Теоретическая физика. Том 9. Статистическая физика. Теория конденсированного состояния. Часть 2

Èçäàíèå ïÿòîå, èñïðàâëåííîå

®

УДК 530.145
ББК 22.31
Л 22

Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.:
Для вузов. В 10 т. Т. IX / Л и ф ш и ц Е. М., П и т а е в с к и й Л. П. Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния / Под ред.
Л.П. Питаевского. — 5-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 440 с. —
ISBN 978-5-9221-1580-3 (Т. IX).

Книга посвящена квантовой теории конденсированного состояния вещества. Подробно изложена теория квантовых жидкостей — бозевской и фермиевской. Большое внимание уделяется методическим вопросам — теории гриновских функций макроскопических тел. Во 2-е издание внесены дополнительные
материалы, отражающие современное состояние предмета.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов, а также
аспирантов и научных работников соответствующих специальностей.
Ил. 18.

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов физических
специальностей университетов

Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик РАН,
доктор физико-математических наук Л.П. Питаевский

ISBN 978-5-9221-1580-3 (Т. IX)
ISBN 978-5-9221-1508-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2015, 2018

c⃝ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 2004,
2015, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9

Предисловие к первому изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10

Г л а в а 1. Нормальная ферми-жидкость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости. .. .. .. .. .. .
12
§ 2. Взаимодействие квазичастиц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
19
§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
24
§ 4. Нулевой звук . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
26
§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
32
§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием между
частицами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
34

Г л а в а 2. Гриновские функции ферми-системы при T = 0 . .. .. .. .. .
42

§ 7. Функция Грина макроскопической системы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина . .. .. .. .. .. .
48
§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
53
§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам . .. .. .. .. .. .. .. .
55
§ 11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина . .. .. .. .
56
§ 12. Ψ-операторы в представлении взаимодействия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
57
§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 14. Собственно-энергетическая функция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
70
§ 15. Двухчастичная функция Грина. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
72
§ 16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц . .
77
§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса . .. .. .. .. .. .. .. .. .
80
§ 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц
86
§ 19. Тождества для производных от функции Грина . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89
§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью . .. .. .. .. .
93
§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
96

Оглавление

Г л а в а 3. Сверхтекучесть . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
103
§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости . .. .. .. .. .. .. .
103
§ 23. Сверхтекучесть . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
106
§ 24. Фононы в жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
113
§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
117
§ 26. Волновая функция конденсата . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
126
§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи λ-точки . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 29. Квантованные вихревые нити. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
131
§ 30. Неоднородный бозе-газ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
138
§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
141
§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
148
§ 33. Собственно-энергетические функции. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
151
§ 34. Распад квазичастиц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
155
§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
160
§ 35*. Сверхтекучесть двумерных систем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
165

Г л а в а 4. Функции Грина при конечных температурах . .. .. .. .. .. .. .. .
171
§ 36. Гриновские функции при конечных температурах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
171
§ 37. Температурные функции Грина. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
176
§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина . .. .. .. .. .
179

Г л а в а 5. Сверхпроводимость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства . .. .. .. .. .. .. .
189
§ 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
194
§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа . .. .
200
§ 43. Сверхпроводимость металлов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
202
§ 44. Сверхпроводящий ток. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
204
§ 45. Уравнения Гинзбурга–Ландау. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
209
§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
216
§ 47. Два рода сверхпроводников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
222
§ 48. Структура смешанного состояния . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
226
§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода . .. .. .. .. .. .. .. .
233
§ 50. Эффект Джозефсона . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
237
§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241
§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник . .. .. .. .
247
§ 53. Сверхпроводящие сплавы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
249
§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары
252

Оглавление
7

Г л а в а 6. Электроны в кристаллической решетке . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
257
§ 55. Электрон в периодическом поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
257
§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке . .. .. .. .. .
266
§ 57. Квазиклассические траектории. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
271
§ 58. Квазиклассические уровни энергии. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
275
§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
278
§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле . .. .. .
283
§ 61. Электронный спектр нормальных металлов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
287
§ 62. Гриновская функция электронов в металле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
292
§ 63. Эффект де Гааза–ван Альвена . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
296
§ 64. Электрон-фононное взаимодействие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
303
§ 65. Влияние
электрон-фононного
взаимодействия
на
электронный
спектр в металле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
307
§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
311
§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
315
§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
317

Г л а в а 7. Магнетизм. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
323
§ 69. Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике . .. .. .. .
323
§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
329
§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины. .. .. .. .. .
335
§ 72. Спиновый гамильтониан . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
340
§ 73. Взаимодействие магнонов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
346
§ 74. Магноны в антиферромагнетике . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
351
§ 74*. Антиферромагнитное состояние спинового гамильтониана . .. .. .. .. .
357

Г л а в а 8. Электромагнитные флуктуации. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
362
§ 75. Гриновская функция фотона в среде . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
362
§ 76. Флуктуации электромагнитного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
368
§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде . .. .. .. .. .. .. .
369
§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
375
§ 79. Температурная функция Грина фотона в среде . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
376
§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
380
§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
387
§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
392
§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости
397
§ 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости . .. .. .
401
§ 85. Вырожденная плазма . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
403

Оглавление

Г л а в а 9. Гидродинамические флуктуации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
411
§ 86. Динамический формфактор жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
411
§ 87. Правила сумм для формфактора. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
416
§ 88. Гидродинамические флуктуации . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
420
§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде . .. .. .. .. .. .
424
§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов . .. .. .. .
429
§ 91. Динамический формфактор ферми-жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
432
Некоторые обозначения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
435

Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
436

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Над подготовкой нового издания этой книги мне, к сожалению, пришлось работать одному. Мой соавтор и друг Е. М. Лифшиц скончался
в 1985 году. Хотя в теории конденсированного состояния вещества
в последние годы были получены многие важные результаты, я не счел
необходимым подвергать книгу существенной переработке. В книге
изложены основы теории, и это изложение, как кажется, выдержало
испытание временем. Тем не менее некоторые дополнения и изменения
оказались необходимыми.
Добавлен параграф 35*, посвященный теории фазового перехода
Березинского–Костерлица–Тоулесса в сверхтекучих пленках. Эта теория составляет основу современных представлений о процессах, происходящих в двумерных системах, и ее создание существенно обогатило
наши представления о природе фазовых переходов.
Глава VII, посвященная магнетизму, подверглась существенной переработке. В частности, добавлен § 74*, в котором рассматривается
применение метода Холштейна и Примакова к исследованию свойств
антиферромагнетиков. Этот метод играет важную роль в микроскопической теории магнетизма и его включение в книгу представляется
необходимым.
Одним из важнейших достижений последних лет в области физики явилось открытие высокотемпературных сверхпроводников. Однако, несмотря на огромные усилия экспериментаторов и теоретиков,
природа этого интересного явления остается во многом непонятной.
Неясно даже, какое именно взаимодействие ответственно за переход
в сверхпроводящее состояние. При таком положении дел мне пришлось
ограничиться лишь краткими замечаниями по этому вопросу.

Июнь 2000 г.
Л. П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Если кратко охарактеризовать содержание предлагаемого читателю
IX тома «Курса теоретической физики», то можно сказать, что он
посвящен квантовой теории конденсированного состояния вещества.
Он начинается с подробного изложения теории квантовых жидкостей — бозевской и фермиевской. Эта теория, созданная Л. Д. Ландау
вслед за экспериментальными открытиями П. Л. Капицы, представляет
в настоящее время самостоятельный раздел теоретической физики.
Его важность определяется даже не столько теми интересными явлениями, которые происходят в жидких изотопах гелия, сколько тем,
что представления о квантовой жидкости и ее спектре являются по существу основой квантового описания макроскопических тел.
Например, для глубокого понимания свойств металлов необходимо
рассматривать электроны в них как ферми-жидкость. Свойства электронной жидкости, однако, усложняются наличием кристаллической
решетки, и предварительное изучение более простого случая однородной и изотропной жидкости является необходимым шагом в построении теории. Точно так же сверхпроводимость металлов, которую можно
рассматривать как сверхтекучесть электронной жидкости, трудно ясно
понять без предварительного знания более простой теории сверхтекучести бозе-жидкости.
Неотъемлемую часть математического аппарата современной статистической физики составляет аппарат гриновских функций. Это связано отнюдь не только с теми вычислительными удобствами, которые
предоставляет диаграммная техника вычисления гриновских функций.
Дело прежде всего в том, что гриновские функции непосредственно
определяют спектр элементарных возбуждений тела и потому являются
тем языком, на котором свойства этих возбуждений наиболее естественно описывать. Поэтому в настоящем томе методическим вопросам — теории гриновских функций макроскопических тел — уделено
значительное внимание. Хотя основные идеи метода одни и те же для
всех систем, конкретный вид диаграммной техники различен в разных
случаях. Представляется естественным в этой связи развивать эти
методы на примере тех же изотропных квантовых жидкостей, где
сущность метода выявляется в чистом виде, без усложнений, вносимых пространственной неоднородностью, наличием нескольких сортов
частиц и т. п.
По аналогичным причинам макроскопическую теорию сверхпроводимости мы излагаем на простой модели изотропного ферми-газа

Предисловие к первому изданию
11

со слабым взаимодействием, отвлекаясь от усложнений, связанных
с наличием кристаллической решеткии кулоновским взаимодействием.
В связи с главами, посвященными электронам в кристаллической
решетке и теории магнетизма, подчеркнем лишний раз, что предлагаемая книга — часть курса теоретической физики и ни в коей мере
не призвана заменить собой курс теории твердого тела. В соответствии с этим здесь рассматриваются лишь вопросы наиболее общего
характера и не затрагиваются как вопросы, требующие использования
конкретных экспериментальных данных, так и те из расчетных методов, которые не имеют под собой ясной теоретической базы. Напомним также, что к данному тому не относятся кинетические свойства
твердых тел, которые мы предполагаем рассмотреть в следующем,
заключительном томе курса.
Наконец, в этой книге излагаются также теория электромагнитных флуктуаций в материальных средах и теория гидродинамических
флуктуаций. Первая их них входила ранее в VIII том. Ее перенесение
в настоящий том вызвано необходимостью применения гриновских
функций, что позволяет придать всей теории более простой и удобный
для применения вид. Кроме того, естественно рассматривать электромагнитные и гидродинамические флуктуации в одном томе.
Л. Д. Ландау отсутствует среди фактических авторов этой книги.
Но читатель легко заметит, сколь часто встречается его имя в тексте
книги: ему лично или ему в сотрудничестве с его учениками принадлежит значительная доля излагаемых здесь результатов. Многолетнее
общение с ним дает нам основание надеяться, что нам удалось верно
отразить его точку зрения по этим вопросам — разумеется, с учетом
также и того нового, что было внесено в них за 15 лет, прошедших со
дня, когда так трагически прервалась его деятельность.
Мы хотели бы поблагодарить А. Ф. Андреева, И. Е. Дзялошинского
и И. М. Лифшица за постоянное обсуждение вопросов, рассмотренных
в этой книге. Мы извлекли также много пользы из известной книги
А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и И. Е. Дзялошинского — одной
из первых книг в физической литературе, посвященных новым методам статистической физики. Наконец, мы благодарны Л. П. Горькову
и Ю. Л. Климонтовичу, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим
ряд замечаний.

Апрель 1977 г.
Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

Г л а в а 1

НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой
ферми-жидкости

При температурах настолько низких, что де-бройлевская длина
волны, отвечающая тепловому движению атомов жидкости, становится
сравнимой с межатомными расстояниями, макроскопические свойства
жидкости определяются квантовыми эффектами. Теория таких квантовых жидкостей представляет значительный принципиальный интерес,
хотя в природе существуют лишь два объекта такого рода, являющиеся
жидкостями в буквальном смысле этого слова; это — жидкие изотопы гелия (3He и 4He) при температурах ∼ 1–2 K. Все другие вещества затвердевают значительно раньше, чем становятся существенными
квантовые эффекты в них. Напомним в этой связи, что, согласно
классической механике, все тела должны были бы быть твердыми при
абсолютном нуле (см. V, § 64); гелий же, благодаря особой слабости
взаимодействия его атомов, остается жидким вплоть до температур,
когда вступают в силу квантовые явления, после чего затвердевание
уже перестает быть обязательным.
Вычисление термодинамических величин макроскопического тела
требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется, в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой является квантовая
жидкость, речь должна идти именно об уровнях, соответствующих
квантовомеханическим стационарным состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состояниям отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в области достаточно низких температур должны
учитываться лишь слабо возбужденные уровни энергии жидкости —
уровни, расположенные не слишком высоко над основным.
Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение для
всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического
тела можно рассматривать в квантовой механике как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения
ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом
телом объеме и обладающие определенными энергиями ε и импульсами p. Вид зависимости ε(p) (или, как говорят, закон дисперсии
элементарных возбуждений) является важной характеристикой энергетического спектра тела. Подчеркнем лишний раз, что понятие эле

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
13

ментарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического
описания коллективного движения атомов тела и квазичастицы отнюдь
не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молекулами.
Существуют различные типы энергетических спектров, которыми
могут, в принципе, обладать квантовые жидкости. В зависимости от
типа спектра жидкость будет иметь также и совершенно различные макроскопические свойства. Мы начнем с изучения жидкости со
спектром типа, который можно назвать фермиевским. Теория такой
ферми-жидкости была создана Л. Д. Ландау (1956–1958 гг.); ему принадлежат результаты, излагаемые в § 1–4 1).
Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского типа
строится в известном смысле аналогично спектру идеального ферми-газа (из частиц со спином 1/2). Основное состояние последнего
соответствует заполнению частицами всех состояний внутри фермиевской сферы — сферы в импульсном пространстве с радиусом pF,
связанным с концентрацией газа N/V (числом частиц в единице объема) формулой
N
V = 2
4πp3
F

3(2π¯h)3 =
p3
F

3π2¯h3
(1.1)

(см. V, § 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда частицы
переходят из состояний заполненной сферы в какие-либо состояния
с p > pF.
В жидкости, разумеется, не существует квантовых состояний для
отдельных частиц. Однако исходный пункт для построения спектра
ферми-жидкости состоит в утверждении, что классификация уровней
энергии остается неизменной при постепенном «включении» взаимодействия между атомами, т. е. при переходе от газа к жидкости. В этой
классификации роль частиц газа переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом атомов
и которые подчиняются статистике Ферми.
Сразу же отметим, что спектром такого типа может обладать, очевидно, только жидкость из частиц с полуцелым спином — состояние
системы из бозонов (частиц с целым спином) не может описываться
в терминах квазичастиц, подчиняющихся статистике Ферми. В то же
время следует подчеркнуть, что спектр этого типа не может быть
универсальным свойством всех таких жидкостей. Тип спектра зависит
также и от конкретного характера взаимодействия между атомами.
Простое соображение делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие таково, что в результате его атомы стремятся ассоциироваться в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость,

1) Забегая вперед, сразу же уточним, во избежание недоразумений, что
речь идет о несверхтекучей (или, как говорят, нормальной) ферми-жидкости.
Таковой является жидкий изотоп
3He (с оговоркой, которая будет сделана
в примечании на с. 285).

Гл. 1. Нормальная ферми-жидкость

состоящую из частиц (молекул) с целым спином, для которой рассматриваемый спектр заведомо невозможен.
Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом p
(мы еще вернемся к вопросу о справедливости этого утверждения).
Пусть n(p) есть функция распределения квазичастиц по импульсам,
нормированная условием
n dτ = N

V ,
dτ =
d3p

(2π¯h)3

(это условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше принцип классификации состоит в предположении, что задание этой функции однозначно определяет энергию E жидкости и что основное состояние
соответствует функции распределения, в которой заняты все состояния
внутри ферми-сферы с радиусом pF, связанным с плотностью жидкости
той же формулой (1.1), что и в случае идеального газа.
Важно подчеркнуть, что полная энергия жидкости E отнюдь не
сводится к сумме энергий ε квазичастиц. Другими словами, E представляет собой функционал от функции распределения, не сводящийся
к интегралу nε dτ (как это имеет место для идеального газа, где квазичастицы совпадают с истинными частицами и не взаимодействуют
друг с другом). Поскольку первичным понятием является именно E,
то возникает вопрос об определении энергии квазичастиц с учетом их
взаимодействия.
Для этого рассмотрим изменение E при бесконечно малом изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, определяться
интегралом от выражения, линейного по вариации δn, т. е. иметь вид

δE
V
=
ε(p) δn dτ.

Величина ε есть вариационная производная от энергии E по функции распределения. Она соответствует изменению энергии системы
при добавлении одной квазичастицы с импульсом p, и именно эта
величина играет роль гамильтоновой функции квазичастицы в поле
других частиц. Она тоже является функционалом функции распределения, т. е. вид функции ε(p) зависит от распределения всех частиц
в жидкости.
Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рассматриваемом типе спектра можно в известном смысле трактовать как атом
в самосогласованном поле других атомов. Эту самосогласованность
нельзя, однако, понимать в обычном в квантовой механике смысле.
Она имеет здесь более глубокий характер; в гамильтониане атома
учитывается влияние окружающих частиц не только на потенциальную
энергию, но меняется также и зависимость оператора кинетической
энергии от оператора импульса.
До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина. Так
как спин является квантовомеханической величиной, то он не может

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
15

рассматриваться классически, ввиду чего мы должны считать функцию
распределения статистической матрицей в отношении спина. Энергия
же элементарного возбуждения ε в общем случае является не только
функцией от импульса, но и оператором по отношению к спиновым
переменным, который можно выразить через оператор спина квазичастицы s. В однородной и изотропной жидкости (не находящейся в магнитном поле и не ферромагнитной) оператор s может входить в скалярную функцию ε тоже лишь в виде скаляров s2 или (sp)2; первая
степень произведения sp недопустима, поскольку в виду аксиальности
вектора спина она является псевдоскаляром. Квадрат s2 = s(s + 1),
а для спина s = 1/2 сводится к не зависящей от s постоянной также
и скаляр (sp)2 = p2/4. Таким образом, в этом случае энергия квазичастицы вовсе не зависит от оператора спина, т. е. все уровни энергии
квазичастиц двукратно вырождены.
По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и выражает факт существования этого вырождения. В этом смысле можно
утверждать, что спин квазичастиц в данном типе спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отличного от 1/2 спина s члены
вида (sp)2 привели бы к расщеплению (2s + 1)-кратно вырожденных
уровней на (2s + 1)/2 уровней с двукратным вырождением. Другими
словами, появляются (2s + 1)/2 различных ветвей функции ε(p), каждая из которых соответствует «квазичастицам со спином 1/2».
Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функция распределения становится матрицей или оператором n(p) по отношению
к спиновым переменным. В явном виде этот оператор записывается
как эрмитова статистическая матрица nαβ(p), где α, β — спиновые
матричные индексы, пробегающие два значения ±1/2. Диагональные
матричные элементы определяют числа квазичастиц в определенных
спиновых состояниях. Поэтому условие нормировки функции распределения квазичастиц надо писать теперь в виде

Sp
n dτ ≡
nαα dτ = N

V ,
dτ =
d3p

(2π¯h)3
(1.2)

(символ Sp означает взятие следа матрицы по спиновым индексам) 1).
Оператором — матрицей по спиновым переменным — является
в общем случае также и энергия квазичастицы ε. Ее определение надо
записывать так:

δE
V
= Sp
εδn dτ ≡
εαβδnβα dτ.
(1.3)

1) Здесь и везде ниже по дважды повторяющимся индексам, как обычно,
подразумевается суммирование.

Гл. 1. Нормальная ферми-жидкость

Если спиновая зависимость функции распределения и энергии отсутствует, т. е. nαβ и εαβ сводятся к единичной матрице

nαβ = nδαβ,
εαβ = εδαβ,
(1.4)

то взятие следа в (1.2), (1.3) сводится просто к умножению на 2:

2
n dτ = N

V ,
δE
V
= 2
εδn dτ.
(1.5)

Легко видеть, что в статистическом равновесии функция распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми, причем роль
энергии играет определенная согласно (1.3) величина ε. Действительно, в силу совпадения классификационных свойств уровней энергии
жидкости и идеального ферми-газа энтропия S жидкости определяется
таким же комбинаторным выражением

S
V = −Sp
{n ln n + (1 − n) ln(1 − n)} dτ,
(1.6)

как и в случае газа (см. V, § 55). Варьируя это выражение при дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и полной энергии

δN
V
= Sp
δn dτ = 0,
δE
V
= Sp
εδn dτ = 0,

мы получим искомое распределение

n = [e(ε−μ)/T + 1]−1,
(1.7)

где μ — химический потенциал жидкости.
При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула (1.7)
означает такую же связь между величинами n и ε:

n = [e(ε−μ)/T + 1]−1.
(1.8)

При температуре T = 0 химический потенциал совпадает с граничной
энергией на поверхности сферы Ферми:

μ|T=0 = εF ≡ ε(pF).
(1.9)

Подчеркнем, что, несмотря на формальную аналогию выражения (1.8)
с обычным распределением Ферми, оно не тождественно с ним: поскольку ε само есть функционал от n, формула (1.8) представляет
собой, строго говоря, сложное неявное определение n.
Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой квазичастице может быть приписан определенный импульс. Условие справедливости этого предположения требует, чтобы неопределенность импульса (связанная с конечностью длины свободного пробега квазичастицы) была мала не только по сравнению с величиной самого
импульса, но и по сравнению с шириной Δp «области размытости»