Высшая математика. Ряды Фурье. Преобразование Фурье

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ  

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ 

УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

№ 2975 

Кафедра математики

Г.М. Сёмина
И.В. Данченков

Высшая математика

Ряды Фурье. Преобразование Фурье

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

Москва 2018

УДК 517.518.45 
 
С30 

Р е ц е н з е н т  

д-р физ.-мат. наук, проф. А.Л. Петелин 

Сёмина Г.М. 

С30  
Высшая 
математика 
: 
ряды 
Фурье. 
Преобразование 

Фурье : практикум / Г.М. Сёмина, И.В. Данченков. – М. : Изд. 
Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 47 с. 

ISBN 978-5-906846-84-6 

Практикум содержит примеры решения индивидуальных заданий, а так
же сами задания по разделу «Ряды Фурье. Преобразование Фурье». В практикуме приведено подробное решение типового варианта и даны варианты 
заданий. Число вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому 
студенту. 

Предназначен для студентов всех направлений подготовки. 

УДК 517.518.45 

 
 
ISBN 978-5-906846-84-6 

 Г.М. Сёмина, 

И.В. Данченков, 2018 

 НИТУ «МИСиС», 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

Занятие 1. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 ............... 4 

1.1. Решение типовых задач ................................................................ 4 
1.2. Варианты для самостоятельной работы ...................................... 8 

Занятие 2. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l .............. 18 

2.1. Решение типовых задач .............................................................. 18 
2.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 21 

Занятие 3. Представление функций интегралом Фурье ...................... 32 

3.1. Решение типовых задач .............................................................. 32 
3.2. Варианты для самостоятельной работы .................................... 35 
 

Занятие 1 

Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2 

Для изучения этой темы следует проработать теоретический ма
териал по рекомендуемой литературе и разобрать приведенные в ней 
примеры. 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – 

М.: Наука, 1972. – Т. 2. – С. 308–341. 

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического 

анализа. – М.: Наука, 1971. – С. 696–714. 

3. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И. Круч
ковича. – М.: Высш. шк., 1973. – С. 491–495. 

Вопросы для самоконтроля 

1. Дать определение тригонометрического ряда. 
2. Написать формулы коэффициентов Фурье для периодической 

функции f(x) с периодом 2. 

3. Дать определение кусочно-монотонной функции. 
4. Сформулировать необходимые и достаточные условия разло
жения функции f(x) в ряд Фурье. 

5. Написать формулу представления периодической функции f(x) 

с периодом 2 в ряд Фурье. 

6. Написать формулы коэффициентов Фурье для четных и нечет
ных функций. 

1.1. Решение типовых задач 

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную 

уравнениями 

 
 

2
1

0
x
f x


 



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

Решение. Построим график этой функции: 

 

Очевидно, что функция f(x) на отрезке [–; ] удовлетворяет усло
виям Дирихле, т.е. она ограничена и кусочно-монотонна. Определяем коэффициенты ряда Фурье. Находим 

 
 



0
0
2

0

0

1
1
1
1
2
1
0
2 2

x
a
f x dx
x
dx
dx
x





















 




 = 

 





2
1
1 ;

      

 

 
 



0

0

1
1
cos
2
1 cos
0cos
n
a
f x
nxdx
x
nxdx
nxdx




















 




 

 

0

2

1
1
1
2
cos
sin
sin
x
nx
nx
nx
n
n
n












 

 






2
2
2
2

1
2
2
2
2
cos
1
cos
1
1

n
n
n

n
n
n
n





 

 
 









 

 

2

0

4
n


 




при
при  
2 ,

2
1,

n
k

n
k





  

 
1, 2, 3, ....,
.
k 
  

 
 



0

0

1
1
sin
2
1 sin
0sin
nb
f x
nxdx
x
nxdx
nxdx


























 

 

  
 
 

 

 

                          

y 

x

0 

 
  
2  
3  
2

 

0

2

1
1
1
1
1
1
sin
cos
cos
cos
cos
x
nx
nx
nx
n
n
n
n
n
n
n
n












 
 











 

 





1 при
2 ,
1 1
1
1
1
2
при
2
1,

n
n
n
k
n

n
n
n
n
k
n














 


 
 








 
1, 2, 3, ....,
.
k 
  

Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид 

 
 






2

1
1

1
1
1
4
sin 2
cos 2
1
2
2
2
1
k
k

f x
kx
k
x

k







 
 









 

 


2
sin 2
1
.
2
1
k
x
k
 



 

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную гра
фически на отрезке [–; ]. 

Решение. Из графика очевидно, что функция удовлетворяет усло
виям Дирихле. Составим аналитическое выражение функции на отрезке [–; ]. 

На отрезке [–; 0] функция f(x) = 0. 

 

Составим уравнение функции на отрезке (0; ]: 

 

 
0
4

0
0
4

f x
x




 







 


 





   

 
4

4

f x
x







   
 
.
4

x
f x
 

 

Составим уравнение этого отрезка: 

y

x

4


 

  
  
0 

Таким образом: 

 
 

0
при
0,

при 0
.
4

x

f x
x
x

  


 
 

 


 

Определим коэффициенты ряда Фурье. Находим 

 
 

2

0

0

1
1
1
;
4
4
2
8

x
x
a
f x dx
dx
x










 




 
 




 



 

 
 

0

1
1
cos
cos
4

n

x
a
f x
nxdx
nxdx






 







 

 
2
2
2

0

1
1
1 cos
1
cos
sin
sin
4
4
4
4
4

x
nx
nx
nx
nx
n
n
n
n
n
























 

 



2

2

0
при
2 ,
1
1

1
при
2
1,
4
2

n
n
k

n
k
n
n







 






 
1, 2, 3, ....,
.
k 
  

 
 

0

1
1
sin
sin
4

n

x
b
f x
nxdx
nxdx






 







 

 
2

0

1
1
1
sin
cos
cos
.
4
4
4
4

x
nx
nx
nx
n
n
n
n








 


 

 

Следовательно, разложение функции f(x) в ряд Фурье имеет вид 

 
 






2

1
1

1
1
1
sin 2
cos 2
1
16
4
2
4
2
1
k
k

f x
kx
k
x
k
k








 









 

 




1
sin 2
1
.
4 2
1
k
x
k



 

3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, заданную на 

отрезке [–; ] уравнением 
 
.
f x
x
 
 

Решение 

Функция 
 

x
f x
x
x


 
 



 при
при  0
,
0,

x
x


 

 

 т.е. четная. 

Построим график этой функции: 

 

Из графика очевидно, что функция удовлетворяет условиям Дирихле. 
Определим коэффициенты ряда Фурье. Находим 

 
 



2

0

0
0
0

2
2
2
;
2
x
a
f x dx
x dx








 
 


 


 

 


2

0
0
0

2
2
2
1
cos
cos
cos
sin
n

x
a
f x
nxdx
x
nxdx
nx
nx
n
n









 






 



 

  


2
2
2

2

0
2
1
1
2
cos
1
1
4

n
n

n
n
n
n






 
 
 


 











 при
при  
2 ,

2
1.

n
k

n
k





  

 
1, 2, 3, ....,
k 
 . 

 
0.
nb 
 

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид 

 
 






2

1

4
1
cos 2
1
.
2
2
1
k

f x
k
x

k






 





 

1.2. Варианты для самостоятельной работы 

1. В упражнениях под № 1 требуется разложить в ряд Фурье 

функции с периодом 2, заданные аналитически на отрезке [–; ]. 

2. В упражнениях под № 2 требуется разложить в ряд Фурье 

функции с периодом 2, заданные графически на отрезке [–; ]. 

3. В упражнениях под № 3 требуется разложить в ряд Фурье 

функции с периодом 2, заданные аналитически или графически на 
отрезке [–; ], и являющиеся четными или нечетными. 

y 

x

0 
  
2  
3  
 
2
   
3
   

№ 1 

1. 
 

0
1
0

f x



 



 
при
при
при

 

0,

0
,
.

x
x
a

a
x

 






 

 

 

3. 
 

2.
f
x
x

 

№ 2 

1. 
 
f x
x



  


 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

 

3. 
 

3.
f
x
x

 

№ 3 

1. 
 
0

x
f x
 

 



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

 

3. 
 
.
f x
x

 

2. 

2. 

2. 

№ 4 

1. 
 
0
x
f x

 



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

 

3. 
 
4

4

f x




  



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

№ 5 

1. 
 

0
f x
x


 



 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

 

3. 
 
ch .
f x
x

 

№ 6 

1. 
 

2
0
f x




 

 


 
при
при
при

 

2,

2
2,

2
.

x

x
x

 
 



 



 

 

 

3. 
 
sh .
f x
x

 

2. 

2. 

2. 

№ 7 

1. 
 
.
x
f x
e

 

 

3. 
 

x
f x
x



  


 при
при  
0,

0
.

x
x

 



   

№ 8 

1. 
 
.
4
2
x
f x



 

 

3. 
 
cos
f x
ax

 (a – не целое число). 

№ 9 

1. 
 
.
2
2
x
f x



 

 

3. 
 
sin
f x
ax

 (a – не целое число).  

2. 

2. 

2.