Моделирование физических процессов горного производства

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

№ 2983 

Горный институт 

Кафедра физических процессов горного производства 
и геоконтроля 

А.С. Вознесенский 

Моделирование физических 
процессов горного производства

Лабораторный практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2018 

УДК 550.8:004.94 
В64 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. К.В. Халкечев 

Вознесенский А.С. 
В64  
Моделирование физических процессов горного производства : лаб. практикум / А.С. Вознесенский. – М. : Изд. Дом 
НИТУ «МИСиС», 2018. – 212 с. 

Студенты знакомятся с программным пакетом COMSOL Muliphysics и его 
применением при моделировании различных процессов горного производства, а 
также методов и средств геоконтроля. Рассмотрены задачи моделирования пьезопреобразователей и их использования при прозвучивании образцов горных пород, контроля расслоений в кровле выработок, сейсмического действия взрыва на 
карьере, распределения напряжений и сейсмических явлений в массиве пород 
вокруг выработок, виброакустического контроля обделки тоннелей, а также построения геометрических структур при совместном использовании COMSOL 
Multiphysics и Matlab. 
Практикум предназначен для студентов, обучающихся по специальности 
21.05.05 «Физические процессы горного или нефтегазового производства» и 
изучающих дисциплину «Моделирование физических процессов горного 
производства». Он будет полезен студентам и аспирантам других специальностей, а также инженерно-техническому персоналу и научным работникам 
при исследовании физических процессов горного производства. 

УДК 550.8:004.94 

 А.С. Вознесенский, 2018 
 НИТУ «МИСиС», 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие .......................................................................................... 9 
Лабораторная работа 1. Моделирование пьезопреобразователей 
продольных и поперечных упругих волн ........................................... 12 
1.1. Цель работы ................................................................................... 12 
1.2. Общая информация ....................................................................... 12 
1.3. Среда моделирования .................................................................... 16 
1.4. Выполнение работы ....................................................................... 17 
1.4.1. Состав работы ................................................................... 17 
1.4.2. Изучение работы пьезопреобразователей 
в статическом режиме при формировании продольных 
и сдвиговых деформаций ..................................................... 17 
1.4.3. Определение собственных частот 
пьезопреобразователя в режиме продольных 
и сдвиговых колебаний ........................................................ 25 
1.4.4. Построение амплитудно-частотной характеристики 
свободного пьезопреобразователя в режиме 
продольных и сдвиговых колебаний .................................. 27 
1.4.5. Создание видео, иллюстрирующего деформации 
пьезопластины ...................................................................... 27 
1.5. Содержание отчета ........................................................................ 30 
1.6. Варианты исходных данных для индивидуальных 
заданий ................................................................................................... 31 
Литература ............................................................................................ 32 
Контрольные вопросы .......................................................................... 32 
Лабораторная работа 2. Моделирование ультразвукового 
исследования образцов горных пород с помощью продольных 
и поперечных упругих волн ................................................................ 33 
2.1. Цель работы ................................................................................... 33 
2.2. Общая информация ....................................................................... 33 
2.3. Исходные данные для расчетов демонстрационного примера ..... 34 
2.4. Порядок выполнения расчетов ..................................................... 35 
2.4.1. Запуск COMSOL Multiphysics ......................................... 35 
2.4.2. Задание угла поворота координатной системы 
пьезокерамики ...................................................................... 36 
2.4.3. Схема модели .................................................................... 37 
2.4.4. Изображение пьезопластин ............................................. 38 
2.4.5. Свойства образца породы и пьезопластин ..................... 38 

2.4.6. Задание граничных механических и электрических 
условий .................................................................................. 41 
2.4.7. Задание режимов расчета ................................................ 43 
2.4.8. Расчет модели ................................................................... 43 
2.4.9. Построение формы электрического сигнала ................. 43 
2.5. Содержание отчета ........................................................................ 46 
2.6. Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ...... 46 
Контрольные вопросы .......................................................................... 47 
Лабораторная работа 3. Моделирование расслоения кровли 
подземных горных выработок ............................................................. 48 
3.1. Цель работы ................................................................................... 48 
3.2. Общая информация ....................................................................... 48 
3.3. Исходные данные для расчетов .................................................... 49 
3.4. Порядок выполнения расчетов ..................................................... 50 
3.4.1. Запуск программы моделирования ................................. 50 
3.4.2. Константы ......................................................................... 50 
3.4.3. Чертеж модели .................................................................. 52 
3.4.4. Свойства массива ............................................................. 55 
3.4.5. Граничные условия .......................................................... 56 
3.4.6. Расчет ................................................................................. 58 
3.4.7. Визуализация показаний .................................................. 58 
3.4.8. Определение глубины замковой части свода 
естественного равновесия в кровле .................................... 59 
3.4.9. Определение начального смещения 1 точек 
размещения устьевого и глубинного реперов ................... 61 
3.4.10. Определение смещения 2 точек размещения 
устьевого и глубинного реперов после появления 
трещины ................................................................................ 64 
3.5. Содержание отчета ........................................................................ 66 
Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ............. 67 
Литература ............................................................................................ 69 
Контрольные вопросы .......................................................................... 69 
Лабораторная работа 4. Моделирование сейсмического действия 
взрыва на карьере ................................................................................. 70 
4.1. Цель работы ................................................................................... 70 
4.2. Общая информация и исходные параметры расчета.................. 70 
4.2.1. Геометрия модели ............................................................ 70 
4.2.2. Моделирование взрыва .................................................... 72 
4.3. Среда моделирования .................................................................... 73 
4.4. Содержание работы ....................................................................... 73 

4.5. Порядок выполнения работы ........................................................ 74 
4.5.1. Создание модели .............................................................. 74 
4.5.2. Константы и переменные ................................................. 75 
4.5.3. Чертеж модели по индивидуальным параметрам ......... 76 
4.5.4. Задание свойств элементов модели ................................ 76 
4.5.5. Граничные условия .......................................................... 76 
4.5.6. Задание параметров сетки и разбивка модели 
на элементы ........................................................................... 77 
4.5.7. Параметры решателя (Solver Parameters) 
и расчет модели .................................................................... 78 
4.5.8. Построение сейсмограмм на различных расстояниях 
от скважины .......................................................................... 80 
4.5.9. Анализ полученных результатов .................................... 82 
4.6. Содержание отчета ........................................................................ 83 
4.7. Варианты исходных данных для индивидуальных 
заданий (табл. 4.4, 4.5) ......................................................................... 84 
Литература ............................................................................................ 86 
Контрольные вопросы .......................................................................... 86 
Лабораторная работа 5. Моделирование распределения 
напряжений в массиве пород при камерной системе разработки 
горизонтальных залежей ...................................................................... 88 
5.1. Цель работы ................................................................................... 88 
5.2. Общая информация об объекте моделирования ......................... 88 
5.3. Исходные данные для расчетов и моделирования ..................... 89 
5.4. Порядок выполнения построений и расчетов ............................. 90 
5.4.1. Создание модели .............................................................. 90 
5.4.2. Задание констант .............................................................. 90 
5.4.3. Чертеж модели .................................................................. 91 
5.4.4. Физические свойства элементов модели ........................ 93 
5.4.5. Граничные условия модели ............................................. 96 
5.4.6. Разбивка модели по сетке ................................................ 96 
5.4.7. Режим расчета модели ..................................................... 96 
5.4.8. Расчет напряжений и деформаций .................................. 98 
5.4.9. Визуализация результатов моделирования .................... 98 
5.4.10. Проверка устойчивости пород кровли и целиков ....... 98 
5.5. Содержание отчета ........................................................................ 101 
5.6. Варианты исходных данных для индивидуальных 
заданий (табл. 5.1, 5.2) ......................................................................... 101 
Литература ............................................................................................ 103 
Контрольные вопросы .......................................................................... 103 

Лабораторная работа 6. Моделирование сейсмоволн 
при образовании трещин в высоконапряженном массиве пород 
вокруг подземных выработок .............................................................. 104 
6.1. Цель работы ................................................................................... 104 
6.2. Общая информация об объекте моделирования и методах 
контроля его состояния ........................................................................ 104 
6.3. Исходные данные для моделирования и методика расчетов .... 106 
6.4. Порядок выполнения работы ........................................................ 107 
6.4.1. Подготовительные операции ........................................... 107 
6.4.2. Расчетные операции ......................................................... 111 
6.4.3. Визуализация результатов ............................................... 111 
6.4.4. Определение скорости распространения волн 
при известных расположении источника и момента 
возникновения сигнала ........................................................ 111 
6.4.5. Расчет положения источника по разнице времен 
прихода .................................................................................. 113 
6.5. Содержание отчета ........................................................................ 113 
6.6. Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ...... 114 
Контрольные вопросы .......................................................................... 114 
Лабораторная работа 7. Моделирование виброакустического 
контроля заобделочного пространства тоннелей метрополитенов 
при отсутствии полости ....................................................................... 115 
7.1. Цель работы ................................................................................... 115 
7.2. Теоретический минимум ............................................................... 115 
7.3. Выбор модулей COMSOL Multiphysics ....................................... 117 
7.4. Разработка модели для случая «без полости за обделкой» ....... 119 
7.4.1. Задание геометрии модели .............................................. 119 
7.4.2. Установка свойств материалов ....................................... 129 
7.4.3. Установка граничных условий ........................................ 130 
7.4.4. Установка начальных условий для случая 
без полости ............................................................................ 131 
7.4.5. Разбивка по сетке на конечные элементы 
и установка параметров расчета ......................................... 131 
7.4.6. Расчет модели, визуализация результатов 
моделирования, получение результатов в виде сигнала... 134 
7.4.7. Работа со спектром сигнала ............................................. 139 
7.5. Содержание отчета ........................................................................ 143 
7.6. Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ...... 144 
7.6.1. Геометрические параметры ............................................. 144 
7.6.2. Свойства заполнителей полости и бетона ...................... 144 

Контрольные вопросы .......................................................................... 145 
Лабораторная работа 8. Моделирование виброакустического 
контроля заобделочного пространства тоннелей 
метрополитенов при наличии полости ............................................... 146 
8.1. Цель работы ................................................................................... 146 
8.2. Разработка модели для случая «полость за обделкой» .............. 146 
8.2.1. Создание модели полости ................................................ 146 
8.2.2. Установка режимов Plain Strain и Pressure Acoustics 
для областей модели ............................................................ 151 
8.2.3. Установка граничных условий ........................................ 152 
8.2.4. Установка свойств материалов-заполнителей 
полости .................................................................................. 155 
8.2.5. Расчет модели и получение спектра ............................... 157 
8.3. Оценка влияния на результаты моделирования заполнения 
внутреннего пространства тоннеля воздухом .................................... 161 
8.4. Оценка влияния на результаты моделирования включения в 
модель путевого бетона ....................................................................... 167 
8.5. Содержание отчета ........................................................................ 169 
8.6. Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ...... 170 
Литература ............................................................................................ 171 
Контрольные вопросы .......................................................................... 171 
Лабораторная работа 9. Построение геометрических структур в 
связке MATLAB-COMSOL Multiphysics. Моделирование 
геомеханических испытаний горных пород с включениями ............ 172 
9.1. Цель работы ................................................................................... 172 
9.2. Общая информация о компьютерном моделировании 
в связке MATLAB-COMSOL Multiphysics ......................................... 172 
9.3. Моделирование в среде COMSOL Multiphysics трещин 
и других включений в горных породах с помощью скриптов 
MATLAB ............................................................................................... 173 
9.3.1. Описание задачи и принцип ее решения ........................ 173 
9.3.2. Ознакомление с результатами работы программы 
и моделирования .................................................................. 177 
9.3.3. Исходные данные для моделирования примера ............ 179 
9.4. Порядок выполнения работы ........................................................ 180 
9.4.1. Запуск программ ............................................................... 180 
9.4.2. Ввод программы с учетом индивидуальных 
вариантов, ее отладка и выполнение в MATLAB ............. 180 
9.4.3. Передача подготовленной структуры в COMSOL 
Multiphysics ........................................................................... 183 

9.4.4. Ввод граничных условий ................................................. 184 
9.4.5. Выполнение моделирования и визуализация 
результатов ........................................................................... 186 
9.4.6. Определение коэффициентов концентрации 
напряжений ........................................................................... 188 
9.4.7. Анализ и интерпретация результатов ............................. 191 
9.5. Содержание отчета ........................................................................ 192 
Контрольные вопросы .......................................................................... 192 
9.6. Варианты исходных данных для индивидуальных заданий ...... 193 
Приложение 1. Элементарные сведения о скрипт-моделировании 
в среде COMSOL Multiphysics в связке с MATLAB ......................... 195 
Приложение 2. Работа с процессором WORD при подготовке 
отчетов по НИР и других документов ................................................ 199 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Компьютерное моделирование (КМ) с использованием метода конечных элементов (МКЭ) является закономерным продолжением аналитического и физического моделирования объектов и процессов, которые с успехом применяются в различных областях науки и техники. КМ 
обладает рядом преимуществ, которые позволяют ему дополнять, а в 
некоторых случаях и заменять упомянутые методы. Например, КМ позволяет в одних случаях учитывать большее количество влияющих факторов, а в других, наоборот, рассмотреть влияние только одного какоголибо фактора. По сравнению с физическим моделированием к преимуществам КМ относятся меньшие материальные и временные затраты, 
возможность моделирования экстремальных случаев и условий, которые невозможно получить в реальной жизни, проведение работ меньшим количеством исследователей, во многих случаях это может сделать 
один человек. По сравнению с аналитическим моделированием КМ 
имеет возможность моделирования объектов сложной формы. До создания и разработки методов КМ математическое моделирование было 
уделом 
сравнительно 
небольшого 
количества 
специалистовматематиков высочайшей квалификации. Современные программные 
пакеты с развитым, дружественным интерфейсом позволяют осуществлять моделирование специалистам с уровнем подготовки инженера, хотя и требуют от них определенной теоретической и практической подготовки. 
Для инженеров, ведущих работы в области физических процессов 
горного производства, геоконтроля и горных технологий, существенным фактором является решение мультифизических задач, и многие 
современные программные пакеты предоставляют такую возможность. 
Из общего списка таких программных продуктов хотелось бы отдельно 
выделить COMSOL Multiphysics, который изначально разрабатывался с 
учетом именно мультифизической постановки и решения задач моделирования, что дает неоспоримые преимущества. COMSOL был запущен 
в июле 1986 г. С. Литтмарком и Ф. Саеди в Королевском технологическом институте (KTH) в Стокгольме (Швеция). За время своего существования этот программный продукт прошел путь от «приставки» к 
пакету MATLAB до самостоятельного изделия, используемого многими 
исследователями по всему миру. Первой самостоятельной, доведенной 
до удобного практического использования и наиболее распространенной является версия 3.5а, в соответствии с которой и составлен данный 
практикум. В настоящее время к моменту его подготовки вышла версия 
5.3. Новые версии программного продукта будут выходить постоянно с 

измененным интерфейсом и новыми возможностями, что каждый раз 
будет требовать их освоения. Но в данном практикуме не ставилась задача отслеживания самых последних версий. Гораздо большее внимание здесь уделено выработке у обучающихся ряда базовых навыков работы при решении типовых задач моделирования физических объектов 
и процессов горного производства и геоконтроля с помощью COMSOL 
Multiphysics и МКЭ. Это позволит им успешно решать практические 
задачи моделирования и осваивать новые версии этого и других аналогичных программных продуктов. 
Идеи и материалы для лабораторных работ, изложенных в настоящем практикуме, появились при выполнении научных работ в области горной геофизики и геоконтроля, а также при проведении занятий со студентами и аспирантами направления подготовки «Физические процессы горного или нефтегазового производства» на кафедре 
физических процессов горного производства и геоконтроля в Горном 
институте (МГИ) НИТУ «МИСиС». 
Практикум предназначен для студентов, изучающих дисциплину 
«Моделирование физических процессов горного производства», а 
также для студентов, подготавливающих дипломные работы, и аспирантов. При прохождении курса не обязательно каждому студенту 
выполнять все лабораторные работы. Необходимое количество работ 
устанавливается преподавателем. При выборе лабораторных заданий 
и их количества следует учитывать специализацию подготовки студентов и тематику их дипломных работ, в которых могут быть использованы содержащиеся здесь материалы. Они также могут быть 
использованы аспирантами в процессе обучения и подготовки диссертационных работ. Особо следует отметить, что работы готовились 
с учетом возможности самостоятельного обучения, они содержат подробное описание действий, а также варианты исходных данных. 
Данная дисциплина является продолжением ряда других, таких, как 
«Компьютерные методы в инженерных расчетах», «Компьютерные методы в научных исследованиях», результаты обучения используются в 
дисциплине «Проектирование систем геоконтроля» и др. 
Лабораторные работы 1 и 2 были разработаны с учетом направления 
подготовки студентов, связанного с неразрушающим контролем технических устройств, в котором активные и пассивные акустические методы занимают одно из ведущих мест. Они были подготовлены совместно 
с доц., канд. техн. наук Я.О. Куткиным и асс. М.Н. Красиловым. 
Лабораторная работа 3 связана с необходимостью контроля устойчивости кровли подземных выработок и с созданием приборов деформационного контроля и мониторинга устойчивости пород вокруг подземных выработок. 

Лабораторная работа 4 основана на методике оценки сейсмического действия взрыва на здания и сооружения и выборе безопасного 
расстояния до взрыва. 
Лабораторные работы 5 и 6 связаны с расчетом напряжений в конструктивных элементах системы разработки месторождения полезных 
ископаемых – целиках и кровле подземных горных выработок, а также с 
сейсмическим контролем образования трещин в этих элементах. В работе 6 обучающиеся знакомятся с одним из приемов моделирования, 
основанном на двухстадийных расчетах: на первой стадии – в статическом режиме и на второй – в режиме расчета во времени. 
Лабораторные работы 7 и 8 подготовлены совместно с доц., канд. 
техн. наук В.В. Набатовым, имеющим значительный опыт практической работы по диагностике обделки и заобделочного пространства 
тоннелей, и основаны на методике их контроля и реальных данных, 
полученных in situ. На их примере обучающиеся осваивают мультифизический режим работы COMSOL Multiphysics. 
Лабораторная работа 9 посвящена моделированию в среде 
COMSOL Multiphysics в связке с MATLAB на примере построения 
модели образца породы с включениями, что знакомит обучающихся 
с этим режимом моделирования. 
Все работы содержат варианты исходных данных для индивидуальных заданий. Это позволяет использовать материалы практикума 
для самостоятельной работы студентов. 
В заключение практикума приведено приложение, в котором содержатся указания по подготовке отчетов в Word. Автор счел нужным включить его в качестве справочного материала для студентов 
при подготовке ими отчетов по лабораторным работам. 
Таким образом, выполняя эти задания, обучающиеся могут получить представление о достаточно широком наборе решаемых задач 
из области моделирования физических процессов горного производства и геоконтроля, а также на практике освоить методы их решения. 
Практическое выполнение работ следует осуществлять по тексту, 

отчеркнутому такой линией слева. Текст без этой линии предназначен для чтения и ознакомления. 

Рассмотренные в практикуме материалы могут быть полезны 
также аспирантам и научным работникам, использующим КМ как 
один из инструментов их исследовательской работы в области физических процессов горного производства и геоконтроля, а также в 
смежных областях науки и техники. 

Лабораторная работа 1 

Моделирование пьезопреобразователей 
продольных и поперечных упругих волн1 

1.1. Цель работы 

Ознакомление с методами и получение навыков компьютерного 
моделирования пьезопреобразователей при их использовании в 
устройствах геоконтроля. 

1.2. Общая информация 

Пьезокерамика относится к так называемым сегнетоэлектрикам. В 
них в ограниченной области температур существует спонтанно поляризованное состояние. Оно исчезает выше некоторой критической 
температуры, называемой точкой Кюри. Ниже нее пьезоматериал 
разбивается на большое число крошечных областей с постоянной, 
возникающей самопроизвольно (спонтанно) электрической поляризацией, называемых доменами. 
Домены – это области, в каждой из которых электрические дипольные моменты направлены одинаково, но отдельные домены имеют разные направления поляризации (рис. 1.1, а), поэтому полидоменные кристаллиты, составляющие основную часть материала пьезокерамики, не 
поляризованы, и в целом поляризация керамического образца равна ну
лю. В сильном внешнем электрическом поле 
внеш
Е

 при воздействии 
температуры выше точки Кюри домены ориентируются в одном преимущественном направлении, т.е. пьезокерамика поляризуется, образуя 
внутреннее электрическое поле (рис. 1.1, б). При последующем снижении температуры эта поляризация сохраняется (рис. 1.1, в). Направление, вдоль которого в кристалле возникает электрическая поляризация, называется полярным направлением, или полярной осью. 

___________ 
1 Работа подготовлена совместно с доц., канд. техн. наук Я.О. Куткиным и 
асс. М.Н. Красиловым. 

Рис. 1.1. Поляризация пьезоэлектрической керамики: 
а – случайное распределение доменов до поляризации; б – поляризация 
в направлении электрического поля; в – остаточная поляризация 

Если теперь к поляризованной керамике, имеющей вертикальное 
направление полярной оси, приложить внешнее поле в направлении 
поля 
внеш
Е

 на рис. 1.1, б, то материал пьезокерамики будет сжиматься или растягиваться также в вертикальном направлении. В этом 
случае пьезокерамика может служить источником продольных волн, 
распространяющихся в этом направлении. 
Для создания сдвиговых волн используют пьезокерамику, направление полярной оси в которой перпендикулярно вектору напряженности внешнего электрического поля. Для моделирования этого случая необходимо вектор полярной оси повернуть на 90о по отношению к первоначальному направлению. 
В системе COMSOL Multiphysics в двухмерном и трехмерном 
случаях задаются следующие свойства керамического материала: 
матрица упругости cE (Elasticity matrix, рис. 1.2), матрица относительной диэлектрической проницаемости rS (Relative permittivity, 
рис. 1.3), матрица связей e (Coupling matrix, рис. 1.4). 

 

Рис. 1.2. Матрица упругости 

Рис. 1.3. Матрица относительной диэлектрической проницаемости 

 

Рис. 1.4. Матрица связей 

Эти свойства пьезоматериала загружаются из библиотеки свойств. 
Для правильного задания направления полярной оси при моделировании наибольшее значение имеет матрица связей, а именно, значение, находящееся в ячейке с индексами 33. Она обозначает направление полярной оси материала. По умолчанию компонента, соответствующая этой ячейке, направлена вдоль оси z в случае 3D и вдоль 
осей y и z в случаях 2D и 2D Axis symmetry соответственно. 
При моделировании для получения желаемого эффекта (сжатиерастяжение или сдвиг) необходимо задать направление ориентации 
оси z относительно направления прикладываемого внешнего поля. 
Для этого оси координат пьезокерамики, заданные по умолчанию, 
при необходимости следует повернуть. В системе COMSOL Multiphysics это возможно сделать несколькими способами. В данном 
случае рассмотрим поворот полярной оси выбором плоскости, перпендикулярно которой задан направляющий вектор. 
В случаях 2D и 2D Axisymmetry задается положение одной из 
плоскостей первоначальной 3D-ориентации пьезоматериала, которая 
после поворота совпадает с плоскостью XY 2D-модели или плоскостью rZ модели 2D Axisymmetry соответственно. 
Есть шесть вариантов размещения плоскости пьезоматериала в 
плоскости модели: xy, yz, zx, yx, zy и xz-плоскости (последний вариант 
установлен по умолчанию default) (рис. 1.5). 
Первая буква указывает, какое направление 3D совпадает с направлением оси X в 2D или с направлением оси r для Axisymmetry; вторая 
буква указывает, какое направление оси 3D совпадает с направлением 
оси Y в 2D или с направлением оси z для Axisymmetry. 

Рис. 1.5. Ориентация материала в 3D с осями xyz относительно осей XYZ системы 
координат модели в 2D; в вариантах yx и xy ось z направлена перпендикулярно 
плоскости рисунка и деформации в этой плоскости отсутствуют 

Для того чтобы пластина из пьезоматериала выполняла функции 
преобразователя электрического поля в механические деформации 
или напряжения и наоборот, на две ее противоположные поверхности наносятся проводящие слои, как правило, серебра или меди. Для 
того чтобы деформировать пластину, на эти слои подают электрическое напряжение, создающее между слоями электрическое поле. 
Если при излучении упругих волн нужно, чтобы волны сжатиярастяжения распространялись в вертикальном направлении, ось z 
материала должна быть ориентирована в этом направлении, и в этом 
же направлении должно быть ориентировано внешнее поле. Это достигается в случаях yz и xz. В обоих случаях при неизменной ориентации внешнего поля (в данном случае вертикальной) в зависимости 
от его направления (вверх или вниз) будет происходить растяжение, 
либо сжатие (рис. 1.6). 
Если нужно, чтобы поперечные волны сдвига распространялись в 
вертикальном направлении, ось z материала должна быть ориентирована в направлении оси X, а внешнее поле должно быть ориентировано, как и в предыдущем случае, в вертикальном направлении. Этому случаю соответствуют положения плоскости zy и zx (рис. 1.7). 

Рис. 1.6. Изменение формы пьезопластины при подаче на нее постоянного 
напряжения и ориентации пьезоматериала yz и xz при полярности 
напряжения: плюс – на верхнюю границу, минус – на нижнюю (а) 
и минус – на верхнюю границу, плюс – на нижнюю (б); стрелкой 
показано направление распространения волны 

 

Рис. 1.7. Изменение формы пьезопластины при подаче на нее постоянного 
напряжения и ориентации пьезоматериала zy и zx при полярности 
напряжения: плюс – на верхнюю границу, минус – на нижнюю (а) 
и минус – на верхнюю границу, плюс – на нижнюю (б); стрелкой 
показано направление распространения волны 

1.3. Среда моделирования 

Моделирование будет проводиться в среде COMSOL Multiphysics. Работа содержит две части. В первой следует ознакомиться с 
принципами моделирования излучения продольных упругих волн, а 
во второй части – поперечных. 
Результаты заносите в общий файл отчетов по лабораторным ра
ботам с титульным листом и содержанием.