Акустоэлектроника : объемные акустические волны в кристаллах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1985 

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

Н.В. Переломова 
А.Н. Забелин 
 

Акустоэлектроника 

Объемные акустические волны в кристаллах 

Сборник задач 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва 2010 

УДК 548 
 
П27 

Р е ц е н з е н т  
проф. В.Т. Бублик 

Переломова Н.В., Забелин А.Н. 
П27  
Акустоэлектроника: Объемные акустические волны в кристаллах: Сб. задач. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2010. – 43 с. 
ISBN 978-5-87623-354-7 

Сборник задач содержит краткие теоретические сведения по теме «Объемные акустические волны в кристаллах». Приводятся примеры решения типовых задач. Задачи для самостоятельного решения позволят освоить технику расчетов характеристик объемных акустических волн. 
Предназначен для студентов четвертого курса направления 140400 «Техническая физика». 

УДК 548 

ISBN 978-5-87623-354-7 
© Переломова Н.В., 
Забелин А.Н., 2010 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Объемные акустические волны в кристаллах....................................4 
1.1. Фазовые скорости и поляризации объемных 
акустических волн ................................................................................4 
1.2. Лучевые и групповые скорости объемных 
акустических волн ................................................................................8 
1.3. Особые направления в кристаллах.............................................10 
2. Примеры решения задач ....................................................................12 
3. Задачи для самостоятельного решения ............................................28 
Ответы .....................................................................................................33 
Библиографический список...................................................................35 
Приложение.............................................................................................36 
 

1. ОБЪЕМНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 
В КРИСТАЛЛАХ  

В общем случае в заданном направлении в безграничном кристалле могут распространяться три плоские однородные объемные акустические волны с разными скоростями и взаимно ортогональными 
поляризациями. Эти три волны, имеющие общую волновую нормаль, 
называются изонормальными. 
Волна, вектор поляризации которой составляет наименьший угол 
с волновой нормалью, называется квазипродольной (QL), а если ее 
поляризация совпадает с направлением волновой нормали – продольной (L). Две другие волны называются квазипоперечными (QS), 
если их векторы поляризаций не ортогональны вектору волновой 
нормали, и поперечными (S), если их поляризации ортогональны 
волновой нормали. Если фазовая скорость одной из квазипоперечных 
волн больше фазовой скорости другой, то они называются соответственно быстрой квазипоперечной (QFS) и медленной квазипоперечной (QSS). 

1.1. Фазовые скорости и поляризации объемных 
акустических волн  

Распространение плоских объемных акустических волн в диэлектрических кристаллах описывается уравнением Кристоффеля 

 
(Γik – ρV2δik)pk = 0, 
(1.1) 

где  

 
S

ik
ijkl
j
l
c
n n
Γ
=
  
(1.2)  

тензор Кристоффеля; ρ – плотность кристалла; V – фазовая скорость 
акустической волны; δik – символ Кронекера; pk – компоненты единичного вектора поляризации p; 
S
ijkl
c
 – адиабатические коэффициен
ты упругой жесткости кристалла; nj – компоненты единичного вектора волновой нормали n. 
В большинстве практически важных случаев объемные акустические волны в пьезоэлектрических кристаллах рассматриваются в 
рамках так называемого квазиэлектростатического приближения, в 
котором учитывается только потенциальная часть электрического 

поля. При этом распространение плоских объемных акустических 
волн в пьезоэлектрических кристаллах описывается модифицированным уравнением Кристоффеля 

 
(Πik – ρV2δik)pk = 0, 
(1.3) 

где 
ik
Π  – тензор Кристоффеля для пьезоэлектрических кристаллов, 

 
;
i k
ik
ik

e e
Π
= Γ
+ ε
 
(1.4) 

ik
Γ  – упругий тензор Кристоффеля, 

 
,
E S

ik
ijkl
j
l
c
n n
Γ
=
; 
(1.5) 

ei – пьезоэлектрический вектор, 

 
ei = emijnmnj; 
(1.6) 

ε – диэлектрическая проницаемость кристалла в направлении волновой нормали; 

 
;
u
mn
n
m
n n
ε = ε
 
(1.7) 

,
E S
ijkl
c
 – адиабатические коэффициенты упругой жесткости кристалла, 

измеренные при постоянном электрическом поле; enij – пьезоэлектрические коэффициенты; 
u
mn
ε
 – коэффициенты диэлектрической 
проницаемости кристалла, измеренные при постоянной деформации. 
Вид матриц коэффициентов 
,
E S
ijkl
c
, 
u
mn
ε
 и enij для 32 классов сим
метрии приведена в табл. П1–П3 приложения. 
В рамках квазиэлектростатического приближения акустическая 
волна в пьезоэлектрическом кристалле может сопровождаться волной электрического поля (E || n) и волной электрической индукции 
(D ⊥ n). Электрические свойства объемной акустической волны зависят от взаимной ориентации пьезоэлектрического вектора волны  

 
(
)
(
)
m
m

i
ijk
j
k
e
e n p
=
, 
(1.8) 

и волновой нормали n. Если e(m) = 0, то акустическая волна не сопровождается электрическими колебаниями и в этом смысле не является 
пьезоактивной. Акустическая волна, для которой e(m) || n, сопровождается волной электрического поля и называется продольно

пьезоактивной. Акустическая волна, для которой e(m) ⊥ n, сопровождается волной электрической индукции и называется поперечнопьезоактивной. Акустическая волна, у которой векторы e(m) и n образуют острый угол, называется волной смешанной пьезоактивности. 
Обобщенной характеристикой пьезоэлектрических свойств кристалла является коэффициент электромеханической связи. Для продольно-пьезоактивных волн коэффициент электромеханической связи kE
2 (kE
2 < 1) определяется следующим образом:  

 

2
2

2
E
e
k

c
e

=
ε +
, 
(1.9) 

где 
mij
m
j
i
i
i
e
e
n n p
e p
=
=
; 
,
E S
ijkl
j
l
i
k
ik
i
k
c
c
n n p p
p p
=
= Γ
.  

С учетом формулы (1.9) выражение для фазовой скорости объемной акустической волны в пьезоэлектрическом кристалле может 
быть записано в виде 

 

2

0
2
1
1

E

E

k
V
V

k

=
+
−
, 

где V0 – фазовая скорость волны без пьезоэлектрической поправки.  
Для расчета компонент тензоров Γik (1.2) и Πik (1.4) удобно использовать таблицу П4 приложения. 
Как следует из систем уравнений (1.1) и (1.3), задача о нахождении фазовых скоростей и векторов поляризаций плоских объемных 
акустических волн, распространяющихся в заданном направлении n 
в кристалле, сводится к задаче о нахождении собственных значений 
и собственных векторов тензора Aik = Γik (1.2) для диэлектрических 
кристаллов и Aik = Πik (1.4) для пьезоэлектрических кристаллов. 
Собственные значения λ = ρV2 тензора Aik находятся из условия 
совместности системы уравнений (1.1) для диэлектрических кристаллов и системы (1.3) для пьезоэлектрических кристаллов: 

 

11
12
13

12
22
23

13
23
33

0
ik
ik

A
A
A
A
A
A
A
A
A
A

− λ
− λδ
=
− λ
=
− λ
. 
(1.10) 

В общем случае уравнение (1.10) имеет три различных действительных и положительных корня λ(1), λ(2) и λ(3). 

Подставляя поочередно каждое из трех собственных значений λ(m) 
в (1.1) или (1.3) 

 

(
)
(
)
(
)
(
)
11
1
12
2
13
3

(
)
(
)
(
)
(
)
12
1
22
2
23
3

(
)
(
)
(
)
(
)
13
1
23
2
33
3

(
)
0,

(
)
0,

(
)
0,

m
m
m
m

m
m
m
m

m
m
m
m

A
p
A p
A p

A p
A
p
A p

A p
A p
A
p

⎧
− λ
+
+
=
⎪⎪
+
− λ
+
=
⎨
⎪
+
+
− λ
=
⎪⎩

 
(1.11) 

находим компоненты вектора поляризации p(m) каждой из трех объемных акустических волн, распространяющихся с фазовыми скоро
стями 
ρ
λ
=

)
(m

m
V
 в заданном направлении n в кристалле. 

Если тензор Кристоффеля имеет диагональный вид 

 

11

22

33

0
0

0
0

0
0

ik

A
A
A

A

⎡
⎤

⎢
⎥
= ⎢
⎥

⎢
⎥
⎣
⎦

, 

фазовые скорости и векторы поляризаций трех изонормальных объемных акустических волн равны 

11

1

A
V =
ρ , p(1)(1,0,0); 
22

2

A
V =
ρ , 

p(2)(0,1,0); 
33

3

A
V =
ρ , p(3)(0,0,1). 

Если две из трех недиагональных компонент тензора Кристоффеля, например A13 и A23, равны нулю, разложение определителя (1.10) 
по элементам третьей строки или третьего столбца 

 
(A33 – λ)[(A11 – λ)(A22 – λ) – A12
2] = 0 

сразу позволяет найти корень λ(3) = A33. Два других собственных значения 

 
(
)

(1,2)
2
2

11
22
22
11
12
1
(
)
4
2 A
A
A
A
A
λ
=
+
±
−
+
 
(1.12) 

являются решениями квадратного уравнения 

 
λ2 – (A11 + A22)λ + A11A22 – A12
2 = 0. 

Из системы (1.11), которая при A13 = A23 = 0 принимает вид 

 

(
)
(
)
(
)
11
1
12
2

(
)
(
)
(
)
12
1
22
2

(
)
(
)
33
3

(
)
0,

(
)
0,

(
)
0,

m
m
m

m
m
m

m
m

A
p
A p

A p
A
p

A
p

⎧
− λ
+
=
⎪⎪
+
− λ
=
⎨
⎪
− λ
=
⎪⎩

 

следует, что для собственного значения λ(3) = A33 
(3)
(3)
1
2
0
p
p
=
=
 и 

(3)
3
1
p
= ± , поэтому вектор p(3) направлен вдоль оси X3. Для двух других собственных значений из условия λ(k) ≠ A33, где k = 1, 2, следует 

( )
3
0
k
p
=
 и 

 

2
( )
( )
2
11
22
11
22
11
12
( )
12
12
12
1

sign(
)
1
2
2

k
k

k
p
A
A
A
A
A
A
A
A
A
p

⎛
⎞
λ
−
−
−
=
=
±
+
⎜
⎟
⎝
⎠
. 
(1.13) 

Направления векторов p(1) и p(2), лежащих в плоскости X1X2, могут 
быть заданы углами ϕ1 и ϕ2 = ϕ1 + π/2, которые они образуют с осью 

X1, тогда 

( )
2
( )
1
tg

k

k
k

p
p

ϕ =
. Для двойного угла справедливо выражение 

 
12

22
11

2
tg2
k
A

A
A
ϕ =
−
. 
(1.14) 

Если два собственных значения тензора Кристоффеля, например 
λ(2) и λ(3), совпадают, то векторы поляризаций вырожденных волн 
могут иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору поляризации невырожденной волны.  

1.2. Лучевые и групповые скорости 
объемных акустических волн 

Распространению объемной акустической волны в кристалле сопутствует процесс переноса энергии. Скорость и направление потока 
энергии (акустического луча) характеризуется вектором лучевой или 
групповой скорости. В кристалле без потерь лучевая скорость совпадает с групповой скоростью. 
Если направление групповой скорости совпадает с волновой нормалью, то такую волну называют обыкновенной, а если эти направления не совпадают, то – необыкновенной волной. 

Компоненты вектора групповой скорости акустической волны, 
распространяющейся в заданном направлении n в диэлектрическом 
кристалле, рассчитываются из выражения 

 
(
)
1
m

i
ik
k

m

V
P n
V
= ρ
, 
(1.15) 

где 
ik
P  – второй тензор Кристоффеля, 
(
)
(
).
S
m
m
ik
ijkl
j
l
P
c
p
p
=
 

Компоненты вектора групповой скорости акустической волны, 
распространяющейся в пьезоэлектрическом кристалле, находятся из 
выражения 

 

2
(
)
(
)
(
)
уп
п
д
1
,

m
m
j
j
j
j
m
i
i
i
i
m

e p
e p
V
S
S
S
V

⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
=
+
− ⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
ρ
ε
ε
⎝
⎠
⎣
⎦

 
(1.16) 

где 
уп
iS
– упругий групповой вектор, 
уп
,
(
)
(
)
;
E S
m
m

i
ijkl
j
l
k
S
c
p
p
n
=
 
(1.17) 

п
iS  – пьезоэлектрический групповой вектор, 

 
п
(
)
(
)
m
m

i
mij
m
j
imj
m
j
S
e
n p
e
n p
=
+
;  
(1.18) 

д
iS  – диэлектрический групповой вектор, 
д
u

i
il
l
S
n
= ε
. 
(1.19) 
Связь между групповой и фазовой скоростью объемной акустической волны устанавливается соотношением 

 
(
)
(
)
m
m
j
j
m
V
n
V
=
=
V
n
, 
(1.20) 

т.е. проекция вектора групповой скорости на направление волновой 
нормали равна фазовой скорости акустической волны.  
Угол между вектором групповой скорости акустической волны и 
волновой нормалью определяется следующим образом: 

 
(
)
arccos (
)
m
m
γ
=
ns
, 
(1.21) 

где 
(
)
m
s
 – единичный вектор луча, 
(
)
(
)
(
)
/ |
|
m
m
m
=
s
V
V
. Для обыкновенной волны γ = 0. 
Условие существования обыкновенной волны в направлении n 
имеет вид  

 
(
)
[
]
0
m
×
=
n
V
 или 
(
)
0
m
ijk
j
k
n V
δ
=
, 
(1.22) 

где δijk – символ Леви – Чивита. 

В диэлектрических кристаллах направления распространения и 
поляризации обыкновенной волны взаимозаменяемы: если в направлении n распространяется обыкновенная волна с поляризацией p и со 
скоростью V, то в направлении p с той же скоростью распространяется обыкновенная волна с поляризацией n. 
Для вычисления компонент 
(
)
m

iV
 (1.15), (1.16) векторов групповой 
скорости удобно использовать табл. П4 – П6 приложения. 

1.3. Особые направления в кристаллах 

Различают три вида особых направлений в кристаллах: поперечная нормаль, продольная нормаль и акустическая ось.  
Поперечной нормалью называется направление n, в котором распространяется одна поперечная волна (p(S) ⊥ n), а две другие волны 
могут быть квазипродольной и квазипоперечной.  
Продольной нормалью называется направление n, в котором распространяется продольная волна (p(L) || n) и две поперечные волны 
(p(S) ⊥ n).  
Условие существования продольных нормалей в кристалле:  

 
( )
[
]
0
L
×
=
n
p
 или 
0
ijk
j
kl
l
n A n
δ
=
. 
(1.23) 

Акустической осью называется направление n, в котором распространяются вырожденные квазипоперечные волны, векторы поляризаций которых могут иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной вектору поляризации квазипродольной волны. Если при 
этом n оказывается еще и продольной нормалью, то такое направление называется продольной акустической осью. 
Для акустических осей, согласно их определению, два корня кубического уравнения (1.10) совпадают, поэтому одновременно с определителем равен нулю и взаимный тензор 

 
2
(
)
0
ik
s
ik
A
V
− ρ
δ
=
, 
(1.24) 

где 
2
s
V
ρ
 – двукратное собственное значение. 
Условие (1.24) определяет акустические оси в любом кристалле. 
Если тензор Aik имеет диагональный вид, то условие существования акустической оси сводится к равенству двух диагональных компонент тензора Aik. 

Когда только две недиагональные компоненты тензора Aik равны 
нулю, направления акустических осей удовлетворяют одному из соотношений: 

 
(
) (
)
2
11
33
22
33
12
0
A
A
A
A
A
−
−
−
=
, если A13 = A23 = 0; 
(1.25) 

 
(
) (
)
2
11
22
11
33
23
0
A
A
A
A
A
−
−
−
=
, если A12 = A13 = 0; 
(1.26) 

 
(
) (
)
2
11
22
22
33
13
0
A
A
A
A
A
−
−
−
=
, если A12 = A23 = 0. 
(1.27) 

Когда лишь одна из недиагональных компонент тензора Aik равна 
нулю, скорости объемных акустических волн не могут совпадать. 
Наконец, если все компоненты тензора Aik отличны от нуля, направления акустических осей являются решением системы уравнений 

 
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
11
22
23
13
12
23
13

2
2
11
33
23
12
13
23
12

0;

0.

A
A
A A
A
A
A

A
A
A A
A
A
A

⎧
−
+
−
=
⎪⎨
−
+
−
=
⎪⎩

 
(1.28)