Методы математического моделирования

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ 
 
Кафедра полупроводниковой электроники  
и физики полупроводников

C.Ю. Юрчук

Методы математического  
моделирования

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2938

УДК  621.3 
Ю83

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, проф. А.Н. Ковалев

Юрчук С.Ю.
Ю83   
Методы математического моделирования: учеб. пособие / 
С.Ю. Юрчук. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 96 с.
ISBN 978-5-906953-43-8

Изложены основные методы численного моделирования полупроводниковых структур микро- и наноэлектроники, основанные на решении фундаментальной системы уравнений: Пуассона, непрерывности и переноса. Рассмотрены основные приближения базовой системы уравнений и границы их 
применимости. Представлены методы дискретизации фундаментальной системы уравнений (конечных разностей и конечных элементов) для последующего решения и сами методики решения. Отдельно рассмотрены подходы 
к моделированию полупроводниковых наноструктур с учетом влияния квантовых эффектов. Описаны методы численного решения стационарного и нестационарного уравнений Шредингера и метод совместного решения уравнений 
Шредингера и Пуассона для полупроводниковых гетероструктур.
Предназначено для студентов, обучающихся в магистратуре по направлению подготовки 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника».

УДК 621.3

 С.Ю. Юрчук, 2018
ISBN 978-5-906953-43-8
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОглавлеНИе

введение ...................................................................................................... 4
1. Физико-топологическое моделирование полупроводниковых 
структур ....................................................................................................... 5
1.1. Базовые уравнения физических процессов  
в полупроводниковой структуре ...............................................................5
1.2. Основные приближения фундаментальной системы уравнений. 
границы применимости ...........................................................................11
1.3. Особенности приближенных структурно-физических моделей .....22
1.4. граничные условия ............................................................................26
1.5. Модели электрофизических параметров .........................................29
1.6. Основные подходы к численному моделированию .......................32
2. Методы дискретизации дифференциальных уравнений ................... 35
2.1. Метод конечных разностей ...............................................................35
2.2. Конечно-разностные сетки ...............................................................35
2.3. Сеточные функции, конечные разности  
и шаблоны ..................................................................................................36
2.3. Метод конечных элементов...............................................................41
3. Методики решения фундаментальной системы уравнений .............. 51
3.1. Метод прогонки ..................................................................................51
3.2. Численные методы решения дифференциальных уравнений ......52
3.3. Двухмерное моделирование .............................................................57
3.4. Решение уравнения непрерывности ................................................61
3.5. Метод конечных элементов на примере уравнения Пуассона .....63
4. Моделирование полупроводниковых наноструктур .......................... 67
4.1. Уравнение Шредингера .....................................................................67
4.2. Основные характеристики двухмерных полупроводниковых 
структур ......................................................................................................69
4.3. Прямоугольная потенциальная яма  
конечной глубины .....................................................................................74
4.4. Параболическая и треугольная квантовые ямы..............................77
4.5. Квантовые проволоки ........................................................................79
4.6. Квантовые точки ................................................................................81
4.7. Численное решение уравнения Шредингера ..................................83
4.8. Методы численного решения нестационарного уравнения 
Шредингера ................................................................................................88
4.9. Совместное решение уравнения Пуассона и уравнения 
Шредингера ................................................................................................92
Библиографический список  ..................................................................95

ВВеДение

в настоящее время математическое моделирование играет определяющую роль в проектировании приборов и технологических процессов полупроводниковой электроники. Чисто экспериментальный 
подход к оптимизации конструкции элементов интегральных схем 
(ИС) в технологии из производства, представляющий собой по сути 
дела метод проб и ошибок, стал совершенно неприемлемым.
Математическое моделирование элементов и технологических 
процессов изготовления сверх- и ультрабольших ИС (СБИС и УБИС) 
становится той областью, где достижения фундаметальных наук – 
физики полупроводников и физического материаловедения, радиационной физики и физики плазмы, химии и физической химии, фундаментальной и прикладной математики – дают непосредственный 
экономический эффект.
За последние годы был разработан ряд моделей, описывающих основные физические явления, лежащие в основе функционирования 
ИС. Кроме того, с созданием программ ЭвМ, позволяющих моделировать физико-топологические процессы в ИС, появилась возможность оценивать работу устройств полупроводниковой электроники 
еще на этапе проектирования. в последнее время стали доступными 
и программы, предназначенные непосредственно для разработки перспективных устройств наноэлектроники.
Настоящее учебное пособие предназначено для освоения студентами современных моделей полупроводниковых приборов и подходов 
к математическому моделированию устройств наноэлектроники.
в пособии представлена информация о широко используемых 
в настоящее время физических моделях устройств полупроводниковой электроники, их возможностях и ограничениях. 
Представленный материал позволит студентам более глубоко усвоить лекционный материал при подготовке к практическим занятиям и 
окажет помощь при выполнении домашних заданий и курсовых работ.

1. ФизиКо-топологичеСКое 
моДелироВание полУпроВоДниКоВых 
СтрУКтУр

Задачами физико-топологического моделирования является расчет 
электрических характеристик полупроводниковых приборов и определение их статических и динамических параметров, характеризующих заданный прибор в пределах использованной схемотехнической 
модели. Наличие большого числа разнообразных полупроводниковых 
приборов, использующихся как в дискретном виде, так и в составе 
больших ИС с различными режимами их работы, требует большого 
числа подходов к их моделированию. в настоящее время при проектировании полупроводниковых приборов и ИС используется большое 
количество математических моделей биполярных и полевых структур 
на основе многообразных полупроводниковых материалов. Однако 
все эти модели основываются на общей математической модели и являются ее частными случаями. Так как общая модель очень сложна, 
часто прибегают к определенным упрощениям для конкретного типа 
приборов, облегчающих ее реализацию. 

1.1. Базовые уравнения физических процессов 
в полупроводниковой структуре

Уравнение пуассона. Уравнение устанавливает зависимость распределения потенциала и напряженности электрического поля от распределения заряда, образованного подвижными носителями и ионизированными примесями. в общем случае только часть атомов, 
составляющих полупроводниковую структуру, ионизируется, а другая 
часть остается нейтральной. в полупроводнике всегда имеются свободные носители заряда, отрицательные и положительные ионы. Подвижные носители заряда образуют электрический ток, неподвижные ионы 
формируют электрическое поле. Нейтральные атомы также могут влиять на электрофизические параметры полупроводниковой структуры.
Плотность заряда описывается выражением

 
ρ =
−
+
−
(
)
+
−
q p
n
N
N
D
A , 
(1.1)

где q – заряд электрона, Кл; р – концентрация дырок, см–3; п – концентрация электронов, см–3; ND

+  – концентрация ионизированных доноров, см–3; N A

−  – концентрация ионизированных акцепторов, см–3.

в соответствии с фундаментальными уравнениями Максвелла при 
отсутствии магнитного поля

 
div
div
div
grad
D
E
=
(
) =
(
) =
ρ
εε
ρ
εε
ϕ
ρ
,
,
0
0
, 
(1.2)

где D – электрическая индукция, Кл/см2; Е – напряженность электрического поля, в/см; φ – электрический потенциал, в; ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума (8,85·10–14 Ф/см); ε – диэлектрическая 
проницаемость материала.
При подстановке в уравнение (1.2) выражения для плотности заряда (1.1) и приняв диэлектрическую проницаемость ε постоянной 
величиной, получим уравнение Пуассона для полупроводниковых 
областей:

 
, 
(1.3)

где N
N
N
p
D
A
=
−
+
− .

Для диэлектрических областей приборных структур без встроенного заряда справедливо уравнение лапласа:

 
∇
=
2
0
φ
. 
(1.4)

Уравнение Пуассона является фундаментальным уравнением общей физико-математической модели и не зависит от частных модельных представлений.
Уравнение непрерывности. Уравнение описывает условие сохранения заряда в локальной области полупроводниковой структуры.
Рассмотрим локальный объем полупроводниковой структуры V, 
ограниченный замкнутой поверхностью S, с концентрацией подвижных носителей заряда электронов п и дырок р. При условии, что 
в этом объеме происходят процессы генерации и рекомбинации со 
скоростями G(n, p) и R(n, p) и протекают токи электронов и дырок 
с плотностями Jn и Jp, число электронов, покидающих за единицу 
времени некоторый объем Vi, находящийся в объеме V и ограниченный поверхностью Si, будет равно

 
1

1
q
J
dS
n
S
⋅
(
)
∫
n

, 
(1.5)

где n – единичный вектор нормали к поверхности Si.

Число электронов, образующихся за счет генерации и исчезающих 
за счет рекомбинации в объеме Vi в единицу времени, составляет

 
G
R dV

Vi
−
(
)
∫
. 
(1.6)

Совокупное изменение количества электронов в объеме Vi в единицу времени t описывается выражением

 
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
t
ndV
n
t dV

V
V
i
i

. 
(1.7)

С учетом представленных физических процессов, проходящих в 
полупроводниковой структуре, и исходя из закона сохранения заряда 
уравнение баланса числа электронов представляется в виде

 
∂
∂
=
⋅
(
)
+
−
(
)
∫
∫
∫

n
t dV
q
J
dS
G
R dV

V
n
V
S
i
i
i

1
n

. 
(1.8)

аналогично уравнение равновесия общего числа дырок можно записать в виде

 
∂
∂
=
⋅
(
)
+
−
(
)
∫
∫
∫

p
t dV
q
J
dS
G
R dV

V
p
V
S
i
i
i

1
n

. 
(1.9)

в соответствии с теоремой Остроградского – гаусса можно преобразовать поверхностные интегралы в объемные:

 
divJ
q G
R
q n

t dV
n
Vi
+
−
(
) −
∂
∂
=
∫
0, 
(1.10)

 
divJ
q G
R
q p

t dV
p
Vi
+
−
(
) +
∂
∂
=
∫
0 . 
(1.11)

С учетом того, что объем Vi выбран произвольно, то из выражений 
(1.10), (1.11) вытекают следующие уравнения:

 
∂
∂ −
=
−
(
)
n
t
q
J
G
R
n

1 div
, 
(1.12)

 
∂
∂ +
=
−
(
)
p
t
q
J
G
R
p

1 div
. 
(1.13)

Представленные уравнения являются уравнениями непрерывности 
для электронов и дырок, и являются неотъемлемой частью общей математической модели полупроводниковой структуры.
Кинетическое уравнение Больцмана (КУБ). Кинетические явления в полупроводниковых структурах, которые определяются движением носителей заряда при воздействии внешних и внутренних полей, температуры или градиента, описываются КУБ.
Носители заряда, испытывающие действие электромагнитных 
сил в электрическом поле, перемещаются в пространстве. Такое направленное движение образует электрический ток плотностью jn для 
электронов и jp для дырок. Эти токи называются токами проводимости (дрейфовые токи). Уравнение для плотностей тока электронов и 
дырок представляются в виде

 
J
qnv
J
qpv
n
n
p
p
= −
= −
,
, 
(1.14)

где vn, vp – скорости направленного движения электронов и дырок соответственно.
главной проблемой описания кинетических явлений переноса носителей заряда в полупроводнике является выявление связи средних 
скоростей носителей с концентрацией и напряженностью электрического поля. Это является одной из основных задач описания процессов переноса в полупроводниковой структуре. в качестве базовой 
«квазиклассической» модели переноса носителей заряда используется модель, для которой принимаются следующие допущения: 1) свободные носители заряда в полупроводниковой структуре рассматриваются как точечные частицы в фазовом пространстве координат и 
моментов. Квантовые эффекты учитываются косвенно в эффективной 
массе; 2) число подвижных носителей заряда в структуре достаточно велико, чтобы было правомочным использовать методы статистического анализа; 3) можно считать, что носители заряда в структуре 
практически не взаимодействуют, поэтому функцию распределения 
нескольких частиц можно записать как произведение отдельных 
функций распределения.
Для описания кинетических явлений в полупроводнике, обусловленных движением носителей заряда при наличии внутренних и 
внешних полей, градиента температур, применяется кинетическое 
уравнение Больцмана. Так как полное число состояний в полупроводнике является постоянной величиной, полная производная по времени от функции распределения частиц по состояниям f(x, k, t) (в про

странстве семи измерений: координат x (x, y, z), моментов волнового 
вектора k (kx, ky, kz) и времени t) равна нулю: 

 
df
dt = 0. 
(1.15)

Понятие функции распределения f(х, k, t) вводится для описания 
кинетических явлений. Эта функция описывает вероятность нахождения частицы в заданной точке пространства, с определенным импульсом в определенный момент времени. Функция распределения 
включает полную информацию о системе частиц и дает возможность 
определить ее макроскопические характеристики. При этом функция 
распределения fn определяется как вероятность согласно формуле 
расчета концентраций n в полном объеме Vk.
Интегрирование функции распределения по всему импульсному 
пространству Vk позволяет определить концентрацию подвижных частиц, например, электронов с определенной проекцией спина:

 
n x t
f
t d

Vk
,
(
) =
(
)
(
)
∫

1

2
3
π
x k
k
, ,
,

где dk = dkx dky dkz.
Продифференцировав f(x, k, t) по времени с учетом того, что 
df/dt = 0 и x, k являются функциями времени, получим

 

∂

∂
+
+
=
f

t
f
d

dt
f
d

dt

n p
n p
n p
n p
n p
,
,
,
,
,
grad
grad
k
x
k
x
0 . 
(1.16)

Из уравнения (1.16) видно, что изменение функций распределения 
дырок и электронов fn,p во времени (далее будет рассматриваться отдельно fn и fp) в каждой точке фазового пространства (x, k) вызвано 
движением частиц в пространстве координат и моментов в результате 
действия внешних Fe и внутренних Fi сил. 
Изменение во времени функции распределения представляется 
в виде суммы двух членов – полевого и столкновений:

 

∂
∂
= ∂

∂

+ ∂

∂

f
t

f
t

f
t

n
n
n

пол
ст

.

Для нахождения 
 используют статистические методы 
описания физических явлений.

Производная по времени ∂k/∂t определяется общим числом внешних и внутренних сил в полупроводнике Fп = Fе + Fi и описывается 
выражением

 
d
dt
Fn
k =  . 
(1.17)

в то же время внешние силы Fe являются совокупностью сил лоренца и кулоновских сил, а внутренние силы Fi  определяются столкновениями частиц. Переход частицы из одного состояния в другое 
происходит в результате столкновения, и для расчета этого перехода 
используют статистические методы описания физических явлений. 
Слагаемое, описывающее столкновения, с учетом (1.17) можно описать следующим образом:

 
−
=
+
+
+
gradk
i
eph
ed
er
ee
f F
S
S
S
S

, 
(1.18)

где Seph – интеграл столкновений носителей с решеткой (с фононами); 
Sed – интеграл столкновений носителей с дефектами решетки; Ser – 
член выражения, описывающий процессы рекомбинации, ударной ионизации; See – интеграл столкновений носителей между собой и т.п. 
Интеграл столкновений описывает рассеяние (изменение состояния) 
подвижных носителей при участии различных механизмов.
Производная dx/dt, описывает групповую скорость носителей заряда:

 
d
dt
v
x =
. 
(1.19)

Подставляя соотношения (1.17) – (1.19) в уравнение (1.16), получаем обобщенное КУБ:

 
∂
∂ +
∇
=
+
+
+
f
t
F
f
S
S
S
S
e
k
eph
ed
er
ee

. 
(1.20)

При наличии нескольких типов носителей кинетические уравнения необходимо записывать отдельно для каждого типа носителей. 
При взаимном рассеянии подвижных частиц или при превращении 
частиц различных типов в правые части этих уравнения (1.20) должны быть введены соответствующие интегралы. в результате кинетические уравнения для различных частиц получаются связанными и 
образуют систему уравнений.
Можно сказать, что КУБ является уравнением непрерывности 
в коор динатах пространства х (х, у, z) и импульса k (kх, kу, kz).

Общая система интегродифференциальных уравнений очень сложна для решения. Поэтому в большинстве случаев при решении практических задач описание физических явлений в полупроводниках 
с помощью функции распределения не всегда является необходимым. 
Поэтому чаще используют уравнения переноса, получаемые из кинетического уравнения путем интегрирования.
При решении общей модели вводятся упрощения, учитывающие 
явление релаксации. Нарушаемое полями равновесное распределение 
заряженных частиц восстанавливается в процессе столкновений. Это 
явление можно описать временем релаксации импульса τр(k), равным 
среднему времени существования неравновесного состояния после 
выключения полей, вызвавших это отклонение, а также среднее время релаксации энергии τЕ(Е), являющееся функцией локальной средней энергии носителей заряда.
Уравнения непрерывности, сохранения импульса и сохранения 
энергии выводятся из уравнения Больцмана.

1.2. основные приближения фундаментальной 
системы уравнений. границы применимости

Представленная в общем виде математическая модель достаточно 
сложна для практического применения при проектировании полупроводниковых структур. Поэтому требуется введение определенных упрощений для получения менее сложных и более экономичных 
моделей для определенных практических применений. При этом для 
полупроводниковых приборов разных типов и конструкций вводятся 
различные допущения и представления функции распределения, позволяющие упростить решение кинетического уравнения. Уравнения 
непрерывности и Пуассона при этом не изменяются.
При уменьшении линейных размеров полупроводниковых структур, а также снижении рабочих температур размеры неоднородностей 
электронно-дырочной плазмы становятся сравнимы с фундаментальными длинами, характеризующими физические свойства плазмы. 
К таким длинам относятся:
– дебройлевкая длина волны электронов (дырок)

 
λ
π 

D

T
mv
= 2 ℏ; 
(1.21)