Квантовая механика

№ 1480 
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС 

Кафедра теоретической физики 

Ю.Х. Векилов, Ю.М. Кузьмин, СИ. Мухин 

^ 

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 

Учебное пособие 

для практических занятий 
студентов специальности 1105 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

МОСКВА 2001 

УДК 530.145.6 
В 26 

В 26 
Векилов Ю.Х., 
Кузьмин Ю.М., 
Мухин С.И. 
Квантовая 
механика: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2001.– 126 с. 

В предлагаемое третье дополненное издание пособия по квантовой 
механике добавлены три новые раздела, обновлен и дополнен набор задач. 
Пособие состоит из восьми разделов: волновые пакеты; одномерные задачи 
квантовой механики; операторы, теория представлений, матрицы; движение 
в центральном поле и в поле с аксиальной симметрией; теория возмущений; 
вариационный метод; тождественность частиц; теория рассеяния 
в 
борновском приближении. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ 
4 

1.1. Теоретическое введение 
4 

1.2. Задачи и контрольные вопросы 
5 

2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. 
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СПЕКТР ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫЕ 
ФУНКЦИИ 
13 

2.1. Теоретическое введение 
13 

2.1.1. Задачи и контрольные вопросы 
18 

3. ОПЕРАТОРЫ. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ МАТРИЦЫ 
50 

3.1. Операторы 
50 

3.1.1. Теоретическое введение 
50 

3.1.2. Задачи и контрольные вопросы 
51 

3.2. Вычисление вероятностей и средних, переход к другим 
представлениям 
57 

3.2.1. Теоретическое введение 
57 

3.2.2. Задачи 
58 

3.3. Теория представлений, матрицы 
62 

3.3.1. Теоретическое введение 
62 

3.3.2. Задачи и контрольные вопросы 
67 

4. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ С АКСИАЛЬНОЙ 
СИММЕТРИЕЙ 
81 

4.1. Разделение переменных 
81 

4.2. Движение в магнитном поле 
83 

5. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 
88 

5.1. Стационарные возмущения в невырожденных системах 
90 

5.2. Теория возмущений для вырожденных систем 
97 

5.3. Нестационарные возмущения 
99 

6. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД 
105 

7. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ 
111 

7.1. Волновая функция системы тождественных частиц 
111 

7.2. Многоэлектронный атом, молекулы 
114 

8. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ. БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 
120 

1. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ВОЛНОВЫЕ 
ПАКЕТЫ 

1.1. Теоретическое введение 

Гипотеза де Бройля исходит из сходства микрочастиц со 
светом: подобно свету микрочастицы обладают и корпускулярными 
и 
волновыми 
свойствами. 
Параметры 
волнового 
процесса, 
связанного 
с 
движением 
микрочастицы, 
определяются 
по 
динамическим переменным частицы: энергии s и импульсу 
p. 
Связь между волновыми и корпускулярными характеристиками 
описывается уравнениями: 

в=hш; 
p=hk; 

здесь h = h/2% (h - постоянная Планка); 
со - круговая частота волны; 
k = 2ж/ X - волновой вектор волны. 
Для 
описания 
движения 
свободной 
микрочастицы, 

обладающей энергией г = т0с2 + p— 
и импульсом 
p 
можно 

2т 

воспользоваться 
выражением для плоской 
монохроматической 
волны (волны де Бройля) \|/(х, ) = Aе'k^ '"" . Однако, поскольку 
плоская волна распределена по всему пространству, она не может 
быть использована для описания движения частицы с импульсом 
p = hk , локализованной в узкой области. 

Чтобы получать волну, которая ограничена определенной 
областью пространства, нужно составить группу волн (волновой 
пакет), образуемую различными волновыми векторами. Фазы и 
амплитуды этих волн выбрать таким образом, чтобы при их 
интерференции волны усиливали друг друга в малой области 
пространства, вне которой результирующая амплитуда их быстро 
спадала бы до нуля из-за интерференции: 

4 

у (x, t ) = 
1 
] f (k) eikx--(k) t dk , 

где Фурье-образ 

f (k) = j= 
\ у (x, 0) eikx dx. 

Выбор функции f (k) определяет вид волновой функции у . 
Отметим, что Фурье-образ гауссовой функции также гауссовая 
функция. 

Первоначальные предположения о том, что волна де Бройля 
есть 
материальный 
процесс, 
описывающий 
природу 
частиц, 
оказалось 
несостоятельным. 
Фазовая скорость 
волны 
больше 
скорости света, а волновой пакет, описывающий локализованную 
частицу со временем расплывается в пространстве из-за дисперсии. 

Максом 
Борном 
была 
дана 
правильная, 
а 
именно 
статистическая интерпретация волн де Бройля: физический смысл 
имеет 
не 
сама 
волновая 
функция \|/(x, t), 
а 
квадрат 
ее 

модуля 
I у 12 = у . у*, характеризующий плотность вероятности 

нахождения частицы в точке в момент t. Таким образом, волны де 
Бройля - это волны вероятности, а не материальные волны. 

1.2. Задачи и контрольные вопросы 

Задача 1.1. Построить 
волновую 
функцию 
у(x) 
(Фурьепреобразование), если заданы волновые пакеты в 
k-пространстве с различными f(k) 
(Фурье-образ). 

(k-k 
0)2 

2(Аk ) 
а) f(k) = exp 

Решение 

– гауссов волновой пакет. 

00 - ( 
+ikx 

ψ (x) =
^ 
\ f (k) eikxdk =^= 
\e 2('^k)2 
dk = 

Ы2% -<„ 
V27t -<„ 

5 

= e 

ik0 
x+i (k-k0) x + ( 

2 
2 
2 
| e 
2(^) 2 
0 
2 
dk = 

-оэ 

1 
= J2TZ Аk exp 
i k0 x 
x 2 (Аk) 2 
. 

2 

Результирующий пакет гауссовой формы имеет максимум 
при 
х = 0 
и становится малым при больших x (рис. 1). 

Рис. 1. 

б) f(k) = A = const в интервале от k 0 - А k 
до k 0+Аk , 
Аk«k 0 (рис. 2). 

6 

Рис. 2. 

Решение 

ψ(x) = 1 

-12% -^, 

\ f(k)eik 
( x-x 0 ) dk = 

A 
k 0 + А k 

V27t k0 - ^ 

V27t 
x - x 0 

где B(x) 
- амплитуда пакета достигает максимума в точке 
x = x 0 (рис. 3). 

7 

Рис. 3. 

Так как эта функция быстро спадает до нуля при 
Л x > 
, то 

отсюда следует, что произведение ширины пакета в k-пространстве 
на ширину в x-пространстве порядка единицы, т.е Л k Л x > 1. 

1 

Задача 1.2. Исследовать 
движение 

Дисперсию не учитывать. 

Решение 

волнового 
пакета 
в 
пространстве. 

ψ (x, t ) = 1 

V27t -<„ 

00 
]f(k)e 

ikx-iwkt dk = 

A 
k0 
+Ak 

Разлагая частоту cok в ряд по степеням k - k 0 , получим 

и вводя новую переменную Е, = k-k 0 , находим 

— 
(k-k 0) + ... , 
dk )k 0 

8 

W (x, t) = A 
ik0 
e 

x-iaik 
t M 

42% 

После интегрирования, получим 

-Ak 

i^ 

dE,. 

W (x, t) = 2A 

42% 

sin 

k 0 

Ak 

x-\ 
t 

ik0 
e 

x-iaik 
0 t = B (x, t) eik 0 x-iwk 
0 t 

Функцию B (x, t) можно рассматривать как амплитуду почти 
монохроматической волны, а (k0x-ak 
0 t) - как ее фазу. Вид 

функции \|/(x,t ) показан на рис. 3. Своего наибольшего значения 

амплитуда B (x, t) достигает в точке x max = П ^ 1 t . Отсюда следует, 
dk k0 

что центр группы волн движется с групповой скоростью, равной 
( d&\ 
dk 

Задача 1.3. Найти групповую скорость v^^ движения и закон 

расплывания 
Лx(t ) 
волнового 
пакета 

x2 
'У(Лx 0)2 
L 2(Лx 0)2 
у (x, 0) = 
, 
имеющего 

[Аx 0J 

момент t = 0 гауссову форму. 

Решение 

Волновой пакет в момент t может быть записан в виде 

в 

2% JL 

W (x, t ) = 

где f (k) – Фурье-образ волнового пакета не зависит от времени и 
может 
быть 
найден 
по 
волновому 
пакету 
при 
t = 0 
(см. задачу 1.1,а), т.е. 

9 

k 0 

f ( k) = j= 
f \|/ (x, 0) e 

v27t _<„ 
V27t _<„)! 

J t 
2(Дx 0)2 

(Ax 0f 

dx . 

Показатель экспоненты правой подынтегральной функции приведем 
к полному квадрату, тогда интеграл сведется к интегралу Пуассона. 

Для этого примем 
= а ; 
i(k-k 
0) = ^ 

2 ( Л x 0) 

Тогда 

-ax 
2 -fix 
= - a x 2 +^x 
+ 
S2 
4 а 
1^ 
2а J 
4а 

Интегрируя и переходя к старым обозначениям, получаем 

f(k) 
= л/ж exp 
( k - k 0)2 (Аx 0)2 

2 

. 

Подставляя f (k) в формулу для у (x, t ) , получаем 

ψ (x, t ) = 
1
7
^ 
Г 1 

^= 
л1% exp 
— 

V27t j[„ 
L 2 

( k - k 0)2 (Ax0)2 + 

+ i (k - k 0) x + i k0 x
- m 
2 

dk , 

здесь мы учли соотношение 

p2 
_hk2 

h 2 m 
2 m 

. 

Повторим процедуру приведения показателя экспоненты к полному 
квадрату: 

1 

2 

л 
2 
iht 

( Л x 0) + m 
(k-k0) 
+i\ 
x- hkt^ 
ihk^' 

( k - k 0) + i k 0 x 

m J 
2m 

t^ 

10 

≡ - a ξ 2 + b ξ + c = - a 
b 

2a 

b2 

+ 
+ c, 

4 a 

здесь 

ξ = k -k0; 
a = — 

2 

(Δx 0 )2 
iht 

m 

; 
b = 
i(x-vt); 

с = i k0 x-i 
ωk t; 
v = 
0 ; 
co0 = h k 0 . 

m 

В результате интегрирования получаем 

ψ (x, t) = 

\ 

π 

(Δx0)2 + iht 

m 

exp 
(x-vt)2 

2 (Δ x 0 ) 2 + iht 

m 

2 m 

+ ik 0 x-iω 
k 0 t 
≡  

≡  B (x, t) exp [ i k0 x - i ω k0 t ]. 

Модуляция амплитуды пакета определяется множителем 

exp 
(x - v t)2 

2 
iht 

(Δx 0) + 

m 

= 

= exp 
(x-vt)2 

2 (Δ x)2 
exp iht 

2 m 

(x-vt)2 

(Δ 

4 
h2 t2 

x 0) + 

m 

где 

(Δx)2 = ( Δ x 0)2 + 
= (Δx 0)2 
1 + 

11 

2 

, 

.