Дифференциальное исчисление функций многих переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2427 

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко 
Е.Л. Плужникова 
 
 

Дифференциальное исчисление
функций многих переменных 

 

Практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2015 

УДК 517.5 
 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев (ФГБОУ ВПО НИУ «МЭИ») 

Разумейко Б.Г. 
Р17  
Дифференциальное исчисление функций многих переменных : практикум / Б.Г. Разумейко, Е.Л. Плужникова. – М. : Изд. 
Дом МИСиС, 2015. – 111 с. 
ISBN 978-5-87623-881-8 

Практикум содержит варианты индивидуальных домашних заданий по 
дифференциальному исчислению функций многих переменных и методические рекомендации по их выполнению. 
Практикум предназначен для студентов первого курса всех специальностей. 

УДК 517.5 

ISBN 978-5-87623-881-8 
© Б.Г. Разумейко, 
Е.Л. Плужникова, 2015 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
1. Область определения. Предел функции. Непрерывность 
функции. Дифференцируемость функций многих переменных. 
Производные и дифференциалы высших порядков.............................5 
Домашнее задание 1 ..............................................................................26 
2. Производная функции в данном направлении и градиент 
функции. Производная сложной функции и производная 
функции, заданной неявно. Касательная плоскость и нормаль 
к поверхности.........................................................................................35
Домашнее задание 2 ..............................................................................54 
3. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. 
Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум 
функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение 
функции в замкнутой ограниченной области .....................................72
Домашнее задание 3 ............................................................................ 103 
Библиографический список................................................................ 110 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данный практикум является одной из составных частей учебнометодического комплекcа дисциплины «Дифференциальное исчисление функций многих переменных», в который входят: 1. Курс лекций по дифференциальному исчислению функций многих переменных; 2. Практикум; 3. Варианты экзаменационных билетов по дифференциальному исчислению. 
В практикуме предлагается набор индивидуальных домашних заданий для студентов первого курса всех специальностей НИТУ 
«МИСиС». В каждом разделе рассматриваются решения типовых 
задач и даются методические рекомендации. К каждому разделу дано 
соответствующее домашнее задание, состоящее из n типовых задач, 
включающих 30 вариантов. Это позволит преподавателям разнообразить набор домашних заданий, а студентам самостоятельно подготовиться к экзаменационной сессии. 

1. Область определения. Предел функции. 
Непрерывность функции. Дифференцируемость 
функций многих переменных. Производные 
и дифференциалы высших порядков 

Пример 1.1. Найти область определения функции 
2
2
1
=
−
−
z
x
y , 
а также найти линии уровня данной функции.  

Решение 
Найдем область определения данной функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, 

 
2
2
2
2
1
0
1.
−
−
≥
⇒
+
≤
x
y
x
y
  

Таким образом, получили область определения функции – множество точек круга с центром в начале координат, радиус которого равен 1 (рис. 1.1). 

 

X

Y

1 

1 

 

Рис. 1.1 

Найдем линии уровня данной функции. Функция 
2
2
1
=
−
−
z
x
y  
принимает постоянное значение z = c, если  

 
2
2
2
2
2
1
1
.
=
−
−
⇒
+
= −
c
x
y
x
y
c

Таким образом, при с ∈(−1, 1) линии уровня – концентрические окружности с центром в начале координат, а при с = ±1 линии уровня – 
точка с координатами (0, 0). 

Пример 1.2. Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2 – z2.  

Решение 
Функция u = x2 + y2 – z2 принимает постоянное значение z = c, если  

 
c = x2 + y2 – z2. 

Таким образом, при с > 0 поверхности уровня – однополостные 
гиперболоиды, при с < 0 – двуполостные гиперболоиды, а при с = 0 – 
конус второго порядка. 

Пример 1.3. Вычислить предел 

0
0

3
9
lim
→
→

−
+

x
y

xy
xy
.  

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Числитель и знаменатель дроби, стоящей 

под знаком предела, умножим на выражение, сопряженное к числителю, а затем преобразуем выражение, полученное в числителе, по 
формуле разности квадратов (a – b)(a + b) = a2 − b2: 

 

0
0
0
0

3
9
(3
9)(3
9)
lim
lim
(3
9)
→
→
→
→

−
+
−
+
+
+
=
=
+
+
x
x
y
y

xy
xy
xy
xy
xy
xy
 

 

0
0
0
0

9
9
1
1
lim
lim
.
6
(3
9)
(3
9)
→
→
→
→

−
−
−
=
=
= −
+
+
+
+
x
x
y
y

xy
xy
xy
xy
 

Пример 1.4. Вычислить предел 

2

2
2
1
0

ln (
)
lim
.
2
1
→
→

+

+
−
+
x
y

x
y

x
y
x
 

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 1 и y = 0 получим не
определенность вида 0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. 

2
2

2
2
2
2
1
1
0
0

ln (
)
ln (1
1)
lim
lim
.
2
1
(
1)
→
→
→
→

+
+
+
−
=
+
−
+
−
+
x
x
y
y

x
y
x
y

x
y
x
x
y

 

Так как при x → 1, y → 0 функция x + y – 1 → 0, то можно заменить бесконечно малую функцию α(x, y) = ln(1 + x + y – 1) на эквивалентную ей бесконечно малую функцию α1(x, y) = x + y – 1.  
Тогда  

 

2
2

2
2
2
2
1
1
0
0

ln (1
1)
(
1)
lim
lim
.
(
1)
(
1)
→
→
→
→

+
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
x
x
y
y

x
y
x
y
I

x
y
x
y
 

Сделаем замену x – 1 = z, где z → 0, а затем перейдем к полярным 
координатам: 

 

2

2
2
0
0

cosφ;
(
)
lim
sinφ;
0
z
y

z
r
z
y
I
y
r
z
y
r
→
→

=
+
=
=
=
=
+
→
 

 

2
2
2

2
2
2
2
0
0
( cosφ
sinφ)
(cosφ
sinφ)
lim
lim
cos φ
sin φ
r
r
r
r
r
r
r
r
→
→
+
+
=
=
=
+
 

 
2
2

0
0
lim (cos φ
2sinφcosφ
sin φ)
lim (1
sin 2φ)
0.
→
→
=
+
+
=
+
=
r
r
r
r
 

Пример 1.5. Вычислить предел 

2
2
3
3

2
2
0
0
lim
.
→
→

−
+
+
+
x
y

x
y
x
y

x
y
 

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Вычислим повторные пределы: 

 

2
2
3
3
2
3

2
2
2
0
0
0
0
1
lim lim
lim
lim
1,
1
→
→
→
→
⎛
⎞
−
+
+
+
+
=
=
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
x
x
y
x
 

 

2
2
3
3
2
3

2
2
2
0
0
0
0
1
lim lim
lim
lim
1.
1
→
→
→
→
⎛
⎞
−
+
+
−
+
− +
=
=
= −
⎜
⎟
+
⎝
⎠
y
x
y
y
x
y
x
y
y
y
y
x
y
y
 

Получили, что оба повторных предела существуют и конечны, но 
они не равны между собой. Следовательно, по теореме о единствен
ности предела 

2
2
3
3

2
2
0
0
lim
→
→

−
+
+
+
x
y

x
y
x
y

x
y
не существует. 

Также можно показать, что данный предел не существует, рассмотрев изменение x и y вдоль прямых y = kx. Тогда данное выражение может стремиться к различным пределам в зависимости от выбранного значения k. Действительно, при y = kx имеем 

 

2
2
3
3
2
2
3

2
2
2
2
0
0
(
)
(
)
(1
)
lim
lim
(
)
(1
)
x
x
y kx
y kx

x
kx
x
kx
x
k
x
k x

x
kx
x
k
→
→
=
=

−
+
+
−
+
+
=
=
+
+
 

 
= 

2
3
2

2
2
0
1
1
lim
.
1
1
x
y kx

k
x
k x
k

k
k
→
=

−
+
+
−
=
+
+
 

Тогда при разных значениях k получаются различные предельные 
значения. Следовательно, данный предел не существует.  

Пример 1.6. Вычислить предел 

2

4
2
0
0
lim
.
→
→
+
x
y

x y

x
y

 

Решение 
После подстановки в данное выражение x = 0 и y = 0 получим не
определенность вида 
0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. Рассмотрим изменение x и y вдоль пря
мых y = kx: 

 

(
)

2
2
3

4
2
2
2
2
2
2
2
4
0
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
0.
(
)
→
→
→
→
→
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
x
x
x
x
y
y kx
y kx
y kx

x y
x kx
kx
kx
x
y
x
x
k
x
k
x
kx
 

Рассмотрим изменение x и y вдоль параболы y = x2. 

 

2
2

2
2
2
4

4
2
4
4
4
0
0
0
0

1
lim
lim
lim
.
2
2
→
→
→
→
=
=

⋅
=
=
=
+
+
x
x
x
y
y x
y x

x y
x
x
x
x
y
x
x
x
 

Получили, что предел вдоль прямых y = kx существует и равен 
при любом значении k нулю, а предел вдоль параболы y = x2 сущест

вует и равен 1
2 . Значит, по теореме о единственности предела предел 

2

4
2
0
0
lim
→
→
+
x
y

x y

x
y

 не существует. 

Пример 1.7. Исследовать функцию  

 
2
2
2
(
)cos
,
0,
0;
( ,
)
0,
0,
0

xy
x
y
x
y
f x y
x
y
x
y

⎧
+
≠
≠
⎪
=
+
⎨
⎪
=
=
⎩

 

на непрерывность в точке (0; 0). 

Решение 
1. Функция f(x, y) определена в окрестности точки (0; 0). 
2. Покажем, что  

 
2
2
0
0

2
lim(
)cos
0.
→
→
+
=
+
x
y

xy
x
y
x
y
  

Если x → 0, y → 0, то x + y → 0, т.е. x + y – величина бесконечно 

малая. Множитель 
2
2
2
cos
+
xy

x
y

 − ограниченная функция. Тогда со
гласно теореме произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая. 
3. Предел в точке (0; 0) равен значению функции в этой точке. 
Следовательно, функция непрерывна в точке (0; 0). 

Пример 1.8. Исследовать функцию 

 
2
2 ,
0,
0;
( ,
)
0,
0,
0,

xy
x
y
f x y
x
y
x
y

⎧
≠
≠
⎪
=
+
⎨
⎪
=
=
⎩

 

на непрерывность в точке (0; 0). 

Решение 

Вычислим 
2
2
0
0
lim
→
→
+
x
y

xy

x
y

.  

Рассмотрим изменение x и y вдоль прямых y = kx.  

 

2

2
2
2
2
2
0
0
lim
lim
.
(
)
(1
)
1
x
x
y kx
y kx

xkx
kx
k

x
kx
x
k
k
→
→
=
=
=
=
+
+
+
 

Так как при k ≠ 0 этот предел отличен от нуля и не равен значению 
функции в точке (0; 0), то данная функция имеет разрыв в этой точке. 

Пример 1.9. Найти частные производные и дифференциал первого порядка функции z = ln(x2 + y2) в точке M(1; 3). 

Решение 
Найдем частную производную функции z по переменной x, для 
этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y 
константой: 

 
(
)

2
2
2
2
2
2
1
2
.
′
∂ =
+
=
∂
+
+
x

z
x
x
y
x
x
y
x
y

 

Найдем частную производную функции z по переменной y, для 
этого продифференцируем функцию z по переменной y, считая x 
константой: 

 
(
)

2
2
2
2
2
2
1
2
.
′
∂ =
+
=
∂
+
+
y

z
y
x
y
y
x
y
x
y

 

Вычислим частные производные в точке M(1; 3): 

 
2
2
2 1
2
1;
10
5
1
3
∂
⋅
=
=
=
∂
+
M

z
x
 

 
2
2
2 3
6
3.
10
5
1
3
∂
⋅
=
=
=
∂
+
M

z
y
 

Найдем дифференциал первого порядка по формуле 

 
.
∂
∂
=
+
∂
∂
M
M
M

z
z
dz
dx
dy
x
y
 

Тогда для нашей функции дифференциал первого порядка равен 

 
1
3
.
5
5
=
+
M
dz
dx
dy

Пример 1.10. Найти частные производные и дифференциал пер
вого порядка функции 
1

arctg

=
z
x
y

 в точке M(1; 1). 

Решение 
Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого 
продифференцируем функцию z по переменной x, считая y константой: 

1
2
2
2

2

1
1
1
arctg
arctg
arctg
arctg
1
x
x
x

z
x
x
x
x
x
x
y
y
y
x
y
y
y

−
′
′
′
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
∂ =
= −
= −
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
⎛
⎞
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
+
⎜
⎟
⎝
⎠

 

 

(
)
(
)

2

2
2
2
2
2
2
1
.
arctg
arctg

y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
y

= −
= −
+
+
 

Найдем частную производную функции z по переменной y, для этого 
продифференцируем функцию z по переменной y, считая x константой: 

 
2
2
2

2

1
1
1
arctg
arctg
arctg
1

′
′
⎛
⎞
⎛
⎞
∂ = −
= −
=
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
⎛
⎞
⎝
⎠
⎝
⎠
+
⎜
⎟
⎝
⎠

y
y

z
x
x
x
x
y
y
y
x
y
y
y

 

 

(
)
(
)

2

2
2
2
2
2
2
2
.
arctg
arctg

y
x
x
x
x
y
y
x
y
x
y
y

⎛
⎞
= −
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
+
+
 

Вычислим частные производные в точке M(1; 1). 

 
2
2
1
8 ;
arctg 1 (1 1)
π
∂
= −
= −
∂
⋅
+
M

z
x
 

 
2
2
1
8 .
arctg 1 (1 1)
π
∂
=
=
∂
⋅
+
M

z
y
 

Найдем дифференциал первого порядка по формуле 

 
.
∂
∂
=
+
∂
∂
M
M
M

z
z
dz
dx
dy
x
y