Тепломассообмен

УДК 536.2 
 
П 75 

Прибытков И.А. Тепломассообмен: Учеб.-метод. пособие. – М.: 
МИСиС, 2002. – 99 с. 

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 651300, 656500 и 656600 и изучающих курс «Тепломассообмен» или 
аналогичный раздел в других курсах. Каждый раздел включает теоретическую часть, пример решения задачи и задачи для решения. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ПРИБЫТКОВ Иван Алексеевич 

ТЕПЛОМАССООБМЕН 

Учебно-методическое пособие 
для студентов, обучающихся  
по направлениям 651300, 656500, 656600 

Рецензенты доц. Л.А. Шульц, доц., канд. техн. наук Б.Н. Окороков 

Редактор Л.М. Цесарская 

Компьютерная верстка А.А. Беловой 

ЛР № 020777 от 13.05.98 

Подписано в печать 28.01.02 
Бумага офсетная 

Формат 60 × 90 1/16 
Печать офсетная 
Уч.-изд. л. 6,08 

Рег.  № 539 
Тираж 300 экз. 
Заказ 1061 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4 

Издательство «Учеба» МИСиС 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
Тел.: 954-73-94, 954-19-22 

Отпечатано в типографии Издательства «Учеба» МИСиС, 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 
ЛР №01151 от 11.07.01 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение................................................................................................................5 
1. Стационарная теплопроводность....................................................................7 

1.1. Передача тепла теплопроводностью через плоскую стенку при 
граничных условиях первого рода..................................................................9 
1.2. Передача тепла теплопроводностью через плоскую стенку при 
граничных условиях третьего рода (теплопередача) ..................................11 

1.2.1. Однослойная стенка .........................................................................12 
1.2.2. Многослойная стенка.......................................................................13 

1.3. Передача тепла через цилиндрическую стенку при граничных 
условиях первого рода ...................................................................................14 

1.3.1. Однослойная стенка .........................................................................14 
1.3.2. Многослойная стенка.......................................................................15 

1.4. Передача тепла через цилиндрическую стенку при граничных 
условиях третьего рода ..................................................................................17 

1.4.1. Однослойная стенка .........................................................................17 
1.4.2. Многослойная стенка.......................................................................18 

1.5. Передача тепла через оребренные поверхности при граничных 
условиях третьего рода ..................................................................................19 
1.6. Задачи .......................................................................................................22 

2. Нестационарная теплопроводность..............................................................32 

2.1. Постановка задачи нестационарной теплопроводности......................32 
2.2. Нестационарная теплопроводность при линейных граничных 
условиях третьего рода ..................................................................................33 
2.3. Нестационарная теплопроводность при граничных условиях  
первого рода....................................................................................................36 
2.4. Нестационарная теплопроводность в случае теплотехнически  
тонкого тела ....................................................................................................37 
2.5. Применение метода конечных разностей для решения задач 
нестационарной теплопроводности..............................................................39 
2.6. Задачи .......................................................................................................43 

3. Конвективный теплообмен............................................................................47 

3.1. Теплоотдача на плоской поверхности при вынужденном течении  
в случае ламинарного пограничного слоя (Rex < 5 ⋅ 105)............................48 
3.2. Теплоотдача на плоской поверхности при вынужденном течении  
в случае турбулентного пограничного слоя.................................................50 
3.3. Теплоотдача при течении жидкости в трубах (без учета влияния 
свободной конвекции)....................................................................................50 
3.4. Теплоотдача при поперечном обтекании одиночной трубы потоком 
жидкости .........................................................................................................54 

3.5. Теплоотдача при обтекании потоком пучка труб ................................55 
3.6. Теплоотдача при поперечном обтекании плоских поверхностей.......56 
3.7. Теплоотдача при свободной конвекции в неограниченном 
пространстве...................................................................................................57 
3.8. Задачи.......................................................................................................60 

4. Теплообмен излучением................................................................................66 

4.1. Количественные характеристики процесса излучения........................66 
4.2. Угловые коэффициенты излучения.......................................................69 
4.3. Свойства средних угловых коэффициентов излучения.......................70 

4.3.1. Свойство взаимности.......................................................................70 
4.3.2. Свойство замыкаемости ..................................................................70 

4.4. Расчет лучистого теплообмена в замкнутой системе из двух серых 
поверхностей, разделенных лучепрозрачной средой .................................72 
4.5. Расчет теплообмена излучением при наличии экранов.......................73 
4.6. Расчет степени черноты трехатомных газов ........................................74 
4.7. Расчет теплообмена между серым газом и окружающей его серой 
поверхностью .................................................................................................76 
4.8. Расчет теплообмена излучением в замкнутой системе из двух 
поверхностей (одна из которых адиабатная), разделенных серым газом......76 
4.9. Расчет сложного теплообмена (излучением и конвекцией 
одновременно) в печах ..................................................................................77 
4.10. Задачи.....................................................................................................80 

Приложения........................................................................................................89 

ВВЕДЕНИЕ 

Цель пособия – научить студентов решать практические задачи, используя основные теоретические положения, излагаемые в 
курсе лекций. 

Каждый раздел пособия включает теоретическую часть, пример решения задачи и предлагаемые для решения задачи. Каждая 
задача включает десять вариантов, что позволяет организовать самостоятельную работу студентов в ходе занятий. Кроме того, различные варианты задач могут выдаваться студентам для домашней работы, а также в качестве домашнего задания, предусмотренного учебным планом. 

При решении задач необходимо стремиться выразить искомую величину в буквенном выражении, проверить ее размерность, а 
затем подставить числовые значения и найти ответ. Точность ответа 
не должна превышать точности, с которой даны исходные величины. 
Необходимые справочные данные приведены в Приложениях в конце пособия. 

В пособии используется Международная система единиц – 
система СИ. Для получения производных единиц тепловых величин 
в системе СИ используются основные единицы: метр (м), килограмм 
(кг), секунда (с), кельвин (К). Важнейшие производные единицы тепловых величин, а также внесистемные единицы, основанные на калории, приведены в табл. 1.1 и 1.2. 

Таблица 1.1 

Производные единицы тепловых величин 

Единица 
Величина 

наименование 
обозначение 

Количество теплоты 
джоуль 
Дж 

Удельная теплоемкость 
джоуль на килограммкельвин 

Дж/(кг⋅К) 

Температурный градиент 
кельвин на метр 
К/м 

Тепловой поток 
ватт 
Вт 

Плотность теплового потока ватт на квадратный метр 
Вт/м2

Коэффициент теплопроводности 

ватт на метр-кельвин 
Вт/(м⋅К) 

Коэффициент температуропроводности 

квадратный метр на секунду м2/с 

Коэффициент теплоотдачи, 
теплопередачи 

ватт на квадратный метркельвин 

Вт/(м2⋅К) 

Коэффициент излучения 
ватт на квадратный метркельвин в четвертой степени

Вт/(м2⋅К4) 

Таблица 1.2 

Внесистемные единицы физических величин 

Величина 
Единица и ее связь с единицами СИ 

Количество теплоты 
1 калория (кал) = 4,19 Дж 
1 килокалория (ккал) = 4,19 ⋅ 103 Дж = 4,19 кДж 

Удельная теплоемкость 
1 кал/(г⋅°С) = 4,19 ⋅ 103 Дж/(кг⋅К) 
1 ккал/(кг⋅°С) = 4,19 ⋅ 103 Дж/(кг⋅К) 

Тепловой поток 
1 кал/с = 4,19 Вт 
1 ккал/ч = 1,136 Вт 

Плотность теплового 
потока 

1 кал/(с⋅см2) = 4,19 ⋅ 104 Вт/м2 

1 ккал/(ч⋅м2) = 1,163 Вт/м2

Коэффициент теплопроводности 

1 кал/(с⋅см2⋅°С) = 4,19 ⋅ 102 Вт/(м⋅К) 

1 ккал/(ч⋅м2⋅°С) = 1,163 Вт/(м⋅К) 

Коэффициент теплоотдачи, теплопередачи 

1 кал/(с⋅см2⋅°С) = 4,19 ⋅ 104 Вт/(м2⋅К) 

1 ккал/(ч⋅м2⋅°С) = 1,163 Вт/(м2⋅К) 

Коэффициент излучения 1 ккал/(ч⋅м2⋅К4) = 1,163 Вт/(м2⋅К4) 

1. СТАЦИОНАРНАЯ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 

Главными целями решения задач стационарной теплопроводности являются: 

а) расчет количества тепла, проходящего через тело; 
б) расчет температурного поля в теле; 
в) расчет температуры внешних поверхностей тела; 
г) расчет температуры на границе раздела слоев многослойного тела. 

Дифференциальное уравнение, описывающее температурное 
поле в теле без внутренних источников (стоков), тепла в любой момент времени в прямоугольной системе координат имеет вид 

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛

∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
=
∂
∂

2

2

2

2

2

2

z
T
y
T
x
T
a
t
T
. 
(1.1) 

Для стационарного теплового режима (стационарная теплопроводность) температурное поле во времени не изменяется и уравнение 
(1.1) принимает вид 

0
2

2

2

2

2

2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
T
y
T
x
T
. 
(1.2) 

Для решения этих дифференциальных уравнений должны 
быть заданы следующие дополнительные условия (условия однозначности): 
1) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела; 
2) физические условия, характеризующие физические свойства тела 
(λ, c, ρ…) и их зависимость от температуры; 

3) начальные условия, т.е. температурное поле в теле в начальный 
момент времени. В частности, температура тела в момент времени 
t = 0 может быть задана как постоянная величина для всех точек 
тела. Для стационарной теплопроводности начальные условия не 
имеют смысла; 

7 

4) граничные условия, характеризующие воздействие окружающей 
среды на поверхность тела. Эти условия могут быть сформулированы различными способами: 

а) граничные условия первого рода – задается температура в 
каждой точке поверхности тела в любой момент времени. В простейшем случае температура может быть задана как постоянная величина во всех ее точках и не меняться во времени; 

б) граничные условия второго рода – задается плотность теплового потока в каждой точке поверхности в любой момент времени. 
В частности, эта величина может быть постоянной для всех точек 
поверхности и не меняться во времени; 

в) граничные условия третьего рода линейные – задается 
температура окружающей среды Tж и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в виде закона Ньютона – Рихмана. 
Принято записывать линейные граничные условия третьего рода в 
форме уравнения закона сохранения энергии для поверхности тела 

(
)

0
п
ж
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
λ
−
=
−
α

n
n
T
T
T
, 

где α 
– коэффициент теплоотдачи, 
(
)
К
м
Вт/
2 ⋅
. 

В такой форме граничные условия задаются в случае, если 
теплообмен между поверхностью и окружающей средой осуществляется конвекцией; 

г) граничные условия третьего рода нелинейные – задается 
температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в виде закона Стефана – Больцмана 

⎥
⎥
⎦

⎤

⎢
⎢
⎣

⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

4
п
4
ж
пр
100
100
T
T
c
q
, 

где cпр – приведенный коэффициент излучения, 
(
)
4
2 К
м
Вт/
⋅
. 

В такой форме граничные условия третьего рода задаются в том случае, когда теплообмен между поверхностью и окружающей средой 
осуществляется излучением. 

В общем случае при граничных условиях третьего рода температура Tж, коэффициент теплоотдачи α могут меняться во времени, 
а также при переходе от одной точки поверхности к другой. 

Задачи с граничными условиями третьего рода наиболее часто встречаются на практике, а решение при граничных условиях первого рода можно получить как частный случай из решений при граничных условиях третьего рода. 

8 

Задачи при граничных условиях второго рода на практике 
встречаются редко и здесь не рассматриваются. 

Решение уравнений (1.1), (1.2) в общем виде возможно только для тел простейшей формы – пластины, цилиндра, шара. 

1.1. Передача тепла 
теплопроводностью через плоскую 
стенку при граничных условиях 
первого рода 

Для однородной плоской стенки толщиной δ, м, коэффициент 
теплопроводности которой равен λ, Вт/(м⋅К), и не зависит от температуры, плотность теплового потока q определяется по формуле 

(
)
2
1
п
п
T
T
q
−
δ
λ
=
, 
(1.3) 

где 
и 
  – температуры на наружных поверхностях стенки, К, 

которые задаются граничными условиями первого 
рода. 

1
п
T

2
п
T

Уравнение кривой распределения температуры по толщине 
стенки при λ = const представляет собой уравнение прямой и имеет 
вид (при 
> 
) 

1
п
T

2
п
T

x
T
T
T
x
T
δ

−

−
=
2
1

1

п
п
п
)
(
. 
(1.4) 

Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры носит линейный характер: 

λT = λ0(1 – bT), 

где λ0, λT – коэффициенты теплопроводности соответственно при 
температурах 0 и T; 

 
b 
– коэффициент, определяемый экспериментально для 
каждого материала. 

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности материала стенки от температуры выражения (1.3) и (1.4) приобретают 
вид 

9 

(
2
1

2
1
п
п
п
п
0
2
1
T
T
T
T
b
q
−
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣

⎡
+
⋅
+
⋅
δ
λ
=
) 
(1.5) 

и 

0

2
2
1
1
)
(
1
λ
⋅
⋅
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
b
x
q
T
b
b
x
T
п
. 
(1.5′) 

Уравнение (1.5) означает, что температурное поле внутри стенки не 
подчиняется линейному закону. Если величина b положительна, то 
выпуклость температурной кривой направлена вверх и наоборот. Если стенка состоит не из одного слоя, а из n слоев, каждый из которых 
имеет толщину δi и коэффициент теплопроводности λi, то плотность 
теплового потока рассчитана по формуле 

∑
= λ
δ

−

=
+

n

i
i

i

n
T
T
q

1

)
1
(
п
п1
. 
(1.6) 

Температуры на границе раздела слоев 1 и 2 двуслойной 
стенки при условии идеального контакта между ними определяется 
из выражения 

1

1
п
п
1
2
λ
δ
⋅
−
=
q
T
T
. 
(1.7) 

Иногда для сокращения расчетов многослойную стенку рассчитывают как однослойную, имеющую толщину Δ, используя понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности λэкв. 

∑

∑

∑
=

=

=
λ
δ

δ
=

λ
δ
Δ
=
λ
n

i
i

i

n

i

n

i
i

i

i

1

1

1

экв
. 

Тогда для n-слойной стенки справедливо 

(
)
)1
(
п
п
экв

1
+
−
⋅
Δ

λ
=
n
T
T
q
. 
(1.8) 

10 

Формулы (1.6), (1.7) и (1.8) справедливы при условии независимости λ от температуры. 

Если температура стенки (одно- или многослойной) по толщине меняется существенно, то для точных расчетов необходимо 
учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. При этом для однослойной стенки справедливы формулы (1.5) 
и (1.5′). Для многослойной стенки сначала необходимо определить 
температуру на границе раздела слоев, а затем определить значение 
коэффициента теплопроводности при средней температуре слоя. 

Теплофизические характеристики огнеупорных и теплоизоляционных материалов приведены в Приложении 1, сталей – в Приложении 2. 

1.2. Передача тепла 
теплопроводностью через плоскую 
стенку при граничных условиях 
третьего рода (теплопередача) 

Теплопередача – это перенос тепла от одной жидкости с температурой 
к другой, имеющей температуру 
, через разделяю
щую их твердую перегородку с коэффициентом теплопроводности λ 
и толщиной δ. Перегородка может быть как однослойной, так и многослойной (рис. 1.1). Под жидкостью понимается как капельная жидкость, так и газ. В случае теплопередачи суммарный процесс переноса тепла от одной жидкости к другой складывается из следующих 
составляющих: 

1
ж
T

2
ж
T

а) переноса тепла конвекцией или излучением (или конвекцией или 
излучением одновременно) от первой жидкости к граничащей с 
ней твердой поверхности с температурой 
; 

1
п
T

б) переноса тепла теплопроводностью через стенку; 
в) переноса тепла конвекцией или излучением (или конвекцией или 
излучением одновременно) от поверхности с температурой 
 

к другой жидкости. 

1)
п( +
n
T

11 

Рис. 1.1. Распределение температуры в многослойной стенке 

Целью решения задач стационарной теплопроводности при 
граничных условиях третьего рода является: 
а) расчет температур внешних поверхностей однослойной стенки; 
б) расчет температур внешних поверхностей и температур на границе раздела слоев многослойной стенки; 

в) определение плотности теплового потока q, и, как следствие, количества тепла, переданного от одной жидкости к другой. 

Ниже рассматриваются линейные граничные условия третьего рода. 

1.2.1. Однослойная стенка 

Расчет ведется по следующим основным формулам. Плотность теплового потока 

(
)

2
1
ж
ж
T
T
k
q
−
=
, 

где k 
– коэффициент теплопередачи, равный 

2
1

1
1
1

α
+
λ
δ
+
α

=
k
. 

Температура левой поверхности 

1

1
α
⋅
−
=
q
T
T
1
1
ж
п
. 

Температура правой поверхности 

12