Математический анализ : неопределенные интегралы : задачник

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

Кафедра математики

Е.В. Твердохлебова

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Задачник

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2969

УДК  517 
Т26

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. С.А. Бондарева

Твердохлебова Е.В.
Т26 Математический анализ : неопределенные интегралы : задачник 
/ Е.В. Твердохлебова. – М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 
100 с.

Предназначен для студентов, изучающих раздел «Неопределённые интегралы» курс «Интегральное исчисление». Содержит большое количество примеров, сопровождаемых подробными решениями и комментариями, а также 
задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами. Предлагаются 
варианты контрольных работ для самоконтроля.
Предназначен для студентов всех направлений подготовки НИТУ «МИСиС».

УДК 517


Е.В. Твердохлебова, 2018

НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..............................................................................................4
1. Основные методы интегрирования .....................................................5
1.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл ................. 5
1.1.1. Определение и свойства ............................................................ 5
1.1.2. Таблица первообразных  ........................................................... 6
1.2. Методы интегрирования ................................................................ 14
1.2.1. Замена переменной под знаком интеграла ........................... 14
1.2.2. Интегрирование по частям ..................................................... 20
Основные классы функций, интегрируемых по частям ................ 22
2. Алгоритмы интегрирования некоторых классов функций ..............31
2.1. Интегрирование рациональных дробей ....................................... 31
2.1.1. Интегрирование квадратного трехчлена в знаменателе 
дроби .................................................................................................... 31
2.1.2. Правильные рациональные дроби ......................................... 36
2.1.3. Неприводимые множители в знаменателе дроби ................ 37
2.1.4. Разложение правильной дроби на простейшие,  
метод неопределенных коэффициентов .......................................... 43
2.2. Интегрирование тригонометрических выражений ..................... 53
2.2.1. Возможные варианты замены переменных .......................... 53
2.2.2 Универсальная замена переменных ........................................ 59

2.2.3. Интегрирование выражений ∫sinnx·cosmxdx ......................... 64
2.3. Основные виды иррациональных подынтегральных  
выражений ............................................................................................... 69
3. Контрольные работы ...........................................................................93
Контрольная работа 1 ........................................................................ 93
Контрольная работа 2 ........................................................................ 93
Решения и ответы ................................................................................... 94
Контрольная работа 1 ........................................................................ 94
Контрольная работа 2 ........................................................................ 96
Литература  ............................................................................................. 98

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачник предназначен для самостоятельного повторения материалов, которые подготовлены и используются на занятиях в мультимедийных аудиториях. 
Предлагается разбираться в решениях задач и пытаться повторить 
их самостоятельно, выполнить все промежуточные преобразования, 
сверяясь с результатом. Основной принцип работы – каждое действие 
должно быть разучено. 
В задачнике разобрано то, чему совершенно необходимо научиться, изучая интегральное исчисление, и без чего не обойтись в других 
разделах курса «Интегральное исчисление».
В первый раздел задачника вошли интегралы от самых простейших и два основных метода интегрирования.
Во второй раздел вошли алгоритмы интегрирования рациональных дробей,  тригонометрических и иррациональных выражений.

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.1. Первообразная функция и неопределенный 
интеграл

1.1.1. Определение и свойства

У всякой непрерывной функции существует производная. Она отражает характер поведения функции: ее возрастание или убывание. 
Производные элементарных функций можно найти, пользуясь определением производной и рядом правил. Результаты оформлены в виде 
таблицы производных элементарных функций, которыми пользуются, 
дифференцируя различные функции.
Поставим противоположную задачу: найти саму функцию F x
( ), 
зная ее производную f x
( ) .
Если 
′
=
F x
f x
( )
( ) , то функцию F x
( ) называют первообразной 
функции f x
( ) .
Зная правила дифференцирования, несложно заметить, что 

( ( )
)
( )
F x
C
f x
+
′ =
, т.е. все функции вида F x
C
( ) +
 – тоже первообразные для функции f x
( ) . Например:

1
1
)
( )
(ln )
(ln
) ,
( )
ln
f x
x
x
x
C
F x
x
C
=
=
′ =
+
′
=
+
;

2)
( )
cos
(sin
) ,
( )
sin
f x
x
x
C
F x
x
C
=
=
+
′
=
+
.

Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается ∫f (x)dx. 
Следует запомнить, что f x dx
( )
 – подынтегральное выражение;

f x
( )  – подынтегральная функция, тогда неопределенный интеграл 
f x dx
F x
( )
( )
∫
=
+ const .
В этих обозначениях рассмотренные примеры будут иметь вид

1) ∫

dx
x   =  ln x + const;

2) ∫cos xdx  =  sin x + const.
В теоретическом курсе вы найдете основное свойство неопределенного интеграла: ∫dF (x) = F (x) + const.
Это означает, что подынтегральное выражение f (x)dx должно быть 
дифференциалом первообразной, т.е. функции f (x), которую ставим 
себе целью найти.

Итак, f (x)dx = dF (x). Вспомним основные сведения о дифференциале, известные нам из курса дифференциального исчисления. Приращение непрерывной функции ΔF (x) состоит из двух слагаемых: 
ΔF (x) = F´(x)·Δx + o(Δx), одно из которых и показывает основной рост 
функции, а второе слишком мало. Слагаемое, составляющее главную 
часть приращения, называют дифференциал.
В этом выражении Δx – приращение независимого аргумента. 
Если для независимой переменной простое приращение также назвать дифференциалом, при этом используя и другую букву Δx = dx, 
то dF = F´(x)dx = f (x)dx.
Для независимой переменной мы назвали дифференциалом простое приращение, которое и вызвало приращение самой функции. Но 
что будет, если переменная x сама окажется зависимой от другой переменной, например, t. Оказывается, и в этом случае форма dF не изменится: dF = F´(x)·x´(t)·dt = f (x)·d(x(t)) = f (x)·dx.
Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью формы, тогда

∫f(x(t))dx = ∫dF(x(t)) = F(x(t)) + C.

Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя 
свойства дифференциала. Например,

1) d(F (x) + const) = (F´(x) + 0)dx = F´(x)dx = dF (x);

2) d(F (x) + G(x)) = (F´(x) + G´(x))dx = dF (x) + dG(x);

3) d(const·F (x)) = const·dF (x).
Отсюда получаются и свойства неопределенного интеграла:

1) ∫dF (x) = F (x) + const;

2) ∫(f (x) + g(x))dx = ∫f (x)dx + ∫g(x)dx;

3) ∫A·f (x)dx = A·∫f (x)dx, A = const.
Заметим, что среди правил нет интеграла от произведения или от частного функций. С произведением и частным обращение будет особым.

1.1.2. Таблица первообразных 

Таболица элементарных функций повторяет таблицу производных, 
но в обратном порядке. Для сравнения приведем параллельные результаты:

1) (cos )
sin ,
x
x
′ = −
sin
cos
xdx
x
= −
+
∫
const ;

2) ( )
,
x ′ =1
1⋅
=
+
∫
dx
x
const ;

3) (
)
,
x
x
α
α
α
′ =
−1
x dx
x
α
α

α
=
+ +

+
∫

1

1
const ;

4) (ln )
,
x
x

′ = 1
dx
x
x
=
+
∫
ln
const ;

5) (
)
ln ,
a
a
a
x
x
′ =
a dx
a

a

x
x
=
+
∫
ln
const .

Для тригонометрических функций:

6) (sin )
cos ,
x
x
′ =
cos
sin
xdx
x
=
+
∫
const ;

7) (cos )
sin ,
x
x
′ = −
sin
cos
xdx
x
= −
+
∫
const ;

8) (
)

cos

,
tg x

x

′ =
1

2

dx
x
x
C
cos2
=
+
∫
tg
;

9) (
)

sin

,
ctg x

x

′ = −
1

2

dx
x
x
C
sin2
= −
+
∫
ctg
.

Аналогично получаем

10)
dx
x

x
C
x
C
1
2
+
=
+

−
+

∫
arctg
arcctg

11)
dx

x

x
C

x
C
1
2
−
=
+

−
+

∫
arcsin
arccos

Для гиперболических функций:

12) ch
sh
x dx
x
C
=
+
∫
;

13) sh
ch
x dx
x
C
=
+
∫
;

14)
dx
x
x
C
ch

th
2
=
+
∫
;

15)
dx
s
x
x
C
h

cth
2
= −
+
∫
.

В таблице первообразных могут быть представлены также некоторые дополнительные функции, которые будем учиться интегрировать 
самостоятельно:

16)
dx
x
a
a
x
a
x
a
C a
2
2
1
2
−
=
−
+
+
=
∫
ln
,
const ;

17)
dx

x
a
x
x
a
C

2
2

2
2
±
=
+
±
+
∫
ln
.

Пример 1.1. 2
7x dx
∫

Решение. Константу по свойству (3) выносим за знак интеграла, 
под знаком интеграла – степенная функция, ей в таблице первообразных соответствует формула (3):

2
2
1
2 7
1

7
7
1
7 1
x dx
x dx
x dx
x
x
=
=
=
+
=
⋅
+ +
∫
∫
∫

+
+

const

comment

α
α

α
C
x
C
=
+

8

4
.

Все комментарии, вспомогательные преобразования или замечания по ходу вычисления можно заключить в модульные скобки, в 
частности, это может быть формула, которую вы намерены использовать. Исходный интеграл будем обозначать I, все промежуточные по 
мере их появления I1, I2 и т.д.

Пример 1.2. 
3
4 xdx
∫

Решение

4
4
4
3

3

1
3

4
3
4
3
x dx
x
C
x
C
∫
=
⋅
+
=
+
.

Пример 1.3. 
3
5

2
x
x
dx
+
∫

Решение

I
dx
x
x dx
x
x
C
x
x
C
=
+
=
+
−
+
=
−
+
∫
∫
−
−
3
5
3
5
1
3
5
2
1
ln
ln
.

Заметим, что все степенные функции имеют первообразными сте
пенные функции: x
x
α
α

α
→
+

+1

1 , кроме x
x
x
− =
→
1
1
ln
.

Пример 1.4. 
x
x
x
dx

3
2
5
1
+
−
∫

Решение. Предварительно упростим выражение 

I
x dx
xdx
dx
x

x
x
x
C
=
+
−
=
+
−
+
∫
∫
∫
2
3
2
5
3
5 2
ln
.

Пример 1.5. 
(
)
x

x x

dx
+
∫
1 3

Решение. Подынтегральное выражение преобразуем в сумму 
функций, имеющих табличные первообразные:

I
x
x
x

x

dx
x
dx
dx
x
x
dx
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∫
∫
∫
∫
∫

−
−

3
2

3
2

1
2
3
2
3
3
1
3
3

=
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+

−
x
x
x
x
C
x
x
x
x
C
3 1

2

3
1
2

6
3
2

1
2
1
2
ln
ln
.

Пример 1.6. 

a
x

ax

dx
+
(
)
∫

2

 

Решение 

I
a
ax
x
ax
dx
a
x
dx
dx
x
a
dx

ax
x

a

x

=
+
+
=
+
+
=
=

=
+
+

∫
∫
∫
∫
2
2

2
2
2

3

3
2



.

Самостоятельно решить:

1)
2
3

4

x
x

dx
+
∫
; 
3)
mxdx
m
∫
=
,
const ;

2)
1
1

2
3
3
4
x

x

x
dx
−
+
∫
; 
4)
n
dx

x
∫
.

Ответы:

1) −
−
+
1
1

2
3
x
x

C ; 
3) 
m x
x
mx
⋅
=
⋅

3
2

3
2

2
3
;

2) 3
4
5
4

1
3
5
4
1
4
x
x
x
C
−
−
+
; 
4) x

n

n
n
x
n
n
n

− +
−

−
+
=
−

1 1
1

1
1
1
.

Решение данных примеров позволяет научиться примененять таблицы первообразных и использовать свойства интегралов. Поэтому 
добавим тригонометрические и показательные функции, а также преобразование подынтегрального выражения:

Пример 1.7. 2x
xe dx
∫

Решение 

I
e
dx
e
const
e

e
C
x

x

= (
)
=
=
= (
)
+
∫ 2
2
2

2
ln(
)
.

Пример 1.8. 
1
2
2

2
−
∫
sin x dx  

Решение. Используем формулы понижения степени:

sin
cos ,
cos
cos
2
2
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
= −
= +
.

Тогда

1
2
2

2
−
=
sin
cos
x
x .

Окончательно

I
xdx
x
C
=
=
+
∫cos
sin
.

Пример 1.9. 
cos
cos
sin
2

2
2
x
x
x
dx

⋅
∫

Решение. Можно использовать формулу cos 2x = cos2 x – sin2 x. 

Тогда

I
x
x

x
x

dx
x

x
x
dx
x

x

=
−
⋅
=
⋅
−
∫
∫
cos
sin

cos
sin

cos

cos
sin

sin

cos

2
2

2
2

2

2
2

2

2
⋅
=
∫
sin2 x

dx

=
−
= −
−
+
∫
∫

1
1

2
2
sin
cos
x
dx

x
dx
x
x
C
ctg
tg
.

Самостоятельно решить:

1) 
2
cos 2
xdx
∫
; 
3) 
sin
cos
x
x
dx
2
2

2

−
∫
;

2) 
2
2
sin
cos
4
4
x
x dx
∫
; 
4) 
dx
x
x
cos
sin
2
2
+
∫
.

Ответы:

1) 1
2
1
2
x
x
C
+
+
sin
; 
3) x
x
C
+
+
cos
;

2) 1
4
1
4
x
x
C
+
+
sin
1
2
1
2
x
x
C
+
+
sin
; 4) tg x
C
+
.

Пример 1.10. 

3
xe dx
∫
 

Решение. В таблице интегралов можно найти первообразную: 
∫eydy  =  ey  +  C. Но в примере y
x
= 3 . Использовать табличную перво
образную нам позволит инвариантность формы первого дифференциала, т.е. независимость его формы от того, является ли переменная 
y независимой или функцией, например:

d e
e
d
x
x
x
3
3
3

=
⋅
, 

либо d e
e
d
x
x
x
cos
cos
cos
(
) =
⋅ (
) и т.д.
Тогда

e d
x
e
C

x
x
3
3

3
∫
=
+
,

либо e
d
x
e
C
x
cos
cos
cos
∫
(
) =
+
.