Физика : волновые процессы. Ч. 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1000 

Кафедра физики 

С.М. Курашев 
 
 
 

Физика 

Волновые процессы 

Курс лекций 

Часть 1 

Допущено учебно-методическим объединением по образованию 
в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
150700 – Физическое материаловедение 
 

Москва  2010 

УДК 53 
 
К11 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. С.А. Никулин 

Курашев С.М. 
К11  
Физика: Волновые процессы: Курс лекций. Ч. 1. – М.: Изд. 
Дом МИСиС, 2010. – 224 с. 
ISBN 978-5-87623-345-5 

Курс лекций «Физика волновых процессов» посвящен важнейшему разделу общей физики – физике волн. Состоит из двух частей. Первая часть 
представлена тремя главами, где рассмотрены общие свойства волновых 
процессов в упругих средах, электромагнитные волны в теории Максвелла, 
основополагающие факторы волновых процессов – интерференция и дифракция в области оптической части спектра электромагнитных волн. Вторая 
часть будет состоять состоит из двух глав, в которых рассматриваются как 
фундаментальные, так и прикладные эффекты и волновые явления, связанные с взаимодействием электромагнитного излучения с веществом на молекулярном уровне, а также квантовые свойства электромагнитного излучения.  
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по следующим 
направлениям: физическое материаловедение; материаловедение и технология новых материалов; техническая физика; электроника и микроэлектроника; микроэлектроника и твердотельная электроника. Можно также рекомендовать для изучения избранных вопросов одноименного спецкурса «Физика 
волновых процессов» по профилю «Физика кристаллов оптики и акустоэлектроники». 
УДК 53 

ISBN 978-5-87623-345-5 
© Курашев С.М., 2010 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Волны в упругих средах ....................................................................4 
Лекция 1 ...............................................................................................4 
Лекция 2 .............................................................................................20 
Лекция 3 .............................................................................................44 
Лекция 4 .............................................................................................63 
2. Электромагнитные волны в теории Максвела ..........................81 
Лекция 5 .............................................................................................81 
Лекция 6 .............................................................................................91 
3. Волновая оптика.............................................................................111 
Лекция 7 ...........................................................................................111 
Лекция 8 ...........................................................................................131 
Лекция 9 ...........................................................................................161 
Лекция 10 .........................................................................................188 
Библиографический список.................................................................223 

1. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ1 

ЛЕКЦИЯ 1  

1.1. Упругие волны 

Упругой волной называют процесс распространения возмущения 
в упругой среде. Среда рассматривается феноменологически как 
сплошная и непрерывная, т.е. в пространственных масштабах больших по сравнению с атомистической зернистостью строения реального вещества. Несмотря на огромное качественное разнообразие 
физических процессов, имеющих волновой характер, существуют 
общие принципы, характерные для всех волновых явлений.  
Возмущение, реализованное в некоторый момент времени в компактной области среды, неизбежно распространяется в невозмущенные области, при этом скорость распространения имеет определенное характерное для данной среды значение, т.е. является константой 
среды в заданных условиях. Под возмущением понимают любое 
смещение точек среды относительно устойчивого стационарного положения, которое будем называть положением равновесия данной 
точки среды.  
Следует подчеркнуть, что составляющие среду материальные частицы в процессе волнового движения перемещаются на небольшие 
расстояния относительно своего устойчивого положения, в конечном 
итоге обязательно возвращаясь в него. Однако в силу непрерывности 
упругой среды смещение некоторых частиц неизбежно вызывает 
подчиненное смещение соседних частиц, которые, в свою очередь, 
являются причиной смещения следующих по удаленности частиц и 
т.д. В этом смысле волновой процесс есть процесс передачи возмущения, первоначально сосредоточенного в некоторой пространственной области упругой среды, соседним пространственным областям, т.е. процесс, связанный с включением в состояние возмущения 
все новых и новых частиц упругой среды. Любое смещение частиц 
упругой среды из положения равновесия связано с приобретением 
этими частицами механической энергии. Следовательно, волновой 

––––––––– 
1 Изложение этой главы проведено в соответствии с идеями и методологией классического учебника Г.С. Горелика «Колебания и волны». 

процесс можно квалифицировать как процесс передачи возмущенной 
энергии в упругой среде, при этом последний не сопровождается переносом на макро расстояния возмущенной массы среды. Остановимся на кинематической (описательной) стороне рассматриваемого 
процесса.  
Различают волны продольные и поперечные, в зависимости от направления смещения частиц относительно своих положений равновесия. Волна, в которой частицы смещаются перпендикулярно направлению распространения возмущения (а, значит, и энергии), называется поперечной, аналогично волна распространения продольных смещений частиц упругой среды называется продольной.  
Греческой буквой ξ будем обозначать продольные возмущения. 
Поскольку возмущение, вообще говоря, различно в разных пространственных точках упругой среды, а также в разные моменты времени, 
естественно классифицировать его как функцию пространственных и 
временной переменных, т.е. как 
( , , , )
x y z t
ξ = ξ
. В упрощенных случаях 
возмущение является функцией только одной из пространственных 
переменных, например, x, две другие переменные при этом являются 
«немыми». В этом случае все точки произвольной плоскости, ортогональной оси Х, в любой момент времени имеют одинаковое возмущение. Подобную волну принято классифицировать как плоскую. 
Поперечные возмущения будем обозначать греческой буквой η. В 
тех случаях, когда рассматриваются возмущения обоих видов и результаты имеют сходные характеристики, будем использовать латинскую букву f, обозначающую как продольные, так и поперечные возмущения. 

1.2. Волновое уравнение 

Выберем наиболее простую одномерную среду, т.е. среду, в которой точки ее составляющие, допускают упорядочение одной линейной осью, например, декартовой осью X. Подобной структурой можно считать длинный натянутый шнур. 
Рассмотрим распространение возмущения в положительном направлении вдоль шнура (т.е. вдоль оси Х). Моментальное смещение 
элементов шнура из положения равновесия в некоторый момент времени (возмущение) обозначим функцией 
( )
f x . Возмущение через 
определенный промежуток времени t, не изменяя формы, сместится 
на расстояние S. В этом случае, очевидно, математическая запись 
сместившейся формы определяется прежней функцией, в которой 

произведен сдвиг аргумента: x
x
S
→
−
. Таким образом, функцией 

(
)
f x
S
−
 определяется возмущение через некоторый промежуток 
времени. В свою очередь, считая сдвиг S линейной функцией времени, т.е. S
ct
=
, получим факт распространения недеформированного 
возмущении (без изменения формы) вдоль оси Х в положительном 
направлении. При этом возмущение перемещается с постоянной скоростью c. Итак, произвольная непрерывная функция сложного аргумента 
(
)
f x
ct
−
 представляет пример возмущения одномерной среды, распространяющегося в положительном направлении с характерной для этой среды скоростью с. Обратим внимание на то, что 
аргументом является линейная комбинация пространственного и 
временного аргументов, т.е. комбинации x
ct
−
. 
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что построенная 
функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка 

 
1
0
f
f
с
t
x

∂
∂
+
=
∂
∂
. 
(1.1) 

Удобно записать полученное уравнение в формальном операторном виде 

 
1
0
f
с t
x
∂
∂
⎛
⎞
+
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
. 
(1.2) 

Распространение возмущения в отрицательном направлении оси Х 
представляется функцией f (x + ct). Уравнение, которому удовлетворяет такой вид распространяющегося возмущения, очевидно, имеет вид 

 
1
0
f
f
с
t
x

∂
∂
−
=
∂
∂
. 
(1.3) 

Операторная форма записи последнего уравнения также не вызывает проблем, именно 

 
1
0
f
с t
x
∂
∂
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
. 
(1.4) 

Опытным фактом следует считать обстоятельство распространения возмущения упругими средами в обоих направлениях оси Х. Используя математический факт возможности изменения порядка дифференцирования по временным и пространственным переменным, 
легко убедиться, что уравнению второго порядка, полученному фор

мальным перемножением скобок (1.2) и (1.4), удовлетворяют оба 
рассмотренных случая 

 
1
1
0
f
с t
x
с t
x
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞⎛
⎞
+
−
=
⎜
⎟⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠⎝
⎠
. 
(1.5) 

Приведенная форма записи делает очевидным решение вида f (x – ct). 
Последнее уравнение можно записать с измененным порядком 
формальных скобок 

 
1
1
0
f
с t
x
с t
x
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞⎛
⎞
−
+
=
⎜
⎟⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠⎝
⎠
. 
(1.6) 

Решение вида f (x + ct) в новой записи уравнения – очевидно. Тем 
самым показано, что уравнение второго порядка (1.5) имеет решения 
в виде возмущений, распространяющихся без изменения формы как 
в положительном, так и в отрицательном направлениях оси Х. 
Раскрыв скобки и выполнив очевидные сокращения, получим упрощенную запись уравнения 

 

2
2

2
2
2
1
0
f
f
c
t
x
∂
∂
−
=
∂
∂
. 
(1.7) 

Именно последняя форма записи в литературе получила название 
волновое уравнение. Если в какой-нибудь физической теории, исходя 
из первичных принципов, можно получить последнее уравнение как 
следствие этих принципов, это означает возможность волновых форм 
движения в этой теории. Более того, вид коэффициента перед второй 
производной по времени определяет величину скорости, с которой 
распространяется возмущение. 
Подойдем к проблеме с другой стороны. 
Рассмотрим произвольную функцию 

 
(
)
f at
bx
−
 
(1.8) 

от аргумента at – bx, в котором а и b – пока произвольные параметры. Продифференцируем ее дважды по t: 

 
2

2

2

(
)

(
)

f
f
at
bx a
t
f
f
at
bx a

t

∂
⎫
′
=
−
⎪
∂
⎪⎬
∂
⎪
′′
=
−
⎪
∂
⎭

. 
(1.9) 

Здесь штрих означает дифференцирование по всему аргументу at – bx. 
Продифференцируем теперь рассматриваемую функцию дважды по х: 

 
2

2

2

(
)

(
)

f
f
at
bx b
x
f
f
at
bx b

x

∂
⎫
′
= −
−
⎪
∂
⎪⎬
∂
⎪
′′
=
−
⎪
∂
⎭

. 
(1.10) 

Сравнивая (1.9) и (1.10), мы убеждаемся, что функция (1.8) удовлетворяет уравнению 

 

2
2
2

2
2

f
f
с

t
x

∂
∂
=
∂
∂
, 
(1.11) 

где 
a
с
b
=
. 

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция 

 
(
)
f at
bx
+
 
(1.12) 

аргумента at + bx, а также суперпозиция функций вида (1.8) и (1.12). 
Остается добавить, что уравнение (1.11) представляет всего лишь 
измененную форму записи полученного выше волнового уравнения. 
Функции (1.8) и (1.12) изображают в трехмерном пространстве 
при положительных a и b плоские волны, распространяющиеся без 
изменения формы со скоростью с в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х. 
Уравнение (1.11) – дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Как было отмечено, его называют волновым уравнением. В математическом анализе 
доказано, что нет решений, отличных от тех, которые могут быть 
представлены функциями вида (1.8) и (1.12) или произвольной суперпозицией таких функций, например: 

 
1
2
(
)
(
)
f at
bx
f
at
bx
−
+
+
. 

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, 
что та или иная физическая величина f удовлетворяет уравнению вида 

 

2
2
2

2
2

f
f
с

t
x

∂
∂
=
∂
∂
, 
(1.13) 

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской волны (или суперпозиции таких волн), распространяющейся в ту или другую сторону вдоль оси Х со скоростью с. 
Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника 
волн (начальными условиями), а также явлениями, происходящими 
на границе среды (граничными условиями).  
Если источником волн является плоскость х = 0, причем на этой 
плоскости величина f колеблется по закону 
cos
f
A
t
=
ω . В этом случае от плоскости х = 0 распространяются (вправо и влево) волны 

cos(
),
f
A
t
kx
k
с
ω
=
ω ±
=
. 

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции f1, f2, f3,… в отдельности, то ему удовлетворяет 
также функция 

1
2
3
...
f
f
f
f
=
+
+
+
 (принцип суперпозиции).  

Распространяя суммирование от дискретной последовательности 
индексов на интегрирование по непрерывному параметру, например 
по частоте ω в гармонической волне, получим решение уравнений 
(1.7) и (1.13) в виде интеграла Фурье 

 
( , )
( )cos(
)d
f x t
A
t
kx

+∞

−∞
=
ω
ω −
ω
∫
, 
(1.14) 

при этом подразумевается, что волновое число k
c
= ω, где с – скорость распространения волны в среде. 
Рассмотрим несколько примеров. 
а). Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные 
бегущие волны 

1
1
cos(
)
f
A
t
kx
=
ω −
+ ϕ
, 
2
2
cos(
)
f
A
t
kx
=
ω +
+ ϕ
. 

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению 
удовлетворяет стоячая волна, определяемая как сумма (суперпозиция) двух бегущих навстречу гармонических волн 

 
1
2
cos(
)
cos(
)
f
A
t
kx
A
t
kx
=
ω −
+ ϕ
+
ω +
+ ϕ
=

 
2
1
1
2
2 cos
cos
2
2
A
kx
t
ϕ − ϕ
ϕ + ϕ
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
ω +
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
. 
(1.15) 

б). Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет любая функция вида 

 
1
1
2
2
3
3
cos
(
)
cos
(
)
cos
(
)
x
x
x
f
A
t
A
t
A
t
с
с
с
=
ω
−
+
ω
−
+
ω
−
+ …, (1.16) 

где суммирование предполагает в том числе и бесконечное число 
слагаемых. 
Из общих соображений ясно, что это – функция вида 
(
)
f at
bx
−
, 
она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без 
изменения формы в сторону возрастающих х. 
в). Пусть волны 
1
2
,
f
f , имеющие вид коротких импульсов, т.е. 
заданных в небольших компактных областях пространства, распространяются навстречу. В некоторый момент снимок суперпозиции 
1
2
f
f
+
 
этих волн имеет вид, показанный на рис. 1.1, а (состояние накануне 
встречи). Через некоторый промежуток времени моментальный снимок 
волн будет иметь вид, показанный на рис. 1.1, б (снимок после встречи), – волны пройдут «насквозь» друг друга без взаимного влияния. 

 

Рис. 1.1. Принцип суперпозиции. Волны проходят без взаимного 
влияния «одна сквозь другую» 

Замечание. Последний результат есть прямое следствие линейности волнового уравнения, т.е. принципа суперпозиции. Из сравнения 
(1.9) и (1.10) можно заключить, что функция (1.8) удовлетворяет 

уравнению первого порядка 
.
f
f
с
t
x

∂
∂
= −
∂
∂
 Однако такому уравнению 

а 

X 

б 

X 

не удовлетворяет функция (1.12), для которой 
.
f
f
с
t
x

∂
∂
= +
∂
∂
Только 

уравнение второго порядка (1.13) охватывает волны обоих встречных 
направлений распространения, т.е. не зависит от знака с. Тем не менее даже уравнение второго порядка (волновое уравнение) остается 
линейным и принцип суперпозиции неизбежно работает. 

1.3. Гармонические волны 

Особую роль среди множества волновых процессов играет гармоническая или монохроматическая волна. Выберем функцию ξ(х), задающую 
форму возмущения среды в момент t = 0 в виде гармонической функции 

 
( )
cos(
)
x
a
kx
ξ
=
−
, 
(1.17) 

где а – амплитуда возмущения;  
k – волновое число (пространственная циклическая частота), задающее пространственный период, т.е. расстояние λ вдоль оси Х, 
через которое значения возмущения ξ периодически повторяются.  

Очевидно, в силу периодичности гармонической функции с периодом 2π можно определить волновое число k с помощью равенства 

 
2
2
k
k
λ = π ↔
= π λ , 
(1.18) 

где расстояние λ, задающее пространственный период, называют 
длиной волны. 
Теперь примем, что возмущение ( )
cos(
)
x
a
kx
ξ
=
−
 перемещается в 
положительном направлении вдоль оси Х со скоростью с. Согласно 
изложенному выше, мы должны вместо аргумента х в функции ξ сделать подстановку нового аргумента согласно правилу
(
)
x
x
ct
→
−
. В 
результате получим выражение для гармонической волны 

 
( , )
cos(
(
))
x t
a
k x
ct
ξ
=
−
−
. 
(1.19) 

Полученное соотношение удобно представить в виде 

 
( , )
cos(
))
cos(
)
x t
a
kx
kct
a
t
kx
ξ
=
−
+
=
ω −
, 
(1.20) 

где введена новая величина 
kc
ω =
, называемая циклической частотой 
волны, это название, знакомое по теории гармонических колебаний, 
объясняется тем, что распространяющаяся вдоль оси Х гармоническая 
волна в каждой фиксированной точке х представляет собой гармонический осциллятор, колеблющийся с циклической частотой ω.