РЕШЕНИЮ. 51 4.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА и ТЕРМИНОЛОГИЯ. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 5 1 4.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. 53 4.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 55 СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 68 ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ .....72 ^
Учебное пособие ВВЕДЕНИЕ Авторы пособия стремились сделать изложение высшей математики с одной стороны максимально доступным и легким для восприятия, а с другой стороны достаточно полным и строгим. С этой целью подробно обсуждается каждое новое понятие, рассматриваются многочисленные.примеры, приводятся геометрические иллюстрации, по материалу каждой главы разбираются решения ряда задач, а также дается достаточное количество задач для самостоятельного решения ( с ответами). Такое сочетание учебник-ирешебник"-задачник отличает пособие от существующих учебников по высшей математике. В пособии излагается материал, входящий в стандартный вузовский курс высшей математики. Теоретический материал составляет содержание первых трех глав. Глава 1. Математическая символика и терминология. Множества и операции над ними. Глава 2. Действительные числа. Числовые множества. Глава 3. Комплексные числа. Далее глава 4 содержит разбор решений задач и задачи для самостоятельного решения по материалу каждой из первых трех глав. В разделе справочный материал дается сводка всех обозначений, а также латинский и греческий алфавиты. Последний раздел содержит ответы к задачам главы 4 . Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс высшей математики. При этом разделы пособия, помеченные символом " * " , можно опустить при первом чтении. Они предназначаются для студентов тех специальностей, учебные программы которых предполагают более углубленное изучение высшей математики. А
Григорьев П В, Разумейко Б Г., Сабурова Т.Н. ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И ТЕРМИНОЛОГИЯ. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 1.1. Математическая символика и терминология В основании любой научной дисциплины лежат базовые понятия, с помощью которых формулируются остальные утверждения. В математике к этой категории относится понятие множества. Множество - это любая совокупность некоторых предметов. Например, множество всех действительных чисел; множество носовых платков у студентов, живущих в общежитии; множество всех действительных чисел и слонов в зоопарках России. Эти примеры показывают, что предметы, входящие в множество, могут быть самыми различными. В математике, естественно, рассматривают множества чисел, функций, точек и других математических объектов. Для наиболее употребительных множеств существуют традиционные обозначения. Вот некоторые из них: N - множество натуральных (целых положительных) чисел; Z - множество целых чисел; Q - множество рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел. Впоследствии, по мере необходимости, будем пополнять этот список. Иногда вместо термина множество употребляют термин класс или совокупность. Так например, вместо " множество множеств" говорят "класс множеств" или " совокупность множеств". Предметы, входящее в данное множество называются его элементам. Будем в дальнейшем обозначать элементы множества <
Учебное пособие строчными буквами, а сами множества - заглавными буквами латинского алфавита. Тот факт, что а — элемент множества А записывают так: а е А или А э а (читается: "а принадлежит множеству А", или "а есть элемент множества А"). Здесь значки "е" и "э" - символы принадлежности. Например, 2 е N; 2 е Q Если а не принадлежит множеству А, то есть а не является элементом множества А, то пишут: а 4 А . Например, 4l « N; 1/2 <Ё Z. Если множество А состоит из конечного числа элементов axfti,...,an,то пишут: А =.{аиаг,...^„). Например, А = {2, 3, - 4}. ' Для удобства вводится и понятие пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают символом 0. Математика так же, как и любая другая наука , по мере развития вырабатывает свой специфический язык, отличающийся от разговорного. Это помогает точно и сжато передавать смысл различных математических утверждений. Причем удачная математическая символика помогает не только легко писать и читать математический текст, но и автоматизировать проведение некоторых простейших рассуждений. Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений немецкий математик Г.Лейбниц сказал:" Если обозначения удобны для открытий,... то поразительным образом сокращается работа мысли". Конечно, сразу усвоить этот язык невозможно, да и не нужно для тех, кто не занимается математикой профессионально. Мы постепенно и только по мере необходимости будем знакомить вас с этим языком. Утверждение: " множество А состоит из элементов а множества В, обладающих определенным свойством " будем записывать так: А » {аеВ:...}. Например, множество рациональных чисел Q « {х е R: х = mln, где т е Z, п е N }. Эта краткая запись читается "по-человечески" так: "Q - это множество действительных чисел таких , что каждое из них можно представить в виде отношения некоторого целого числа т к некоторому натуральному числу п". В рассмотренной записи символ ":" заменяет слова "таких, что". Рассмотрим теперь два логических символа, которыми также будем пользоваться для сокращенной записи различных утвержде 6
Григорьев П В.. Разумейте Б Г., Сабурова Т Н. кий В формулировках теорем, определений и т. д часто встречаются выражения "для каждого", "для любого", "для всякого", поэтому ввели специальный символ, заменяющий эти слова V - знак общности Этот символ представляет собой перевернутую букву А - первую букв\ английского слова any - любой ( иногда считают что это обозначение происходит от слова all - все) Также часто встречаются слова "существует", "найдется" Их заменяют символом 3 - знак существования Этот символ представляет собой перевернутую букву Е - первую букву английского слова exist - существовать Эти символы называют кванторам V - квантор всеобщности и 3 - квантор существования Рассмотрим пример краткой записи математического утверждения с помощью этих символов Уже R, Зу e R:x+y = 0 Следу-* ет читать " для любого действительного числа х существует действительное число у такое, что х + у * О" Введем теперь 2 термина, которые также часто используются в формулировках теорем Если из утверждения Р следует утверждение Q, то будем писать Р => Q ( читается "из Р следует Q") В этом случае Р называют достаточным условием Q, a Q называют необходимым условием Р. Рассмотрим несколько примеров Р - утверждение' "Коля получил выигрыш по лотерейному билету", Q, - утверждение " Коля купил хотя бы один лотерейный билет". Q2 - утверждение " Коля купил 10 лотерейных билетов"; Q3 - утверждение " Коля купил все лотерейные билеты". Очевидно между этими утверждениями будет следующая логическая связь Р => Qi (Q, - необходимое условие Р); Qj =* P (Qj - достаточное условие Р), из Q2 не следует Р и из Р не следует Q2, то есть Qj не является ни необходимым, ни достаточным условием Р. Математик всегда стремится получить условие, которое является и необходимым, и достаточным одновременно Только в этом случае он будет считать исследование полностью законченным Например. Р - утверждение " треугольник ABC - равнобедренный", Q - утверждение " в треугольнике ABC два угла равны" Здесь Р для Q является и необходимым, и достаточным условием (так 7
Учебное пособие же, как и Q для Р) В этом случае пишут Р <=> Q ( или Q о Р) Эта запись читается "Q - необходимое и достаточное условие Р" (Р - необходимое и достаточное условие Q) Например, для того, чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы у него два угла были равны Иногда говорят несколько иначе. "Для того, чтобы Р было справедливо, необходимо и достаточно, чтобы было справедливо Q", или "Р имеет место в том и только в том случае, если выполняется Q", или "Р справедливо тогда и только тогда, когда справедливо Q". Заметим, что во всех этих утверждениях Р и Q можно поменять местами 1.2. Соотношения между множествами Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Пишут А = В В противном случае, если А не равно В, пишут А * В Таким образом, равенство множеств означает просто, что одно и то же множество обозначили разными буквами. Если же мы хотим доказать, что два множества равны, то, очевидно, надо показать, что каждый элемент множества А является элементом множества В, то есть, если х б А, то х е В и наоборот, если х е В, т о х е А ( пользуясь нашей символикой эти утверждения можно записать короче: х е А <=> х е В) Например, при решении уравнения cos2x * 0 вы получили ответ х = ±я/4 + ля, где л е Z, то есть множество решений этого уравнения есть множество А - {х е R: х = ±я/4 + ля, л е Z), но в задачнике ответ записан иначе: В = {х € R" х = я/4 + ля/2, n e Z} - множество решений этого уравнения Чтобы понять, правильно ли вы решили уравнение, нужно проверить равенство этих множеств. Пусть сначала г е А их « я/4 + ля, л е Z, тогда х =* я/4 + (2л)я/2 и так как 2л € Z, то х е В Если же х е А и х* -я /4 + ля, л е Z, то х * я/4 + (2л - 1) я/2, то есть и в этом случае х е В Таким образом х € А =» х е В. С другой стороны, если х е В и х » я/4 + ля/2, л е Z, то при п • 2к, х а я/4 + kit, TAP к е Z, а при л * 2к - 1 получим х =» -я/4 + кп, где к € Z и, следовательно, в любом я
Григорьев П В, Раэумейко Б Г., Сабурова Т.Н случае х € В => х е А. Таким образом, мы доказали, что А = В, и при решении уравнения мы получили правильный ответ. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то есть х е А = ? х е В, то А называется подмножеством (частью) множества В Пишут: А с В или В э А ; читают "А содержится в В" или "В содержит А". Здесь знак "с" и "э" - символы включения. Рисунок 1 I, а) иллюстрирует эту ситуацию. а) А с В Ь ) А и В с ) А о В d)B\A Рис. 1.1. Например, Z с Q, Q с R, (0,8) с (0;32), А={1, 2, 3, 8, - 5} с (- 10, 154) Заметим, что для любого множества А верно, что А с А и 0 с А, поэтому само множество А и пустое множество 0 иногда называют несобственными подмножествами А. 1.3. Операции над множествами 1) Объединением (или суммой)множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В. Обозначают объединение множеств так: А и В. Здесь знак \ J " - символ объединения. Используя нашу символику,можно записать: A yj В • (х: х е А или х е В }. Рассмотрим ряд примеров: [0,3) yj [3;7] = f0;7], (0,4) yj |2,7) = (0,7), если А - {a,b,c,d) и В » {c,d,e}, о
УЧСОНОС посооие то А ^ В = {a,b,c,d,e} . А и 0 = Аи вообще, если BcA=>Av^»B«A. Операцию объединения множеств иллюстрирует рис II, Ь) 2) Пересечением ( или произведением ) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих и в множество А и в множество В, то есть общая часть А и В. Обозначают пересечение множеств так: А о В. Здесь знак *п!" - символ пересечения. Используя нашу символику запишем А г ) В * { х х е А и х е В ) . Рассмотрим примеры[-1,2) г» (0,3j=-(0,2J, если Km{a,b,eJ) и B3*{a,c,d,e), то А о В » [а.е] Если В с А , т о А ^ В * В , поэтому А л 0 я 0 . Операцию пересечения множеств иллюстрирует рис I I, с) Эти две операции естественным образом распространяются на случай произвольной совокупности множеств (конечной или бесконечной). Например, Ul-"."]=(-«.+«>); ПН'*.!/*!. П(°.,/")=0 3) Разностью множеств В и А называется множество В\А« {х:же В и г е А}, то есть это множество тех элементов в В, которые останутся, если из В выбросить элементы, входящие в А. Таким образом BVA = В\(ВоА). Например: [0,10]\[5,7] - (0,5) и (7,10). |- 7,8)\{- 7} - (- 7,8); В\В = 0 ; В\0 » В. Операцию вычитания множеств иллюстрирует рис.1.1, d). Рассмотрим один важный частный случай Если все множества являются подмножествами некоторого основного множества W, то разность W\A называют дополнением А и обозначается А Очевидно A n A » 0 H A u A - W . Для дополнений справедливо так называемое соотношение двойственности А именно - А и В = А п В и А п В = АиВ,то
Григорьев П В, Разумейко Б Г, Сабурова Т.Н. есть дополнение объединения равно пересечению дополнений и дополнение пересечения равно объединению дополнений. 4*) Прямым произведением или декартовым произведением множеств А и В называется новое множество, обозначаемое X х Y, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов, первый элемент пары берется из X, а второй - из Y, то есть X х Y • {(х,у) х е X ну е Y). Из этого определения следует, что вообще говоря X х Y * Y х X. Только если X * Y, то можно говорить о таком равенстве Обычно вместо X х X пишут X2. Например, декартова прямоугольная система координат на плоскости сопоставляет каждой точке плоскости ее координаты (х,у) - упорядоченную пару чисел, и тем самым плоскость становиться прямым произведением числовых осей Другой пример [0,1} х (- ао , + оо) Этому прямому произведению будет на плоскости соответствовать вертикальная полоса (см рис 1 2, а)), а прямому произведению (- оо , + оо) х (0,1 J будет соответствовать горизонтальная полоса ( см рис 1.2, Ь)). Эти два примера наглядно иллюстрируют тот факт, что вообще говоря X x Y * Y * X i* WW ж mm т ) [0,1] X (-00, +00) b)(-oo, + oo)*[0,ll Рис.12. II
Доступ онлайн
В корзину