Прикладная математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2727 

Кафедра автоматизированных систем управления

В.В. Куприянов 
 
 

Прикладная математика

 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2016 

УДК 519.7:004 
 
К92 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Е.Е. Карпович 

Куприянов В.В. 
К92  
Прикладная математика : учеб. пособие / В.В. Куприянов. – 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 111 с. 
ISBN 978-5-906846-20-4 

Рассмотрены две основные задачи линейной алгебры и методы их решения на основе общей теории алгебры матриц. Описаны переопределенные и 
неопределенные системы линейных алгебраических уравнений. Дана постановка основной задачи линейного программирования. Изложен симплексметод Данцига и проанализированы три его случая. Рассмотрены приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями. Приведены основы математической обработки измерений. 
Освещены вопросы интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования, аппроксимации функций. 
Для подготовки бакалавров техники и технологии по направлению 
09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». 

УДК 519.7:004 

 
ISBN 978-5-906846-20-4 
 В.В. Куприянов, 2016 
 НИТУ «МИСиС», 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ...................................................................................... 5 
1. Математические аспекты линейной алгебры 
и линейного программирования .......................................................... 7 
1.1. Алгебра матриц .......................................................................... 7 
1.2. Две основные задачи линейной алгебры ................................. 11 
1.3. Переопределенные и неопределенные системы ..................... 22 
1.4. Постановка основной задачи линейного 
программирования ............................................................................ 24 
1.5. Симплекс-метод Данцига .......................................................... 26 
1.6. Выбор допустимого базисного решения ................................. 33 
Контрольные вопросы ...................................................................... 34 
2. Численные и приближенные методы прикладной математики ... 37 
2.1. Решение трансцендентных уравнений .................................... 37 
2.2. Теорема об оценке погрешности корня через невязку ........... 39 
2.3. Метод итераций для уравнения f(x) = 0 ................................... 40 
2.4. Метод Ньютона .......................................................................... 44 
2.5. Оценка погрешности метода Ньютона .................................... 48 
2.6. Метод хорд ................................................................................. 49 
2.7. Метод Ньютона для решения систем нелинейных 
уравнений .......................................................................................... 50 
2.8. Формулы Виетта и метод Лобачевского 
для решения алгебраических уравнений ........................................ 52 
Формулы Виетта ........................................................................... 52 
Метод Лобачевского ..................................................................... 52 
Правило квадрирования ............................................................... 53 
2.9. Приближенные решения дифференциальных 
уравнений с начальными условиями .............................................. 55 
2.10. Метод степенных рядов .......................................................... 57 
2.11. Метод Эйлера ........................................................................... 58 
2.12. Метод Рунге–Кутты ................................................................. 62 
2.13. Приближенные методы решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений второго порядка 
с краевыми условиями ..................................................................... 64 
2.14. Приближенные аналитические методы ................................. 67 
2.15. Метод конечных разностей ..................................................... 70 
2.16. Методы Эйлера и Рунге–Кутты для системы 
дифференциальных уравнений ........................................................ 73 

2.17. Общая задача интерполяции................................................... 75 
2.18. Интерполяционный многочлен Лагранжа ............................. 77 
2.19. Интерполяционный многочлен Ньютона .............................. 81 
2.20. Метод наименьших квадратов ................................................ 82 
2.21. Численное дифференцирование ............................................. 88 
2.22. Численное интегрирование. Квадратурные формулы ......... 92 
2.23. Локальная формула трапеций и ее обобщение ..................... 94 
2.24. Метод Симпсона ...................................................................... 97 
2.25. Аппроксимация функций ........................................................ 100 
2.25.1. Многочлены Лежандра .................................................... 100 
2.25.2. Квадратурная формула Гаусса ........................................ 102 
Контрольные вопросы ...................................................................... 105 
Заключение ............................................................................................ 109 
Библиографический список ................................................................. 110 
 

Иногда нужно обойти весь мир,  
чтобы понять, что клад зарыт 
у твоего собственного дома. 

Конфуций 

Предисловие 

Учебное пособие включает в себя самый основной и важный материал из дисциплины «Прикладная математика», прочитанный автором студентам 2-го курса, обучавшихся по направлению 09.03.01 
«Информатика и вычислительная техника» на кафедре «Интеллектуальные системы управления» МГГУ и НИТУ «МИСиС». Сюда вошли численные и приближенные аналитические методы решения 
различных уравнений и их систем, аппроксимация функций, интерполяция, вычисление интегралов, численное дифференцирование. 
Достаточно внимания уделено в учебном пособии методам степенных рядов, Эйлера для решения задачи Коши; методам Рунге–
Кутты второго и четвертого порядков. Дана их сравнительная характеристика. Показано решение систем дифференциальных уравнений 
и уравнений высших порядков методами степенных рядов, Эйлера и 
Рунге–Кутты. Приведены решения трансцендентных и алгебраических уравнений методами Ньютона, Виетта и Лобачевского. 
Показана постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Описаны такие приближенные аналитические методы, как методы конечных разностей, Галёркина, коллокаций. Изложена постановка общей задачи интерполяции. Рассмотрены интерполяционные многочлены Лагранжа и 
Ньютона, точечный метод наименьших квадратов (МНК), интегральный МНК, интегральный МНК с обобщенными многочленами. Показаны частные случаи численного дифференцирования для первой 
производной. В рамках численного интегрирования приведены 
принцип построения квадратурных формул, локальная формула трапеций и дано ее обобщение, локальная формула Симпсона с ее 
обобщением, локальные и общие ошибки формул трапеций и Симпсона. Описана аппроксимация функций с помощью многочленов Лежандра, квадратурной формулы Гаусса. 
Наряду с классическими методами рассмотрен также такой вычислительный метод, как симплекс-метод Данцига. Показано, что 
математические методы анализа – это фундаментальная основа изучения линейной алгебры и линейного программирования. 

Материал учебного пособия строго дозирован и легко может быть 
реализован через лекционные и практические занятия со студентами – 
будущими бакалаврами техники и технологии по выбранному ими 
направлению подготовки в вузе. Изложение материала, за редкими 
исключениями, нерецептурное. По возможности, приведены выводы 
формул, ибо только в процессе вывода формул можно их полностью 
понять. А это залог успешного их применения на практике. 
Почти все подразделы пособия, имеющие лекционную направленность, носят автономный характер и, следовательно, их можно 
читать практически в любом порядке. В каждом разделе изложены 
основные теоретические сведения, приведены решения типовых 
примеров, а также задачи в виде контрольных вопросов для самостоятельного решения. Для более полного ознакомления с прикладной и вычислительной математикой рекомендована наиболее доступная учебная литература, включающая классические литературные 
источники. 
Данное учебное пособие по дисциплине «Прикладная математика» будет полезно студентам очно-заочного и вечернего обучения 
третьего и четвертого курсов при изучении таких дисциплин, как 
«Системный анализ и исследование операций», «Теория принятия 
решений», «Методы оптимизации», «Методы и средства проектирования интеллектуальных систем и технологий», а также при выполнении студентами итоговых квалификационных работ в рамках бакалавриата и при написании магистерских диссертаций по вышеназванному направлению подготовки. 
Во второй части планируемого к изданию учебного пособия по 
данной дисциплине будут рассмотрены особенности задач нелинейного программирования, сравнительная характеристика задач нелинейного программирования с задачами линейного программирования; аналитические методы решения задач поиска экстремума функций многих переменных на основе необходимых и достаточных условий; изложены численные методы нулевого и первого порядков 
решения задач безусловной минимизации, а также рассмотрено численное решение основных уравнений математической физики. 

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЛИНЕЙНОЙ 
АЛГЕБРЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 

1.1. Алгебра матриц 

Определение. Система m, умножения на «n» чисел, записанных в 
определенном порядке в виде прямоугольной таблицы, называется 
матрицей типа m  n. Матрица обозначается как 

 
А =   

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
. 

Другая запись матрицы 

 
А = , А = mn. 

Числа называются элементами матрицы. Мы занимаемся действительными матрицами, но есть и комплексные. В матрицах: i – 
номер строки, j – номер столбца. Например, a23 – элемент, в котором 
вторая строка и третий столбец. Число строк и столбцов в общем случае 
не равны. Но есть случай, когда m = n. Тогда матрица называется квадратной и она порядка n, а число элементов равно n2. Число строк либо 
число столбцов может равняться единице. Например, 1  n – здесь одна 
строка и n столбцов. Тогда имеем матрицу-строку 

 
,, … , . 

Строки и столбцы являются векторами. В нашем случае имеем nмерный вектор. Другими примерами являются: 

 
1 ∶ ⋯
– вектор-столбец; 

единичная матрица E 

 
E = 

1
0
0
…
0
0
1
0
…
0
0
0
1
…
0
…
…
…
…
…
0
0
0
…
1 . 

Нуль-матрицей является матрица, у которой все элементы нули. С 
матрицами делают операции такие же, как с числами. 
Определение. Две матрицы А = и B = называются равными, если они одного и того же типа и их соответствующие элементы равны, т.е. (число строк и столбцов равно). 
Суммой матриц A и B одного и того же типа называется матрица 
С = сс элементами с, элементы которой являются суммой соответствующих элементов матриц A и B, т.е. сили C = A + 
+ B. Разностью двух матриц называется матрица С = с, элементы 
скоторой являются разностью соответствующих элементов 
матриц A и B, т.е. . 
Свойства сложения матриц: 
1) – свойство ассоциативности; 
2) ∅, это нулевая матрица или матричный нуль; 
3) ∅ . 
Вычитать и складывать можно лишь матрицы одного типа.  
Произведением матрицы А на число  называется матрица, элементы которой получаются умножением каждого элемента матрицы 
А на число  , т.е. α А А α α. 
Из определений числа и матрицы следуют соотношения:  
1) 1 А А; 
2) 0 А ∅ (нуль-матрица); 
3) αβ ∙ АβА βαА; 
4) α βА αА βА; 
5) αА ВαА βВ. 
Умножение матриц. Пусть имеются матрицы: 

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
и ⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
и пусть число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, т.е. 
.Тогда в соответствие матрицам A и B можно сопоставить матрицу С = стипа , у которой элементы сопределяются по 
формуле 

 
⋯ . 

Правило. Чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м 
столбце произведения двух матриц, надо элементы i-й строки первой 
матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Другими словами, нужно получить скалярное произведение i-й вектора-строки и jго вектора-столбца – и это будет элемент с. 
Пример. Имеем две матрицы: 

 
1
2
3
4
3
4
5
6и 1
1
2
2
1
1
3
3

, 

тогда 

         C11C12 

 
∙ 20
20
34
34, 

          C21C22 

причем C11 = 1 ∙ 1 2 ∙ 2 3 ∙ 1 4 ∙ 3 20. 
А возможно такое произведение: ∙ ? Да, возможно, так как 
число строк и число столбцов равны и равны 4. 
Пример. Имеем снова две матрицы: 

 
1
2
3
3
4
5
6
7
8
и 1
2
3
3
4
5. 

Для них возможно ∙ , но невозможно ∙ , так как в матрице B число столбцов равно трем, а в матрице A число строк равно 
двум. 

Пример. Имеем 1
2
3
4и 1
1
3
4. 

Для них получаем ∙ ∙ , т.е. равенство не всегда соблюдается (умножение матриц некоммутативно). Но есть перестановочные 
матрицы, если ∙ ∙ , например, ∙ ∙ , т.е. матрица 
E перестановочна с любой матрицей. 
Транспонированная матрица AТ для исходной квадратной матрицы A порядка n записывается как 

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
. 

У нее меняются местами строки и столбцы по отношению к A. 
Пример. Имеем матрицу … . Для нее получаем 

 
⋮
. 

Определитель ищем по определенному закону, и это число, которое 
состоит из n слагаемых. Матрица A называется симметричной, если она 
совпадает со своей транспонированной, т.е. . Например, 

 
1
2
3
2
4
5
3
5
7
. 

Она симметрична относительно главной диагонали. 
Определение. Квадратная матрица A называется вырожденной, 
если детерминант || 0, т.е. || det 0 . 
Если det 0, то имеем невырожденную (неособенную) матрицу. Важно отметить, что определитель не существует у матриц типа 
34 или 43. 
Каждой квадратной невырожденной матрице можно найти обратную матрицу. Матрица называется обратной матрицей по отношению к данной матрице A порядка n, если произведение обратной 
матрицы на матрицу А как слева, так и справа дает в результате единичную матрицу, т.е. ∙ ∙ . 
Пример. Имеем ∙ 1, где . 
Обратную матрицу A–1 находим по правилу: 

 
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
, 
(1.1) 

где Aij – алгебраическое дополнение элемента , – минор для . 
Тогда 1∙ . Найдем ∙ ? 

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
1
⋯
0
⋯
⋯
⋯
0
⋯
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
1 , т. е. ∙ . 

Пример. Имеем матрицу 1
2
3
2
4
5
3
5
6
, у которой det 1 0, 

следовательно, матрица А – невырожденная и обратная к ней существует: 
  
 
 
 
 
 
     е11 

 
1
3
2
3
3
1
2
1
0
, тогда ∙ 1
0
0
0
1
0
0
0
1
, 

где элемент 1 ∙ 1 2 ∙ 33 ∙ 2 1 6 6 1. 
Рассмотрим соотношения вида 

 
∑
∙ δ∙ det ,
∑
∙ δ∙ det ,
где δ1, 0, . 

Это можно записать так: сумма произведений элементов любой 
строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения 
равна определителю, а сумма произведений элементов любой строки 
на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельной строки равна нулю. 

1.2. Две основные задачи линейной алгебры 

Первая основная задача линейной алгебры заключается в решении 
системы линейных алгебраических уравнений 

⋯ ;
⋯ ;
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ .

 
(1.2)  

Эту систему можно записать в виде одного уравнения 

 
∙ ̅ , 
(1.3) 

где ⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
, ⋮
, ̅ ⋮
. 

Если матрица A – невырожденная, т.е. ее определитель  

det ⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
отличен от нуля, то, как выше было показано, существует обратная 
матрица A–1, которую можно определить по формуле (1.1). 
Решить уравнение (1.3) означает нахождение такого вектора ξ , 
который будучи подставленным в уравнение (1.3) дает справедливое 
числовое равенство, т.е.  

 
∙ ξ . 
 (1.4) 

В этом и состоит первая задача линейной алгебры. Для её решения существуют прямые (точные) методы, когда за конечное число 
шагов точно находим решение задачи, а также итерационные методы, когда точное решение заведомо найти нельзя. 
Воспользуемся методом обратной матрицы. Предположим, что 
матрица A–1 существует. Умножая слева на матрицу A–1 обе части 
равенства (1.3), получим 

 
̅ или 

 
̅ ξ̅.  
(1.5)