Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость

Кудрявцев Л.Д.

Кутасов А.Д.
Чехлов В.И.

Шабунин М.И.

Сборник задач

по м атем атическом у

анализу

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.161
К 88

Куд р я в це в Л. Д., Ку т а с о в А. Д., Ч е х л о в В. И., Ш а бу н и н М. И.
Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость: Учеб. пособ. / Под ред. Л. Д. Кудрявцева. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 496 с. —
ISBN 978-5-9221-0306-0.

Книга является первой частью трехтомного сборника задач, созданного
на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа
в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал, связанный с понятием предела, непрерывности и производной. Каждый параграф
содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи
для самостоятельной работы с ответами.
Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.
Табл. 55. Ил. 94. Библиогр. 20 назв.

Р е ц е н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ
им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин;
профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.

ISBN 978-5-9221-0306-0 (Т. 1)
ISBN 978-5-9221-0305-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2010

c⃝ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов,
В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2003, 2010

!!
"#
#
$!%
&'
%

(
$'

'
'#
$%
)*$%

(+'
#
$%

(

##
$!'

#
$%

 ,#'%
(
+'
'
#
+,-.)
'
%
/%
(
+'
0%
 %
"+%
,%
12
%
3%
4%

4#

+'
%
/#
+'
'%

3#
'
%

0+'
+'
'
%

&+%
+'''
'%

 +5678
%

(
'
%
(
#
+$#
%
 %
I
x
559:
;+<
x
7
5=5>575698
$%

?#
+,-.)*%

@
?
(
?
5

x
5<
0N
Z
Q
R
C
'$'$''
'

%

9<
Ax
*A+x
Ax
*A+x
A:<
A*A
*B
+A
B
B
A
A

B
(
*A
B
B
A8<
AA
B
B
AA
B
B
C<
";<*%

5<
,'
'
'
*'
A
B
A
B
A
B
A
D
B
9<
,'
'
'
*AB
A
B
A
B
AB
AA
B
B
A
B
%

:<
,'
*A'
B
A
B

A
n
B
8<
AA
B
B
n
A
A
B
A

B

(
'
'UM
U
M
M

U

+M

M
M

B
UM
M

B
;M

<

B
M
C<
"'
A
B
U
E

;A
B
<

B
A

B

;A
B
<

B
A

B

%
%
F'
'

'
F'
%

 !"#$"#5<
1
A
B
*A

*B
*A
*B
*B
*A9<
,%
AA
B
*+A
B
G
*+A
B
:<
AA
B
A
B
%

AA
B
A
B

B
A
B
8<
,A
B
n
N
A
f59:ng(
*A
n
*A
n%

,%

C<
,A
A
N
1
%
A%

,+N
.
4
%

5%
!

9%
!

,A
A
R
%5<
 S
B
fsgs
A

s

,fA

s

g*A

s

s
S!
 F'
%

9<
"A

s

s
S'
*'
'
%

:<
#A

s

s
S'
*'
%

8<
3FA

s

s
SS

sS

A

s

T

sS

A

s

(
'
'+n

S

sA

s

n

T

sA

s

n
N
S

sA

s

T

sA

s

&'
()#,$'
'
*a
b
+a
b
b
a
;
a
'
b
b
'
a
<E

5<
#E
a
a%
%
*'
G

9<
E
a
b
b
a*a
b

G

:<
E
a
bb
ca
c*+,(
5<
 n
*%
4k
*n
*k
*%

Hn
*k
*A

k

n

#
A

k

n

B
n;n
5<;n
9<;n
;k
5<<;5<

9<
2n
*n
*n
*%
Hn
*P

n

#
P

n

B
5
9
n
B
nJ;9<

-)(n
*%
4k
*n
*k
*%

H'
n
*k
*C

k

n

#
C

k

n

B

nk
n
k
#
C

k

n

B

nn
n
n
k
k
;:<

&C

k

n

B
C

nk

n

C

k
nB
C

k
n

D
C

k

n

k
n5%
";A
B
<

B
A

B

N
 x
;A
B
<

G
x
A
B
x
A

x
B
%
%
x
A

x
B

*x
A

B

.;A
B
<

A

B

x
A

B

G
x
A

x
B

x
A

x
B
%
%
x
A
B
*x
;A
B
<

.A

B

;A
B
<

);A
B
<

A

B

A

B

;A
B
<

;A
B
<

A

B

'
'
*%
%
%
N

 
9%
1'
$%
&*$K

N
2'
'*'
'
*%
%
**%
 #
;5<n
B
Lk
B
8'
A

B
L
>
C
8
B
78=N

 
:%
&+'
'
$#59:8C>
$#K

N
"'
$#C'
$#C
%
3$#+'
'

%
&+'
'
*%
%
CJ
B
C
8
:
9
5
B
59=N

8%
(
#
;+<
57
9
%
&K

N
(
'*'
57
*%
%
'
C

#
;:<
'
C

B

B
5C:(*:=>
%
N

"AB
C
&
$F*'E

5<
G
9<
'
G

:<
*'
%

"E
5<
A
B
B
B
G
9<
A
B
B
AG
A
B
"A
n
;B
n
C
<
B
;A
n
B
<
C
A
C
%"E

5<
A
n
;A
n
B
<
B
A
B
G
9<
;A
n
B
<
;B
n
A<
B
;A
B
<
n
;A
B
<G

:<
;A
n
B
<
n
C
B
A
n
;B
C
<G
8<
;A
n
B
<
C
B
;A
C
<
n
;B
C
<&"A
n
B
C
A
B
C
*"E

5<
A
;B
n
C
<
;A
B
<
n
C
G
9<
;A
C
<
n
B
;A
n
B
<
C
-3+;X
Y
X
Y
X
B
Y
<
'
X
Y
E

5<
X
B
A
;B
n
C
<Y
B
;A
B
<
n
;A
C
<G

9<
X
B
;A
B
<
n
C
Y
B
;A
n
C
<
;B
n
C
<G

:<
X
B
A
n
;B
C
<Y
B
;A
n
B
<
;A
n
C
<.A
B
U"E

5<
;A
n
B
<

B
A

B
G
9<
;A
B

<
;A

B
<
B
A
B
G

:<
;A
B
<
;A

B

<
B
A
B
/A
UB
UX
U;X
A<

;X
A

<
B
B
0A
B
UX
U
X
A
B
X
B
A

s

Us
S"E

5<

S

sS

A

s

B

T

sS

A

s

G
9<

T

sS

A

s

B

S

sS

A

s

%

"'
A

s

s
N
5<
 B

n

B

n

S

sA

s

n
N
"S

sB

s

B

S

sA

s

9<
 B

n

B

n

T

sA

s

n
N
"T

sB

s

B

T

sA

s

"*
%

%"A
B

;A
B
<
A&"A
n
B
B
n
AA
B
*"A
B
C
A
C
A
B
-"'
E

5<
'
9

k

k
N
G

9<
'
+'

$G

:<
'
$G

8<
'
$*
#
#$%

."E

5<
'
;aG
b<G

9<
'
'
$#=

5G

:<
'
'
G

8<
'
G

C<

'
G

><
'
G

L<
'
'
%

/(
:=
%
&'
E

5<
'
+G

9<
+K

0%
&'
E

5<
G

9<
K

&'
'
++K

2E

5<
+$G

9<
+%

&n
K

%
3%

%'
'
'
5C
95&+*'

'K

&&+'7
$'
'K

*)$#=59:
''
$#%
&K
&'
'
K

-&'
'
$#5
9
K

.&'
'
E
5<
G
9<
G
:<
G
8<
K

/&97
L
K

 0M
9
L
5=
'%
&+'
'
'K

 &+'
$#'

;5:CL6<
K

 &8>9
K

  m
'
'
n
'

'%
&'
'
K

 %&6
'
C

8
9
K

-5<
X
Y
G
9<
X
B
Y
G
:<
X
Y
/X
B
B

0A
B
UB
B
/5<
7L=G
9<
8:C%
05<
>=G
9<
5=%

5<
5CG
9<
8:9==%
nn
95=%
%C:CC%
&CL>%

*57G
5=%
-5=98%
.5<
59=G
9<
>=G
:<
89=G
8<
7:5>=%

/0C=8=%
 5C>9C%
 5>%
  ;n
D
5<J
mJ%68C%

x
!
"#
"1)2
3#+#(#+#(5<
 %
%

 %

9<
)A
$
%
%
A
%
"A
A
eA4A'
A
A
%

:<
(A
B
!
A
B
A
B
8<
('
A
B
!

A
B
A
B
C<
('
A
B
!A
B
A
B
;E
AB
<%
(A
*B
%
1
A
B
B
A(A
B
A
B
%

><
('
A
B

!A
B
A
B
(A
B
A
B
%
(
*A
B
'

%

"(4
+(,2567

"#8
,3,(5<
 P
;x<xM
;x
M
<%
P
;x<
B
fx
g
xN'
'
x
;x
B
Cx
B
L
<
'
'
x
;x
B
7x
B
5C
<%
.$;<%

9<
%;All
<
!!!!%

AP
;x<
x
P
;x<
;;x<
P
;x<
<
*x
M

P
;x<%
NP
;x<
x
M
Hx
P
;x<'
*a
M
P
;a<
;<%

:<
%$
;Exists
<
!!%
/x
P
;x<
G
*a
M
P
;a<
%

(
;M
*aP
;a<
<
x
P
;x<
%

8<
 $'

;'
<x
M
P
;x<
x

M
P
;x

<;5<

x

M
P
;x

<
x
M
P
;x<;9<

.$P
P
$P
)2
3HnE

?<
*n
B
5G

0<
n
;
n
<n
D
55%
2'
'Q
E

A;Q<
f
'Q
gB
;Q<
f
'Q
g"Q
A;Q<
B
;Q<Q

B
;Q<
A;Q<
%

N
.A;Q<
B
;Q<
Q3E
'%
N

 
9%
 y
B
ax

D
bx
D
ca
B
=#
$D
B
b

8ac"fx
R
y
=g
fD
=a
=gN
)y
B
a

x
D

b

a

D
c
b

a

B
a

h
x
D

b

a

D

a

i

;5<

D
=a
=
y
=
'
x
R
3y
=
'
x
R
"D
=
a
=D
=
G
D
=
'ax

D
bx
D
c
x

x

#
$'
x

x

)D
=;5<
y
=
'
x
R
a
=N

 
:%
 M
/A
B
'
$E

<
A
f
*x
M
x
=gG

<
B
B
f
a
=
*M
jxj
M
gN
<
 A
%
%
*M
x
=N;<
*x
M
x
=

%
%
x
=/+A
A
E

A
fx
M
x
=gA
fx
M
E
x
=g<
 a
=
x
M
jxj
aNa
=
jxj
a
x
M
)*x
B
x

a

M
;a
<jxj
a
%
%
jxj
a/+B
B
E

B
fa
=
E
x
M
jxj
agB
fa
=
x

a

M
E
jx

a

j
agN

 
8%
"'
n
N
5

D
9

D
D
n

B

nn
n
;9<

N
 n
B
5
;9<
;
5
B
5
<%
";5<5

D
9

D
D
n

D
;n
D
5<

B

n
n
n
;:<

;9<
n
n
D
5;9<
;n
D
5<

5

D
9

D
D
n

D
;n
D
5<

B

nn
n
D
;n
D
5<

;8<

 ;8<
E

n
;9n

D
Ln
D
><
B

n
n
n
.;:<
*#
n
N
N

"'
A
B
A
B
B
A
B
A
B
B
A
B
(A
B
E

5<
A
f
ab
LgB
f
a
D
b

LgG

9<
A
f
$#a
gB
f
A
8gG

:<
A
f
A

B

C

gB
f
A

B

C

gG

8<
A
f
'
abcgB
f
abc
a
D
b
cb
D
c
ac
D
a
bg"#
$y
B
ax

D
bx
D
c
$'
x
R
D
B
b

8ac
=
a
=%f
;x<
B
ax

D
bx
D
c
;a
B
=<
'D
B

B
b

8acx

x

'x

x

;D
=<x

B
b

a

$+y
B
ax

D
bx
D
cM
K
%
"E

5<
fx

M
x

M
g
fD
=x

M
af
;M
<
=gG

9<
fx

M
x

M
g
fD
=x

M
af
;M
<
=gG

:<
fx

M
x

g
faf
;M
<
=gG

8<
fK
x

M
K
x

M
g
fD
=K
x


M
f
;K
<f
;M
<
=gG