Геометрия недр : общая методика геометризации недр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ  
 
Кафедра геологии и маркшейдерского дела

Москва 2018

Г.О. Абрамян
Д.И. Боровский
Е.Н. Толчкова

Геометрия недр

ОБщАЯ МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИЗАЦИИ НЕДР

Лабораторный практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2979

УДК 622.1 
 
А16

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. В.В. Агафонов

Абрамян Г.О.
А16  
Геометрия недр: общая методика геометризации недр: лаб. 

практикум / Г.О. Абрамян, Д.И. Боровский, Е.Н. Толчкова. – М. : 
Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 42 с.

Практикум включает теоретические основы дисциплины «Геометрия 

недр» по специальности «Маркшейдерское дело» раздел «Общая методика 
геометризации недр». Предназначен для выполнения соответствующих лабораторных работ в целях закрепления теоретических знаний раздела курса 
и приобретения практических навыков. Разработаны задания и методические 
указания по выполнению лабораторных работ.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности 21.05.04 «Горное 

дело». Может быть полезен студентам других специальностей, изучающих 
дисциплину «Геометрия недр».

УДК 621.1

 Г.О. Абрамян, 

Д.И. Боровский, 
Е.Н. Толчкова, 2018
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГлАвление

Общие методические рекомендации .......................................................4
Лабораторная работа 1. Статистическая обработка результатов 
измерений ..................................................................................................5
Задача 1.1. Вычисление статистических характеристик  
при малом объеме выборки .................................................................5
Задача 1.2. Вычисление статистических характеристик 
при большом объеме выборки ............................................................7
Лабораторная работа 2. Выявление корреляции  
и вида связи между двумя показателями залежи .................................12
Лабораторная работа 3. Статистическая обработка численных 
значений случайного поля ......................................................................22
Лабораторная работа 4. Проекции с числовыми отметками ..............25
Задача 4.1. Изображение прямых и определение угловых 
и линейных величин. .........................................................................25
Задача 4.2. Изображение плоскости и определение взаимного 
расположения между точкой, прямой и плоскостью ......................26
Задача 4.3. Определение угла между прямой и плоскостью .........26
Задача 4.4. Определение угла между двумя 
пересекающимися плоскостями Р и Q.............................................27
Лабораторная работа 5. Определение угловых величин 
между прямыми, прямой и плоскостью и между плоскостями 
на стереографической сетке ...................................................................28
Лабораторная работа 6. Построение наглядных изображений ...........31
Лабораторная работа 7. Геометризация форм залежи  
по разведочным скважинам ...................................................................33
Лабораторная работа 8. Математические действия 
с топоповерхностями ..............................................................................34
Лабораторная работа 9. Построение кривой и изолиний  
средних значений содержания компонента залежи сглаживанием ....36
Лабораторная работа 10. Геометризация формы  
и свойств содержания компонента залежи ...........................................38

ОБЩие МеТОДиЧеСКие РеКОМенДАЦии

Выполнение лабораторных работ закрепляет теоретические знания, полученные при изучении дисциплины «Геометрия недр» раздела «Общая методика геометризации недр».
Задания предусматривают измерения, вычисления и графические 

построения, которые студенты выполняют на занятиях в аудитории. 
Оформление лабораторных работ выполняется в домашних условиях.
Графические работы выполняются гелиевой ручкой с соблюдением условных знаков, графической точности и масштаба чертежа. 
По согласованию с преподавателем допускается цветное или чернобелое оформление лабораторной работы.
Вычислительные работы производятся и оформляются в следующей последовательности: расчетная формула – подстановка числовых 
значених – промежуточный или окончательный результат с указанием размерности. Во всех работах точность промежуточного и окончательного результатов записывается до второго порядка.
Если работа индивидуализирована по вариантам, которые определяются с учетом номера группы G и порядкового номера студента N 
в списке по журналу группы, то студент сам вычисляет исходные значения, соответствующие его варианту. Если же работа не индивидуализирована согласно номера группы и порядкового номера студента, 
то преподаватель выдает студентам формулу, по которой определяют 
исходные значения вариантов заданий.
По окончании измерительных, вычислительных и графических работ студент должен написать выводы, исходя из результатов выполненной лабораторной работы, где он излагает свое видение причинно-следственных связей полученных результатов.
Все задания выполняются аккуратно и сопровождаются краткими пояснениями хода решения. Работу студент выполняет так, чтобы в ней без особого труда мог разобраться читатель-маркшейдер, 
не принимавший участия в ее выполнении. 

К следующей работе студент должен приступить после сдачи предыдущей, для этого необходимо:
– устранить отмеченные преподавателем ошибки;
– ответить правильно на вопросы преподавателя по работе.

лАБОРАТОРнАЯ РАБОТА 1

СТАТиСТиЧеСКАЯ ОБРАБОТКА 
РеЗУлЬТАТОв иЗМеРениЙ

Числовыми характеристиками случайной величины называют величины, с помощью которых в сжатой форме выражаются наиболее 
существенные особенности распределения. К ним относятся: среднее 
значение, среднеквадратическое отклонение (стандарт), коэффициент 
вариации, мода, медиана, ассиметрия, эксцесс.
В зависимости от объема выборки определение статистических 

характеристик производят разными способами. При малом объеме 
выборки (до 25–30 вариантов) – по нижеприведенным формулам или 
по стандартным программам на компьютере. Для выборок большего 
объема определение статистических характеристик производят с помощью метода условных или произвольных моментов, а также по соответствующим программам на компьютере.

Задача 1.1. вычисление статистических 
характеристик при малом объеме выборки

Скважинами разведочного бурения, расположенными по квадратной сетке, вскрыто рудное тело. Значение мощности залежи и содержания в ней полезного компонента приведены в табл. 1.1, 1.2 и 1.3.

Таблица 1.1

вариант 1

№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %
№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %

1
2
3
4
5

3,6
1,3
0,8
0,2
3,9

5,22
0,81
9,33
4,18
4,35

6
7
8
9

2,4
1,1
2,2
0,9

6,09
10,35
4,20
6,14

Требуется определить: среднее значение мощности залежи и содержания компонента, средневзвешенное содержание компонента 
по мощности, среднеквадратические отклонения и коэффициенты 
вариации мощности и содержания компонента, а также погрешности 

определения среднего арифметического значения мощности, содержания и коэффициента вариации.

Таблица 1.2

вариант 2

№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %
№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %

1
2
3
4
5

4,1
1,6
0,9
1,2
2,8

5,12
1,01
9,33
4,12
4,35

6
7
8
9

2,5
0,8
0,2
1,0

7,10
8,35
6,22
5,94

Таблица 1.3

вариант 3

№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %
№
скв.
Мощность 
залежи mi, м
Содержание 

компонента ci, %

1
2
3
4
5

2,9
2,5
0,8
0,9
4,1

4,45
0,81
9,33
4,32
3,15

6
7
8
9

3,1
2,1
1,8
0,9

6,10
2,35
7,24
6,01

Методические указания к задаче 1.1

Рекомендации для расчетов:
1. Среднее арифметическое значение мощности залежи и содержания компонента

 

;   
,
i
i
m
c
m
c
n
n
∑
∑
=
=
 
(1.1)

где n – число измерений.

2. Средневзвешенное содержание компонента по мощности

 

.
i
i

m
i

c m
c
m

∑
= ∑
 
(1.2)

3. Дисперсию мощности m  залежи и содержания c  компонента

 

(
)
(
)
2
2
²
²
;    
 .
i
i
m
c
m
m
c
c

n
n

∑
−
∑
−
σ
=
σ =
 
(1.3)

4. Среднеквадратическое отклонение мощности и содержания компонента

 

2
2
 ;   
.
m
m
c
c
σ
= ± σ
σ = ± σ
 
(1.4)

5.  Погрешность среднего арифметического значения мощности 

и содержания при коэффициентах вероятности t = 1,2 (P = 0,75); 
t = 1,7 (P = 0,90); t = 2 (P = 0,95)

 

 ;    
.
m
c
m
p
c
p
M
t
M
t
n
n

σ
σ
=
=
 
(1.5)

6. Коэффициент вариации мощности и содержания

 

100%;     
100%.
m
c
m
c
V
V
m
c
σ
σ
=
⋅
=
⋅
 
(1.6) 

7. Погрешность коэффициента вариации

 

(
)
(
)

2
2
0,5
0,01
0,5
0,01
;    
 .
m
c
Vm
Vc
V
V
V
V
M
M
n
n

+
⋅
+
⋅
=
=
 
(1.7)

Задача 1.2. вычисление статистических 
характеристик при большом объеме выборки

Для трех вариантов представлены данные опробования месторождений:
1. В табл. 1.4 приведены данные эксплуатационного опробования 

на медь медно-песчаникового месторождения.
2. В табл. 1.5 приведены данные опробования рудного тела 

по стенке штрека на медь Гайского месторождения.
3. В табл. 1.6 приведены результаты измерений нормальной мощности угольного пласта в подготовительных и очистных выработках 
шахты Подмосковного бассейна. 

Требуется построить гистограмму изменения значений показателя и определить с помощью метода условных моментов статистические характеристики: среднее x, дисперсию σ², среднеквадратическое отклонение σ, коэффициент вариации V, модуль mod(х), медиану 
mеd(х), ассиметрию А и эксцесс Э.

Таблица 1.4

вариант 1

№ проб
ciCu, %
№ проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, %

1
1,08
21
1,55
41
0,75
61
1,37
81
0,70
2
0,80
22
1,15
42
2,18
62
1,05
82
1,20
3
1,22
23
1,92
43
0,83
63
1,70
83
0,90
4
1,24
24
0,64
44
1,47
64
0,63
84
1,83
5
0,85
25
0,81
45
1,25
65
2,38
85
0,95
6
1,04
26
1,97
46
0,94
66
0,48
86
2,51
7
1,17
27
0,85
47
1,38
67
0,85
87
0,78
8
0,52
28
1,40
48
0,87
68
0,81
88
1,35
9
0,61
29
1,54
49
1,31
69
1,62
89
0,58
10
1,24
30
0,74
50
1,07
70
0,99
90
1,49
11
1,65
31
1,00
51
1,33
71
0,84
91
2,75
12
0,60
32
1,51
52
0,78
72
1,18
92
1,12
13
1,46
33
0,93
53
1,27
73
3,39
93
0,72
14
0,83
34
1,34
54
1,13
74
0,55
94
1,42
15
1,68
35
0,91
55
0,69
75
0,97
95
1,52
16
1,02
36
1,10
56
1,77
76
1,11
96
0,88
17
0,66
37
1,79
57
1,00
77
1,17
97
1,09
18
1,30
38
1,11
58
0,76
78
1,29
98
1,17
19
1,58
39
0,88
59
2,09
79
3,47
99
0,72
20
1,01
40
3,65
60
1,19
80
1,60
100
0,89

Таблица 1.5

вариант 2

№ проб
ciCu, %
№ проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, %

1
1,3
21
7,6
41
5,5
61
6,0
81
6,0

2
2,2
22
9,7
42
7,9
62
5,1
82
5,5

3
4,8
23
4,2
43
4,6
63
4,8
83
0,5

4
1,7
24
6,5
44
5,6
64
4,1
84
4,6

5
4,2
25
5,8
45
6,9
65
3,9
85
3,4

6
1,9
26
8,9
46
2,8
66
2,9
86
4,2

7
5,1
27
6,0
47
6,2
67
4,5
87
5,2

8
0,0
28
3,8
48
4,9
68
4,2
88
3,5

9
5,9
29
4,3
49
5,9
69
6,5
89
4,9

10
3,0
30
5,9
50
3,2
70
2,1
90
7,0

11
6,1
31
5,1
51
4,1
71
5,7
91
6,1

12
2,4
32
7,4
52
5,8
72
5,1
92
4,5

13
7,1
33
5,7
53
12,5
73
1,5
93
8,2

14
8,9
34
4,1
54
4,2
74
3,2
94
6,2

15
3,6
35
3,3
55
5,1
75
4,1
95
4,8

№ проб
ciCu, %
№ проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, % № проб ciCu, %

16
5,3
36
2,7
56
6,1
76
4,2
96
8,1

17
3,7
37
4,5
57
4,5
77
1,4
97
6,3

18
6,2
38
3,1
58
5,2 
78
5,8
98
3,8

19
7,5
39
5,1
59
6,2
79
4,9
99
3,6

20
5,4
40
7,1
60
7,6
80
3,1
100
1,1

Таблица 1.6

вариант 3

№ проб
miCu, м
№ проб miCu, м № проб miCu, м № проб miCu, м № проб miCu, м
1
0,51
21
1,77
41
1,76
61
1,92
81
1,91
2
1,10
22
0,52
42
1,27
62
2,28
82
1,20
3
2,13
23
1,11
43
2,29
63
1,26
83
1,73
4
0,21
24
2,26
44
0,86
64
1,80
84
2,27
5
1,51
25
1,30
45
1,12
65
1,15
85
1,25
6
1,60
26
0,83
46
1,54
66
1,93
86
1,00
7
2,10
27
1,94
47
1,95
67
1,74
87
1,90
8
1,61
28
1,38
48
0,44
68
2,40
88
1,72
9
2,75
29
1,53
49
0,57
69
1,14
89
2,20
10
1,52
30
1,39
50
1,13
70
2,35
90
1,17
11
1,62
31
2,14
51
1,47
71
1,83
91
2,30
12
2,86
32
0,94
52
1,75
72
1,40
92
1,85
13
1,55
33
1,63
53
1,31
73
1,16
93
2,49
14
2,37
34
2,66
54
1,65
74
2,50
94
2,47
15
3,25
35
1,64
55
0,68
75
1,88
95
1,50
16
1,56
36
2,97
56
2,64
76
2,15
96
2,46
17
3,00
37
0,75
57
1,97
77
3,11
97
2,16
18
3,48
38
3,48
58
0,59
78
1,45
98
1,86
19
2,77
39
1,96
59
2,53
79
2,36
99
2,34
20
3,52
40
3,65
60
3,50
80
1,87
100
2,55

В базовых таблицах 1.1–1.3 и 1.4–1.6 варианты лабораторных работ 

по мощности miN и содержанию ciN полезного ископаемого определяются, исходя из следующих формул: miN = mi + 0,2N и ciN = ci + 0,2N.
В табл. 1.7 приведен формуляр-структура таблицы для статистических расчетов.

Таблица 1.7
Формуляр – структура для статических расчетов

№ 
п/п
Классовый
интервал, h
Численность
класса, n

Условное 
значение 
класса, α
nα nα² nα³ nα4
Частость 

n
P
N
=
Накопленная 

частота

Методические указания к задаче 1.2

Последовательность действий следующая:
1. Для построения гистограммы распределения и необходимых 

вычислений осуществляют группирование наблюдаемых значений по 
интервалам. Интервал, группирования определяют по формуле Стерджесса

 

max
min ,
1
3,2 lg
x
x
h
N
−
= +
⋅
 
(1.8)

где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения случайной величины; N – общее число наблюдений (объем выборки).

2. Составляют таблицу интервальных значений, пользуясь структурой табл. 1.7.
Классу с наибольшей численностью придают условное значение 

α = 0, остальным: 1, –2, –3, … в сторону уменьшения и 1, 2, 3, … 
в сторону увеличения значения компонента, показателя.
3. Условные (или начальные) моменты вычисляют по формулам

 

1
; 
n
N
∑ α
β =
 
2
²
 
; 
n
N
∑ α
β =
 
3
³;
n
N
∑ α
β =
 

4

4
.
n
N
∑ α
β =
 
(1.9)

4. Среднее значение показателя определяют из выражения

 
0
1 ,
X
x
h
=
+ β
 
(1.10)

где 
0x  – среднее значение класса, у которого α = 0.

5. Среднеквадратическое отклонение значений показателя следующее

 

2
2
1 .
h
σ =
β −β
 
(1.11)

6. Коэффициент вариации показателя

V = X
σ  100 %. 
(1.12)

7. Погрешность коэффициента вариации показателя

 

(
)

2
0,5
0,01
 
.
V
V
V
m
N

+
⋅
=
 
(1.13)

8. Погрешность среднего значения показателя

 

m
t
 
(1.14)

где t – коэффициент вероятности.

9. Мода распределения – наиболее часто встречающееся значение 

показателя (середина класса с наибольшей частотой)

 

1
0
0
1
2
M
 
,
x
h
∆
=
+
∆ + ∆

 
(1.15)

где х0 – начало модального интервала; h – интервал; Δ1 – разность частот модального и домадального интервалов; Δ2 – разность частот 
модального и послемодального интервалов.

10. Медиана – срединная величина упорядоченного вариационного 

ряда

 

e
0,5
M
 
 
,
i
m
m

N
n
x
h
n
⋅
− ∑
=
+
 
(1.16)

где хm – начало медианного интервала; Σni – сумма наблюдений, частот всех интервалов, предшествующих медианному; nm – частота 
медианного интервала.
11. Ассиметрия ряда распределения – мера его скошенности влево 

или вправо относительно моды:

 
(
)

3

3
2 1
1

3
2
2
1

3
2
A
 
.
β − β β + β
=
β −β

 
(1.17) 

12. Эксцесс – мера отклонения ряда распределения от нормального. Он характеризует наличие острой или сглаженной вершины:

 

Э = 

(
)

2
4

4
1
3
1
2
1
2
2
2
1

4
6
3
3.
β − β β − β β − β −
β −β

 
(1.18)

Для нормального ряда распределений А = Э = 0.
13. Гистограмму или полигон распределения строят по осям: 

на вертикальной оси в масштабе отмечают шкалу вероятностей (0–1) 
или число измерений (0–N); на горизонтальной оси – шкалу средних 
значений показателя в интервалах.
Все вычисления выполняются по стандартной компьютерной программе.