Основы физики. Том 2. Колебания и волны. Квантовая физика. Физика ядра и элементарных частиц


    ¹¹ м ЯВ( ЯЧ’КИЙ, л.л. пинский





                ОСНОВЫ ФИЗИКИ





Том 2
     К<>л<‘О<111ия и волны. Квантовая физика Физика ядра и элементарных частиц


11зд<1ние пятое, стереотипное //<\(/ редакцией Ю.И. Дика














МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2003

УДК 530.10(075.4)
ББК 22.3
      Я22






   Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики: Учебн.. Колебания и волны. Квантовая физика. Физика ядра и элементарных частиц / Под ред. Ю.И. Дика. — 5-е изд., стереот — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 0 с. - ISBN 5-9221-0383-0.

   Данная книга является первой частью двухтомника, в котором основы физики излагаются на современной основе. Вопросы механики связаны с теорией относительности и соотношением неопределенностей; законы сохранения энергии, импульса и момента импульса — с принципами симметрии пространства и времени; основы термодинамики — с молекулярной статистикой и строением вещества; гидромеханика — с теорией ударных волн. От читателя требуется лишь основательное знание физики, алгебры и начал тригонометрии в объеме восьмилетней школы.
   Для учащихся школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением физикоматематических дисциплин, для подготовки к конкурсным экзаменам в вузы.



























ISBN 5-9221-0383-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ




Часть VI
Колебания и волны

Глава 49. Гармонические колебания ...................... 9
  §49.1 Гармонический осциллятор (9). §49.2. Частота и период колебании (11). §49.3. Энергия гармонического осциллятора (12).
  §49.4. Запись колебании (13). §49.5. Сложение колебании одинако-„о ~ (15). W. В«™Р„ые диаграммы (16).
  .   50. Гармонически анализ.............            . 17
  § 50.1. Сложение колебании с близкими частотами (17). §50.2. Модулированные колебания (18). §50.3. Сложение колебаний с кратными частотами (19). §50.4. Разложение Фурье. Спектр (21).

Глава 51 Свободные колебания ........ .
  §511. Пружинный маятник (22).    §51.2. Степень затухания.
  Добротность (23).    §51.3 Математический маятник (25).
  § 51.4. Физическии маятник (26). §51.5. Колебательный кон  W (28).   § 51.6. Энергия^ собственная частота и добротность
И §51.7. Един» подход к „оупеиик.колеО.иип (30).
Глава 52. Автоколебания...................................

22

34

  §52. 1. Автоколебательная система (34). §52.2. Часы (36).
    52.3 . Генератор незатухающих электромагнитных колебании (36).
  §   52.4. Самовозбуждение автоколебании (38).
Глава 53. Вынужденные колебания . .            ........... 39
  §53.1. Синусоидальная вынуждающая сила (39).    §53.2. Резонанс (41).                                    §53.3. Резонанс и гармонический анализ 42 .
    53.4. Полуширина резонансной кривой Избирательность 43 .
    53.5. Процесс установления вынужденных колебании (44).
  §53 6. Установление колебании при резонансе (45) §53.7. Сои„„реде„и„оетеи для чаете™ и .р~еии (45).
Гдаьа 54. Переменный чок...................... .          . . 47
  §54.1. Синхронный генератор переменного тока (47). §54.2. Цепь переменного тока (49).  §54.3. Активное сопротивление (50).
  §54.4. Действующие значения тока и напряжения (50) §54.5. Емкостное сопротивление (52). §54.6. Индуктивное сопротивление (52)                    §54.7. Закон Ома для цепи переменного тока (53).
  §⁵⁴' -Мопцюсть переменного тока (54).   §54.9 Трансформа  тор (55 ₈54 10. Передача анергии „а р^еачие (57).
Глава 55. Упругие водны..................;••••••••••........ ⁵⁸
  §55.1. Поперечные и продольные волны (58). §55.2. Скорость
  упругих волн (59). §55.3. Энергия и интенсивность волны (61).
  §55.4. Затухание волн (61).

Оглавление

Глава 56. Уравнение волны .... .               .. ....  . 63
   56.1. Длина волны (63). §56.2. Уравнение плоской волны (65).
  §56.3 .Уравнениеасферической волны (66). §56 4. Эффект Доплера в акустике (67). §56.5. Отражение и преломление волн (69).
  § 56.6. Коэффициенты отражения и прозрачности (71).
Глава 57. Интерференция и дифракция..................... 72
  НИ' 5РИНЦИП суперпозиции (72). §57 2 Стоячие волны (74 .
   57.3. Собственные частоты (75). §57.4. Интерференция (76).
  §57.5. Интерференция от двух источников (78) §57.6 Интер  ференция от нескольких источников (81). §57.7 Интенсивность главных максимумов (82). §57.8 Дифракция (83)     §57.9. Ди  фракция на прямоугольной щели (85). §57.10. Преломление волн и интерференция (86).
  .?■ Элемя,т“ • •• ■•;;...........................• • • • "
  §М.1. Характеристики звука (89). §58.2 Источники звука (91).
  §58.3. Ультраз.уко.в» „^Лр^аатели (93). §58 4. Приемники
  звука (94). §58.5. Ухо (95). §58.6. Особенности инфра- и ультра

Часть VII
    Электромагнитные волны и основы оптики

Глава 59. Электромагнитные волны                   ..... 101
  §59.1. Скорость электромагнитных волн (101). §59.2. Плоская
  синусоидальная волна (102). §59.3 Световое давление (103).
  § 59.4. Излучение электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом (105)  §59 5. Излучение колеблющегося заряда и
  Диполя (107). §59 6. Излучение циркулирующего заряда (108).
  §59.7. Излучение Вавилова-Черенкова (ПО).    §59.8. Эффект
  Доплера в оптике (111).
Глава 60. Элементы радиотехники.......... .........     113
  §60.1. Радиосвязь (113). §00.2 Радиовещание (114) §00.3 То  левидеиие (116) §60.4. Усилитель (110). §00.5. Детектирование (демодуляция) (118 .
Глава 6 . Интерференция света                           ¹²⁽¹
  §61.1. Шкала электромагнитных волн (120). §61.2. Волновой цуг. Световой вектор (121) § 61.3.Соотношение) неопределенностей для координать и волнового числа (122). §61 4 Монохроматичность (!24) § 6! 5 Интерференция света (127) §61.6 Когерентность (128 § 61.7. Расстояние между интерференционными
  максимумами (130). §61.8. Интерферометр Маикельсона (132).
  §61.9. Применение интерференции (134).
Глава 62 Дифракция света...........                     135
  §62.1. Дифракция на одном отверстии (135). §62.2. Дифракционная решетка (135).                    §62.3. Угловая ширина главного

Оглавление

5

  максимума (137). §62.4. Разрешающая способность решетки (138). §62.5. Дифракция рентгеновского излучения (139). §62.6. Ди  фракция в трехмерной решетке (140). §62.7. Рентгеноструктурныи

  . !  « Д-персия и поглощение                          146
  §63.1. Поквателъ преломления е«ш (146) §63.2. Кочффици  енты отражения и прозрачное™ (148). §63.3 Диопереия (149).
  §63.4. Дисперсия и спектральное разложение (151). §63.5. Электронная теория дисперсии (152). §63.6. Нормальная и аномальная дисперсия (153). §63.7. Поглощение света (155). §63.8. Фазовая и групповая скорость (156). §63.9. Измерение скорости свещ (158).
Глава 64. Поляризация света .....                 ...... 161
  § 64.1. Поляризованный и естественный свет (161). § 64.2. Анализатор. Закон Малюса __(162). §64.3 Двойное лучепреломление (164).
  § 64.4. Причина двойного лучепреломления (166). §64.5. Дихроизм (167). §64.6. Поляроид - поляризатор и анализатор (168). §64.7. Вращение плоскости поляризации (169). §64.8. Оптическая .™™„.™„„р„р₀ж <1П).
Глдрл ®. Геометрическая оптика...........  ....... 172
   65.1. Основные законы геометрической оптики Пучок и луч (172).
  §65.2. Преломление света. Полное отражение (174). §65.3. Призма (178). §65.4. Линза (181). §65.5. Построение изображений в тонкой линзе (185) §65.6. Недостатки линз (188). §65.7. Сферическое зеркало (190).
Глава 66. Оптические приборы. .......... .............. 192
  §66.1 Фотометрия (192). §66.2. Глаз (195). §66.3. Аккомодация. Бинокулярное зрение (197 § 66 4. Угол зрения Разрешаю  щая способность глаза (199). §66.5 Лупа (200). §66.6. Микроскоп (201). §66.7. Телескоп (202) §66.8^ Разрешающая способ  ность оптического прибора (205). §66.9. Проекционная аппаратура (207). §66.10. Спектральные приборы (209). §66.11. Гологра-........ ........................
Часть VIII
  Основы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел

ГЛ“! 5                             ............... ..... 215
  §67.1. Тепловое излучение (215). §67.2. Законы излучения абсолютно черного тела (217) § 67.3 Идеи Планка. Формула Планка для теплового излучения (219). § 67.4. Квантовая теория теплоемкости „„„„„„р^нреиняг.ерин.хтен (221).
Г^а. «. Основы квантовой оптики........................ 224
  §68.1. Фотоэлектрический эффект (224). §68.2. Законы внешнего фотоэффекта (225). §68.3. Понятие о квантовой природе све-

Оглавление

  ^•ЛВ1НТ⁰В°е объяснение законов внешнего фотоэффект 227).
  § 68.4. Фотохимические действия света (231). § 68.5 Импульс фотона. Световое давление с квантовой точки зрения (232). §68.6. Эффект Комптона (235)  68.7 Корпускулярно-волновая двойствен  ность свойств света (238). §68.8. Фотон — релятивистская безмассо-вая частица (241) §68.9. Флуктуация фотонов (244) §68.10. Фо- И                „Р_ теория (247).

Глава 69. Волновые свойства частиц веще тна .............. 251
  § 69.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц веществ (251). §69.2. Волновые свойства нейтронов атомов и молекул (257). §69.3. Физическии смысл волн де Бройля (260).
  §69.4. Фокусировка электронных пучков (264) §69.5. Электрон
Глава 70. Понятие о квантовой механике ................... 200
  §70.1. Понятие о Юноной функции (2»)   §70.2. Соотношения
  неопределенностей Гаизенберга (271). §70.3. Движение свободной частицы (277). §70.4. Частица в потенциальной яме прямоугольной формы (279). §70.5. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике (284) §70.6. Прохождение частицы сквозь
                барьер (2SS).

Глава 71. Воцородопоцобные системы по Бору................. 203
  § 71.1. Ядорная модель атома Резерфорда (293) Tli Трудности классического объяснения ядернои модели атома (297). §71.3. Линейчатый спектр атома водорода (299). § 71 4 Постулаты Бо  ра (303). §71.5. Квантование энергии и вычисление постоянной РидбергавтеорииБора (306) §71.6. Опыты Франка и Герца (309).

Глава 72. Водородоподобные системы в квантовой ме   2.................................................... • ³¹²
   72.1. Квантование энергии электрона атома водорода (312).
  § 72.2. Квантование момента импульса (315). § 72.3. Физическии смысл боровских орбит (316). §72.4. Пространственное квантование (316). §72.5. Еще о спине __ электрона 318). §72.6. Тонкая структура спектральных линии (322)    § 72 7 Квантовомеха  ническии смысл постулатов Бора (323).       §72.8 Спонтанное
  (самопроизвольное) излучение света (325). §72.9. Вынужденное (индуци^

Глава 73. Многоэлектронные атомы.......................... 331
  §73.1. Принцип Паули (33 ).  §73 2. Периодическая система
  элементов Менделеева (334)   §73.3. Тормозное рентгеновское
  излучение (339).   §73.4. Характеристическое рентгеновское
  излучение (341).

        7 - Строение молекул и их спектры .......... . 346
  § 74.1. Общая характеристика химических связей (346). § 74.2. Ионные молекулы (348). §74.3. Молекулы с ковалентной химической связью (350). § 74.4. Понятие о молекулярных спектрах (353).

Оглавление

7

Глава 75. Электрическая проводимость металлов в со  ,WM. n.....T...,p,,и................................ 357
  § 75.1. Недостатки классической теории электрической проводимости мейлов (357) §75.2. Квантование энергии электронов в металле (359). § 75.3. Уровень Ферми для электронов в металле (360).
  §⁷⁵;tn°™ °б импульсном пространстве электронов в металле (362) §75.5 Понятие о вырождении электронов в металле (365).
  § 75.6 Распределение электронов в металле по энергиям при абсолютном нуле (367) § 75.7 Влияние температуры на распределение электронов по энергиям (369). § 75.8. Теплоемкость вырожденного электронного газа (371). § 75.9 Понятие о квантовой теории проводимости металлов (373). § 75.10. Явление сверхпроводимости (376).
(381).
гзааа 75. Элементы зонной теории крв™лл«в................ 384
  § 76.1. Понятие о зонной теории твердых тел (384). § 76.2. Расщепление энергетических уровней валентных и внутренних электронов в атомах твердого тела (386) § 76.3. Расположение энергетических зон в твердом теле Внутризонные и междузонные переходы электронов (389). § 76.4. Металлы и диэлектрики в зонной теории (391).
  § 76.5. Зонная теория собственной и примесной проводимости полу-„„„ко, (393).
Глава 77. Некоторые оптические свойства вещества. . . 395
  §77.1. Комбинационное рассеяние света (396). §77.2. Люминесценция (399). §77.3. Отрицательное поглощение света (402).
  §77.4. Оптические квантовые генераторы (405).

Часть IX
   Основы физики ядра и элементарных частиц

Глава 78. Основные свойства истроение.атомных ядер 415
  §78.1 . Заряд и масса атомных ядер (415 § 78.2 Снян я маг„„т„ь,„
  момент ядра (417). § 78.3. Состав ядра (419). § 78.4. Энергия связи ядра-Дефект массы (423) § 78.5. Ядерные силы (426). §78.6. Раз-моры яд р (432). §78.7. Капельная „одел, ядра (433).
Глава 79 Естественная радиоактивность . ................ 435
  §79.1 . Общие сведения о радиоактивных излучениях 435 .
  §79.2 . Правила смещения при радиоактивных превращениях (437).
  §79.3 . Основной закон радиоактивного распада (439). §79.4. Активность и ее измерение (441) § 79 5 Как пользоваться законом
  радиоактивного распада (443). § 79 6 Статистический характер явления радиоактивного распада (444). §79 7. Использование
  явления радиоактивности для измерения времени в геологии и археологии (445) § 79.8. Экспериментальные методы изучения
  радиоактивных излучении и частиц (448) §79.9. Понятие о теории радиоактивного а-распада (453). §79.10. Гамма-излучение (456).
  §    79.11. Эффект Мёссбауэра (458). § 79.12. Понятие о закономерностях Д-распада (464).

Оглавление

Глава 80. Искусственные превращения атомных ядер .
  §⁸°-А- Превращение азота в кислород. Открытие нейтрона (469)  §80.2 Явление искусственной радиоактивности (472).
  §⁸⁰Л®°ЗН”ИС И У™что™е электронно-позитронных ПаР ⁽⁴⁷„⁴⁾;Л⁸⁰'⁴' Р1С?В«°е ЯДР°- °бщаЯ ^актеристика ядерных реакции (476)   80.5. Понятие о взаимодействии нейтронов с
  веществом (479). §80.6. Трансурановые элементы (481). §80.7. Деление ядер (482). §80.8. Энергия активации деления. Спонтанное деление ядер (486).  § 80 9 Цепная реакция деления (489).
  §80.10. Ядерные реакторы (491). §80.11. Атомная бомба (495). §80.12. Термоядерные реакции (496). §80.13. Сжатие и удержание плазмы (502).
Глава 81. Элементарные частицы.......................
   81.1. Два подхода к структуре элементарных частиц 507 . 8 .2. Основные характеристики элементарных частиц 509 .
  §81.3. Краткие сведения о космическом излучении 511. §81.4. Лептоны (511). §81.5. Мезоны (515). §81.6. Барионы (520). §.⁸¹-⁷-      электромагнитного взаимодействия в ядерной
  физике (522). §81.8. Античастицы (524) §81.9 Фундаментальные взаимодействия и взаимопревращения частиц (531). §81.10. Понятие о классификации элементарных частиц (535).
Предметный указатель......................................

469

507

543

Часть VI
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ





Глава 49
"——
  ...'“л-г——
  1 В §8.4 было рассмотрено движение материальной тонки с массой т иод действием упругой силы F = -fa Полагая. что в начальный момент времени смещение точки х$ = 1 и начальная скорость /’0 = 0. мы с помощью численных методов нашли закон движения, виде
X = coswf, где ш = \ .
....................... ' . .
Мгновенная скорость точки оказалась равной v = —ш sm
  Можно показать, что справедливо и обратное заключение. А именно, если материальная точка движется ио закону .
а^соаИ ₊ 0,            (49.4)
™ ее мгновенная скорость и у коронке выражали так.
« = -^■”04 + 0,        (49.2)

  Для этого следует вспомнить определения мгновенной ско-рос™ (1.5) и ускорения (4.4) и дважды продифференцировать выражение (49.1).
  2.  В формуле (49.1) величин» , называется сметдеиа™. С«. щение равно расстоянию от колеблющейся точки до положения равновесия в произвольный момент времени. Максимальное смещение точки от положения равновесия равно А, поскольку косинус больше единицы не бывает. Эта величина называется амплитудой смещения: „ .       ,
 ..........................ы <⁴М
где индекс «м» означает максимальное значение. По смыслу амплитуда является существенно положительной величиной.

Часть VI. Колебания и волны

   Как нетрудно убедв™ея и, <49.-2), _да скорое™

   .......................................... ,⁴М
   3.   С помощью второго закона Ньютона найдем еилу, дек-ствующую на тело:
\ ⁽⁴М’
Мы видим. НТО эта сила подобна упругой силе - она пропорциональна смещению и имеет противоположный знак (см. §5.3). Поэтому данная сила называется квазиупругой (от латинского quasi — как будто).
   4.   Переменная wl + ᵥ является аргументом косинуса и назь -вастся фазой колебания', параметр ф называется начальной фазой. Совместно с амплитудой начальная фаза определяет положение и скорость колеблющейся точки в начальный момент времени. В самом доле, из (49.1) и (49.2) при I = 0 полупим знамения накального смещения so и накальной ско]юста го.


Отсюда следует, что амплитуда и фаза колебания определяются ................


   .,. Если закон движения материальной тонки выражается в виде синусоидальной функции времени (49.1), то говорят. НТО эта точка совершает гармонические -колебания. Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором (от латинского oscillum — колебание).


   Графики смещения, скорости и ускорения гармонического осциллятора изображены на рис. 49.1. Обратите внимание на то,

Гл. 49. Гармонические колебания

11

что скорость отличается по фазе от смещения на т/2, а уекоре-иие — на я. Рекомендуем читателю построить графики смещения при у> = 0, у, = я/2 я у, =-Зл/2.
   в. Учитывая, что ускорение а = d г/dt , можно соотношение (49.3) переписать в виде

= -Л.                     (49.8)
........................\ „
Это выражение называется биффереициаг,ьиъи, уравнением гор-морского оецщрщтора. Естественно, что решение данного дифференциального уравнения является ввгражекие (49.1). причем в математике доказывается, что это решение является единственным.


§4,₂.    Частот» и период колоний

   1.    Параметр ш. входящий в ввгражекие для смещения и все последующие выражения, называется круговой часщотоц. Воли-чина
// = -                     (49.9)

называется частотой. В злектрш и радиотехнике вместо о обвгч-HO пишут /. Для выяснения физического СМЫСЛЯ ЗТИХ ВСЛИЧИИ ввгразим их через период колебания.
   2.    Периодом колебания Т называется промежуток времени, по истечении которого колебание повторяется, т. е. колеблющаяся точка проходит те же положения и в том же направлении. Из определения следует ,             _                 .....

где п — произвольное целое число. Это значит, что через произвольное целое число периодов точка будет двигаться точно так же, как и в давнкгй момеитЧфдетавив (49.1) в (49 10). вручим .........₊
Но косинусы двух аргументов равны, если эти аргументы отличаются на 2п7г (2тг — период косинуса и синуса, п — целое число), следовательно, а,* + ,ШТ + р =  + р + 2пк.
   3.     Отсюда и вытекает искомая связь между периодом и частотой: „                          ₁


(49-11)

Часть VI. Колебания и волны

Итак, круговая частота v показывает, сколько полнвгх колебакпи совершается за 2л секунд, частота о - сколько колебании еовер-шается за одну секунду.
   Единицей частоты служит »рЧ (Гц). Частота г = 1 Гц. если период колебания Г = 1 с. Круговая частота измеряется в радианах за секунду, аналогично угловой скорости.
   4.    Сравнивая выражение для упругой силы F = — ks с выражением (49.6), имеем: — ks = — mu²s, откуда следует

Итак, если гармоническое колебание возникает под действием упругой силы, то частота колебания не зависит от начальньта условии и определяется только упругостью и массой системы, т.е. свойствами самого осциллятора. На этом основании данная на-стота называется собственной круговой частотой осциллятора; она обозначается через а-'о- Собственный период

М9-3. Энергия гармонического осциллятора
   1. Клшетическая энергия (см. §16.2)...................

(49.14)

Потенциальная энертия (см. §18.6)........................

(49.16)

Учитывая, что — тш (см. (49.12)), имеем

U = -mu A cos И + д).              (49.16)

Известно, что cos² а + sm² а = 1. Складывая (49.14) и (49.16), получим выражение для полкой механической энергии осциллятоРа:                          1   „ W.K₊                              (49Л)

Графики для потенциальнои, кинетической и полной энергии изображены на рис. 49.2. Из графика видно, что период изменения кинетической или потенциальной энергии вдвое меньше

Гл. 49. Гармонические колебания

13

периода колебания. Это также следует „ соотношения 2 cos цЦ = ..............................................
   2. Гармоюгчсск™ осциллятор представляет собой коиссрва-тивную систему (§ 19.1). Его полная энергия не меняется в процессе колебания, происходит лишь преобразование потенциальной энергии в кинетическую и наоборот при сохранении их суммарной

K, U, W, s

mu2A² 2





                      ....
вели™. Как можно показать (рис. 49.2), среднее значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной ................;■."■■■.
о.,».....

Здесь угловыми скобками обозначено среднее значение величины.


§49.4. Запись колебаний


   !. Простейший способ записи колебании изображен на рис. 49.3. На бумаге получается запись колебании - оецш.-лосрол^ (от латинского ose.llmn - колебание „ греческого gramma-запись).
   Во многих случаях оказывается более целесообразным преобразовать исследуемое колебание в электрические сигналы, которые далее записать гораздо легче. Для этой цели можно восполь
зеваться, например, явлением электромагнитной индукции. Если к колеблющемуся телу прикрепить проволочную рамку и поме
стить последнюю в магнитное иоле то при колебаниях рамки в пси возникнет индукционный ток (§43.1-43.3), колебания которого точно соответствуют колебаниям исследуемого осциллятора. Возникшие в рамке колебания тока записываются с помощью


электронных или шлейфовых осциллографов.

Часть VI. Колебания и волны

   2. Основной частью электронного осциллографа является электронно-лучевая трубка (сМ- §47-4)- Исследуемое колебание в виде электрических сигналов подается на вход вертикального усилителя. После усиления сигнал подается на электроды вертикального отклонения электронного пучка, в результате чего он пишет на экране трубки вертикальную прямую (рис. 49.4, слева).
   Чтобы получить осциллограмму, нужно одновременно о вертикальным перемещением электронного пучка заставить его двигаться равномерно по горизонтали. Для этого на электроды горизонтального откло

нения подается так называемое пилосбразноегоапряжение от специального генератора развертки (рис. 49.5). Под действием этого напряжения электронный пучок движется вначале равномерно по экрану слева направо, а затем резко отбрасывается назад, к левому краю экрана.

Рис. 49.4

Время

Рис. 49.5

   При совместном действии „ерника....ого отклонения и горизонтально,, развертки электронного пучка на экране трубки наблюдается осциллограмма (рис. 49.4, сирава). Для получения устойчиво,, картины необходимо правильно подобрать частоту развертки „ синхронизировать ее с „ееледуемым сигналом. С этой целью запуск генератора развертки производится самим еигна-лом, а период развертки подбирается кратным периоду сигнала.

Гл. 49. Гармонические колебания

15

 § 49 , Сложение колебаний одинаковой частоты
   1    Пусть на тело девствуют две Сильв ft = -А, а, к ft, = = -Адьд. Под действием каждой из атих сил тело совершало бы К°Ле£"....................................
з₁^₁еов₍ш₁₁ ₊ ,₁₎из₂^₂еовИА ₊ и₎.
Попытаемся выяснить, как движется тело при одновремениом действии обеих сил.  ....................
   Оказывается, что в общем случае здесв возникают несднусо-иным,, словами - незармоначесхас колебания. В этом ожно убедитвоя, сняв осциллограмму суммарного колебания И лншв в одном случае, когда жесткое™ совпадают (А, = Ад = А) и вследствие этого совпадают собственные частоты слагаемых колебаний (с,, = ад = ш). результирующее колебание окажется гармоническим колебанием с той же частотой. Этот случаи мы и рассмотрим в данном параграфе.
   2    . Итак, пусть слагаемые колебания одинаково,, частоты различаются амплитудами и фазами....................

     з^ЛеовИ^,). ₈₂^₂совИ ₊ ,₂).            (49.19)
Результирующее колебание имеет ту же частоту, но новую ам-илвтуду Ли „оную „ачалзкую фазу
;,^еовИ ₊ .).               (49.20)

Для нахождения это,, амплитуды и фазы учтем, что в случае, если колебания происходят по одной прямой, смещения складываются алгебраически: ? з, + ₂ ван..........
Де„ьИ ₊ р)^,еоьИ ₊ Р,) ₊ Д₂оозИ ₊ ,₂).
Данное равенство должно выполняться тождественно, т. е. в любой момент времени. Полагая wt = 0 (или тг, или 2тг и т. д.), -учим                  т ,

Пгутагая шА — т/2 (или Зл/2, или бл/2 и т. д.), получим

Л^- Д,в,„и ₊ Л₁Яп/₁.

   Из последних двух равенств можно наити искомые величины А и ср. Разделив второе равенство на первое, получим
_ Al sin + А₂ sin р₂ Ai cos pi + А₂ cos 9?2

(49.21)

Часть VI. Колебания и волны

Возведем оба равенства в квадрат и сложим их: .

А = А, + А₂ + 2АтА₂(созу:тсозу>₂ + sinyysinyry).
Но выражение в скобках есть косинус разности двух аргументов: cos (<^2 —   = cos cos <^2 + sin sin <^2- Итак,
             А² = А² + А% + 2А1А2 cos (<^2 — <^1).      (49.22)


§ 49.6. Векторные диаграммы

   1. Амплитуду и начальную фазу розультсгрующото колебания можно вычислить по формулам (49 21) и (49.22). Но можно ВОСпользоваться и графиком (рис. 49.6). Проводят горизонтальную ось. Строят вектор А„ составляющий угол^утт с осью. Из конца вектора Ат строят вектор А₂, составляющий угол п с осью. Тогда модуль вектора А, начало которого совпадает с началом Ai, а конец - с концом А₂, и сеть искомая амплитуда роэультирую-щего колебания, а угол у, который вектор А составляет с осью, равен искомой начальной фазе.              ............
   Для доказательства обратимся к рисунку (рис. 49.6). Здесь ов = Атеозу:;, ВС = МО = А₂cosy>₂, ОС -МВ = 4,siny,, и AD = А₂siny:₂. Отсюда следует, что.ОС = Атcosу>т + + A₂cosy>₂, КС = А₁Япу₁ ₊ А₂Япу>₂. Но tgy, = КС/ОС, а
И и

(ОК^ = (осу + (ксу. Подставив значения зтих величин произведя выкладки, получим искомые выражения (49.21) (49.22).

Рис. 49.6

Рис. 49.7

   2. Изложенный метод трафичоското сложения колебаний называется методом «кщадщад           Он весьма удобен, отобенно в тех случаях, когда необходимо сложить несколько колебаний и аналитический расчет оказывается довольно сложным.