Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1

Фихтенгольц Г.М.

Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 1.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 680 с. — ISBN 978-5-9221-1802-6.

Фундаментальный учебник по математического анализу, выдержавший
множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается,
с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой —
простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами,
иллюстрирующими теорию.
«Курс. . . » предназначен для студентов университетов, педагогических и
технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий.
Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и
получить наиболее важные практические навыки. «Курс. . . » высоко ценится
математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть
которых невозможно найти в других книгах на русском языке.
Первое издание вышло в 1948 г. Р е д а к т о р: доцент матем.-механич. ф-та
Санкт-Петербургского гос. ун-та А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1802-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

В в е д е н и е
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел
1.
Предварительные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.
Упорядочение области рациональных чисел . . . . . . . . . . . . .
14
3.
Сложение и вычитание рациональных чисел . . . . . . . . . . . . .
15
4.
Умножение и деление рациональных чисел
. . . . . . . . . . . . .
17
5.
Аксиома Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных
чисел
6.
Определение иррационального числа . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.
Упорядочение области вещественных чисел . . . . . . . . . . . . .
23
8.
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
9.
Представление вещественного числа бесконечной десятичной
дробью
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
10.
Непрерывность области вещественных чисел . . . . . . . . . . . .
28
11.
Границы числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами
12.
Определение суммы вещественных чисел . . . . . . . . . . . . . .
33
13.
Свойства сложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
14.
Определение произведения вещественных чисел
. . . . . . . . . .
36
15.
Свойства умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
16.
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
17.
Абсолютные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
18.
Существование корня. Степень с рациональным показателем . . .
41
19.
Степень с любым вещественным показателем . . . . . . . . . . . .
43
20.
Логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
21.
Измерение отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а п е р в а я
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел
22.
Переменная величина, варианта
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
23.
Предел варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
24.
Бесконечно малые величины
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
25.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
26.
Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел
. . . . . . . . .
61
27.
Бесконечно большие величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов
28.
Предельный переход в равенстве и неравенстве . . . . . . . . . . .
65
29.
Леммы о бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
30.
Арифметические операции над переменными . . . . . . . . . . . .
68
31.
Неопределенные выражения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
32.
Примеры на нахождение пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
33.
Теорема Штольца и ее применения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

§ 3. Монотонная варианта
34.
Предел монотонной варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
35.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
36.
Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
37.
Приближенное вычисление числа e
. . . . . . . . . . . . . . . . .
90
38.
Лемма о вложенных промежутках
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы
39.
Принцип сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
40.
Частичные последовательности и частичные пределы
. . . . . . .
99
41.
Лемма Больцано – Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
42.
Наибольший и наименьший пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Г л а в а в т о р а я
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Понятие функции
43.
Переменная и область ее изменения . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
44.
Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 108
45.
Определение понятия функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
46.
Аналитический способ задания функции . . . . . . . . . . . . . . . 113
47.
График функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
48.
Важнейшие классы функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
49.
Понятие обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
50.
Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . 126
51.
Суперпозиция функций. Заключительные замечания
. . . . . . . . 131

§ 2. Предел функции
52.
Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
53.
Сведение к случаю варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
54.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
55.
Распространение теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
56.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

57.
Предел монотонной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
58.
Общий признак Больцано–Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
59.
Наибольший и наименьший пределы функции . . . . . . . . . . . . 154

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
60.
Сравнение бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
61.
Шкала бесконечно малых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
62.
Эквивалентные бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
63.
Выделение главной части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
64.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
65.
Классификация бесконечно больших . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций
66.
Определение непрерывности функции в точке
. . . . . . . . . . . 164
67.
Арифметические операции над непрерывными функциями . . . . . 167
68.
Примеры непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
69.
Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов
. . . . . 169
70.
Примеры различных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
71.
Непрерывность и разрывы монотонной функции
. . . . . . . . . . 173
72.
Непрерывность элементарных функций
. . . . . . . . . . . . . . . 174
73.
Суперпозиция непрерывных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . 175
74.
Решение одного функционального уравнения . . . . . . . . . . . . 176
75.
Функциональная характеристика показательной, логарифмической
и степенной функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
76.
Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
77.
Использование непрерывности функций для вычисления пределов
182
78.
Степенно-показательные выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
79.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

§ 5. Свойства непрерывных функций
80.
Теорема об обращении функции в нуль
. . . . . . . . . . . . . . . 188
81.
Применение к решению уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
82.
Теорема о промежуточном значении . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
83.
Существование обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
84.
Теорема об ограниченности функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
85.
Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . . . . . . . . . 196
86.
Понятие равномерной непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . 199
87.
Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
88.
Лемма Бореля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
89.
Новые доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . 204

Г л а в а т р е т ь я
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление
90.
Задача о вычислении скорости движущейся точки
. . . . . . . . . 208
91.
Задача о проведении касательной к кривой
. . . . . . . . . . . . . 209
92.
Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
93.
Примеры вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

ОГЛАВЛЕНИЕ

94.
Производная обратной функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
95.
Сводка формул для производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
96.
Формула для приращения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
97.
Простейшие правила вычисления производных . . . . . . . . . . . 223
98.
Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
99.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
100.
Односторонние производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
101.
Бесконечные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
102.
Дальнейшие примеры особых случаев . . . . . . . . . . . . . . . . 236

§ 2. Дифференциал
103.
Определение дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
104.
Связь между дифференцируемостью и существованием
производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
105.
Основные формулы и правила дифференцирования . . . . . . . . . 241
106.
Инвариантность формы дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . 242
107.
Дифференциалы как источник приближенных формул . . . . . . . 245
108.
Применение дифференциалов при оценке погрешностей . . . . . . 247

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
109.
Теорема Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
110.
Теорема Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
111.
Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
112.
Формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
113.
Предел производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
114.
Формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
115.
Определение производных высших порядков
. . . . . . . . . . . . 259
116.
Общие формулы для производных любого порядка . . . . . . . . . 261
117.
Формула Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
118.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
119.
Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
120.
Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших
порядков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
121.
Параметрическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . 273
122.
Конечные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

§ 5. Формула Тейлора
123.
Формула Тейлора для многочлена
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
124.
Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме
Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
125.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
126.
Другие формы дополнительного члена . . . . . . . . . . . . . . . . 286
127.
Приближенные формулы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§ 6. Интерполирование
128.
Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа
. . . . 295
129.
Дополнительный член формулы Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 297
130.
Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита
. . . . . 298

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

Г л а в а ч е т в е р т а я
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции
131.
Условие постоянства функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
132.
Условие монотонности функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
133.
Доказательство неравенств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
134.
Максимумы и минимумы; необходимые условия
. . . . . . . . . . 310
135.
Достаточные условия. Первое правило . . . . . . . . . . . . . . . . 312
136.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
137.
Второе правило
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
138.
Использование высших производных . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
139.
Разыскание наибольших и наименьших значений . . . . . . . . . . 323
140.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции
141.
Определение выпуклой (вогнутой) функции . . . . . . . . . . . . . 329
142.
Простейшие предложения о выпуклых функциях . . . . . . . . . . 330
143.
Условия выпуклости функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
144.
Неравенство Иенсена и его приложения . . . . . . . . . . . . . . . 336
145.
Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

§ 3. Построение графиков функций
146.
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
147.
Схема построения графика. Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . 342
148.
Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . . 344
149.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

§ 4. Раскрытие неопределенностей
150.
Неопределенность вида 0

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
151.
Неопределенность вида ∞

∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
152.
Другие виды неопределенностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

§ 5. Приближенное решение уравнений
153.
Вводные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
154.
Правило пропорциональных частей (метод хорд) . . . . . . . . . . 362
155.
Правило Ньютона (метод касательных) . . . . . . . . . . . . . . . 366
156.
Примеры и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
157.
Комбинированный метод
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
158.
Примеры и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

Г л а в а п я т а я
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия
159.
Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 378
160.
Функции двух переменных и области их определения
. . . . . . . 379
161.
Арифметическое n-мерное пространство . . . . . . . . . . . . . . . 383

ОГЛАВЛЕНИЕ

162.
Примеры областей в n-мерном пространстве
. . . . . . . . . . . . 387
163.
Общее определение открытой и замкнутой области
. . . . . . . . 389
164.
Функции n переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
165.
Предел функции нескольких переменных
. . . . . . . . . . . . . . 395
166.
Cвед´ение к случаю варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
167.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
168.
Повторные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

§ 2. Непрерывные функции
169.
Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
. . . 404
170.
Операции над непрерывными функциями
. . . . . . . . . . . . . . 406
171.
Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано – Коши . . . 407
172.
Лемма Больцано – Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
173.
Теоремы Вейерштрасса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
174.
Равномерная непрерывность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
175.
Лемма Бореля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
176.
Новые доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . 417

§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
177.
Частные производные и частные дифференциалы . . . . . . . . . . 419
178.
Полное приращение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
179.
Полный дифференциал
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
180.
Геометрическая интерпретация для случая функции двух
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
181.
Производные от сложных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
182.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
183.
Формула конечных приращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
184.
Производная по заданному направлению
. . . . . . . . . . . . . . 438
185.
Инвариантность формы (первого) дифференциала
. . . . . . . . . 441
186.
Применение полного дифференциала в приближенных
вычислениях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
187.
Однородные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
188.
Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
189.
Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
190.
Теорема о смешанных производных
. . . . . . . . . . . . . . . . . 452
191.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
192.
Производные высших порядков от сложной функции . . . . . . . . 458
193.
Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
194.
Дифференциалы сложных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
195.
Формула Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
196.
Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые
условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
197.
Достаточные условия (случай функции двух переменных) . . . . . 470
198.
Достаточные условия (общий случай) . . . . . . . . . . . . . . . . 475

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

199.
Условия отсутствия экстремума
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
200.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры . . . . . . 480
201.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Г л а в а ш е с т а я
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Формальные свойства функциональных определителей
202.
Определение функциональных определителей (якобианов)
. . . . 494
203.
Умножение якобианов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
204.
Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)
. . . . . . . 497
§ 2. Неявные функции
205.
Понятие неявной функции от одной переменной . . . . . . . . . . 500
206.
Существование неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
207.
Дифференцируемость неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . 505
208.
Неявные функции от нескольких переменных . . . . . . . . . . . . 507
209.
Вычисление производных неявных функций . . . . . . . . . . . . . 515
210.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций
211.
Относительные экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
212.
Метод неопределенных множителей Лагранжа
. . . . . . . . . . . 527
213.
Достаточные для относительного экстремума условия . . . . . . . 529
214.
Примеры и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
215.
Понятие независимости функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
216.
Ранг матрицы Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
§ 4. Замена переменных
217.
Функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
218.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
219.
Функции нескольких переменных. Замена независимых
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
220.
Метод вычисления дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
221.
Общий случай замены переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
222.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Г л а в а с е д ь м а я
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей
223.
Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) . . . . . . . 563
224.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
225.
Кривые механического происхождения . . . . . . . . . . . . . . . . 569
226.
Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры
. . . . 572
227.
Поверхности и кривые в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . 578
228.
Параметрическое представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
229.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
§ 2. Касательная и касательная плоскость
230.
Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах . . . 586
231.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

ОГЛАВЛЕНИЕ

232.
Касательная в полярных координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . 590
233.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
234.
Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость
к поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
235.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
236.
Особые точки плоских кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
237.
Случай параметрического задания кривой . . . . . . . . . . . . . . 605
§ 3. Касание кривых между собой
238.
Огибающая семейства кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
239.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
240.
Характеристические точки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
241.
Порядок касания двух кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
242.
Случай неявного задания одной из кривых
. . . . . . . . . . . . . 619
243.
Соприкасающаяся кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
244.
Другой подход к соприкасающимся кривым . . . . . . . . . . . . . 623
§ 4. Длина плоской кривой
245.
Леммы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
246.
Направление на кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
247.
Длина кривой. Аддитивность длины дуги
. . . . . . . . . . . . . . 627
248.
Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги
. . . . 629
249.
Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной
633
§ 5. Кривизна плоской кривой
250.
Понятие кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
251.
Круг кривизны и радиус кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
252.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
253.
Координаты центра кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
254.
Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты . . . . . 648
255.
Свойства эволют и эвольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
256.
Разыскивание эвольвент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

Д о п о л н е н и е
ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257.
Случай функции одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . . . . 657
258.
Постановка задачи для двумерного случая . . . . . . . . . . . . . . 659
259.
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
260.
Основная теорема о распространении
. . . . . . . . . . . . . . . . 665
261.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
262.
Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

«Курс дифференциального и интегрального исчисления» Григория Михайловича Фихтенгольца — выдающееся произведение научно-педагогической литературы, выдержавшее множество изданий и переведенное на ряд иностранных
языков. «Курс . . .» не имеет себе равных по объему охваченного фактического
материала, количеству разнообразных приложений общих теорем в геометрии, алгебре, механике, физике и технике. Многие известные современные математики
отмечают, что именно «Курс . . .» Г. М. Фихтенгольца привил им в студенческие
годы вкус и любовь к математическому анализу, дал первое ясное понимание
этого предмета.
За 50 лет, прошедших после выхода первого издания «Курса . . .», его текст
практически не устарел и в настоящий момент по-прежнему может использоваться и используется студентами университетов, а также различных технических и педагогических вузов в качестве одного из основных учебных пособий
по математическому анализу и курсу высшей математики. Более того, несмотря на появление новых хороших учебников, аудитория читателей «Курса . . .»
Г. М. Фихтенгольца за время его существования лишь расширилась и включает
сейчас учащихся ряда физико-математических лицеев, слушателей курсов повышения математической квалификации инженеров.
Высокий уровень востребованности «Курса . . .» объясняется его уникальными особенностями. Основной теоретический материал, вошедший в «Курс . . .», —
это классическая часть современного математического анализа, окончательно
сформировавшаяся к началу XX столетия (не содержащая теории меры и общей теории множеств). Эта часть анализа преподается на первых двух курсах
университетов и входит (целиком или в значительной части) в программы всех
технических и педагогических вузов. I том «Курса . . .» включает дифференциальное исчисление одной и нескольких вещественных переменных и его основные
приложения, II том посвящен теории интеграла Римана и теории рядов, III том —
кратным, криволинейным и поверхностным интегралам, интегралу Стилтьеса, рядам и преобразованию Фурье.
Огромное количество примеров и приложений, как правило, весьма интересных, некоторые из которых найти в другой литературе на русском языке невозможно, составляет одну из главных особенностей «Курса . . .», уже упомянутую выше.
Другая существенная особенность — доступность, подробность и обстоятельность изложения материала. Значительный объем «Курса . . .» не превращается в помеху для его усвоения. Напротив, он дает возможность автору уделять
достаточное внимание мотивировкам новых определений и постановкам задач,
подробным и тщательным доказательствам основных теорем и многим другим
аспектам, облегчающим читателю понимание предмета. Вообще проблема совмещения понятности и строгости изложения (отсутствие последней приводит

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

попросту к искажению математических фактов) хорошо известна любому преподавателю. Огромное педагогическое мастерство Григория Михайловича позволяет
ему на протяжении всего «Курса . . .» дать множество примеров решения указанной проблемы; наряду с другими обстоятельствами это превращает «Курс . . .»
в незаменимый образец для начинающего лектора и объект исследований для
специалистов по методике преподавания высшей математики.
Еще одной особенностью «Курса . . . » является весьма незначительное
использование каких-либо элементов теории множеств (в том числе обозначений). При этом сохраняется полная строгость изложения; в целом, как и 50 лет
назад, такой подход облегчает значительной части читательской аудитории первоначальное усвоение предмета.
В новом издании «Курса . . .» Г. М. Фихтенгольца, предлагаемом вниманию
читателя, устранены опечатки, обнаруженные в ряде предыдущих изданий. Кроме
того, издание снабжено краткими комментариями, относящимися к тем местам
текста (весьма немногочисленным), при работе с которыми у читателя могут
возникнуть те или иные неудобства; примечания делаются, в частности, в тех
случаях, когда используемый автором термин или оборот речи чем-либо отличаются от наиболее распространенных в настоящее время. Ответственность за
содержание примечаний целиком лежит на редакторе издания.
Редактор глубоко признателен профессору Б. М. Макарову, прочитавшему
тексты всех примечаний и высказавшему ряд ценных суждений. Хочется поблагодарить также всех сотрудников кафедры математического анализа математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета,
обсуждавших с автором этих строк разнообразные вопросы, связанные с текстами
предыдущих изданий и идеей нового издания «Курса . . .».
Редакция заранее благодарит всех читателей, которые своими замечаниями
пожелают способствовать дальнейшему улучшению качества издания.

А. А. Флоринский

В В Е Д Е Н И Е

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел

1. Предварительные замечания.
Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. В то же
время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно,
среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже
из целых положительных (натуральных) чисел, например
√

2, т. е.
нет такой рациональной дроби
p
q (где p и q — натуральные
числа), квадрат которой был бы равен 2.
Для доказательства этого допустим противное: пусть сущест
вует такая дробь
p
q, что
p

q

2
= 2. Мы вправе считать эту дробь
несократимой, т. е. p и q лишенными общих множителей. Так как
p2 = 2q2, то p есть число четное: p = 2r (r — целое) и, следовательно, q — нечетное. Подставляя вместо p его выражение, найдем:
q2 = 2r2, откуда следует, что q — четное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних
лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки
могли бы быть снабжены д л и н а м и. В самом деле, рассмотрим
квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не
может иметь рациональной длины
p
q, ибо, в противном случае,
по теореме П и ф а г о р а, квадрат этой длины был бы равен 2, что,
как мы видели, невозможно.
В настоящем введении мы ставим себе задачей расширить
область рациональных чисел, присоединив к ним числа новой природы — и р р а ц и о н а л ь н ы е.
Вместе с тем мы покажем, что
в расширенной области останутся справедливыми все привычные

ВВЕДЕНИЕ
[2

свойства рациональных чисел, относящиеся к арифметическим действиям над ними и к сочетанию их с помощью знаков равенства и неравенства. Для того чтобы сделать реально возможной
проверку упомянутых свойств для расширенной числовой области, очень важно выделить наименьшее количество
о с н о в н ы х
с в о й с т в,
из которых все остальные вытекали бы уже как формально-логические следствия: т о г д а п р о в е р к е б у д у т п о д л е ж а т ь л и ш ь э т и о с н о в н ы е с в о й с т в а .
В связи с этим мы приводим ниже перечень основных свойств
области рациональных чисел. Попутно мы на ряде примеров показываем, как другие известные их свойства выводятся из основных совершенно формально. Говоря о «числах», мы здесь всегда
имеем в виду рациональные числа: буквы a, b и т. д. обозначают
именно их.

2. Упорядочение области рациональных чисел. Условимся с самого начала, что р а в н ы е числа мы будем рассматривать к а к
о д н о и т о ж е ч и с л о в р а з н ы х ф о р м а х. Иными словами,
для нас понятие «равно» (=) означает «тождественно». Поэтому
мы не перечисляем свойств равных чисел.
Упорядочение рациональных чисел достигается с помощью
понятия «больше» (>), с которым связана
п е р в а я
г р у п п а
свойств:
I 1◦ для каждой пары чисел a и b имеет место одно,
и только одно, из соотношений

a = b,
a > b,
b > a;

I 2◦ из a > b и b > c следует a > c (т р а н з и т и в н о е
свойство знака >);
I 3◦ если a > b, то найдется также такое число c, что

a > c
и
c > b ∗)

(свойство п л о т н о с т и).
Понятие «меньше» (<) вводится уже как производное. Именно,
говорят, что a < b в том, и только в том, случае, если b > a. Легко
видеть, что из a < b и b < c следует, что a < c (транзитивное
свойство знака <). Действительно, неравенства a < b и b < c

∗) В этих условиях говорят также, что число c лежит между числами a и b; очевидно, таких чисел будет бесчисленное множество. (Здесь и далее звездочками
обозначены примечания автора.)

3]
§ 1. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
15

равносильны, по условию, неравенствам b > a и c > b; отсюда
следует c > a [I 2◦] или, что то же, a < c.
Дальнейшие свойства понятия «больше», связанные с арифметическими действиями над рациональными числами, будут указаны
ниже.

3. Сложение и вычитание рациональных чисел.
В т о р а я
г р у п п а
свойств связана со
с л о ж е н и е м,
т. е. с операцией
нахождения суммы двух чисел. Для каждой пары чисел a и b существует (единственное) число, называемое с у м м о й a и b (его
обозначают a + b). Это понятие обладает свойствами:
II 1◦ a + b = b + a (п е р е м е с т и т е л ь н о е свойство сложения);
II 2◦ (a + b) + c = a + (b + c) (с о ч е т а т е л ь н о е свойство
сложения).
Особая роль н у л я характеризуется свойством:
II 3◦ a + 0 = a;
кроме того,
II 4◦ для каждого числа a существует число −a (с и м м е т р и ч н о е ему), такое, что a + (−a) = 0.
На основе этих свойств прежде всего исчерпывается вопрос
о
в ы ч и т а н и и
как действии, обратном сложению. Если
р а з н о с т ь ю
чисел a и b, как обычно, называть такое число c, для
которого c + b = a ∗), то встает вопрос о существовании такого
числа и о его единственности.
Положив c = a + (−b), получим [II 2◦, 1◦, 4◦, 3◦]:

c + b =
a + (−b)
+ b = a +
(−b) + b
=

= a +
b + (−b)
= a + 0 = a,

так что это число c удовлетворяет определению разности.
Пусть, обратно, c′ есть разность чисел a и b, так что c′ +b = a.
Прибавив к обеим частям этого равенства по (−b) и преобразуя
левую часть [II 2◦, 4◦, 3◦]:

(c′ + b) + (−b) = c′ +
b + (−b)
= c′ + 0 = c′,

заключим, что c′ = a + (−b) = c.

∗) Ввиду II 1◦, это равенство, определяющее разность, можно написать и так:

b + c = a.

ВВЕДЕНИЕ
[3

Таким образом,
д о к а з а н ы
с у щ е с т в о в а н и е
и
о д н о з н а ч н о с т ь р а з н о с т и ч и с е л a и b; обозначают ее a − b.
Из однозначности разности вытекает ряд следствий. Прежде
всего, из II 3◦ следует 0 = a − a, и мы заключаем, что, кроме
числа 0, не существует числа, которое обладало бы свойством, аналогичным II 3◦. Далее, отсюда же вытекает единственность числа,
симметричного данному: −a = 0 − a.
Так как из a+(−a) = 0 следует (−a)+a = 0 [II 1◦], то оказывается, что a = −(−a), т. е. числа a и −a являются в з а и м н о симметричными. Установим еще такое свойство симметричных чисел:

−(a + b) = (−a) + (−b);

для этого достаточно доказать, что

(a + b) +
(−a) + (−b)
= 0,

а это вытекает из II 1◦, 2◦, 4◦, 3◦.
Наконец, приведем еще одно свойство, связывающее знак > со
знаком суммы:
II 5◦ из a > b следует a + c > b + c.
Оно устанавливает право к обеим частям неравенства прибавлять поровну; из него сразу следует, что неравенства a > b
и a + c > b + c равносильны, каково бы ни было число c (действительно, добавляя к обеим частям второго неравенства число
−c, мы получаем первое).
В частности, неравенство a > b равносильно неравенствам
a − b > 0 и −b > −a; неравенство a > 0 эквивалентно неравенству −a < 0. Таким образом, из двух взаимно симметричных чисел a и −a одно (и только одно) будет больше нуля; его именно и
называют а б с о л ю т н о й в е л и ч и н о й как числа a, так и числа −a, и обозначают символом

|a| = | − a|.

Абсолютную величину числа нуль полагают равной нулю; |0| = 0.
На свойстве II 5◦ основывается возможность почленного складывания неравенств: из a > b и c > d следует a + c > b + d.
В самом деле, из a > b следует a + c > b + c; в свою очередь, из
c > d следует c + b > d + b или [II 1◦] b + c > b + d, а тогда,
в силу I 2◦, окончательно получаем a + c > b + d.

4]
§ 1. ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
17

4. Умножение и деление рациональных чисел. Т р е т ь я г р у п п а свойств связана с у м н о ж е н и е м, т. е. с операцией нахождения п р о и з в е д е н и я двух чисел. Для каждой пары чисел a и b существует (единственное) число, называемое п р о и з в е д е н и е м a
и b (его обозначают a · b или просто ab). Это понятие обладает
свойствами:
III 1◦ a · b = b · a (п е р е м е с т и т е л ь н о е свойство умножения);
III 2◦ (a · b) · c = a · (b · c) (с о ч е т а т е л ь н о е свойство
умножения).
Особая роль е д и н и ц ы характеризуется свойством:
III 3◦ a · 1 = a;
кроме того,
III 4◦ д л я
к а ж д о г о
числа a, отличного от 0, существует число 1

a (о б р а т н о е
ему), такое, что a · 1

a = 1.
Вопрос о д е л е н и и как о действии, обратном умножению, решается на основе свойств умножения так же, как выше был решен
вопрос о вычитании на основе свойств сложения. Обратное число
здесь будет играть ту же роль, какую там играло симметричное
число.
Назовем ч а с т н ы м чисел a и b (где делитель b всегда предполагается отличным от 0) такое число c, что ∗)

c · b = a.

Этому определению можно удовлетворить, положив c = a · 1

b,
так как [III 2◦, 1◦, 4◦, 3◦]:

c · b =
a · 1

b

· b = a ·
1

b · b
= a ·
b · 1

b

= a · 1 = a.

Обратно, если число c′ удовлетворяет определению частного
чисел a и b, так что c′ · b = a, то, умножив обе части этого равенства на 1

b и преобразуя левую часть [III 2◦, 4◦, 3◦]:

(c′ · b) · 1

b = c′ ·
b · 1

b

= c′ · 1 = c′,

получим, что c′ = a · 1

b = c.

∗) Ввиду III 1◦, это равенство, определяющее частное, можно записать и так:

b · c = a.

ВВЕДЕНИЕ
[4

Таким образом,
д о к а з а н ы
с у щ е с т в о в а н и е
и
о д н о з н а ч н о с т ь ч а с т н о г о ч и с е л a
и b (при у с л о в и и, что
b ̸= 0); обозначают его a : b или a

b.
Из однозначности частного выводим, что, кроме числа 1, нет
числа, которое обладало бы свойством, аналогичным III 3◦.
Затем отсюда, как и выше, вытекает единственность обратного числа
(как частного 1 и a); кроме того, легко устанавливается, что числа a и 1

a являются в з а и м н о обратными.
Следующее свойство связывает оба основных арифметических
действия — умножение и сложение:
III 5◦ (a +b)·c = a ·c +b·c (р а с п р е д е л и т е л ь н о е свойство умножения относительно суммы).
Отсюда легко вывести и
р а с п р е д е л и т е л ь н о е
свойство
умножения относительно р а з н о с т и:

(a − b) · c = a · c − b · c.

По определению разности, это прямо следует из того, что

(a − b) · c + b · c = [(a − b) + b] · c = a · c.

Применим еще свойство III 5◦ к доказательству того, что

b · 0 = 0 · b = 0.

В самом деле [II 3◦],

a + 0 = a,
(a + 0) · b = a · b + 0 · b = a · b,

откуда следует 0 · b = 0, а также [III 1◦] b · 0 = 0.
Обратно, если a · b = 0 и b ̸= 0, то необходимо a = 0. Действительно, a = 0

b, но одновременно и 0 = 0

b (так как b · 0 = 0),
а частное е д и н с т в е н н о.
Наконец, укажем свойство, связывающее знак > со знаком произведения:
III 6◦ из a > b и c > 0 с л е д у е т a · c > b · c.
На этом основывается почленное перемножение неравенств
с положительными членами. Отсюда же получается, что при a > 0
и b > 0 также и a · b > 0.
Заметим, что (−a) · b = −(a · b); это следует из того, что

a · b + (−a) · b = [a + (−a)] · b = 0 · b = 0.