Математика : основные понятия преобразования Лапласа

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2783

УДК 51 
 
М34

Р е ц е н з е н т ы: 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.С. Воробьев (ОИВТ РАН);
д-р техн. наук, проф. А.Ю. Репин (ГУЗ)

А в т о р ы: 
П.В. Макаров, А.Э. Адигамов, Н.В. Семенова, К.В. Курочкина

 
Математика : Основные понятия преобразования Лапласа : 
М34  
учеб. пособие / П.В. Макаров [и др.]. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2018. – 60 с.
ISBN 978-5-906846-55-6

Охватывает содержание нескольких основных разделов программы курсов «Математика», «Математический анализ», «Функции комплексного переменного» и «Дифференциальные уравнения». Кратко даны основные понятия 
теории операционного исчисления. Рассмотрены простейшие операции над 
оригиналами и изображениями (образами). Материал дан в объеме, достаточном для понимания различных курсов, изучаемых в дальнейшем. Рассмотрены 
также различные приложения теории операционного исчисления.
Теоретический материал сопровождается разобранными примерами и 
зада чами для самостоятельного решения, приведены варианты контрольных 
заданий.
Предназначено для студентов всех специальностей, а также аспирантам и 
соискателям.
УДК 51

 Коллектив авторов, 2018
ISBN 978-5-906846-55-6
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................................4
1. Понятие преобразования Лапласа .......................................................5
2. Изображение основных элементарных функций .............................14
3. Основные теоремы и свойства преобразования Лапласа ................17
4. Задачи и примеры их решения ...........................................................31
Приложение 1. Таблица основных изображений .................................53
Приложение 2. Таблица некоторых изображений функций,  
заданных графически..............................................................................55
Библиографический список ...................................................................58

ВВЕДЕНИЕ

Операционное исчисление появилось в начале XX в. как некоторый формальный метод интегрирования обыкновенных линейных 
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и 
их систем. Решение краевых задач для уравнений теплопроводности, 
диффузии и электродинамики классическими методами для некоторых задач связано с большими трудностями, поскольку эти решения 
часто получаются в виде интегралов или рядов, которые не очень 
пригодны для практического использования. Поэтому в теории в ряде 
случаев успешно применяется операционный метод, который позволяет получить не только точное решение краевой задачи, но и его 
асимптотическое выражение для малых и больших значений времени 
после начала процесса.
В основе методов операционного исчисления лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), позволяющих 
свести обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения 
к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные 
уравнения в частных производных – к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Операционное исчисление позволяет перейти в новое математическое пространство. Для этого над функциями производят преобразования, в результате которых решение дифференциальных, интегральных и иных уравнений сводится к простым арифметическим 
действиям.
Процедура операционного исчисления состоит в следующем:
 – переводим функции (оригиналы) в изображения;
 – оперируем вместо исходных функций их изображениями;
 – производим вычисление изображений;
 – получив результат, возвращаемся к исходным функциям (оригиналам).

1. ПОНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА1

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое определяется соотношением

( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

∞
−
= ∫
.

Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Лапласа, а изображение интегрального преобразования Лапласа называют 
также изображением по Лапласу, поэтому для существования несобственного интеграла функция 
( )
f t  должна обладать определенными 
свойствами.
Определение. Функцией, подвергающейся преобразованию, т.е. 
функцией-оригиналом, называют любую комплексную функцию 
( )
f t  
действительного аргумента t  (вообще говоря, функция может принимать и комплексные значения), удовлетворяющую следующим условиям:
1. Функция 
( )
0
f t ≡
 для всех 
0
t <
.
2. Функция ( )
f t  удовлетворяет условиям Гёльдера2 всюду на оси t, 
кроме отдельных точек, где она имеет разрывы I рода, причем на каждом конечном интервале таких точек конечное число. Это означает, 
что для каждого t (кроме исключительных точек) существуют положительные постоянные A, 0
1
≤ α ≤ и 
0h  такие, что

 
(
)
( )
f t
h
f t
h

α
+
−
≤ Α
, 
(1)

для всех h , для которых 
0
h
h
≤
.
3. Существуют такие постоянные 
0
M >
,
0
s ≥
, что для всех t

 
( )

st
f t
Me
<
. 
(2)

Число 
0
inf
s
s
=
 называют показателем роста функции 
( )
f t , для 
ограниченных оригиналов, очевидно, 
0
0
s =
. Более точно в качестве 
показателя роста принимают нижнюю грань 
0s  таких чисел s , что 

( )

st
f t e−  остается ограниченной при t → ∞ .

1 Пьер Симон Лаплас (1749–1825) – французский математик.
2 Отто Людвиг Гёльдер (1859–1937) – немецкий математик. Условие Гёльдера – 
неравенство, в котором приращение функции оценивается через приращение ее аргумента.

Определение. В качестве преобразований, позволяющих перейти 
от исходной функции к ее изображению, применяется преобразование Лапласа, т.е. изображением функции 
( )
f t  (по Лапласу) называют 
функцию комплексной переменной p
is
+
, определяемую соотношением
 
( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

∞
−
= ∫
, 
(3)

где интеграл берется на положительной полуоси. Эту связь между 
функцией 
( )
f t  и ее изображением F(p) будем записывать символом

( )
{
}
( )
L f t
F p
=
 или 
( )
( )

.
.
F p
f t
=
 или 
( )
( )

.
.
F p
f t
→
.

Если интеграл (3) сходится, причем абсолютно и равномерно в полуплоскости 
0
Re p
s
s
≥
>
, то, являясь аналитической в полуплоскости 
0
Re
s
>
, называется Лапласовым изображением функции 
( )
f t , а 
f(t) оригиналом, или начальной функцией. Заметим, что при 
0
0
s
s
=
=
 
неравенство (2) не выполняется.
Если функция является изображением оригинала f(t), это записывается в виде F(p) = l{f(t)}, или 
( )
( )
L
F p
f t
→
, или 
( )
( )

.
.
F p
f t
=
.

Теорема 1. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено в полуплоскости 
0
Re p
s
>
, где 
0s  – показатель роста f(t), и является в этой полуплоскости регулярной функцией.

Доказательство. В самом деле, при 
0
Re p
s
s
=
>
 интеграл (3) абсолютно сходится, ибо в силу неравенств (1) и (2) он мажорируется 
сходящимся интегралом

( )
( )

0

pt
F p
f t e
dt

+∞
−
=
≤
∫
( )

0

pt
f t
e
dt

+∞
−
≤
∫

0

0

s t
st
i t
Me
e
e
dt

+∞
−
− δ
=
∫

0

0

s t
st
Me
e
dt

+∞
−
=
=
∫

(
)
0

0

s
s t
M
e
dt

+∞
−
=
∫

(
)
0

0
0
0

s
s t
M
M
e
s
s
s
s

−
+∞ =
−
−
  
(4)

(последнее равенство справедливо, так как 
0
0
s
s
−
<
), что и дает сходимость (даже абсолютную) интеграла в формуле (1).
Далее, в любой полуплоскости 
1
0
Re p
s
s
≥
>
 интеграл, получающийся из интеграла (3) дифференцированием по p, сходится равно

мерно, ибо он также мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от p ,

 

( )
(
)
(
)

1
0
2
0
0
1
0

s
s
t
pt
M
f t te
dt
Mte
dt
s
s

∞
∞
−
−
−
≤
=

−
∫
∫
. 
(5)

Отсюда на основании теоремы о равномерно сходящемся интеграле от функции двух переменных заключаем, что функция 
( )
F p  в любой точке полуплоскости 
0
Re p
s
>
 обладает производной, т.е. является регулярной функцией). Ч.т.д.
Регулярность F(p) в полуплоскости 
0
Re p
s
>
 вытекает просто из 
того, что в полуплоскости 
1
0
Re p
s
s
≥
>
 интеграл (3) сходится равномерно и, следовательно, функция F(p) аналитична при 
0
Re p
s
>
.

Замечание 1. Интеграл Лапласа (3) определяется, вообще говоря, 
изображением F(p) лишь в полуплоскости 
0
Re p
s
>
. На самом деле 
часто область определения изображения значительно шире этой полуплоскости. Поэтому в таких случаях можно рассматривать аналитическое продолжение изображений за прямую 
0
Re p
s
>
 и пользоваться тем, что соотношения между различными изображениями, которые 
устанавливаются в полуплоскости сходимости соответствующих интегралов Лапласа, при таком продолжении сохраняются.

Замечание 2. Если точка p  стремится к бесконечности так, 
что Re p
s
=
 неограниченно возрастает, то 
( )
0
F p →
:

 
( )
lim
0

s
F p

→+∞
=
. 
(6)

Это утверждение вытекает непосредственно из неравенства (4). 
Отсюда следует, что 
( )
0
F p →
, если p → ∞ , оставаясь внутри лю
бого угла 
arg
2
2
p
π
π
−
+ σ <
<
− σ , где 
0
σ >
 сколь угодно мало, причем 

эта сходимость равномерна относительно arg p .
Если, в частности, F(p) аналитическая в бесконечно удаленной 
точке, то 
( )
0
F p →
 при p → ∞  по любому пути; следовательно, F(p) 
просто должна иметь нуль в бесконечности.
Выведем формулу, определяющую функцию-оригинал по её изображению, а затем дадим строгое ее доказательство.

Рассмотрим интеграл 

 

( )
1
2

a i
pt

a i

e
f t
dp
i
p

+ ∞

− ∞
=
π ∫
, 
(7)

взятый вдоль прямой Re
0
p
a
=
>
, проходимый снизу вверх. Обозначим через 
R
C  и 
R
C′ части окружности p
R
=
, лежащие соответственно слева и справа от прямой Re p
a
=
, а через a
ib
−
 и a
ib
+
 – концы 

R
C  и 
R
C′ .

σ

CR

0

a + ib

a – ib

C΄

ζ

R

Пусть 
0
t >
, так как 1
0
p →
 при R → ∞  равномерно относительно 

arg p , то по лемме Жордана

lim
0

r

pt

R
C

e dp
p
→∞
=
∫
.

Следовательно, из теоремы Коши о вычетах

0

2
2

R

a ib
pt
pt
pt

a ib
C
p

e
e
e
dp
dp
i res
i
p
p
p

+

−
=

+
= π
= π
∫
∫

в пределе при R → ∞  получим 
( )
1
lim
1
2

a bi
pt

b

a bi

e
f t
dp
i
p

+

→∞

−

=
=
π ∫
, 
0
t >
. 

Если 
0
t <
, то по лемме Жордана имеем lim
0

R

pt

R
C

e dp
p
→∞
′
=
∫
, а по теореме 
Коши 

0

R

a ib
pt
pt

a ib
C

e
e
dp
dp
p
p

+

′
−

+
=
∫
∫
,

откуда в пределе при R → ∞  получим 
( )
1
lim
0
2

a bi
pt

b

a bi

e
f t
dp
i
p

+

→∞

−

=
=
π ∫
, 

0
t <
.
Таким образом, интеграл (7) представляет единичную функцию. Заменив в (7) переменную t  на t − τ, где τ  фиксированное число, получим

 
      

(
)

{
1
0,
,
1,
.
2

a i
p t

a i

e
t
dp
t
i
p

+ ∞
−τ

− ∞

<τ
=
>τ
π ∫
 
(8)

Подставляя в (8) 
1
τ = τ , затем 
2
1
τ = τ > τ  и вычитая второй интеграл из первого, получаем представление ступенчатой функции

(
)
{

1
2

2
1

1
2

1
0,
1,
.
2

p
p
pt
a i

a i

e
e
e
t
dp
t
i
p

− τ
− τ
+ ∞

− ∞

−
τ < < τ
=
τ < < τ
π ∫

Аналогично для ступенчатой функции

(
)

1
1

0

1
2

k
k
a i
p
p
n
pt

n
k

k
a i

e
e
f
e
f
dp
i
p

+
+ ∞
− τ
− τ
−

=
− ∞

−
=
τ
=
π
∑
∫

(
)
}

1
'

0

1
2

k
a i
n
p
pt
k
k
k
a i
e
f
e
dp
i

+ ∞
−
− τ

=
− ∞


=
τ
∆ τ

π
∑
∫
, 
(9)

где 
(
)
(
)

2
3
'
2

1
1
...,
.
2!
3!

k
p
k
k

k
k
k
k
k

p
p
p
p

− ∆τ

+
∆τ
∆τ
−
∆ τ =
= ∆τ −
+
−
∆τ = τ
− τ

Если теперь увеличивать число n так, что max
k
∆τ  стремится 
к нулю, то 
'

k
∆ τ  будет бесконечно малой величиной, эквивалентной 

k
∆τ , и сумма в фигурных скобках в (9) в пределе перейдет в интеграл, т.е. в пределе, устремляя τ к бесконечности и обозначая через

 
     
( )
( )

0

p
F p
f
e
d

∞
′
− τ
′
′
=
τ
τ
∫

 
(10)

преобразование Лапласа функции 
( )
f t , получаем искомое выражение оригинала через его изображение:

 
   
( )
( )
1
.
2

a i
pt

a i

f t
e F p dp
i

+ ∞

− ∞

=
π ∫
 
(11)

Формула (11) «обращает» формулу (10).

Теорема 2. Если функция 
( )
f t  является оригиналом, т.е. удовлетворяет условию 1–3 определения, а 
( )
F p  служит ее изображением, то в любой точке t, где 
( )
f t  удовлетворяет условию Гёльдера, 
справедливо равенство (11), где интеграл берется вдоль любой прямой 
0
Re p
a
s
=
>
 и понимается в смысле главного значения (т.е. как 
предел интегрирования вдоль отрезка (a – ib, a + ib) при b → ∞ ).
Доказательство. Рассмотрим интеграл

( )
( )
( )

0

1
1
2
2

a ib
a ib
pt
pt
p
b
a ib
a ib
f
t
e F p dp
e
f
e
d
dp
i
i

+
+
∞
− τ

−
−





=
=
τ
τ


π
π




∫
∫
∫
.

Так как в полуплоскости Re p
a
≥
 интеграл 
( )

0

p
f
e
d

∞
− τ
τ
τ
∫
 сходится 

равномерно относительно p, то можно изменить порядок интегрирования, и получим

( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)

0
0

sin
1
1
2

a ib
p t
a t
b
a ib

b t
f
t
f
d
e
dp
f
e
d
i
t

∞
+
∞
−τ
−τ

−



− τ


=
τ
τ
=
τ
τ


π
π
− τ




∫
∫
∫
=

(
)
(
)
(
)
1
sin
sin
.

at
a
t
at

t

b
e
b
e
f
t e
d
g
t
d

∞
∞

−
ξ+

−
−∞

ξ
ξ
=
ξ +
ξ =
ξ +
ξ
π
ξ
π
ξ
∫
∫

 Полагая 
( )
( )

at
g t
f t e−
=
 и учитывая, что 
( )
0
g t =
 для всех 
0
t <
, 
получаем

( )
(
)
( )
( )
sin
1
sin
(
)

at

b

e
b
b
f
t
g
t
g t
d
f t
d

∞
∞

−∞
−∞

ξ
ξ
=
ξ +
−
ξ +
ξ
π
ξ
π
ξ
∫
∫
. 
(12)

Интеграл во втором слагаемом – это интеграл Эйлера, он равен 

π  при любом 
0
b >
. Таким образом, для доказательства того, что 

( )
( )
lim
b
b
f
t
f t

→∞
=
, нужно доказать, что первые слагаемые в (12) стре
мятся к нулю при b → ∞ .

Лемма. Для любой функции ϕ(ξ), интегрируемой на отрезке [
]
,
α β ,

( )
( )
( )

0

1
lim
2

a i
pt
p
n
n
a i
f
t
f t
e
f
e
d
dp
i

+ ∞
τ
− τ

→∞
− ∞





=
=
τ
τ


π




∫
∫
,

что эквивалентно равенству (10).

Доказательство. Действительно, если ϕ(ξ) – непрерывно дифференцируема на[
]
,
α β , то интегрируем по частям

( )
( )
( )
'
cos
cos
sin
0
b
b
b d
d
b
b

β
β

β
α

α
α

ξ
ξ
ϕ ξ
ξ ξ = −ϕ ξ
+ ϕ ξ
ξ →
∫
∫
 при b → ∞ .

Если же 
( )
ϕ ξ  – произвольная интегрируемая функция, то для 

0
∀ε >
 найдется непрерывная дифференцируемая функция 
( )
ε
ϕ
ξ  та
кая, что 
( )
( )
2
d

β

ε
α

ε
ϕ ξ − ϕ
ξ
ξ <
∫
, тогда 

( )
( )
( )
{
}
( )
sin
sin
sin
b d
b d
b d

β
β
β

ε
ε
α
α
α
ϕ ξ
ξ ξ =
ϕ ξ − ϕ
ξ
ξ ξ + ϕ
ξ
ξ ξ
∫
∫
∫
,

где первое слагаемое справа по модулю не превосходит 2
ε  для всех b 

(ибо sin
1
bξ ≤ ), а второе для достаточно больших b (по теореме, которая доказана). Лемма доказана.

Зафиксируем теперь 
0
ε >
и перепишем первый интеграл в (12) так:

(
)
( )
(
)
( )
sin
sin

B

B

g
t
g t
g
t
g t
b d
b d

∞

−∞
−

ξ +
−
ξ +
−
ξ ξ =
ξ ξ +
ξ
ξ
∫
∫

(
)
( )
sin
sin

B
B

g
t
b
b d
g t
d

ξ >
ξ >

ξ +
ξ
+
ξ ξ −
ξ
ξ
ξ
∫
∫
.