Физика : волновые свойства микрочастиц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

Кафедра физики

О.В. Алифанов 
 
 

Физика

Волновые свойства микрочастиц 

Лабораторный практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2017 

№ 3123 

УДК 530.145 
 
А50 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Б. Черепецкая 

Алифанов О.В. 
А50  
Физика: волновые свойства микрочастиц : лаб. практикум / 
О.В. Алифанов. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 15 с. 
 

Данное пособие содержит описание лабораторной работы «Волновые свойства микрочастиц», дополняющей лабораторный практикум «Физика. Оптика». 
Приведены теоретические сведения о волнах вещества (волнах де Бройля), методика эксперимента, порядок выполнения и обработки результатов эксперимента, 
контрольные вопросы, список литературы. 
Предназначено для студентов НИТУ «МИСиС» всех направлений подготовки. 

УДК 530.145 

 
 О.В. Алифанов, 2017 
 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Теория и основные уравнения ......................................................... 4 
2. Экспериментальная установка ...................................................... 11 
3. Порядок выполнения работы ......................................................... 12 
4. Обработка результатов измерений ................................................ 13 
Список литературы ............................................................................. 14 
Контрольные вопросы ........................................................................ 14 
 

Лабораторная работа 3-18 

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ 

Цель работы: измерение радиусов колец дифракционной картины 
в электронно-лучевой трубке при различных ускоряющих напряжениях; расчет длины волны де Бройля для электронов и межплоскостных расстояний в кристалле графита.  

1. Теория и основные уравнения 

Гипотеза Луи де Бройля о волновых свойствах частиц вещества 
(элементарных частиц, атомов, молекул и др.) лежит в основе квантовой 
(волновой) механики наряду с представлениями М. Планка о кванте 
действия и А. Эйнштейна о кванте энергии светового излучения. 
Идеи Л. де Бройля, изложенные в его диссертации (1924 г.) заключаются в следующем: де Бройль приписывает каждой системе с 
энергией Е или массой m частоту ν с помощью двойного соотношения Эйнштейна: 

 
2
 
E
mc

  hν, 
(1) 

где h – постоянная Планка (квант действия); 
m – релятивистская масса: 

 
0

2

2

.

1

m
m

c






 
(2) 

Первым из двух объединённых в (1) утверждений является закон 
эквивалентности массы и энергии, а вторым – уравнение Эйнштейна 
для фотоэффекта в его максимально упрощенной форме.  
Рассмотрим движущуюся вместе с частицей «систему покоя» 
(х0, t0) и «систему наблюдателя» (х, t), в которой частица обладает 
скоростью . Тогда согласно преобразованиям Лоренца имеем 

 

2  

0 
0 
2
2

2
2

,     
 .  

1
1

x
t
x
t
c
x
t

c
с















 
(3) 

Применим теперь уравнение (1) один раз в системе покоя, другой – 
в системе наблюдателя: 

 
2  
0 
0
0
 
c
ν  ,
E
m
h


 
2 
 c
 ν
E
m
h


,  
(4) 

Отсюда с учетом (2) следует  

 

2

0 
2
  1
.
c
 

 
(5) 

Естественно рассматривать волновой процесс в системе покоя (в которой никакое пространственное направление не выделено) как 
функцию только от времени: 

 
 
0 0
2
0
,
 
i
t
t
Ae



  
(6) 

где А – постоянная, знак в показателе экспоненты не существен. 

В системе отсчета наблюдателя с учетом формул (3) и (5) процессу (6) соответствует волна 

 



2
2
  
,
 
 .

x
i
t
c
x t
Ae












 
(7) 

Обозначим в (7) ω = 2πν и введем волновое число k: 

 
2
2 
2
, 
m
k
c
mc



 


 
(8)  

тогда в системе наблюдателя получим 

 




 –
,
 
. 
i kx
t
x t
Ae



  
(9) 

Согласно формулам (8) и (4) длина волны де Бройля равна 

 
2
,
h
k
m


 

  
(10) 

где m – релятивистская масса частицы; 
 – скорость частицы в системе отсчета наблюдателя. 

Вернемся к монохроматической волне (9). Зафиксируем произвольное значение фазы Ф волны: 

 


,
 
 
const.       
x t
t
kx

 

  
(11) 

Дифференцируя это выражение по t, получаем 

 
0 .
dx
k dt
 

 

Отсюда фазовая скорость (т.е. скорость распространения фиксированной фазы) V волны будет 

 
.
dx
V
dt
k



 
(12) 

Из последнего определения с учетом формулы (8) находим 

 

2
 . 
c
V  
 
(13) 

Поскольку скорость  частицы не может быть больше скорости 
света в вакууме [согласно формуле (2)], из (13) следует, что фазовая 
волна (7) распространяется со сверхсветовой скоростью (относительно 
наблюдателя). Это не противоречит специальной теории относительности, поскольку волна фазы не переносит энергии и поэтому её скорость может быть любой в отличие от групповой скорости гр, т.е. 
скорости группы волн с близкими частотами («волнового пакета»). 
Оказывается, что групповая скорость волнового пакета (т.е. скорость его центральной частоты) совпадает со скоростью частицы . 
Действительно, по определению групповой скорости 

 
гр
 . 
d
dk



 
(14) 

Из формул (1), (10) имеем 

 
2
2
2
2
  
;
d
d
dE
c dm
h
h


  
 

 

 


2
.
dk
d m
h



 

Подставим эти выражения в определение (14): 

 

2
2

гр
1
 
 
 .             
 
  

c dm
c
md
dm
dm
m d



















 
(15) 

Дифференцирование массы m по скорости   частицы согласно (2) дает 

 
0
2
2 
2

2

  
 
 .
 
1

m
dm
d
m
d
d
c
v
c












 

Отсюда с учетом (15) находим в результате 

 

2

гр
2
2 
 
.    
 
  

c

c
m
m


















 
(16) 

То, что скорость частицы соответствует не фазовой скорости V 
распространения монохроматической волны, а скорости распространения группы волн, дало основание предполагать, что физическую 
картину движущейся материальной частицы составляет не монохроматическая волна, а волновой пакет. Однако волновой пакет, состоящий из волн де Бройля, как можно показать, «расплывается» со 
временем, что несовместимо с представлением о стабильной частице. 
В. Гейзенберг и Н. Бор (1926) пришли к принципиально другому 
взгляду на волну (9). Основанная на этом взгляде статистическая 
интерпретация (М. Борн) волн де Бройля приписывает им особый 
вероятностный смысл. Применительно к дифракции электронов на 
кристалле он таков: каждому свободно движущемуся электрону в 
общем пучке частиц, падающих на кристалл, сопоставляется плоская 
волна де Бройля. Взаимодействие электронов с атомами кристалла 
рассматривается как дифракция волн на кристаллической решетке. 
Дифракционная картина есть проявление статистической закономерности, согласно которой электроны с большей вероятностью попадают 
в одни места экрана (более яркие) и с меньшей вероятностью – в другие места (менее яркие). Интенсивность волны (т.е. квадрат модуля 
амплитуды ψ ) является мерой вероятности Р обнаружения частицы в 
данной точке экрана с координатами (x, y, z) в момент времени t: 

 



2
, , ,
 
Р x y z t   . 
(17) 

Функция ψ в общем случае находится из решения дифференциального уравнения (уравнения Шредингера) при заданных начальных 
и граничных условиях, отражающих физическую ситуацию для конкретной частицы или системы частиц. 

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927) по рассеянию 
«медленных» электронов (с энергией 100…150 эВ) на монокристалле 
никеля, представляющем собой дифракционную решетку для волн де 
Бройля. Длина волны де Бройля электронов указанной энергии порядка размеров атомов никеля или межатомных расстояний в кристалле, что является одним из условий возможности наблюдений дифракционной картины при рассеянии волн, например, электромагнитной природы. 
Для упругого рассеяния рентгеновского излучения на системе параллельных атомных плоскостей (рис. 1) (с расстоянием d друг от 
друга) условие, определяющее направления, в которых возникают 
максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) отраженных лучей, называется условием Брэгга–Вульфа: 

 
2  sin   
d
n
 
 ,  
(18) 

где n – целое число, называемое порядком отражения 
θ – угол скольжения падающего луча (см. рис. 1) – угол Брэгга; 
λ – длина волны излучения. 

 

Рис. 1. Отражение излучения от системы атомных плоскостей. 
Угол между падающим и отраженным лучами равен 2θ. 
Разность хода между лучами 1 и 2: АВ + ВС = 2d sinθ 

d 
A

В

С

Условие Брэгга–Вульфа (18) позволяет вычислять расстояния между плоскостями в кристалле, если известна длина волны λ и углы θ, 
соответствующие дифракционным максимумам отраженных лучей.  
Условие Брэгга–Вульфа остается справедливым и для дифракции 
электронов (и других частиц вещества) в кристаллах, что наблюдали 
в опыте Дж. П. Томсон и И.С. Тартаковский вскоре после опытов 
Дэвиссона и Джермера. Только теперь использовались «быстрые» 
электроны (с энергией порядка десятков килоэлектронвольт), что 
необходимо для исключения явления преломления электронной волны на поверхности кристалла. При этом λ в (18) теперь означает длину волны де Бройля, вычисляемую по формуле (10). 
В данной работе электроны, ускоренные в электронно-дифракционной трубке с анодным напряжением Ua, приобретают кинетическую энергию, равную р2/2m (в нерелятивистском приближении). В 
силу закона сохранения энергии имеем 

 

2

a
0
,
2
р
eU
m 
  
(19) 

где т0 и е – масса покоя и модуль заряда электрона соответственно. 

Отсюда получим расчетное выражение для вычисления длины 
волны де Бройля при известном анодном напряжении Ua: 

 

0 
a
 .
2
h
h
р
m eU
 

 
(20) 

В формуле (20) напряжение Uạ следует подставлять в вольтах. 
Пучок электронов, ускоренных напряжением Uạ, падает на мишень, состоящую из микрокристаллов графита (рис. 2), имеющих 
гексагональную структуру, и дифрагирует при отражении от различных его плоскостей (рис. 3). Из рис. 2 следует, что имеет место условие, связывающее угол Брэгга θ с радиусом r кольца дифракционного 
максимума и радиусом R электронно-дифракционной трубки:  

 
sin4
 r
R
 
.  
(21) 

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла sin4θ = 2 sin2θ cos2θ 
и, учитывая, что углы для отраженных лучей в опыте удовлетворяют условию 2θ < 8,5°, заменим cos2θ на единицу. Тогда получим 

 
sin4θ 
 2 sin2θ 
 4 sinθ.


 
(22) 

Рис. 2. Схематическое изображение электронно-дифракционной 
трубки. Угол между направлением падающего луча 1 и лучом 2, 
отраженным в направлении дифракционного максимума, равен 2θ 
в соответствии с рис. 1. Вертикальная стрелка указывает радиус r 
дифракционного кольца; R = 65 мм 

 

Рис. 3. Расположение атомных плоскостей в графите с межплоскостными 
расстояниями d1 = 213 пм и d2 = 123 пм, с которыми связаны два кольца 
дифракционной картины (для первого порядка отражения n = 1) 

Теперь подставим sinθ из условия Брэгга–Вульфа (18) в формулу 
(22) и учтем выражение (21). В результате окончательно находим для 
межплоскостного расстояния d (при малых углах отражения) 

4

2
  .
Rn
d
r



 
(23) 

В дальнейших расчетах эта формула используется для нахождения межплоскостных расстояний d1 и d2 в кристалле графита, соответствующих радиусам первых двух колец дифракционной картины 
r1 и r2 (в первом порядке отражения n = 1). Длина волны де Бройля λ 
вычисляется по формуле (20). 

2. Экспериментальная установка 

Идея эксперимента 
Электроны в электронно-дифракционной трубке 1 ускоряются напряжением в несколько киловольт и, отражаясь от поверхностей 
микрокристаллов графита, образуют на флуоресцентном экране дифракционную картину в виде более ярких колец (максимумов интенсивности), разделенных менее яркими кольцами (минимумами интенсивности). Измеряя радиусы ярких колец и ускоряющее напряжение, можно рассчитать длину волны де Бройля электронов и значения межплоскостных расстояний в кристалле графита. 
Внимание! Необходимо соблюдать следующие меры безопасности: 
 не включать источники напряжения без наблюдения технического персонала; 
 не прикасаться к высокоомному резистору: напряжение на резисторе может сохраняться в течение 10 с после выключения источника питания; 
 не допускать попадания жидкости и посторонних предметов в 
вентиляционные отверстия на источниках питания; 
 не накрывать вентиляционные отверстия; 
 не изменять схему соединений установки при включенных источниках питания; 
 быть осторожным при обращении с электронно-дифракционной трубкой при измерениях; 
 выключать напряжение на электронно-дифракционной трубке 
сразу после измерений; 
 не пользоваться мобильным телефоном. 
Следует помнить, что в процессе работы электронно-дифракционная 
трубка генерирует небольшое электромагнитное излучение рентгеновского диапазона.