Современные проблемы металлургии и материаловедения : гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии

УДК 669 
 
С23

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. А.Е. Семин 

 
Сборщиков Г.С.
С23  
Современные проблемы металлургии и материаловедения : 
гидродинамика и массообмен в многофазных системах металлургии : учеб. пособие / Г.С. Сборщиков, С.И. Чибизова. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2016. – 141 с.
ISBN 978-5-87623-998-3

Дисциплина состоит из двух модулей: «Гидродинамика многофазных систем»  и «Массообмен в многофазных системах». В пособии излагаются сведения, необходимые для составления математических моделей сложных технологических процессов. Представлены примеры аналитического решения 
некоторых из них. 
Пособие предназначено для магистрантов, обучающихся по направлениям 
22.04.02 «Металлургия» и 20.04.01 «Техносферная безопасность», а также аспирантов, обучающихся по направлению 22.00.00 «Технологии материалов». Может 
быть полезно для научных сотрудников, работающих в области теплофизики 
технологических процессов.
УДК 669

Г.С. Сборщиков, 
С.И. Чибизова, 2016
ISBN 978-5-87623-998-3
НИТУ «МИСиС», 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения .........................................................................5
Предисловие..........................................................................................7
1. Структура математической модели и принципы её построения.  
Общие понятия .....................................................................................9
1.1. Построение физических и математических моделей 
изучаемого объекта .............................................................................11
1.2. Постановка и проведение лабораторного и компьютерного 
исследования с применением методов теории подобия ..................12
1.2.1. Основная теорема теории подобия ......................................13
1.2.2. Первая теорема теории подобия ..........................................14
1.2.3. -теорема теории подобия ....................................................16
Вопросы для самоконтроля ...............................................................17
2. Модели теплофизических процессов в дисперсных системах 
металлургии .........................................................................................18
2.1. Основные характеристики многофазных систем ......................19
2.2. Основные уравнения теплофизических процессов  
в двухфазных системах .......................................................................22
2.3. Условия однозначности ..............................................................23
2.3.1. Движение многофазной системы ........................................24
2.3.1.1. Твёрдые частицы в потоке жидкости или газа ...........24
2.3.1.2. Пузыри и капли в потоке жидкости или газа .............25
2.3.2. Тепломассообмен в многофазной системе .........................27
2.3.3. Массообмен в многофазной системе ..................................29
Вопросы для самоконтроля ...............................................................32
3. Методы упрощения математических моделей ...............................34
3.1. Постановка предельной задачи ..................................................34
3.2. Использование криволинейной системы координат ................36
3.3. Сокращение числа определяемых величин  ..............................37
Вопросы для самоконтроля ...............................................................42
4. Решение теплофизических задач дисперсных систем ...................43
4.1. Гидродинамика многофазных систем ........................................44
4.1.1. Обтекание твёрдой сферической частицы потоком 
идеальной несжимаемой жидкости (Re >> 1) ..............................44
4.1.2. Обтекание твёрдой сферической частицы потоком 
реальной жидкости (Re << 1) ........................................................51
4.1.3. Обтекание капли и маленьких пузырьков газа 
при малых значениях критерия Рейнольдса (Re << 1) ................57
4.1.4. Нестационарное движение дисперсных включений ..........61
4.1.5. Движение системы дисперсных частиц в сплошной 
среде (стеснённое движение) ........................................................65
Вопросы для самоконтроля ...............................................................70

4.2. Массоперенос в многофазных системах ....................................73
4.2.1. Основные допущения ...........................................................73
4.2.2. Основные понятия и определения ......................................75
4.2.3. Массообмен между твёрдой частицей и потоком  
вязкой жидкости при отсутствии химической реакции ..............81
4.2.3.1. Основное сопротивление массопереносу 
сосредоточено в диффузионном пограничном слое  
(Pe' >> 1, Re >> 1) .....................................................................81
4.2.3.2. Основное сопротивление массопереносу 
сосредоточено на поверхности частицы (Pe' >> 1, Re << 1) ...91
4.2.4. Массообмен между твёрдой частицей и потоком вязкой 
жидкости при наличии химической реакции на поверхности 
частицы ...........................................................................................94
4.2.5. Массообмен между каплей и потоком вязкой жидкости 
при отсутствии химической реакции ..........................................100
4.2.5.1. Основное сопротивление массопереносу 
сосредоточено в омывающем каплю потоке  
(Re << 1, Pe' >> 1) ...................................................................100
4.2.5.2. Основное сопротивление массопереносу 
сосредоточено внутри капли (Reд << 1, Pe' д >> 1) ...............108
4.2.6. Массообмен между каплей и потоком вязкой  
жидкости при наличии химической реакции.............................114
4.2.6.1. Реакция протекает в капле ........................................114
4.2.6.2. Реакция протекает в несущем потоке жидкости .....120
4.2.7. Массообмен между газовым пузырьком и потоком  
вязкой жидкости при отсутствии химической реакции ............122
4.2.7.1. Сопротивление массопереносу сосредоточено  
внутри пузыря .........................................................................122
4.2.7.2. Сопротивление массопереносу сосредоточено 
в омывающем потоке вязкой жидкости ................................130
4.2.8. Массообмен между пузырьком газа и вязкой  
жидкостью при наличии химической реакции в жидкости ......132
4.2.9. Массообмен между пузырьком газа и вязкой  
жидкостью при наличии химической реакции в газе ................134
Вопросы для самоконтроля .............................................................137
Библиографический список ................................................................140

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

С – концентрация, константа, кг/м3;
d – диаметр, м;
D – коэффициент молекулярной диффузии, м2/с;
F – сила, Н;
g – ускорение силы тяжести, м/с2;
l – линейный размер, м;

M  – поток массы, кг/с;

m – плотность потока массы, 
2
кг
м
с
;

p – давление, Па;
r – радиус, м;
R – радиус трубы, в которой движется дисперсный поток, м;
S – площадь поверхности, м2;
t – время, с;
u, v, w – компоненты вектора скорости;

V  – объёмный расход, 

3
м
с ;

x, y, z – декартовы координаты;

– коэффициент массоотдачи, м
с ;

– толщина пограничного слоя, м;
– вихрь скорости;
– полярный угол;
– коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К);
– объемная концентрация дисперсной фазы;

μ – динамический коэффициент вязкости, Па с
;

– кинематический коэффициент вязкости, 

2
м
с ;

– плотность, 
3
кг
м

;

– потенциал скорости, азимутальный угол;
– функция тока.

Индексы

д – дисперсная фаза;
с – сплошная фаза;
i – индекс целевого компонента;

w, s – значение на границе, равновесная концентрация на границе раздела фаз;
н – насыщение, начальное значение;
кр – критический.

Критерии подобия и числа

Re
w l

 
– число Рейнольдса;

Sc
D  – критерий Шмидта;

Pe'
w l
D  – диффузионное число Пекле;

Fo
2
D t
l

 – число Фурье;

Sh
l
D  – критерий Шервуда.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одной из основных задач металлургии как науки является разработка принципиально новых высокоинтенсивных технологических 
процессов и аппаратов, а также оптимизация и интенсификация 
действующих. Для решения этой задачи в современных условиях необходимо изменить традиционный подход к исследованию процессов и аппаратов металлургии, основная цель которого обычно сводится к получению определённых экспериментальных данных или 
же полуэмпирической формулы для приближённого, оценочного 
расчёта искомых параметров.
Новые процессы и аппараты могут быть созданы только на основе глубокого проникновения в физику и химию изучаемого явления. При этом следует учитывать, что процессы, протекающие в 
металлургическом производстве, как предметы научного анализа по 
сложности не уступают предметам изучения фундаментальных наук. 
Переход к глубокому исследованию механизмов переноса в многофазных средах, в которых осуществляются металлургические процессы, требует, с одной стороны, использования методов и результатов, накопленных теоретической и экспериментальной физикой, 
гидромеханикой, физической химией и другими разделами фундаментальной науки, а с другой стороны, методов, специально предназначенных для изучения явлений и процессов, с которыми имеет 
дело металлургия.
Современные бакалавры, выпускники отечественных металлургических вузов, не могут успешно справляться с перечисленным 
кругом новых задач, диктуемых временем, прежде всего потому, что 
уровень их подготовки в области гидромеханики, теории тепло- и 
массообмена, других разделов фундаментальных наук в настоящее 
время существенно ниже, чем у выпускников инженерно-физических, физико-технических специальностей. В значительной степени это объясняется установившимся представлением о содержании 
и форме подготовки бакалавров в области металлургии. Например, 
для изучения гидромеханики и теории тепло- и массообмена, объединённых в один учебный курс под названием «Теплофизика», 
выделен 51 ч аудиторных занятий. Подобные учебные программы 
составлены и для других курсов, представляющих теоретическую 
основу будущих металлургов. Следствием этого является неизбежная утрата студентами третьего и четвёртого курсов значительной 

доли полученных на младших курсах знаний по математике, физике и химии. Потеря интереса к этим знаниям связана с отсутствием 
необходимости их систематического содержательного применения 
в течение всего периода обучения в вузе. При этом автоматически 
снижаются требования к качеству работы преподавателей кафедр, 
ответственных за общую физико-математическую подготовку на 
младших курсах. 
В сложившихся условиях нами предложено ввести в учебный 
план магистратуры по направлению «Металлургия» новый общеобразовательный раздел под названием «Гидродинамика и массообмен 
в многофазных системах металлургии». По нашему мнению, он должен играть роль одного из источников базовых знаний для изложения специальных курсов на более высоком уровне.

1. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 
И ПРИНЦИПЫ ЕЁ ПОСТРОЕНИЯ.  
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Современный уровень развития науки и техники, в том числе и 
металлургии, характеризуется широким внедрением вычислительной техники. Новые технологические процессы и оборудование, 
необходимое для их реализации, требуют для своего управления 
создания  высокоинтеллектуальных автоматических систем, а также математических моделей, позволяющих анализировать возможности создаваемых процессов и аппаратов, определять оптимальные 
условия их протекания и режимы их эксплуатации.
В металлургии технологические процессы часто протекают в 
многофазных системах: две несмешивающиеся жидкости, газ–жидкость, твердые частицы–жидкость и т.д. Составление математического описания физико-химических процессов, протекающих в 
подобных системах, весьма сложно, если одна из фаз сплошная, а 
другая – дисперсная. Сложность заключается прежде всего в том, 
что дисперсная фаза, на границах которой протекают физические 
и химические взаимодействия, случайным образом перемещается в 
пространстве и во времени. В связи с этим при составлении математической модели приходится прибегать к схематизации реального 
процесса, т.е. принимать его упрощающие физические модели или 
рассматривать крайние состояния изучаемого объекта.
В настоящем пособии предпринята попытка обобщить и представить в доступном для магистра виде решения ряда задач, актуальных 
для современной металлургии.
Изучение любого явления или аппарата начинается с составления его модели. Модель объекта – это всегда его схематизированное упрощённое описание. В зависимости от объёма знаний об изучаемом объекте создаваемая модель может быть физической или 
математической. Наибольшую ценность для исследований имеют 
математические модели, так как теоретические представления приобретают конкретный, точный характер лишь тогда, когда они выражены в форме количественных соотношений.
Исследование явления или аппарата с помощью математической 
модели можно проводить аналитически или численно. Наиболее ценные результаты получаются при аналитическом решении поставленной задачи, так как такое решение представляет собой формулу, вскрывающую внутренние связи между искомой величиной, аргументами и 

параметрами задачи. Кроме того, полученные зависимости справедливы при любых значениях переменных величин, входящих в математическую модель. Однако стремление довести исследование до конца в 
аналитической форме часто наталкивается на непреодолимые математические трудности и осуществляется только в самых простых случаях.
В настоящее время первостепенное значение приобрели численные методы исследования. В результате широкого развития компьютерной техники в этом направлении достигнуты замечательные 
успехи, и может быть получено численное решение очень сложных 
задач с требуемой степенью точности.
Аналитическое и численное решения далеко неравноценны. 
Ряды чисел, получающихся в результате численного решения, несут большой объём ценной информации, которая с успехом используется. Но они не вскрывают внутренних связей, характеризующих 
исследуемую задачу. Конечно, анализ численных результатов всегда 
позволяет обнаружить некоторые конкретные соотношения. Можно подобрать уравнения, аппроксимирующие эти соотношения. Но 
разрозненные частные зависимости, связывающие друг с другом 
отдельные переменные и не объединённые общим уравнением, не 
могут дать полную и отчётливую картину изучаемого объекта. Они 
обладают тем меньшей ценностью, чем больше число переменных, 
существенных для задачи.
Ничего не изменяется, если рассматривается не решение задачи на 
компьютере, а результат исследования на лабораторной установке, который по существу также является одним из численных методов.
Таким образом, численные методы оказываются недостаточными для определения общих закономерностей. Кроме того, результат 
численного эксперимента применим только в ограниченной области изменения пременных, соответствующей области их изменения 
в процессе эксперимента. Однако эти методы могут быть существенно усилены с помощью теории подобия.
Теория подобия исходит из очевидного постулата о том, что влияние на изучаемый объект отдельных факторов, представленных в 
математической модели определёнными величинами, проявляется 
не порознь, а совместно, и что по сути дела надо рассматривать не 
влияние на него каждого из указанных факторов, а их совокупностей. Сформулирован метод, позволяющий на основании математической модели объекта найти связь между группами величин, входящих в модель, и соединить их в комплексы строго определённого 

вида. Являясь комбинацией из величин, существенных для изучаемого объекта, комплексы представляют собой особого рода обобщённые переменные и константы. Все они не имеют размерности.
Переход от обычных физических величин к обобщённым переменным создаёт важные преимущества для проведения численных 
исследований. Прежде всего сокращается число переменных задачи. 
Кроме того, так как заданное значение комплекса можно получить 
как результат бесчисленного множества комбинаций составляющих 
его величин, то, следовательно, при рассмотрении задачи в обобщённых переменных исследуется не единичный частный случай, 
а бесчисленное множество различных случаев, объединённых некоторой общностью свойств. Иначе говоря, расширяется область применения результатов решения конкретной задачи.
Таким образом, для проведения исследования изучаемого объекта  необходимо составить его математическую модель и попытаться 
решить задачу аналитически. Если это не представляется возможным, задача решается численно: либо с помощью компьютерной 
техники, либо путём постановки лабораторного эксперимента. При 
этом для усиления полученного результата целесообразно в процессе численного решения и при обработке его результатов использовать методы теории подобия.

1.1. Построение физических и математических 
моделей изучаемого объекта

Физическая модель изучаемого объекта создаётся на начальной 
стадии его изучения и представляет собой словесное описание процессов, протекающих в объекте, и его свойств. Она несёт определённую информацию об изучаемом объекте и позволяет составить список факторов, влияющих на изучаемое явление или аппарат. Такой 
список позволяет осуществлять исследование, используя, например, 
метод «чёрного ящика» или полный факторный эксперимент. Для 
усиления результатов исследований, выполненных с помощью физической модели, используется специальный метод теории подобия, 
называемый анализом размерностей. Серьёзным недостатком физической модели является её субъективность.
Математическая модель состоит из двух частей: системы главных 
уравнений и условий однозначности.
Система главных уравнений описывает наиболее важные процессы, происходящие в изучаемом объекте: движение среды, передачу 
теплоты  и массы из одной точки в другую или от одного объекта 

системы к другому, химические реакции, протекающие в объекте, 
и т.д. Эти процессы, как правило, описываются уравнениями, выражающими фундаментальные законы природы: законы сохранения 
массы, энергии, импульса и т.д., однако движение среды, перенос 
теплоты и массы, а также одинаковые химические реакции протекают в бесконечном множестве объектов, и во всех этих случаях они 
описываются одними и теми же уравнениями. Для того чтобы индивидуализировать составляемую математическую модель, к системе 
основных уравнений добавляют условия однозначности, в которых 
формулируют индивидуальные особенности описываемого объекта. Условия однозначности делятся на несколько групп, из которых 
наиболее важными являются следующие:
1) геометрические условия, описывающие форму и размеры изучаемого объекта;
2) физические условия, включающие сведения о физических 
свойствах изучаемого объекта;
3) начальные условия, содержащие значения всех переменных величин, характеризующих изучаемый объект в момент начала исследований;
4) граничные условия, описывающие взаимодействие изучаемого 
объекта с окружающей его средой по границам объекта.
Совокупность системы основных уравнений и условий однозначности, записанных для изучаемого объекта, представляет собой его 
полную математическую модель, которая может быть использована 
для проведения исследований. При этом, если исследование проводится с использованием численных методов (на компьютере или на 
лабораторной модели), для усиления его результатов целесообразно 
эксперимент ставить по правилам теории подобия. Эти правила излагаются в трёх теоремах теории подобия.

1.2. Постановка и проведение лабораторного 
и компьютерного исследования с применением 
методов теории подобия

Согласно теории подобия частное решение, полученное в результате численного исследования конкретного явления или аппарата, 
может быть перенесено на все подобные явления или аппараты. При 
этом возникает, по меньшей мере, один вопрос: как определить подобие явлений и аппаратов? 

1.2.1. Основная теорема теории подобия

Согласно основной теореме теории (теорема Кирпичёва – Гухмана) подобия явления и аппараты подобны, если они описываются 
одинаковой системой главных уравнений и условия однозначности 
их математических моделей подобны. В свою очередь, условия однозначности двух объектов подобны, если безразмерные комплексы, 
составленные из одноимённых величин, заданных в условиях однозначности каждого из сопоставляемых объектов, численно равны 
друг другу.
Сформулируем несколько понятий и определений теории подобия, необходимых для дальнейшего изложения.
Модель – процесс или аппарат, которые являются объектами исследования или по которым уже имеются результаты исследования.
Образец – процесс или аппарат, на которые хотят перенести результаты исследования модели.
Число (безразмерная независимая переменная или безразмерная 
функция) – безразмерный комплекс, составленный по определённым правилам из величин, входящих в математическую модель изучаемого объекта, среди которых имеются независимые переменные 
или искомые величины.
Критерий подобия (безразмерный параметр задачи) – безразмерный комплекс, составленный по определённым правилам из величин, заданных в условиях однозначности математической модели. 
Критерии подобия всегда имеют физический смысл (мера отношения различных сил, мера отношения внешнего и внутреннего термического сопротивления тела и т.д.), в то время как числа представляют собой просто безразмерные переменные или искомые величины 
(безразмерная координата, безразмерное время, безразмерная скорость и т.д.).
Из основной теоремы теории подобия следует, что у подобных 
объектов должны быть численно равны не только критерии подобия, но и искомые величины, представленные в виде безразмерных 
комплексов, т.е. чисел. Это положение доказывается с помощью 
первой теоремы подобия – теоремы Ньютона. Поясним сказанное 
на примере.
Предположим, что на модели исследуется процесс движения 
твёрдого тела, имеющий место на образце. Тогда одним из основных 
уравнений математической модели процесса будет уравнение второго закона Ньютона: