Математика : интегральное исчисление функций одной переменной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2972 

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко  
Е.Л. Плужникова  
Л.Р. Ким-Тян 

Математика

Интегральное исчисление 
функций одной переменной 

Практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2017 

УДК 517 
 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Т.В. Морозова 

Разумейко Б.Г. 
Р17  
Математика : интегральное исчисление функций одной переменной : практикум / 
Б.Г. Разумейко, 
Е.Л. 
Плужникова, 
Л.Р. Ким-Тян. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 161 с. 
ISBN 978-5-906953-03-2 

Практикум содержит типовые задачи и методические рекомендации по 
их выполнению по следующим темам: неопределенный интеграл, определенный интеграл, приложения определенного интеграла, несобственные интегралы. К каждой теме дано соответствующее домашнее задание, состоящее 
из типовых задач, включающих 30 вариантов. Это позволит преподавателям 
разнообразить набор домашних заданий, а студентам самостоятельно подготовиться к экзаменационной сессии. 
Практикум является составной частью учебно-методического комплекса 
по дисциплине «Математика». 
Предназначен для студентов первого курса всех направлений подготовки. 

УДК 517 

 
 
 
ISBN 978-5-906953-03-2 

 Б.Г. Разумейко, 
Е.Л. Плужникова, 
Л.Р. Ким-Тян, 2017 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Неопределенный интеграл ............................................................... 4 
Домашнее задание № 1 ................................................................... 62 
2. Определенный интеграл и его приложения ................................... 86 
Домашнее задание № 2 ................................................................... 117 
3. Несобственный интеграл ................................................................. 134 
Домашнее задание № 3 ................................................................... 155 
Библиографический список ................................................................. 160 
 

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

Пример 1.1. Вычислить неопределенный интеграл 
2
5
(3
4
)
x
x
dx
x



. 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых 
является табличным. 

1 1
1
3
2
2
2
2
5
(3
4
)
3
4
5
3
4 1
3
1
2

dx
x
x
x
x
dx
x dx
x dx
x
x







 








 

3
3
8
5ln
5ln
.
3
x
c
x
x
x
c






 

Пример 1.2. Вычислить неопределенный интеграл 

3
4
.
x dx
x


 

Решение 
Разобьем интеграл на разность двух интегралов, каждый из которых является табличным: 

1
1
3
3
3
2
2
4
4
(4
)
x
x
dx
dx
x
x
dx
x
x
x



















 

=

1
5
1
1
5
2
2
7
2
2
4
8
8
.
1
5
7
1
1
2
2

x
x
x dx
x
c
x
x
c

 













 

Пример 1.3. Вычислить неопределенный интеграл 
2
sin ( / 2)
x
dx

. 

Решение 
Понизим степень по формуле 




2
1
cos
sin
/ 2
2

x
x


, 

а затем разобьем интеграл на разность двух интегралов, каждый из 
которых является табличным: 




2
1 cos
1
cos
sin
/ 2
2
2
2
x
x
x
dx
dx
dx
dx









 

1
1
1
1
cos
sin
.
2
2
2
2
dx
xdx
x
x
c







 

Пример 1.4. Вычислить неопределенный интеграл 
5
5
4x dx
x








. 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, каждый из которых 
является табличным: 

1 1
1
5
5
4
5
5
5
4
25
4
4
5
4
5
1
ln4
4
ln4
1
5

x
x
x
x
x
dx
x
dx
dx
c
x
c
x

 






 















 
Пример 
1.5. 
Вычислить 
неопределенный 
интеграл 

5
3
3
2
4
1
2
.
x x
dx
x
x












 

Решение 
Разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых 
является табличным: 

6 1
6
2
5
3
5
5
3
3
3
2
4
1
2
2
4
2 6
1
5

x
x x
dx
x dx
x
dx
x dx
x
x

























 

2 1
11
1
3 1
2
3
5
11
3
5
3
2
10
10
1
4
12
12
.
2
3
1
11
2
11
2
1
3

x
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x

 
 











 


  

Пример 1.6. Вычислить неопределенный интеграл 
sin cos
x
e
x dx

. 

Решение 
Заметим, что производная от функции φ(x) = sin x равна 
φ′(x) = cos x. Сделаем замену переменной sin x = t, тогда dt = cos x dx. 
Следовательно,  

sin
sin
sin
cos
.
cos

x
t
t
x
x
t
e
x dx
e dt
e
c
e
c
dt
xdx










 

Пример 1.7. Вычислить неопределенный интеграл 
4
sin 2
1
sin
x
dx

x


. 

Решение 

4
4
4
sin
sin2
2sin cos
2
cos
1
sin
1
sin
1

x
t
x
x
x
t dt
dx
dx
xdx
dt
x
x
t














 

2

2 .
1
2

t
u
du
u
tdt
du







 

В результате получили табличный интеграл: 

2
2
2
arctg
arctg
arctgsin
.
1
du
u
c
t
c
x
c
u








 

Пример 1.8. Вычислить неопределенный интеграл cos2
.
xdx

 

Решение 

2
1
1
cos2
2
cos
sin
sin 2
.
2
2
2
/ 2

x
t
dt
xdx
dt
dx
t
t
c
x
c
dx
dt














 

Пример 1.9. Вычислить неопределенный интеграл sin cos
.
x
xdx

 

Решение 
Заметим, что производная от функции (sin x)′ = cos x. Значит, можем сделать замену t = sin x: 

2
2
sin
sin
sin cos
.
cos
2
2

x
t
t
x
x
xdx
tdt
c
c
dt
xdx










 

Пример 1.10. Вычислить неопределенный интеграл ctg2
.
xdx

 

Решение 

2
1
1
cos
ctg2
2
ctg
2
2
sin

2

x
t
t
xdx
dx
dt
t dt
dt
t
dt
dx












 

sin
1
1
1
ln
ln sin2
.
cos
2
2
2

t
u
du
u
c
x
c
t dt
du
u










 

Пример 1.11. Вычислить неопределенный интеграл 
.
4
2

dx

x 

 

Решение 

1
2
4
2
1
1
1
1
4
4
2
.
4
4
2
2
4
2
1
4

x
t
dx
dt
dx
dt
t
dt
t
c
x
c
x
t
dx
dt


















 

Пример 1.12. Вычислить неопределенный интеграл
3
5
6
2
5
x
x dx



. 

Решение 

Заметим, что производная от функции 

6
5
2
5
30
x
x


 
. Значит, 

можем сделать замену 
6
2
5
t
x


. Тогда  

6
1
3
5
6
5
3
3

5

2
5
1
1
2
5
30
30
30

30

t
x

x
x dx
dt
x dx
tdt
t dt
dt
x dx






 
 
 


 




 

1 1
4
3
6 4
3
3
1
3
1
(2
5
)
.
1
30
4 30
40
1
3

t
c
t
c
x
c


 

 

 




 

Пример 1.13. Вычислить неопределенный интеграл 
9
(1
3 )
x
x
dx



. 

Решение 
В данном примере нет необходимости возводить в девятую степень. Сделаем замену t = 1 + 3x, а затем выразим переменную x: 

9
9
9

1
3

3
1
1
(1
3 )
(
1)
3
3
9
3
1
3

x
t

dx
dt
t
dt
dt
x
x
dx
t
t
t dt
dx

t
x























 

11
10
10
9
10
9
1
1
1
1
1
(
)
9
9
9
9 11
9 10
t
t
t
t
dt
t dt
t dt
c











 

11
10
1
1
(1 3 )
(1
3 )
.
99
90
x
x
c





 
Пример 
1.14. 
Вычислить 
неопределенный 
интеграл

2
3
arcsin2

1
4

x
x dx
x





. 

Решение 
Разложим на разность двух интегралов и сделаем в каждом из получившихся интегралов замену переменных: 

2
2
2
3
arcsin2
arcsin 2
3
.
1
4
1
4
1
4

x
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x










 

Заметим, что в первом интеграле производная 

2
1
4
8
x
x


 
. 

Значит, можем сделать замену 
2
1
4
t
x
 
. Тогда  

2
1
2
2

1
4
/ 8
1
2
8
8
8
1
4
/ 8

x
t
x
dt
dx
dt
xdx
t
dt
t
c
t
x
xdx
dt






 

 
 



 



 

2
1 1
4
.
4
x
c
 


 

Заметим, что во втором интеграле производная 


2
2
arcsin 2
.
1
4
x

x

 

 

Значит, можем сделать замену t = arcsin 2x . Тогда  

2
2

2
2

arcsin 2
arcsin 2
1
1
arcsin 2
2
.
2
2 2
4
1
4
1
4

x
t
x
t
x
dx
dx
tdt
c
c
dt
x
x














 

Следовательно, 

2
2

2
3
arcsin 2
3
arcsin 2
1
4
.
4
4
1
4

x
x
x
dx
x
c
x


 





 

Пример 1.15. Вычислить неопределенный интеграл 

2
1
4

x

x
e
dx
e


. 

Решение 
Заметим, что производная (
)
x
x
e
e
 
. Значит, можем сделать заме
ну 
x
t
e

.  
Тогда  

2
2
2
1
2
1
4
1
4
1/ 4

x
x

x
x
e
t
e
dt
dt
dx
dt
e dx
e
t
t













 

2
2
1
1
1
1
ln
ln
2
4
2
4

x
x
t
t
c
e
e
c
























. 

Пример 1.16. Вычислить неопределенный интеграл 

8
2
5
x
dx


. 

Решение 




9
9
8
8
8
2
5
1
1
(2
5)
2
5
2
.
2
2
18
18
1
2

t
x
t
x
x
dx
dt
dx
t
dt
t dt
c
c

dx
dt
























 

Пример 1.17. Вычислить неопределенный интеграл 


8.
5
3

dx

x


 

Решение 




7
8
8
8

5
3
1
1
3
3
3
21
5
3
1
3

x
t
dx
t
dx
dt
t
dt
t
dt
c
x
dx
dt








 



 








 



 

7
1
.
21(5
3 )
c
x



 

Пример 1.18. Вычислить неопределенный интеграл 

4
3
1
.
(
3)
dx
x 

 

Решение 

 







4
3
4
3
4
3
1
3
3
3
(
3)
dx
x
dx
x
d x
x














 

 





1
3
4 1
3

3
3
3
3
4 3 1
1 3
3

x
x
c
c
c
x


 






 





 

Пример 1.19. Вычислить неопределенный интеграл

2

2
.
5

x

x
e
dx
e






 

Решение 
Заметим, что производная 
2
2
(
5)
2
x
x
e
e




 
. Значит, можем сде
лать замену 
2
5:
x
t
e


 

2

2
2
2

2

1
5
1
1
2
2
ln
2
2
5
1
2

x

x
x
x

x

e
t
dt
e
dt
dx
e
dx
dt
t
c
t
t
e
e
dx
dt












 


 
 



 



 

2
1 ln
5
.
2

x
e
c

 


 

Пример 1.20. Вычислить неопределенный интеграл 

2
6
8
5ln
.
x
xdx
x



 

Решение 
Разобьем интеграл на разность двух интегралов. Первый интеграл  
табличный. Во втором интеграле можем сделать замену t = lnx, так 
как производная (lnx)′ = 1/x: 

2
6
6
2
6
8
5ln
5ln
8
ln
8
5
2
x
x
x
x
x
dx
xdx
dx
dx
x
x
x










 

2
6
2
7
2
7
ln
5
5
4
5
4
4
ln
.
1
7
7

x
t

x
t dt
x
t
c
x
x
c
dx
dt
x













 

Пример 1.21. Вычислить неопределенный интеграл 
2
5
6
.
x
dx


 

Решение 

2
5
2
5
2
5
1
1 6
6
6
2
6
6
.
2
2
2 ln6
2ln6
1
2

t
x
x
t
t
x
t
dt
dx
dx
dt
dtх
c
c

dx
dt



















 

Пример 1.22. Вычислить неопределенный интеграл 
2
tg(
3)
.
sin (
3)
x
dx
x



 

Решение 

Заметим, что производная 
2
1
(ctg )
sin
x

x

  
, а 
1
tg
ctg
x
x

. Тогда 

2
(ctg(
3))
sin (
3)
dx
d
x
x
 


. Внесем функцию 
2
1
( )
sin (
3)
g x
x




 под 

знак дифференциала: 







2
2
tg(
3)
tg(
3)
tg(
3)
ctg
3
sin (
3)
sin (
3)
x
dx
dx
x
x
d
x
x
x













 





ctg
3
ctg(
3)
ln
ln ctg(
3)
.
ctg(
3)

d
x
dt
x
t
t
c
x
c
x
t


 



 
 

 




