Математический анализ : пределы

Москва 2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

Кафедра математики

Е.В. Твердохлебова

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПРЕДЕЛЫ

Задачник 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2970

УДК 517 
 
Т26

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доцент С.А. Бондарева

Твердохлебова Е.В.
Т26  
Математический анализ : пределы : задачник / Е.В. Твердохлебова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 124 с.

Предназначен для студентов, изучающих раздел «Пределы» курса математического анализа. Содержит большое количество примеров, сопровождаемых 
подробными решениями и комментариями, а также примеров для самостоятельного решения с указаниями и ответами. Предлагаются варианты контрольных работ с ответами для самоконтроля.
Предназначен для студентов всех направлений подготовки НИТУ «МИСиС».
УДК 517

 Е.В. Твердохлебова, 2018
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...................................................................................................4
1. Последовательности. Пределы последовательностей ..........................5
1.1. Основные понятия и определения ...................................................5
1.2. Вычисление пределов последовательностей ................................10

1.2.1. Неопределенность ∞
∞  ..............................................................10

1.2.2. Неопределенность ∞–∞ ...........................................................20
1.2.3. Неопределенность 1∞ ...............................................................25
2. Пределы функций ....................................................................................30
2.1. Основные понятия и определения .................................................30
2.2. Вычисление пределов функций .....................................................32

2.2.1. Вычисление предела x→±∞ функции 
( )
lim
( )
x

f x
g x
→±∞
,  

неопределенность ∞
∞  .........................................................................32
2.2.2. Неопределенность 0
0  в рациональных дробях .....................35

2.2.3. Раскрытие неопределенности 0
0

 при помощи первого 

замечательного предела 

0
sin
lim
1
x
x
x
→
=  ...............................................38
2.2.4. Второй замечательный предел. Логарифмы  
под знаком предела .............................................................................44
2.2.5. Эквивалентные бесконечно малые .........................................59
2.2.6. Замена переменных под знаком предела ...............................72
2.2.7. Вычисление пределов вида lim
( ( )
( )
( ))

x
a F u x
x
f x

→
⋅υ
+
 ..........87
3. Вычисление пределов функций  
при помощи производных ..........................................................................89
3.1. Правило Лопиталя, неопределенности 1∞, ∞0, 0∞ ........................89
3.2 Предварительное логарифмирование.  
Неопределенности 00, ∞0, 1∞ .................................................................94
3.3. Применение формул Маклорена ....................................................97
4. Односторонние пределы ......................................................................104
4.1. Основные понятия и определения ...............................................104
4.2. Вычисление пределов ....................................................................105
5. Контрольная работа ...............................................................................121
Литература ..................................................................................................123

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачник предназначен для самостоятельного повторения материалов, которые подготовлены и используются на занятиях в мультимедийных аудиториях. 
Предлагается разобраться в решениях задач и попытаться повторить их самостоятельно, выполнить все промежуточные преобразования, сверяясь с результатом. Основной принцип работы – каждое действие должно быть разучено. 
В первом разделе задачника знакомимся с определением предела 
последовательности и некоторыми алгоритмами их вычисления.
Во втором разделе приводится определение предела функции, 
рассматриваются алгоритмы вычисления пределов функций с использованием замечательных пределов. 
В третьем разделе используем правило Лопиталя и формулу Маклорена для вычисления пределов функций.
В четвертом разделе учимся вычислять односторонние пределы 
функций.
В каждом разделе есть примеры для самостоятельного решения. 
В заключение предлагается несколько вариантов контрольных работ 
для самоконтроля.

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.  
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия и определения

Рассмотрим функцию, значения которой пронумерованы и аргументом которой является номер ее значения. Например, зависимость 1
n  

создает при n = 1, 2, 3,… совокупность значений: 1 1 1
,
,
,
1 2 3  . Полученная упорядоченная совокупность значений называется «последовательность». В математической теории существует следующее определение: числовой последовательностью называется упорядоченная 
совокупноcть значений функции f(n) ϵ R, определенной на множестве 
натуральных чисел n ϵ N.
Для последовательности могут быть использованы следующие 
обозначения:

{x1, x2, x3, …, xn,..}, либо { }
1
n
n
x
∞

= , где xn = f(n), n ϵ N.

Далее рассмотрим, как ведет себя эта совокупность, и можем ли 
мы определить, к какому значению будут приближаться элементы последовательности xn при неограниченном увеличении номера, т.е. при 
n → ∞. 

Предел числовой последовательности

В теории существует следующее определение предела последовательности:
число a называется пределом последовательности { }
1
n
n
x
∞

= , если 

0
0
0
:
n
N
N
x
a
n
N
∀ε >
∃
∈
−
< ε
∀ ≥
.

Это определение, записанное при помощи кванторов существования ∃ и всеобщности ∀ , часто используемых для сокращения записи, читается следующим образом: для любого положительного ε 
существует номер N0 такой, что все элементы последовательности xn 
будут отличаться от числа a не более чем на ε, начиная с номера N0, 
как бы ни было мало ε.
Интервал, который в определении задается как |xn – a| < ε, называется ε – окрестностью числа a. Тот же смысл имеет обозначение: 
xn ϵ (a – ε, a + ε).

Таким образом, каким бы сколь угодно малым ни было выбранное нами ε, мы сможем указать номер элемента последовательности 
N0, начиная с которого все элементы последовательности попадут 
в окрестность значения a, не превышающую ε. Тогда значение a называется пределом последовательности и обозначается: 
lim
n
n
a
x

→∞
=
 
(рис. 1.1).

a

a–ε

a+ε 

f(n) 

n  

Рис. 1.1. Изображение последовательности,  
имеющей предел в точке a

Заметим, что:
1) внутри ε­окрестности находится бесконечное число членов последовательности, начиная с номера N0: {
}
0
0
0
1
2
,
,
,
N
N
N
x
x
x
+
+
 ;
2) вне ε­окрестности находится конечное число членов последовательности:

{
}
0
1
2
1
,
,
,
N
x
x
x
−

.

Рассмотрим несколько примеров, которые помогут запомнить это 
определение.
Пример 1.1. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что lim
1
1
n

n
n
→∞
=
+
.

Доказательство:
Выберем произвольное сколь угодно малое ε > 0 и покажем, что 
найдется номер N0 такой, что начиная с этого номера значения 
1
n
n +  
будут отличаться от 1 не более чем на ε:

 
0
0
:
1
1
n
N
n
N
n
∃
−
< ε
∀ ≥
+
.

Должно выполняться условие

1
1
n
n
−
< ε
+
.

Решим это неравенство относительно n:

1
1
1
1
n
n
n
n
−
−
=
< ε
+
+
;

1
1
,
1
1
n
N
n
n
< ε ⇔
< ε
∈
+
+
;

1
1
1
1
n
n
+ >
⇒
>
−
ε
ε
.

Если взять номер 
0
1
1
1
N


=
−
+


ε



, то все члены последовательности с номерами n ≥ N0 попадают в сколь угодно малую окрестность 
точки 1. 
Вывод: lim
1
1
n

n
n
→∞
=
+
.

Самостоятельно доказать, пользуясь определением:

1) 
2
3
2
lim 3
2
3
n
n
n
→∞
−
=
+
;

2) 
4
5
lim
2
2
1
n

n
n
→∞

−
=
+
;

3) 
5
lim 3
3
6
1
n
n
→∞


+
=


+



.

Пример 1.2. Показать, что 

1
lim
0,
0
q
n
q

n
→∞
=
>
.

Решение
По определению предела для ε > 0 должно выполняться

0
0
1
:
0
q
N
n
N
n
∃
−
< ε
∀ >
.

Решаем неравенство относительно n, учитывая, что все члены последовательности положительны:

1
1
1
q
q
q
n
n
n
< ε ⇒
>
⇒
>
ε
ε .

Полагаем 
0
1
1
q
N


=
+


ε



 и все члены последовательности начиная 

с этого номера попадут в бесконечно малую окрестность нуля. Мы 

доказали, что 
1
lim
0
q
n
n
→∞
=
.

Следует запомнить:
– если lim
0
n
n
a

→∞
=
, то последовательность { }
1
n
n
a

∞

=  называется бесконечно малой (б.м);
– если lim
n
n
a

→∞
= ±∞ , то последовательность { }
1
n
n
a

∞

=  называется бесконечно большой (б.б).

Замечание. Последовательность 

1

1
,
0
q
n
q
n

∞

=



>





 бесконечно малая, 

даже если q чрезвычайно мало. Этот факт стоит запомнить, чтобы использовать в дальнейшем.
Если все элементы последовательности принадлежат ограниченному интервалу, то последовательность называется ограниченной.
Ограниченная последовательность может не иметь предела, но 
любая имеющая конечный предел последовательность ограничена.
Между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями есть связь, доказанная в форме соответствующей теоремы:

1) если lim
0
n
n
a

→∞
=
 (б.м), то 
1
lim
n
n
a
→∞
= ∞  (б.б);

2) если lim
n
n
b
→∞
= ∞  (б.б), то 
1
lim
0
n
nb
→∞
=
 (б.м);

3) если lim
0
n
n
a

→∞
=
, { }
1
n
n
c
∞

=  ограничена, то lim
0
n
n
n
a
c

→∞
⋅
=
 (б.м);

4) если lim
n
n
b
→∞
= ∞ , { }
1
n
n
c

∞

=  ограничена, то lim
n
n
n
b
c

→∞
⋅
= ∞  (б.б).

Пример 1.3. Последовательность {nq} – бесконечно большая по 
теореме о бесконечно больших и малых последовательностях, так как 

1

1

q

n
n

∞

=








 – бесконечно малая.

Если последовательность имеет предел, и притом конечный, то говорят, что последовательность сходится.
Свойства сходящихся последовательностей:

Пусть lim
,
lim
n
n
n
n
a
a
b
b
→∞
→∞
=
≠ ∞
=
≠ ∞ .

Тогда

1) lim(
)
,
lim(
)
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
a
b

→∞
→∞
+
=
+
−
=
−
;

2) 
(
)
lim
n
n
n
a
b
ab

→∞
⋅
=
;

3) lim
n

n
n

a
a
b
b
→∞
=
;

4) 
(
) (
)
lim
lim
lim

k
k
k
b
b
b

k
k
n
n
a
a
a
→∞
→∞
→∞
=
=
.

Кроме того, для практических целей будет полезно такое утверждение: если f : R→R непрерывная функция, то при наличии конечного 
предела последовательности lim
n
n
a
a

→∞
=
≠ ∞  справедливо следую щее:

(
)
lim
(
)
lim
( )
n
n
n
n
f a
f
a
f a
→∞
→∞
=
=
.

Иначе говоря, мы можем поменять местами знак предела и знак 
функции, например:

1) lim
lim
n
n
n
n
a
a
a
→∞
→∞
=
=
;

2) 
lim
lim

n
n
n
a
a
a

n
e
e
e
→∞
→∞
=
=
;

3) 
(
)
(
)
lim log
log
lim
log
b
n
b
n
b
n
n
a
a
a

→∞
→∞
=
=
.

Заметим, что определение непрерывной функции будет приведено позже, так же как и доказательство непрерывности некоторых 
функций. Воспользуемся просто визуальным исследованием графика функции: нет разрывов и скачков на графике, значит, функция непрерывна.

1.2. Вычисление пределов последовательностей

1.2.1. Неопределенность ∞
∞

Начнем с рациональных дробей, представляющих собой отношение многочленов:

( )
lim
( )

k

n
m

P n
Q
n
→∞
, 

где  
1
1
1
0
( )
k
k

k
k
k
P n
a n
a
n
a n
a
−
−
=
+
+
+
+

;  

1
1
1
0
( )
m
m

m
m
m
Q
n
b n
b
n
b n
b
−
−
=
+
+
+
+

 – многочлены соответствующих степеней. 
Пусть 

lim
( )
, lim
( )
k
m
n
n
P n
Q
n

→∞
→∞
= ∞
= ∞ . 

Тогда 

( )
lim
( )

k

n
m

P n
Q
n
→∞
∞
= ∞ , 

что является неопределенностью. 
Замечание: не являются неопределенностью следующие отношения:

0,
,
0

=
= ∞
=

∞

const
const
const
const
const

1

2
.

В действительности вычисление предела состоит в преодолении 
неопределенности. 
Представим числитель и знаменатель дроби в виде

Pk(n) = nkp(n);

Qm(n) = nmq(n).

Тогда

( )
( )

( )
( )

k
k
m
m

P n
n p n
Q
n
n q n
=
.

Обратите внимание на то, что в произведениях nkp(n), nmq(n) функции p(n), q(n) должны иметь конечные пределы:

lim
( )
,
lim ( )
n
n
p n
p
q n
q

→∞
→∞
=
< ∞
=
< ∞ .

Вычислим предел

lim
( )
( )
lim
lim
lim
lim ( )
( )

k
k
k

n

m
m
m
n
n
n
n

p n
n p n
n
n
p
q n
q
n q n
n
n

→∞

→∞
→∞
→∞
→∞

=
⋅
=
⋅
.

В этом выражении p
C
q =
< ∞ , тогда значение исходного предела 

будет зависеть от lim

k

m
n
n
n
→∞
, а точнее, от степеней числителя и знаменателя:

1,
lim
0,
,

k

m
n

k
n
n
k
n
n
k
n
→∞

=


=
<

∞
>


В итоге

1
,

( )
lim
0
0,
( )
,

k

n
m

C
k
n

P n
C
k
n
Q
n
C
k
n
→∞

⋅
=
=


=
⋅
=
<

∞ ⋅
= ∞
>


const

Каждый из выводов сделан на основании свойств б.м и б.б последовательностей.

Пример 1.4. 

2

2
1
3
2
lim
1
n
n
n
n
→∞
+
+
−

.

Решение

2

2
1
3
2
lim
1
n
n
n
L
n
→∞

+
+
∞
=
= ∞
−

.

Согласно предложенному алгоритму необходимо в числителе и 
в знаменателе вынести за скобки старшую степень многочлена:

2
2

2
2

1
3
2
lim
1
1
n

n
n
n
L
n
n

→∞



+
+




=
=



−





2
2

2

2
1

1
3
2
lim
lim
1
1

const

n
n
n
n
n
n
n

→∞
→∞



+
+




=
⋅



−









.