Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика

®

Èçäàíèå øåñòîå, èñïðàâëåííîå

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31
Л 22

Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. — 6-е изд., испр. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 728 с. — ISBN 978-5-9221-1625-1 (Т. VI).

Гидродинамика излагается как часть теоретической физики, чем и определяется характер ее содержания, отличающийся от других курсов. Авторы
стремились с возможной полнотой разобрать все представляющие физический
интерес вопросы, создать по возможности более ясную картину явлений и их
взаимоотношений. При подготовке нового издания практически во все главы
добавлен материал, особенно в главы о турбулентности и ударных волнах,
однако переработка не изменила характера книги, выходившей как первая
часть «Механики сплошных сред» в 1953 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов, а также
аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической физики.

Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик РАН,
доктор физико-математических наук Л.П. Питаевский

ISBN 978-5-9221-1625-1 (Т. VI)
ISBN 978-5-9221-1508-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2006, 2015

c⃝ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 2003,
2006, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10

Из предисловия ко второму изданию «Механики сплошных сред» . .. .. .. .
12

Г л а в а 1. Идеальная жидкость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
14

§ 1. Уравнение непрерывности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
14
§ 2. Уравнение Эйлера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
16
§ 3. Гидростатика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 4. Условие отсутствия конвекции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
22
§ 5. Уравнение Бернулли. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
24
§ 6. Поток энергии. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
25
§ 7. Поток импульса. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
27
§ 8. Сохранение циркуляции скорости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
29
§ 9. Потенциальное движение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
31
§ 10. Несжимаемая жидкость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
35
§ 11. Сила сопротивления при потенциальном обтекании . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
48
§ 12. Гравитационные волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
55
§ 13. Внутренние волны в несжимаемой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 14. Волны во вращающейся жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65

Г л а в а 2. Вязкая жидкость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71

§ 15. Уравнения движения вязкой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71
§ 16. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
§ 17. Течение по трубе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
79
§ 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами . .. .. .. .. .. .
85
§ 19. Закон подобия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
87
§ 20. Течение при малых числах Рейнольдса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89
§ 21. Ламинарный след. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
102
§ 22. Вязкость суспензий . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
109
§ 23. Точные решения уравнений движения
вязкой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
112
§ 24. Колебательное движение в вязкой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 25. Затухание гравитационных волн. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134

Оглавление

Г л а в а 3. Турбулентность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
138
§ 26. Устойчивость стационарного движения жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
138
§ 27. Устойчивость вращательного движения жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
144
§ 28. Устойчивость движения по трубе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
148
§ 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
153
§ 30. Квазипериодическое движение и синхронизация частот . .. .. .. .. .. .. .
156
§ 31. Странный аттрактор . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
162
§ 32. Переход к турбулентности
путем удвоения периодов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
169
§ 33. Развитая турбулентность. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
184
§ 34. Корреляционные функции скоростей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
192
§ 35. Турбулентная область и явление отрыва . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
206
§ 36. Турбулентная струя . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
208
§ 37. Турбулентный след. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
215
§ 38. Теорема Жуковского. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
217

Г л а в а 4. Пограничный слой. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
221
§ 39. Ламинарный пограничный слой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
221
§ 40. Движение вблизи линии отрыва. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
229
§ 41. Устойчивость движения в ламинарном
пограничном слое. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
235
§ 42. Логарифмический профиль скоростей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241
§ 43. Турбулентное течение в трубах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
246
§ 44. Турбулентный пограничный слой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
248
§ 45. Кризис сопротивления . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
251
§ 46. Хорошо обтекаемые тела. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
254
§ 47. Индуктивное сопротивление . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
257
§ 48. Подъемная сила тонкого крыла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
262

Г л а в а 5. Теплопроводность в жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
266
§ 49. Общее уравнение переноса тепла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
266
§ 50. Теплопроводность в несжимаемой жидкости. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
271
§ 51. Теплопроводность в неограниченной среде . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
276
§ 52. Теплопроводность в ограниченной среде . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
281
§ 53. Закон подобия для теплопередачи. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
287
§ 54. Теплопередача в пограничном слое . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
291
§ 55. Нагревание тела в движущейся жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
297
§ 56. Свободная конвекция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
301
§ 57. Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .
307

Оглавление
7

Г л а в а 6. Диффузия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
315
§ 58. Уравнения гидродинамики для жидкой смеси . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
315
§ 59. Коэффициенты диффузии и термодиффузии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
319
§ 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
326

Г л а в а 7. Поверхностные явления . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
330
§ 61. Формула Лапласа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
330
§ 62. Капиллярные волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
338
§ 63. Влияние адсорбированных пленок
на движение жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
344

Г л а в а 8. Звук . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
348
§ 64. Звуковые волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
348
§ 65. Энергия и импульс звуковых волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
355
§ 66. Отражение и преломление звуковых волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
360
§ 67. Геометрическая акустика. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
363
§ 68. Распространение звука в движущейся среде. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
367
§ 69. Собственные колебания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
372
§ 70. Сферические волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
376
§ 71. Цилиндрические волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
379
§ 72. Общее решение волнового уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
382
§ 73. Боковая волна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
385
§ 74. Излучение звука . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
391
§ 75. Возбуждение звука турбулентностью. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
404
§ 76. Принцип взаимности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
408
§ 77. Распространение звука по трубке . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
412
§ 78. Рассеяние звука. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
416
§ 79. Поглощение звука . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
421
§ 80. Акустическое течение. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
429
§ 81. Вторая вязкость. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
433

Г л а в а 9. Ударные волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
439
§ 82. Распространение возмущений в потоке
сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
439
§ 83. Стационарный поток сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
443
§ 84. Поверхности разрыва . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
448
§ 85. Ударная адиабата . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
454
§ 86. Ударные волны слабой интенсивности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
457
§ 87. Направление изменения величин в ударной волне . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
460

Оглавление

§ 88. Эволюционность ударных волн. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
464
§ 89. Ударные волны в политропном газе. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
467
§ 90. Гофрировочная неустойчивость ударных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
470
§ 91. Распространение ударной волны по трубе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
478
§ 92. Косая ударная волна. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
481
§ 93. Ширина ударных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
486
§ 94. Ударные волны в релаксирующей среде . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
494
§ 95. Изотермический скачок. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
495
§ 96. Слабые разрывы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
498

Г л а в а 10. Одномерное движение сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
501
§ 97. Истечение газа через сопло . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
501
§ 98. Вязкое движение сжимаемого газа по трубе . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
504
§ 99. Одномерное автомодельное движение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
508
§ 100. Разрывы в начальных условиях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
517
§ 101. Одномерные бегущие волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
524
§ 102. Образование разрывов в звуковой волне . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
533
§ 103. Характеристики. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
540
§ 104. Инварианты Римана . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
545
§ 105. Произвольное одномерное движение
сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
549
§ 106. Задача о сильном взрыве. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
556
§ 107. Сходящаяся сферическая ударная волна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
561
§ 108. Теория «мелкой воды» . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
567

Г л а в а 11. Пересечение поверхностей разрыва . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
570
§ 109. Волна разрежения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
570
§ 110. Типы пересечений поверхностей разрыва . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
576
§ 111. Пересечение ударных волн
с твердой поверхностью . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
582
§ 112. Сверхзвуковое обтекание угла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
585
§ 113. Обтекание конического острия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
590

Г л а в а 12. Плоское течение сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
594
§ 114. Потенциальное движение сжимаемого газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
594
§ 115. Стационарные простые волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
598
§ 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача о двумерном стационарном
движении сжимаемого газа) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
603
§ 117. Характеристики плоского стационарного течения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
608
§ 118. Уравнение Эйлера–Трикоми. Переход через звуковую скорость . .. .
610

Оглавление
9

§ 119. Решения уравнения Эйлера–Трикоми
вблизи неособых точек звуковой поверхности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
616
§ 120. Обтекание со звуковой скоростью. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
621
§ 121. Отражение слабого разрыва от звуковой линии. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
627

Г л а в а 13. Обтекание конечных тел. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
633
§ 122. Образование ударных волн при сверхзвуковом
обтекании тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
633
§ 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
637
§ 124. Дозвуковое обтекание тонкого крыла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
642
§ 125. Сверхзвуковое обтекание крыла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
646
§ 126. Околозвуковой закон подобия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
649
§ 127. Гиперзвуковой закон подобия. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
652

Г л а в а 14. Гидродинамика горения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
656
§ 128. Медленное горение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
656
§ 129. Детонация . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
664
§ 130. Распространение детонационной волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
671
§ 131. Соотношение между различными
режимами горения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
679
§ 132. Конденсационные скачки. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
682

Г л а в а 15. Релятивистская гидродинамика. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
685
§ 133. Тензор энергии-импульса жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
685
§ 134. Релятивистские гидродинамические уравнения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
687
§ 135. Ударные волны в релятивистской гидродинамике . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
693
§ 136. Релятивистские уравнения движения вязкой
и теплопроводной среды . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
696

Г л а в а 16. Гидродинамика сверхтекучей жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
699
§ 137. Основные свойства сверхтекучей жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
699
§ 138. Термомеханический эффект . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
703
§ 139. Уравнения гидродинамики сверхтекучей жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
704
§ 140. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
712
§ 141. Распространение звука в сверхтекучей жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
715

Некоторые обозначения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
724
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
725

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

В двух предыдущих изданиях (1944 и 1953 гг.) «Гидродинамика»
составляла первую часть «Механики сплошных сред»; теперь она выделена в отдельный том.
Характер содержания и изложения в этой книге определен в воспроизводимом ниже предисловии к предыдущему изданию. Моей основной заботой при переработке и дополнении было не изменить этот
характер.
Несмотря на протекшие 30 лет, материал, содержавшийся во втором издании, фактически не устарел — за очень незначительными
исключениями. Этот материал подвергся лишь сравнительно небольшим добавлениям и изменениям. В то же время добавлен ряд новых
параграфов — около пятнадцати по всей книге.
За последние десятилетия гидродинамика развивалась чрезвычайно
интенсивно и соответственно необычайно расширилась литература по
этой науке. Но ее развитие в значительной степени шло по прикладным
направлениям, а также в направлении усложнения доступных теоретическому расчету (в том числе с использованием ЭВМ) задач. К последним относятся, в частности, разнообразные задачи о неустойчивостях
и их развитии, в том числе в нелинейном режиме. Все эти вопросы
лежат вне рамок данной книги; в частности вопросы устойчивости излагаются (как и в предыдущих изданиях), в основном, результативным
образом.
Не включена в книгу также и теория нелинейных волн в диспергирующих средах, составляющая в настоящее время значительную главу
математической физики. Чисто гидродинамическим объектом этой теории являются волны большой амплитуды на поверхности жидкости.
Основные же ее физические применения связаны с физикой плазмы, нелинейной оптикой, различными электродинамическими задачами
и др.; в этом смысле она относится к другим томам.
Существенные изменения произошли в понимании механизма возникновения турбулентности. Хотя последовательная теория турбулентности принадлежит еще будущему, есть основания полагать, что ее
развитие вышло, наконец, на правильный путь. Относящиеся сюда
основные существующие к настоящему времени идеи и результаты
изложены в трех параграфах (§ 30–32), написанных мной совместно
с М. И. Рабиновичем; я глубоко благодарен ему за оказанную таким
образом большую помощь. В механике сплошных сред возникла в последние десятилетия новая область — механика жидких кристаллов.
Она несет в себе одновременно черты, свойственные механикам жид

Предисловие к третьему изданию
11

ких и упругих сред. Изложение ее основ предполагается включить
в новое издание «Теории упругости».
Среди книг, которые мне довелось написать совместно с Львом
Давидовичем Ландау, эта книга занимает особое место. Он вложил
в нее часть своей души. Новая для Льва Давидовича в то время
область теоретической физики увлекла его, и — как это было для него
характерно — он принялся заново продумывать и выводить для себя
ее основные результаты. Отсюда родился ряд его оригинальных работ,
опубликованных в различных журналах. Но ряд принадлежащих Льву
Давидовичу и вошедших в книгу оригинальных результатов или точек
зрения не были опубликованы отдельно, а в некоторых случаях даже
его приоритет выяснился лишь позднее. В новом издании книги во всех
известных мне подобных случаях я добавил соответствующие указания
на его авторство.
При переработке этого, как и других томов «Теоретической физики», меня поддерживали помощь и советы многих моих друзей
и товарищей по работе. Я хотел бы в первую очередь упомянуть
многочисленные обсуждения с Г. И. Баренблаттом, Я. Б. Зельдовичем,
Л. П. Питаевским, Я. Г. Синаем. Ряд полезных указаний я получил от
А. А. Андронова, С. И. Анисимова, В. А. Белоконя, В. П. Крайнова,
А. Г. Куликовского, М. А. Либермана, Р. В. Половина, А. В. Тимофеева, А. Л. Фабриканта. Всем им я хочу выразить здесь свою искреннюю
благодарность.
Е. М. Лифшиц
Институт физических проблем АН СССР
Август 1984 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
«МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»

Предлагаемая книга посвящена изложению механики сплошных
сред, т. е. теории движения жидкостей и газов (гидродинамике) и твердых тел (теории упругости). Являясь по существу областями физики,
эти теории благодаря ряду своих специфических особенностей превратились в самостоятельные науки.
В теории упругости существенную роль играет решение математически четко поставленных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных; поэтому теория упругости содержит в себе много элементов так называемой математической
физики.
Гидродинамика имеет существенно иной характер. Ее уравнения
нелинейны, и потому прямое их исследование и решение возможны
лишь в сравнительно редких случаях. Благодаря этому развитие современной гидродинамики возможно лишь в непрерывной связи с экспериментом. Это обстоятельство сильно сближает ее с другими областями
физики.
Несмотря на свое практическое обособление от других областей физики, гидродинамика и теория упругости тем не менее имеют большое
значение как части теоретической физики. С одной стороны, они являются областями применения общих методов и законов теоретической
физики, и ясное понимание их невозможно без знания основ других
разделов последней. С другой стороны, сама механика сплошных сред
необходима для решения задач из совершенно других областей теоретической физики.
Мы хотели бы сделать здесь некоторые замечания о характере
изложения гидродинамики в предлагаемой книге. Эта книга излагает
гидродинамику как часть теоретической физики, и этим в значительной мере определяется характер ее содержания, существенно отличающийся от других курсов гидродинамики. Мы стремились с возможной
полнотой разобрать все представляющие физический интерес вопросы.
При этом мы старались построить изложение таким образом, чтобы
создать по возможности более ясную картину явлений и их взаимоотношений. В соответствии с таким характером книги мы не излагаем
в ней как приближенных методов гидродинамических расчетов, так
и тех из эмпирических теорий, которые не имеют более глубокого
физического обоснования. В то же время здесь излагаются такие предметы, как теория теплопередачи и диффузия в жидкостях, акустика
и теория горения, которые обычно выпадают из курсов гидродинамики.

Из предисловия ко второму изданию «Механики сплошных сред»
13

В настоящем, втором издании книга подвергнута большой переработке. Добавлено значительное количество нового материала, в особенности в газодинамике, почти полностью написанной заново. В частности, добавлено изложение теории околозвукового движения. Этот вопрос имеет важнейшее принципиальное значение для всей газодинамики, так как изучение особенностей, возникающих при переходе через
звуковую скорость, должно дать возможность выяснения основных качественных свойств стационарного обтекания твердых тел сжимаемым
газом. В этой области до настоящего времени еще сравнительно мало
сделано; многие важные вопросы могут быть еще только поставлены.
Имея в виду необходимость их дальнейшей разработки, мы даем подробное изложение применяемого здесь математического аппарата.
Добавлены две новые главы, посвященные релятивистской гидродинамике и гидродинамике сверхтекучей жидкости. Релятивистские гидродинамические уравнения (глава 15) могут найти применение в различных астрофизических вопросах, например при изучении объектов,
в которых существенную роль играет излучение; своеобразное поле
применения этих уравнений открывается также и в совершенно другой
области физики, например, в теории множественного образования частиц при столкновениях. Излагаемая в главе 16 «двухскоростная» гидродинамика дает макроскопическое описание движения сверхтекучей
жидкости, каковой является жидкий гелий при температурах, близких
к абсолютному нулю...
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность Я. Б. Зельдовичу
и Л. И. Седову за ценное для нас обсуждение ряда гидродинамических вопросов. Мы благодарим также Д. В. Сивухина, прочитавшего
книгу в рукописи и сделавшего ряд замечаний, использованных нами
при подготовке второго издания книги.

Л. Ландау, Е. Лифшиц
1952 г.

Г л а в а 1

ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 1. Уравнение непрерывности

Изучение движения жидкостей (и газов) представляет собой содержание гидродинамики. Поскольку явления, рассматриваемые в гидродинамике, имеют макроскопический характер, то в гидродинамике
жидкость 1) рассматривается как сплошная среда. Это значит, что
всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько
большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах
объема, то всегда при этом будет подразумеваться «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем, достаточно малый по сравнению
с объемом тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстояниями. В таком же смысле надо понимать в гидродинамике выражения «жидкая частица», «точка жидкости». Если, например, говорят
о смещении некоторой частицы жидкости, то при этом идет речь не
о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике
как точка.
Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скорости жидкости v = v(x, y, z, t) и каких-либо ее двух термодинамических величин, например давления p(x, y, z, t) и плотности ρ(x, y, z, t).
Как известно, все термодинамические величины определяются по значениям каких-либо двух из них с помощью уравнения состояния вещества; поэтому задание пяти величин: трех компонент скорости v,
давления p и плотности ρ полностью определяет состояние движущейся жидкости.
Все эти величины являются, вообще говоря, функциями координат x, y, z и времени t. Подчеркнем, что v(x, y, z, t) есть скорость
жидкости в каждой данной точке x, y, z пространства в момент времени t, т. е. относится к определенным точкам пространства, а не
к определенным частицам жидкости, передвигающимся со временем
в пространстве; то же самое относится к величинам ρ, p.

1) Мы говорим здесь и ниже для краткости только о жидкости, имея при
этом в виду как жидкости, так и газы.

§ 1. Уравнение непрерывности
15

Начнем вывод основных гидродинамических уравнений с вывода
уравнения, выражающего собой закон сохранения вещества в гидродинамике.
Рассмотрим некоторый объем V0 пространства. Количество (масса)
жидкости в этом объеме есть ρ dV , где ρ есть плотность жидкости,
а интегрирование производится по объему V0. Через элемент df поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, в единицу времени
протекает количество ρv df жидкости; вектор df по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали
к ней. Условимся направлять df по внешней нормали. Тогда ρvdf положительно, если жидкость вытекает из объема, и отрицательно, если
жидкость втекает в него. Полное количество жидкости, вытекающей
в единицу времени из объема V0, есть, следовательно,

⃝
ρv df,

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности,
охватывающей рассматриваемый объем.
С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объеме V0
можно написать в виде
− ∂

∂t

ρ dV.

Приравнивая оба выражения, получаем:

∂
∂t

ρ dV = − ⃝
ρv df.
(1.1)

Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объему

⃝
ρv df =
div ρv dV.

Таким образом,
∂ρ

∂t + div ρv
dV = 0.

Поскольку это равенство должно иметь место для любого объема, то
должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т. е.

∂ρ
∂t + div ρv = 0.
(1.2)

Это — так называемое уравнение непрерывности.
Раскрыв выражение div ρv, (1.2) можно написать также в виде

∂ρ
∂t + ρ div v + v grad ρ = 0.
(1.3)

Вектор
j = ρv
(1.4)

называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает
с направлением движения жидкости, а абсолютная величина опре

Гл. 1. Идеальная жидкость

деляет количество жидкости, протекающей в единицу времени через
единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.

§ 2. Уравнение Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая
на выделенный объем жидкости, равна интегралу

− ⃝
p df,

взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его
в интеграл по объему, имеем

− ⃝
p df = −
grad p dV.

Отсюда видно, что на каждый элемент объема dV жидкости действует со стороны окружающей его жидкости сила −dV grad p. Другими
словами, можно сказать, что на единицу объема жидкости действует
сила − grad p.
Мы можем теперь написать уравнение движения элемента объема
жидкости, приравняв силу − grad p произведению массы ρ единицы
объема жидкости на ее ускорение dv/dt:

ρdv

dt = − grad p.
(2.1)

Стоящая здесь производная dv/dt определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение
скорости определенной передвигающейся в пространстве частицы жидкости. Эту производную надо выразить через величины, относящиеся
к неподвижным в пространстве точкам. Для этого заметим, что изменение dv скорости данной частицы жидкости в течение времени dt
складывается из двух частей: из изменения скорости в данной точке
пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один
и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием dr,
пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt. Первая из этих частей равна

∂v
∂t dt,

где теперь производная ∂v/∂t берется при постоянных x, y, z, т. е. в заданной точке пространства. Вторая часть изменения скорости равна

dx∂v

∂x + dy ∂v

∂y + dz ∂v

∂z = (dr∇)v.

Таким образом,
dv = ∂v

∂t dt + (dr∇)v

§ 2. Уравнение Эйлера
17

или, разделив обе части равенства на dt 1),

dv
dt = ∂v

∂t + (v∇)v.
(2.2)

Подставив полученное соотношение в (2.1), находим

∂v
∂t + (v∇)v = −1

ρ grad p.
(2.3)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное
впервые Л. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера
и является одним из основных уравнений гидродинамики.
Если жидкость находится в поле тяжести, то на каждую единицу ее
объема действует еще сила ρg, где g есть ускорение свободного падения. Эта сила должна быть прибавлена к правой части уравнения (2.1),
так что (2.3) приобретает вид

∂v
∂t + (v∇)v = −∇p

ρ + g.
(2.4)

При выводе уравнений движения мы совершенно не учитывали
процессов диссипации энергии, которые могут иметь место в текущей
жидкости вследствие внутреннего трения (вязкости) в жидкости и теплообмена между различными ее участками. Поэтому все излагаемое
здесь и в следующих параграфах этой главы относится только к таким
движениям жидкостей и газов, при которых несущественны процессы
теплопроводности и вязкости; о таком движении говорят как о движении идеальной жидкости.
Отсутствие теплообмена между отдельными участками жидкости
(а также, конечно, и между жидкостью и соприкасающимися с нею
окружающими телами) означает, что движение происходит адиабатически, причем адиабатически в каждом из участков жидкости.
Таким образом, движение идеальной жидкости следует рассматривать
как адиабатическое.
При адиабатическом движении энтропия каждого участка жидкости остается постоянной при перемещении последнего в пространстве.
Обозначая буквой s энтропию, отнесенную к единице массы жидкости,
мы можем выразить адиабатичность движения уравнением

ds
dt = 0,
(2.5)

где полная производная по времени означает, как и в (2.1), изменение
энтропии заданного перемещающегося участка жидкости. Эту производную можно написать в виде

∂s
∂t + v grad s = 0.
(2.6)

1) Определенную таким образом производную d/dt называют субстанциональной, подчеркивая тем самым ее связь с перемещающимся веществом.