Физика : Механика. Молекулярная физика. Термодинамика

УДК 531/534+539.19+536(075) 
 
Ф 503 

Физика: Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: 
Учеб. пособие для самостоятельной работы по решению задач  
/Под. ред. Г.М. Ашмарина. М.: МИСиС, 2001. 185 с. 

Авторы: Т.М. Ахметчина (гл. 2), Н.Г. Богомолова (гл. 9–11), 
В.И. Бузанов (гл. 5–8), В.А. Докучаева (гл. 1, 4), И.Г. Поволоцкая 
(гл. 3), О.А Ушакова (гл. 12, 3 и 13). 

Ответственный редактор В.А. Докучаева 

В учебном пособии приведены краткие теоретические сведения по 
механике, молекулярной физике и термодинамике. Содержится подробная 
методика решения задач по указанным разделам физики, начиная с самых 
простых и заканчивая более сложными. 

Предназначено для дополнительной самостоятельной работы студентов I курса инженерных специальностей. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2001 

АХМЕТЧИНА Татьяна Михайловна 

БОГОМОЛОВА Надежда Григорьевна 

БУЗАНОВ Василий Иванович 

ДОКУЧАЕВА Валерия Агафангеловна 

ПОВОЛОЦКАЯ Инна Григорьевна 

УШАКОВА Ольга Анатольевна 

ФИЗИКА 

Механика 
Молекулярная физика 
Термодинамика 

Учебное пособие  
для самостоятельной работы по решению задач 
для студентов инженерных специальностей 

Рецензент доц. Ю.С. Старк 

Техническое редактирование Л.В. Иванковой 

Подписано в печать 
Объем 185 стр.  
Тираж  2100 экз. 

Заказ 449/877 
Цена “С” 

Московский государственный институт стали и сплавов. 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4. 
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС, 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие...................................................................................................... 4 

I. МЕХАНИКА 

1. Кинематика.................................................................................................... 5 
1.1. Прямолинейное движение......................................................................... 5 
1.2. Криволинейное движение ....................................................................... 10 
1.3. Кинематика вращательного движения................................................... 18 
2. Динамика поступательного движения ...................................................... 24 
2.1. Законы Ньютона....................................................................................... 24 
2.2. Импульс тела. Закон сохранения импульса........................................... 37 
2.3. Механическая работа. Закон сохранения энергии при 
поступательном движении ..................................................................... 47 

3. Динамика вращательного движения ......................................................... 60 
3.1. Основной закон динамики вращательного движения .......................... 60 
3.2. Момент импульса..................................................................................... 73 
3.3. Работа и энергия при вращательном движении .................................... 79 
4. Механические колебания ........................................................................... 94 
4.1. Свободные незатухающие гармонические колебания.......................... 94 
4.2. Свободные затухающие гармонические колебания............................ 100 
4.3. Энергия гармонических колебаний...................................................... 106 
5. Неинерциальные системы отсчета .......................................................... 113 
5.1. Кинематика относительного движения................................................ 113 
5.2. Основное уравнение динамики в неинерциальной системе 
отсчета.................................................................................................... 115 

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 

6. Уравнение состояния идеального газа.................................................... 132 
7. Кинетическая теория идеальных газов ................................................... 138 
7.1. Основное уравнение кинетической теории газов................................ 138 
7.2. Распределение молекул по скоростям. Закон Максвелла .................. 139 
7.3. Барометрическая формула. Закон Больцмана ..................................... 140 
8. Явления переноса в газах ......................................................................... 147 
8.1. Диффузия................................................................................................ 147 
8.2. Теплопроводность.................................................................................. 147 
8.3. Внутреннее трение................................................................................. 148 

III. ТЕРМОДИНАМИКА 

9. Первое начало термодинамики................................................................ 153 
10. Смесь газов.............................................................................................. 161 
11. Работа....................................................................................................... 166 
12. Второе начало термодинамики.............................................................. 170 
13. Энтропия термодинамических систем.................................................. 180 

3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие предназначено для самостоятельной 
работы студентов по освоению методики решения задач по разделам: механика, молекулярная физика и термодинамика курса «Физика», изучаемого в институте студентами инженерных специальностей. 

В начале каждого раздела даны основные теоретические положения, необходимые для решения задач по данной теме. 

Решение каждой задачи дается с подробными объяснениями, предназначенными для студентов, имеющих проблемы в школьной подготовке 
по физике. В каждом разделе даны задачи разной степени сложности, начиная от самых простых и заканчивая более сложными. Формулы в задачах пронумерованы цифрой со звездочкой в отличие от формул в теоретической части. 

Работа над данным пособием должна помочь студенту освоить методику решения задач и подготовить его к экзамену по курсу физики. 

Порядок решения задач: 
1. Внимательно изучить текст задачи. 
2. Написать «Дано» и выписать все величины, данные в тексте задачи. 

3. Перевести значения этих величин в единицы СИ. 
4. Сделать рисунок, на который вынести все «данные» по условию 
задачи, а также четко обозначить векторные величины, используя законы 
физики, указанные в разделе. 

5. Решить задачу в общем виде, т. е. вывести формулу, выражающую искомую величину. 

6. В эту формулу подставить числа и сделать расчет. 
7. Записать ответ: численное значение и размерность искомой величины. 

4 

I. МЕХАНИКА 

Механика изучает относительное движение – перемещение тел 
друг относительно друга. Она делится на кинематику и динамику. 

Кинематика изучает перемещение тел во времени и пространстве, 
не интересуясь причинами его возникновения. 

Тело, относительно которого происходит перемещение, и связанная с ним система координат (например, декартова система XYZ) образуют 
систему отсчета. Относительно такой системы отсчета тело может двигаться 
поступательно, 
вращаться 
или 
совершать 
поступательновращательное движение. 

Поступательным называется такое движение, при котором любая 
прямая, жестко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. 
По виду траектории (кривой, по которой перемещается тело относительно 
системы отсчета) различают прямолинейное и криволинейное движение. 
Начнем с движения материальной точки-тела, размерами которого можно 
пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. 

1. КИНЕМАТИКА 

1.1. Прямолинейное движение  

Если тело движется по прямой линии, то движение называется 
прямолинейным (например, движение паровоза по рельсам). 

Это движение характеризуется тремя параметрами кинематики: 
вектором перемещения rr , м; 
мгновенной скоростью υr, м/с; 
ускорением аr , м/с2. 
Вектором перемещения rr  называется вектор, проведенный из начальной точки траектории движения в конечную. Рассматривают также 
путь S – расстояние, пройденное телом. Например, если материальная 
точка движется из пункта А в пункт С через пункт В (рис. 1), то вектор перемещения rr = АС
rr
, а модуль вектора 
АС
rАС =
r
, в то время как пройденный телом путь S = АВС. Видим, что 
S
rАС ≠
r
. Отрезок АС < (АВ + ВС). 
Поэтому можно сравнивать только элементарные значения модуля вектора перемещения и пути: 

dS
r
d
=
r
. 
(1) 

5 

Рис. 1 

Вектор перемещения важен тем, что указывает направление движения, а путь – это только расстояние, при этом неизвестно, в какую сторону двигалось тело. 

Мгновенная скорость υ  вводится так: 
r

dt
r
d
υ

r
r =
 или 
dt
dS
υ =
r
. 
(2) 

Мгновенная скорость равна производной от вектора перемещения 
по времени. Средняя же по величине скорость по интервалу времени Δt: 

t
S
υ
Δ
Δ
=
ср
, 
(3) 

т. е. весь путь ΔS, пройденный за время Δt, деленный на это время Δt. 

Мгновенное ускорение  вводится так: 
аr

2

2

dt

r
d
dt
υ
d
а

r
r
r
=
=
, 
(4) 

т. е. мгновенное ускорение равно производной от вектора скорости по 
времени или второй производной от вектора перемещения по времени. 

Среднее же значение ускорения по интервалу времени Δt: 

t
υ
аср
Δ
Δ
=
, 
(5) 

т. е. полное изменение скорости Δυ за время Δt, деленное на время Δt. 

Решение задач по кинематике связано с рассмотрением указанных 
выше трех параметров кинематики. Иногда задают функцию S(t) – зависимость пути от времени движения, а найти нужно υ(t) и а(t) (прямая задача кинематики), а иногда задают функцию а(t) – зависимость ускорения от 
времени движения тела, а найти нужно υ(t), S(t) (это обратная задача кинематики). Рассмотрим решение типичных задач по кинематике. 

Задача 1.1 

Тело движется прямолинейно. Зависимость пути S от времени t дается уравнением 
, где α = 3 м/с, β = 2 м/с
3
2
t
t
t
S
γ
+
β
+
α
=
2, γ = 1 м/с3. Определить зависимость скорости υ и ускорения а от времени t. Чему равно 
ускорение через 3 с после начала движения? 

6 

Дано: 
Решение 

3
2
t
t
t
S
γ
+
β
+
α
=

α = 3 м/с 
β = 2м/с2 

γ = 1 м/с3 

t = 3 с 
υ(t) – ? 
a(t) – ? 
at – ? 

1. По 
определению 
скорость 
dt
r
d
υ
r
r =
 
или 

dt
ds
υ =
, берем производную 
2
3
2
t
t
dt
dS
γ
+
β
+
α
=
, тогда 

. 
( )
2
3
2
t
t
t
υ
γ
+
β
+
α
=

2. По 
определению 
ускорения 
dt
υ
d
a

r
r =
 

или
dt
υ
d
a

r
r =
, берем производную от скорости, т. е. 

( )
t
t
a
γ
+
β
=
6
2
. 

3. 
t
a
γ
+
β
=
6
2
 при t = 3 с. Подставим числовые значения: 

аt=3 = 2.2 + 6.1.3 = 4 + 18 = 22 м/с2. 

Ответ: аt = 22 м/с2. 

Задача 1.2 

Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением а = 5 м/с2. 
Найти зависимость скорости и пройденного пути от времени. Чему равна 
скорость через 10 мин после начала движения? 

Дано: 
Решение 

а = 5 м/с2

t = 10 мин=600 с 
υ(t) – ? 
S(t) – ? 
υ – ? 

1. По определению ускорение 
dt
dυ
a =
, тогда 

adt
dυ =
; берем интеграл 

∫
+
=
=
C
at
adt
υ
 
(1*) 

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий. При 
t = 0 υ = υ0, С = υ0. Подставив С в (1*), получим 

 
υ = υ0 + at, 
(2*) 

т. е. υ ⇒ υ(t). 

2. По определению скорость 
dt
r
d
υ

r
r =
 или 
dt
dS
dt
r
d
υ
=
=
r
r
, тогда 

dS = υdt, интегрируем 

(
)
C
t
a
t
υ
atdt
dt
υ
dt
at
υ
υdt
S
+
+
=
+
=
+
=
=
∫
∫
∫
∫
2

2

0
0
0
. 
Пусть 
при 

t = 0, S = S0 – начальный путь. Тогда S0 = С и 

7 

2

0
0
at
t
υ
S
S
+
+
=
, 

т. е. S ⇒ S(t). 

3. Ищем значение скорости через t = 600 с из (2*) υ = υ0 + at. Если 
начальная скорость не задана, очевидно, она равна нулю, т. е. υ0 = 0. υ = at; 
υ = 5.600 = 3000 (м/с) = 3 км/с. 

Ответ: υ = 3 км/с. 

Задача 1.3 

Байдарка из точки А направляется со скоростью υ = 3 м/с перпендикулярно реке к другому берегу (рис. 2), расстояние до которого 
L = 300 м. Течение воды со скоростью U = 4 м/с относит ее на расстояние 
 = 400 м вниз по реке. Найти результирующую скорость движения байдарки относительно берега 
и время, затраченное на переправу через реку. 

l

0υr

Рис. 2 

Дано: 
Решение 

υ = 3 м/с 
U = 4 м/с 
L = 300 м 
l = 400 м 
υ0 – ? 
t – ? 

1. Результирующая скорость движения равна 
векторной сумме скоростей υr  и U

r

 и находится по правилу параллелограммов. В данном случае 
U
υ

r
r ⊥
, поэтому величину результирующей скорости найдем по тео
реме Пифагора. 
U
υ
υ

r
r
r
+
=
0
, а 
2
2
0
U
υ
υ
+
=
r
. Подставим 

значения скоростей 
5
4
3
2
2
0
=
+
=
υ
 м/с. 

2. Время движения (равномерного) байдарки 
υ
L
t =
 или 
U
t
l
=
 или 

0υ
AC
t =
. 
100
3
300 =
=
t
с. 

Ответ: υ0 = 5 м/с; t = 100 с. 

8 

Задача 1.4 

Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на Землю спустя 
время t = 5 с. Какова начальная скорость υ0 тела и на какую максимальную 
высоту оно поднялось? 

Дано: 
Решение 

t = 5 с 
g = 9,8 м/с2

υ0 – ? 
hmax – ? 

Гравитационное поле Земли сообщает свободно 
падающему телу ускорение g = 9,8 м/с2 = const. Значит, 
движение тела вниз будет равноускоренным. При движении вверх вектор ускорения направлен в сторону, противо
положную вектору скорости, и движение будет равнозамедленным. В 
этом случае скорость и путь (высота) зависят от времени (рис. 3) и вычисляются  по формулам 

⎪⎩

⎪⎨
⎧

±
=

±
=

.
2

,

2

0

0
t
g
t
υ
h

gt
υ
υ

)
2
(

)
1(

*

*

Рис. 3 

Знак минус перед ускорением g означает, что 
0υr  и gr  направлены в 
противоположные стороны. Итак, поднимаясь вверх, тело движется равнозамедленно, останавливается (υ = 0) и падает вниз равноускоренно. В 
момент остановки высота будет максимальной hmax. Из формул (1*) и (2*) 
 ⇒ 
под
0
0
gt
υ −
=
под
0
gt
υ =
. Учитываем, что время подъема равно времени 

9 

падания tпод = tпад = 2,5 с; 
2
2
2

2
пад
2
под
2
пад

2
под
под
0
max
gt
gt
gt
gt
t
υ
h
=
−
=
−
=
. Отсюда 

υ0 = 9,8.2,5 = 24,5 м/с; 
63
,
30
2
5,2
8,9
2

max
⋅
=
h
 м. 

Ответ: υ0 = 24,5 м/с; hmax = 30,63 м. 

Задача 1.5 

Тело 1 движется равноускоренно с начальной скоростью υ01 = 2 м/с 
и ускорением а = 0,1 м/с2. Через время Δt = 10 с после начала движения 
тела 1 из этой же точки начинает двигаться равноускоренно тело 2 с начальной скоростью υ02 = 12 м/с и тем же ускорением а. Найти время, за 
которое тело 2 догонит тело 1. 

Дано: 
Решение 

υ01 = 2 м/с 
υ02 = 12 м/с 
а = 0,1 м/с2

Δt = 10 с 
t – ? 

Тела 1 и 2 двигаются равноускоренно с одним ускорением и проходят одинаковый путь S, но второе тело 
вышло на 10 с позднее, чем первое. Если время движения 
тела 1 обозначить t, то время движения тела 2 будет меньше (t – 10). Запишем формулу для пути равноускоренного 
движения тела 1 и тела 2: 

(
)
(
)

⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨

⎧

−
+
−
=

+
=

.
2
10
10

,
2

2

02

2

01

t
a
t
t
υ
S

at
t
υ
S

Для упрощения решения подставим коэффициенты: 

(
)
(
)
2
2
10
2
1,0
10
12
2
1,0
2
−
+
−
=
+
=
t
t
t
t
S
. 

Отсюда 

(
)
100
20
05
,0
120
12
05
,0
2
2
2
+
−
+
−
=
+
t
t
t
t
t
,

; 9t = 115; t = 12,8 с. 
5
05
,0
120
12
05
,0
2
2
2
+
−
+
−
=
+
t
t
t
t
t

Ответ: t = 12,8 с. 

1.2. Криволинейное движение 

Если траектория движения тела (материальной точки) – кривая линия, то движение называется криволинейным. В этом случае рассматриваются те же параметры кинематики, что и при прямолинейном движении: 

10 

вектор перемещения rr  – это вектор, проведенный из начальной 
точки 1 в конечную точку 2 движения тела (рис. 4). Путь S – расстояние, 
пройденное телом, в нашем случае – дуга. Ясно, что 
r
S
r
>
, но dS = dr 
(вблизи точки 1); 

Рис. 4 

вектор скорости определяется как производная вектора перемещения по времени: 

dt
r
d
υ

r
r =
. 
(6) 

Средняя в интервале Δt скорость движения точки 

t
S
υ
Δ
Δ
=
ср
. 
(7) 

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории 
движения; 

ускорения: 
– тангенциальное 
τ
ar  характеризует изменение скорости по величине. 

dt
υ
d
a

r
r =
τ
, 
(8) 

направлено, как и скорость, по касательной к траектории движения; 

– нормальное 
 характеризует изменение скорости по направлению. 

n
ar

R
υ
an

2
=
r
 
(9) 

11