Математические модели принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УпРАВЛЕНИЯ 
 
Кафедра автоматизации проектирования и дизайна

Москва 2018

А.Е. петров

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3092

УДК 658.5 
 
П30

Р е ц е н з е н т 
доц., И.В. Баранникова

Петров А.Е.
П30  
Математические модели принятия решений: учеб.-метод. пособие / А.Е. Петров. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 
80 с.
ISBN 978-5-906953-14-8

Изложены методологические, теоретические основы математических моделей принятия решений и примеры их практического применения. Рассмотрены методы принятия решений в условиях определенности, включая методы 
оптимизации. Представлены модели принятия решений в условиях неопределенности, включая критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа. Рассмотрены многокритериальные модели принятия решений, в том числе метод анализа 
иерархий, методы Электра. Даны методы принятия решений в условиях конкуренции, основанные на бескоалиционных и коалиционных играх. Для всех 
моделей рассмотрены примеры их практического применения, в том числе, 
связанные с металлургическими отраслями. По разделам предусмотрены контрольные задания студентам; в приложении даны примерные темы курсовых 
работ и вопросы для экзамена. 

Предназначено для студентов, обучающихся в магистратуре по направлениям подготовки 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль 
«Системы автоматизированного проектирования и информационной поддержки изделий», 27.04.04 «Управление в технических системах», профиль «Информационная поддержка процессов жизненного цикла систем управления», 
исследователей моделей принятия решений при планировании производства, 
специалистов по управлению, аспирантов соответствующих специальностей.
УДК 658.5

 А.Е. Петров, 2018

ISBN 978-5-906953-14-8
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОглАвлЕниЕ

Предисловие ..............................................................................................4
1. Принятие решений и математические модели ..............................5
1.1. Принятие решения ....................................................................5
1.2. Математические модели ...........................................................7
1.3. Процесс принятия решения .....................................................8
1.4. Условия применения математических моделей ...................12
2. Принятие решений в условиях определенности .........................14
2.1. Расчет межотраслевого баланса ............................................14
2.2. Математические модели оптимизации  
принятия решения..........................................................................14
2.3. Симплекс-метод и двойственная задача линейного 
программирования .........................................................................18
3. Принятие решений в условиях неопределенности .....................22
3.1. Критерии принятия решений в условиях  
неопределенности ..........................................................................23
3.1.1. Критерий Вальда ...........................................................25
3.1.2. Критерий Сэвиджа ........................................................27
3.1.3. Критерий Лапласа..........................................................28
3.1.4. Критерий Гурвица .........................................................29
3.2. Применение критериев принятия решений  
при неопределенности ...................................................................30
3.3. Принятие решения при многократном выборе ....................36
4. Принятие решений в условиях многих критериев .....................38
4.1. Особенности выбора критериев ............................................38
4.2. Метод анализа иерархий ........................................................42
4.3. Методы «Электра» ..................................................................47
4.4. Применение метода «Электра-2» ..........................................50
5. Модели принятия решений в условиях конкуренции ................58
5.1. Бескоалиционные игры ..........................................................59
5.2. Коалиционные игры ...............................................................69
5.2.1. Метод вектора Шепли для оптимального 
распределения выигрыша .......................................................72
Список рекомендуемой литературы ......................................................76
Приложение. Фонд оценочных средств для промежуточной 
аттестации ................................................................................................78

Предисловие

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре автоматизированного проектирования и дизайна (АПД) института ИТАСУ 
НИТУ «МИСиС». 

Изложены методологические, теоретические основы математических моделей принятия решений и примеры их практического применения. В гл. 2 рассмотрены методы принятия решений в условиях 
определенности, включая методы оптимизации на основе балансового планирования и линейного программирования. 

В гл. 3 представлены модели принятия решений в условиях неопределенности. Эти математические модели основаны на критериях 
Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, которые оценивают возможные 
решения с разной степенью пессимизма и оптимизма. Это необходимо, когда состояния самой системы и окружающей среды меняются быстро, их можно оценить только с определенной вероятностью, 
а прошлый опыт может оказаться неприменим.
В гл. 4 рассмотрены многокритериальные модели принятия решений с анализом различных критериев. Представлен метод анализа 
иерархий, который состоит в декомпозиции проблемы на простые составляющие и обработке суждений ЛПР по парным сравнениям. Рассмотрены методы «Электра», использующие индексы согласия и несогласия. 

В гл. 5 представлены модели и методы принятия решений в условиях конкуренции, основанные на бескоалиционных и коалиционных 
играх. Для принятия решений с помощью коалиционных игр рассмотрен метод вектора Шепли, основанный на аксиомах справедливости 
для оптимального распределения выигрыша. Для всех рассмотренных математических моделей даны расчеты примеров их возможного 
практического применения.
В приложении приведен список экзаменационных вопросов и примерные темы курсовых работ по дисциплине.

1. ПринятиЕ рЕшЕний 
и мАтЕмАтичЕсКиЕ мОДЕли

Целью освоения дисциплины «Математические модели принятия 

решений» является изучение студентами магистратуры основ современного состояния проблем математического моделирования и основных методов принятия решений средствами математического моделирования, формирование общих принципов разработки и анализа 
математических моделей принятия решений, связанных с металлургическими и горнодобывающими отраслями.

1.1. Принятие решения 

Решение как понятие связано с деятельностью человека, который стоит перед выбором одного из путей среди многих. Природа 
не принимает решений, она развивается по своим законам. Человек 
не на все может повлиять, смена времен года, например, от него пока 
не зависит. Вместе с тем человек выбирает и часто принимает решения в личной и деловой жизни, от которых зависят дальнейшие события. Принятие решения связано с желанием что-то изменить или 
ничего не менять. Считается, что термин «теория принятия решений» 
начал использовать Э.Л. Леманн в 1950 г. 

Принятие решения также связано с понятием времени, поскольку 

есть состояние в данный момент, а произвести определенные действия надо в следующие моменты, причем выбрать один из альтернативных путей среди многих. Отсутствие решения может привести 
к плохим результатам, как случилось с ослом, который не мог выбрать одну из двух одинаковых куч сена и умер от голода. 

Принятие решения в психологии (согласно Википедии) рассматривается как когнитивный процесс, результатом которого является 
выбор мнения или курса действий среди нескольких альтернативных 
возможностей. В результате процесса принятия решения производится окончательный выбор, который может побуждать или не побуждать действие. 

Принятие решения есть процесс определения возможных вариантов (альтернатив) и выбора среди них такого, который соответствует ценностям и предпочтениям лица, принимающего решение (ЛПР). 
Предполагается неявно, что выбор одного варианта отвергает все 
остальные варианты, хотя в реальности это может быть и не так.

Процедура принятия решения имеет следующий вид:
• Формулировка проблемы, требующей решения.
• Составление перечня вариантов действий. Оценка полноты 

списка вариантов.
• Создание критерия оценки вариантов (измеримой величины 

для сравнения).
• Возможно применение нескольких критериев. 
• Оценка достоинств и недостатков (риска) каждого варианта.
• Обсуждение с экспертами возможных рисков и выгод вариантов. 
• Предложение варианта решения 
• Принятие решения с учетом возможных рисков. 
Лицо, принимающее решение, берет на себя ответственность за 

возможные негативные последствия. 

Сначала надо понять необходимость принятия решения, оценить 

условия. Есть ли все необходимые данные для принятия решения? 
Каких данных не хватает? Какие данные можно получить в процессе принятия решения и его исполнения для корректировки действий 
и возможного перехода к другому варианту действий? Какие данные 
нельзя получить, и они создадут условия неопределенности для принятия решения? Часто используется свойство эргодичности систем, 
которое состоит в предположении, что каждое состояние в процессе эволюции с определенной вероятностью проходит вблизи любого 
другого состояния системы. Это позволяет на основе прошлых и текущих данных делать оценки будущих состояний, данных о которых 
у нас нет. В реальности это далеко не всегда так. 

От этого зависит выбор методов и моделей принятия решения. Интуиция, опыт и образование позволяют ЛПР во многих случаях принимать правильные решения. Экономические и технические системы 
становятся все сложнее, динамика изменений возрастает, причем темпы изменений растут. Это делает процесс принятия решений одним 
человеком (или даже группой людей) все более трудной и рискованной процедурой. Трудно учесть все факторы и обстоятельства. Вместе с тем растут возможности вычислительной техники и информационных технологий. 

Чем больше элементов в системе, связей между элементами, связей между системой и окружающей средой, тем выше необходимость 
применения математических моделей принятия решений, основанных на информационных технологиях. 

1.2. математические модели

Модель (от лат. modulus – мера, аналог, образец) согласно Википедии – это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе; представление некоторого реального процесса, устройства или концепции. 

По определению Р. Шеннона: «Модель – это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности».
Задача модели состоит в том, чтобы представить реальную систему в упрощенной форме, т.е. рассмотреть некоторые аспекты реальности. Возможны различные формы, например математическая, физическая, символическая, графическая или дескриптивная. При этом 
надо сохранить необходимые свойства системы и пренебречь теми, 
которые не окажут существенного влияния на принятие решения. Тогда можно на модели провести опыты по изменению системы, выбору 
разных решений по ее развитию, оценить возможные последствия. 
Это позволяет не подвергать риску реальную систему. 

Модель позволяет упростить реальную ситуацию, чтобы анализировать последствия принимаемых решений в различных ситуациях по опытам на модели. Если проводить такие опыты в реальности, 
то можно повредить или даже разрушить предприятие, организацию.
Математическая модель есть математическое представление реальности, когда описывают объект исследования и его поведение 
в виде совокупности взаимосвязанных математических и логических 
выражений, отображающих реальные процессы и явления. Выделяют 
аналитические и численные модели. 

Решения аналитических моделей получают в виде функциональных зависимостей. Это обеспечивает анализ объекта исследования 
или процесса в общем виде как результат расчета откликов на приложенные воздействия. Однако во многих практически важных случаях 
найти такие зависимости бывает трудно или невозможно. 

Численные модели позволяют найти решения в виде дискретного 

ряда чисел или таблицы (матрицы) для конкретных объектов или процессов с помощью ЭВМ. Для этого разработаны программные комплексы – пакеты прикладных программ для расчетов на компьютере. 
Для решения сложных задач большой размерности такие модели необходимы, но они не дают наглядных взаимосвязей между параме

трами, что затрудняет анализ результатов. Программные комплексы 
делают для конкретной предметной области (процесса) или общие – 
для какой-либо области математики (например, расчет задач линейного программирования или дифференциальных уравнений).
Среди математических моделей для принятия управленческих решений и их компьютерных реализаций выделяют два класса: имитационные и нормативные.
Имитационные модели описывают поведение системы (организации, установки, технологического процесса и т.д.) при заданном 
управлении и в определенных условиях внешней среды. Описание 
процессов и структуры системы позволяет определить набор альтернатив для принятия решения. Эти решения могут приниматься относительно всех основных видов управления объектом. Например, 
А.М. Новиков (2017) для организационных систем выделяет управление составом, управление структурой, мотивационное управление, 
информационное управление, институциональное управление. Для 
производственных и технических систем, кроме того, имеется управление процессом производства, поставками, дистрибуцией, управление финансами. Имитационная модель создает список альтернатив, 
множество возможных вариантов для принятия решений. 

Нормативные модели позволяют осуществить выбор наилучшей 

альтернативы среди множества возможных вариантов для принятия решений, которые можно получить при анализе имитационной  
модели.
Таким образом, имитационные модели используют для определения состава системы и возможных альтернатив, а нормативные – для 
оценки этих альтернатив и выбора варианта действий, т.е. принятия 
решения. Если необходимы уточнения и корректировки по мере исполнения решений, то создается итерационный процесс, который 
позволяет на каждом шаге уменьшать число альтернатив, уточняя 
последствия их реализации. 

1.3. Процесс принятия решения

Обзор методов системного анализа для построения процесса принятия решения дан в книге «Методология» [А.М. Новиков, 2007, 
с. 256]. Рассмотренные в этой работе подходы отечественных и зарубежных ученых (Е.П. Голубкова, С.Л. Оптнера, Н.И. Федоренко, 

С. Янга, Ю.И. Черняка) позволяют описать процесс принятия решения с применением математической модели, который состоит из следующих действий:
1. Системный (ситуационный) анализ ситуации. 
2. Определение состава элементов и структуры системы. 
3. Анализ и выявление проблем в системе.
4. Формулировка задачи и постановка целей.
5. Построение математической модели в виде уравнений, программ или сценариев.
6. Поиск необходимой информации. Формирование критериев 

оценки решений. 

7. Нахождение и выбор максимального количества альтернатив, 

решений. 

8. Оценка альтернатив, принятие решения, выбор наилучшей альтернативы. 

9. Согласование и утверждение решения, оценка затрат.
10. Анализ чувствительности решения к изменению условий. 
11. Запуск процесса решения, управление процессом реализации.
12. Оценка реализации решения и последствий. 
Рассмотрим основные действия для принятия решения и его реализации.
1. Системный анализ ситуации. Возможно, текущая ситуация 

удовлетворительна и нет необходимости принятия новых управленческих решений. Или возникла проблемная ситуация, которая требует 
решения. В чем может состоять проблема? Например, поставленные 
цели не достигнуты; возникли новые цели в результате изменений в 
системе или во внешней среде. Надо изменить цели или пути их достижения. 

2. Выявление состава элементов и структуры системы дает основу создания модели для принятия решения, позволяет определить 
те места, на которые можно оказать воздействие. 

3. Анализ и выявление проблемы, дефектов в системе. Что препятствует достижению целей, что можно изменить в результате принятия 
решения? Какие дефекты в системе надо изменить, какие средства 
для этого есть, чего не хватает?
4. Цели и задачи. Проведенный анализ позволяет уточнить старые, 

или сформулировать новые цели. Например, можно улучшить параметры достижения цели, ускорить достижение цели продумать, какие 

надо создать средства для достижения новых целей, что применить 
для уменьшения затрат, как иначе связать компоненты в структуре 
принятия и исполнения решений, как повысить качество продукции, 
и т.д.
5. Математическая модель. В сложной системе опыта и знаний 

ЛПР может не хватить, тогда для принятия решения необходимо применение вычислительной техники и информационных технологий. 
Для этого надо создать математическую модель в виде уравнений, 
программ или сценариев в зависимости от решаемой задачи. Модель 
дает понятийную основу для структуры базы данных, которая применяется для создания рекомендаций по вариантам решения. Для этого 
надо формализовать задачу, т.е. представить реальную систему математическими или логическими выражениями, создать или выбрать 
алгоритмы расчета показателей (для имитационных моделей) или выбора альтернативы (для нормативных моделей). 

6. Информация и критерии. Для поиска решения необходимо собрать информацию о состоянии организации и о внешней среде, 
создать базу данных на основе модели, обеспечить накопление, поддержание, пополнение данных. Формирование критериев оценки 
решений связано с определением измеримых величин, которые позволят оценить и контролировать решение. Это определяет также 
требования к информации, необходимой и достаточной для принятия 
решения. 

7. Нахождение альтернатив. Желательно выявить все возможные 

допустимые альтернативы, соответствующие существующим ограничениям. Это не всегда удается, например из-за дефицита времени 
для принятия решений или недостатка знаний у менеджеров. Порой 
менеджеры ищут не наилучшее решение, а наиболее простое удовлетворительное решение проблемы по принципу «лучшее – враг хорошего». Большой выбор вариантов может дать выгоду, однако время 
и ресурсы на поиск решения имеют свою цену. Компьютерные модели могут ускорить выбор лучшего решения, но поиск самих альтернатив не всегда можно поручить ЭВМ. 

8. Оценка альтернатив, принятие решения. Иногда опыт подсказывает управленцу, что подобная проблема возникала в прошлом и уже есть способы ее решения. Если материальные и временные затраты на поиск нового решения превышают ожидаемые 
выгоды, то следует применять типовое решение. Если известны ре

шения по сходным ситуациям, то можно рекомендовать принятие решения, используя аналогии на основе алгоритмов и логики решений, 
которые принимались ранее. Если готовых решений нет, то надо создавать новое решение путем оценки найденных альтернатив. 

Наличие многих ограничений по выбору альтернатив приводит 

к необходимости решения многокритериальных задач. При оценке альтернатив учитывают также наличие или отсутствие конфликта, сколько 
(один или много) критериев и ЛПР участвуют в управлении, степень 
неопределенности и различные риски при реализации принятого решения. Это повышает вероятность выбора наилучшего решения.
9. Согласование и утверждение решения, оценка затрат. Лицо, 

единолично принимающее решение, несет за него ответственность. 
Иначе решение является результатом коллегиального экспертного обсуждения и утверждения (например, собранием акционеров). 
При создании нового решения надо учитывать ограничения в управляемой системе по материальным, энергетическим, финансовым, временным, кадровым ресурсам. Кроме ресурсных ограничений, также 
учитывают нормативно-правовые нормы, этику и экологию, надежность и опыт применения новых видов техники и технологий, уровень конкуренции и оценку перспектив. Признание решения управляющим органом является важным фактором его успешной реализации. 

10. Анализ чувствительности решения к изменению условий. Принятое решение надо проверить на его устойчивость по отношению 
к отклонениям от ожидаемых условий. Например, возможно изменение налогов, инфляции, курса валюты, стоимости энергетических 
и материальных ресурсов, изменение спроса на продукцию, появление конкурентов, и т.д.
11. Запуск процесса решения, управление процессом реализации. 
Решение реализуют работники, но их также надо убедить в правильности и неизбежности нового решения. Коллектив предприятия следует сделать союзником реализации решения. Для точного исполнения принятого решения надо применять разработанные критерии 
оценки с применением измеримых величин, что позволит контролировать ход реализации решения, определить необходимость изменений и уточнений решения. 

12. Оценка реализации решения и последствий. Оценка реальных 

результатов принятых решений на основе измеримых величин позволяет руководству оценить реальную практическую эффективность