Дифференциальное исчисление функций одной переменной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

№ 2428 

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко 
Е.Л. Плужникова 
Л.Р. Ким-Тян 

Дифференциальное исчисление 
функций одной переменной 

 

Практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2015 

УДК 517.5 
 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев (ФГБОУ ВПО «НИУ МЭИ») 

Разумейко Б.Г. 
Р17  
Дифференциальное исчисление функций одной переменной : практикум / Б.Г. Разумейко, Е.Л. Плужникова, Л.Р. КимТян. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 167 с. 
ISBN 978-5-87623-872-6 

Практикум содержит варианты индивидуальных домашних заданий по 
дифференциальному исчислению функций одной переменной и методические рекомендации по их выполнению. 
Предназначен для студентов первого курса всех специальностей. 

УДК 517.5 

 
 
ISBN 978-5-87623-872-6 

© Б.Г. Разумейко, 
Е.Л. Плужникова, 
Л.Р. Ким-Тян, 2015 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие.............................................................................................4 

Предел последовательности. Предел функции.  
Непрерывность функции .....................................................................5 
1. Графики элементарных функций.......................................................5 
Домашнее задание 1.........................................................................11 
2. Предел числовой последовательности  и предел функции............18 
Домашнее задание 2.........................................................................45 
3. Асимптоты графиков функций.........................................................61 
Домашнее задание 3.........................................................................74 
4. Непрерывность функции. Точки разрыва .......................................80 
Домашнее задание 4.........................................................................82 

Производная и ее приложения..........................................................89 
5. Производная.......................................................................................89 
Домашнее задание 5.........................................................................94 
6. Уравнения касательной и нормали. Экстремумы функции.........103 
Домашнее задание 6.......................................................................112 
7. Правило Лопиталя. Формула Тейлора...........................................121 
Домашнее задание 7.......................................................................130 
8. Полное исследование функции ......................................................137 
Домашнее задание 8.......................................................................159 

Библиографический список................................................................166 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данный практикум является одной из составных частей учебнометодического комплекcа дисциплины «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», в который входят: 1. Курс лекций по дифференциальному исчислению функции одной переменной 
(№ 2420); 2. Практикум; 3. Методические рекомендации по самостоятельной подготовке к экзамену в первом семестре. В практикуме 
предлагается набор индивидуальных домашних заданий для студентов первого курса всех специальностей НИТУ «МИСиС». В каждом 
разделе рассматриваются решения типовых задач и даются методические рекомендации. К каждому разделу дано соответствующее домашнее задание, состоящее из типовых задач, включающих 
30 вариантов. Это позволит преподавателям разнообразить набор 
домашних заданий, а студентам самостоятельно подготовиться к экзаменационной сессии. 

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ 
ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 

1. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 

Пример 1.1 
Построить график функции y = – log2(x – 1). 

Решение 
1. Построим график функции y = log2x (рис. 1.1). Так как a = 2 > 1, 
то функция возрастающая. 

 

Рис. 1.1 

2. Сдвигаем график функции y = log2x на 1 единицу вправо вдоль 
оси OX; получаем график функции y = log2(x − 1) (см. рис. 1.1). 
3. Отображаем его зеркально относительно оси OX; получаем 
график искомой функции (см. рис. 1.1). 

Пример 1.2 

Построить график функции 

2
1
1
2

x
y

+
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
. 

Решение 
Преобразуем функцию 

 

2
1
2
2
1
1
1
1 1
1 1
.
2
2
2
2 2
2 4

x
x
x
x
y

+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
 

1. Построим график функции 
1
4

x
y
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
 (рис. 1.2). Так как 

a = 1/4 < 1, то функция убывающая. 

2. Сжимаем график функции 
1
4

x
y
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
 вдоль оси OY в два раза; 

получаем график искомой функции (см. рис. 1.2). 

 

Рис. 1.2 

Пример 1.3 
Построить график функции y = │–x2 + x│– 2. 

Решение 
1-й способ 
1. Раскроем модуль: 

 

2
2

2
2
2 , если  
0,

2, если  
0.

x
x
x
x
y
x
x
x
x

⎧−
+
−
−
+
≥
⎪
= ⎨
−
−
−
+
<
⎪⎩
 

Методом интервалов решим неравенство  

 
–x2 + x ≥ 0; 
 
–x(x −1) ≥ 0. 

Отметим на числовой прямой точки, в которых данное выражение 
обращается в ноль, и определим знаки получившихся интервалов: 

Тогда 

 
–x2 + x ≥ 0, если x ∈ [0, 1]. 

Значит 

 

2

2
2 , если 
[0, 1],

2, если 
(
; 0)
(1,
).

x
x
x
y
x
x
x

⎧−
+
−
∈
⎪
= ⎨
−
−
∈ − ∞
∪
∞
⎪⎩
 

2. Построим график функции y = – x2 + x – 2 на отрезке [0, 1]. 
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: 

 

2
1
1
1
1
7
;
2
.
2
2
2
2
2
4
b
b
b
x
y
а
−
⎛
⎞
= −
=
=
= −
+
−
= −
⎜
⎟
−
⎝
⎠
 

Тогда точка 1
7
;
2
4
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠  – вершина параболы. 

Найдем точки пересечения графика с осью ОХ: 

 
– х2 + х – 2 = 0; 
 
х2 – х + 2 = 0; 
 
D = 1 – 4 ⋅ 2 = – 7 < 0 . 

Следовательно, данное уравнение не имеет корней, а значит, парабола ось ОХ не пересекает.  
Заметим, что y(0) = y(1) = −2. 
3. Построим график функции у = х2 – х – 2 на интервалах (−∞, 0) и 
(1, ∞). Графиком данной функции является парабола, ветви которой 
направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: 

 
1
1
1
9
;
2
.
2
4
2
4
b
b
x
y
=
=
−
−
= −
 

Тогда точка 1
9
;
 
2
4
⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 вершина параболы. 

Найдем точки пересечения с осью OX: 

 
x2 – x – 2 = 0; D = 1 + 8 = 9; 
1,2
1
3
2
x
±
=
; x1 = 2; x2 = – 1. 

4. Получили график функции y = │–x2 + x│ – 2 (рис. 1.3). 

 

Рис. 1.3 

2-й способ 
1. Графиком функции y = – x2 + x является парабола, ветви кото-
рой направлены вниз. 
Найдем координаты вершины параболы: 

 
1
1 ;
2
2
2
b
b
x
a
−
= −
=
=
−
 

 

2
1
1
1
1
1.
2
2
4
2
4
by
⎛
⎞
= −
+
= −
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Тогда точка 1
1
;
2
4
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠  – вершина параболы. 

Найдем точки пересечения с осью OX: 

 
y = 0 ⇒ – x2 + x = 0; 
 
– x(x – 1) = 0; 
 
x = 0 или x = 1. 

Получили точки пересечения с осью ОХ: (0; 0), (1; 0). 
Построим график функции (рис. 1.4). 

Рис. 1.4 

2. Построим график функции y = │– x2 + x│. Для этого часть графика, которая лежит ниже оси OX, отобразим зеркально относительно оси OX (рис. 1.5). 

 

Рис. 1.5 

3. Построим график функции y = │– x2 + x│ – 2. Для этого график 
функции y = │–x2 + x│ сдвинем на 2 единицы вниз (рис. 1.6). 

Рис. 1.6 

Пример 1.4 
Построить график функции 
2
y
x
=
− −
. 

Решение 
1. Построим график функции y
x
=
 (рис. 1.7). 

2. Построим график функции y
x
=
− . Для этого график функции 

y
x
=
 отобразим зеркально относительно оси OY (см. рис. 1.7). 

3. Построим график функции 
2
y
x
=
− −
. Для этого график 

функции y
x
=
−  сдвинем на 2 единицы влево вдоль оси OX. Получили искомый график (см. рис. 1.7). 

 

Рис. 1.7 

Домашнее задание 1 

Построить графики функций, используя графики основных элементарных функций. 

Задача 1 
1.1. 
2
4
7
y
x
x
=
−
+
; 
1.2. 
2
5
4
y
x
x
=
−
−
; 

1.3. 
2
2
10
y
x
x
=
+
; 
1.4. 
2
2
6
y
x
x
= −
+
; 

1.5. 
2
2
y
x
x
=
+
−
; 
1.6. 
(6
)
5
y
x
x
=
−
−
; 

1.7. 
2
3
2
y
x
x
=
−
+
; 
1.8. 
2
4
(
3)
y
x
=
−
−
; 

1.9. 
2
2
5
3
y
x
x
=
+
−
; 
1.10. 
2
2
3
6
y
x
x
=
−
−
; 

1.11. 
2
8
7
y
x
x
=
+
+
; 
1.12. 
2
4
3
y
x
x
=
−
−
; 

1.13. 
2
3
6
y
x
x
=
−
; 
1.14. 
2
5
10
y
x
x
= −
−
; 

1.15. 
2
2
4
9
y
x
x
=
+
+
; 
1.16. 
(3
)
2
y
x
x
=
−
−
; 

1.17. 
2
4
5
y
x
x
=
−
−
; 
1.18. 
2
9
(
1)
y
x
=
−
+
; 

1.19. 
2
3
10
8
y
x
x
=
−
−
; 
1.20. 
2
6
2
y
x
x
=
−
−
; 

1.21. 
2
6
8
y
x
x
=
+
+
; 
1.22. 
2
14
5
y
x
x
=
−
−
; 

1.23. 
2
4
8
y
x
x
=
−
; 
1.24. 
2
5
15
y
x
x
= −
+
; 

1.25. 
2
2
35
y
x
x
=
+
−
; 
1.26. 
2 (3
)
8
y
x
x
=
−
+
; 

1.27. 
2
6
8
y
x
x
=
−
+
; 
1.28. 
2
25
(
6)
y
x
=
−
+
; 

1.29. 
2
2
9
5
y
x
x
=
+
−
; 
1.30. 
2
7
2
5
y
x
x
=
−
−
. 

Задача 2 
2.1. 

2
4
7
y
x
x
=
−
+
; 
2.2. 

2
5
4
y
x
x
=
−
−
; 

2.3. 

2
2
10
y
x
x
=
+
; 
2.4. 

2
2
6
y
x
x
= −
+
; 

2.5. 

2
2
y
x
x
=
+
−
; 
2.6. 
(6
)
5
y
x
x
=
−
−
; 

2.7. 

2
3
2
y
x
x
=
−
+
; 
2.8. 

2
4
(
3)
y
x
=
−
−
; 

2.9. 

2
2
5
3
y
x
x
=
+
−
; 
2.10. 

2
2
3
6
y
x
x
=
−
−
; 

2.11. 

2
8
7
y
x
x
=
+
+
; 
2.12. 
2
4
3
y
x
x
=
−
−
; 

2.13. 

2
3
6
y
x
x
=
−
; 
2.14. 
2
5
10
y
x
x
= −
−
; 

2.15. 

2
2
4
9
y
x
x
=
+
+
; 
2.16. 
3
2
y
x
x
=
−
−
; 

2.17. 

2
4
5
y
x
x
=
−
−
; 
2.18. 

2
9
(
1)
y
x
=
−
+
; 

2.19. 

2
3
10
8
y
x
x
=
−
−
; 
2.20. 

2
6
2
y
x
x
=
−
−
; 

2.21. 

2
6
8
y
x
x
=
+
+
; 
2.22. 

2
14
5
y
x
x
=
−
−
;