Высшая математика. Раздел : Аналитическая геометрия. Математический анализ. Линейная алгебра. Часть 1

№ 990 
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС f^ 

Кафедра математики 

Одобрено 
методическим 
советом института 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Раздел: Аналитическая геометрия 
Математический анализ 
Линейная алгебра 

Часть 1 

Учебное пособие 

по выполнению индивидуальных домашних заданий для студентов 

всех специальностей 

Переиздание 

Под редакцией Разумейко Б.Г. 

МОСКВА, 1999 

АННОТАЦИЯ 

Пособие содержит примеры решения типовых задач и варианты 
домашних заданий по разделам математики «Аналитическая 
геометрия», «Математический анализ», «Линейная алгебра». Число 
вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. 

© Московский 

государственный институт 
стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 
1999 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 
4 

1. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 
5 

1.1. Решение типовых задач 
5 

1.2. Варианты задания 1 
17 

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
29 

2.1. Решение типовых задач 
29 

2.2. Варианты задания 2 
38 

3. ПРЕДЕЛЫ 
63 

3.1. Решение типовых задач 
66 

3.2. Варианты задания 3 
72 

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
96 

4.1. Решение типовых задач 
96 

4.2. Варианты задания 4 
101 

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА 
125 

5.1. Решение типовых задач 
125 

5.2. Варианты задания 5 
132 

6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ, 
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
136 

6.1. Решение типовых задач 
136 

6.2. Варианты задания 6 
146 

7. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 

К ГЕОМЕТРИИ 
170 

7.1. Решение типовых задач 
170 

7.2. Варианты задания 7 
178 

3 

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящее пособие предназначено для студентов специальностей 
11.01 и 11.06, однако оно может быть использовано в работе со студентами всех технологических специальностей и будет полезно для 
студентов факультетов ПМП, ФХ. 

Пособие содержит варианты домашних заданий практически по 
всем разделам стандартной программы по математике для технологических специальностей. Число вариантов обеспечивает индивидуальные задания каждому студенту. Часть вариантов можно использовать 
для самостоятельной работы студентов на практических занятиях. 

Перед каждым заданием дается методика решения типового варианта и наиболее интересных задач соответствующего раздела курса. 
Теоретические основы решения в данном пособии не приведены, их 
изложение студенты найдут в лекциях, учебниках по математике, на 
практических занятиях и консультациях преподавателей. 

4 

1. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ 
ФУНКЦИЙ 

График y = g(x) можно получить из известного графика y = f(x). 

y = g(x) 

y = f(x) + c 
y = f(x – c) 
y = f(–x) 
y = –f(x) 
y = af(x) 
y = f(ax) 

Преобразование графика функции f(x) 

сдвиг вдоль оси 0Y на c 
сдвиг вдоль оси 0X на c 

симметрия относительно оси 0Y 
симметрия относительно оси 0X 
умножение каждой ординаты на a 

деление каждой абсциссы на а 

1.1. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 

Построить графики следующих функций. 
1. y = x2 – 4x + 2. 

Решение 

y = x2 – 4x + 2 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 2 = (x – 2)2 – 2. 
Построим: а) y = x2; б) y = (x – 2)2; в) y = (x – 2)2 – 2 (рис. 1.1). 

5 

Бобкова Л.П., Дружининская И.М., Разумейко Б.Г., Федорова В.И. 

Рис. 1.1 

2. y = 
, x∈R, 
x≠1. 

1-x 

Решение 

x 
(x - 1) + 1 
1 

y = 
= 
= 
1. 

1 - x 
x - 1 
x - 1 

Построим: а) y = 
; б) y = 
; в) y = 
1 (рис. 1.2). 

x 
x -1 
x -1 

6 

Графики элементарных функций 

Рис. 1.2 

Х - 1 / 2 
\ 
у = 
\х 
- 4 , хек, 
ХФ1. 

|х - 1| V 
/ 

Решение 

3. 

Воспользуемся определением \a\ = i 

\-a,a 
<0; 

7 

Бобкова Л.П., Дружининская И.М., Разумейко Б.Г., Федорова В.И. 

=x - 1 ( 2 4)= 

Ix - 1 

x-1 
2 

x 

-(x-1) 

( x2-4 ) = x2-4, 
x-1>0(x>1) 

x2-4) = 
-x2+4,x-1<0(x<1) 
x
1
(
2
2 

Рис. 1.3 

4. y = 2 - x + 2 + x, x ∈ R. 

Решение 

8 

Графики элементарных функций 

Отметим на оси 0X числа 2 – x = 0, x = 2 и 2 + x = 0, x = –2. 
Рассмотрим три интервала (рис. 1.4) и построим график функций в 
каждом интервале (рис. 1.5). 

~z 
а 
г 
til 

Рис. 1.4 

I. X ∈ (-∞;-2], у = (2 - х) - (2 + х), у = -2х; 
II. X ∈ (-2;2], _у = (2 - х) + (2 + х), _у = 4; 
III. X ∈ (2,+∞), _у = -(2 - х) + (2 + х), _у = 2х. 

9 

Бобкова Л.П., Дружининская И.М., Разумейко Б.Г., Федорова В.И. 

5. y = 2 sin 

Решение 

2x 
V 
3У 

Рис. 1.5 

xeR. 

y = 2 sin 2x 

V 
3У 

2sin2 x 

V 
6У 

Построим: 
а) y = sinx; 
б) y = sin2x, 
T 
2% 
= — = тт; 

10 

Графики элементарных функций 

в) y = sin2 

/ 
xV 
А 
— 
6J 

; г) y = 2sin2 

/ 
xV 
А 
— 
6J 

(рис. 1.6). 

Рис. 1.6 

6. y = log2 \x\, x G R, x Ф 0. 

Решение 

[log2 x, 
x>0, 

y = log2x 
llog2(-x), x<0 
(рис. 1.7). 

11