Теория стохастических систем, находящихся под действием широкополосного стационарного шума, фильтрованного в области низких частот

С.А. Гуз,   М.В. Свиридов

Теория стохастических систем, 
находящихся под действием 
широкополосного стационарного 
шума, фильтрованного в области 
низких частот

2020 
Москва 
Университетская книга

УДК 519.62
ББК 22.193
            Г93

© Гуз С.А., Свиридов М.В., 2020 
© Университетская книга, 2020

УДК 519.62
ББК 22.193

Гуз С.А.
Теория стохастических систем, находящихся под действием широкополосного стационарного шума, фильтрованного в области низких 
частот: монография / С.А. Гуз, М.В. Свиридов. – М.: Университетская 
книга, 2020. – 224 с.

Представлены результаты исследования стохастических систем, находящихся 
под действием шума, фильтрованного в области низких частот. Раскрыты основные 
понятия, модели и методы, использованные в исследовании, а также отличительные черты белых, красных и зеленых шумов. Показано, что в простейшем случае 
шум представляет собой производную по времени от случайного стационарного 
процесса, например процесса Орнштейна – Уленбека. Подробно исследован зеленый шум в одномерных и некоторых других системах. Рассмотрены вопросы моделирования систем с белыми и зелеными шумами на компьютере с предикторными 
и корригирующими алгоритмами. Даны программы, построенные на их основе.
Для физиков, математиков, а также для широкого круга специалистов в области 
электроники и численного моделирования сложных систем.

Г93

ISBN 978-5-98699-160-3

ISBN 978-5-98699-160-3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ......................................................................................................5

Глава 1. Основные понятия, модели, методы ....................................................6
§ 1.1. Белые, красные и зеленые шумы ......................................................6
§ 1.2. Шумы в синхронизируемом радиогенераторе ................................18
§ 1.3. Шумы в кольцевом лазере ...............................................................28
§ 1.4. Шумы в системе фазовой автоподстройки частоты .......................33
§ 1.5. Шумы в джозефсоновском переходе ...............................................36
§ 1.6. Броуновское движение частицы в косинусном наклонном 
потенциале ......................................................................................41
§ 1.7. Проблема Крамерса .........................................................................54
§ 1.8. Окрашенный (красный) шум ..........................................................64
§ 1.9. Метод усреднения ............................................................................75
§ 1.10. Численные алгоритмы ...................................................................87

Глава 2. Зеленый шум в одномерных стохастических системах ......................91
§ 2.1. Усреднение в стохастических системах, находящихся под 
действием внешнего зеленого шума ...............................................91
§ 2.2. Система фазовой автоподстройки частоты первого порядка .......102
§ 2.3. Параметрические явления .............................................................114
§ 2.4. Передемпфированная броуновская частица в уединенном 
потенциале ....................................................................................125
§ 2.5. Процесс диссоциации ....................................................................133
§ 2.6. Броуновское движение под действием импульсного зеленого 
шума ...............................................................................................138

Глава 3. Зеленый шум в некоторых стохастических системах ......................147
§ 3.1. Вращательная диффузия трехмерного объекта при 
воздействии зеленого шума  .........................................................147
§ 3.2. Особенности усреднения в нелинейных системах второго 
порядка ..........................................................................................153
§ 3.3. Стохастические системы с флуктуирующей локализацией 
потенциала ....................................................................................156

Оглавление
4

§ 3.4. Броуновская частица в сложном пилообразном (ratchet) 
потенциале ....................................................................................178
§ 3.5. Движение броуновской частицы в уединенной 
потенциальной яме .......................................................................186

Приложение 1. Формулировка теоремы о связи системы 
стохастических уравнений с многомерным 
уравнением Фоккера – Планка [20]...................................194

Приложение 2. Аналитическое решение уравнения Фоккера – Планка ...195

Приложение 3. Принцип усреднения, когда быстрое движение есть 
случайный процесс [292] ....................................................200

Приложение 4. Достаточные условия существования зеленого шума........202

Литература ....................................................................................................207

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга посвящена исследованию стохастических 
систем, находящихся под действием шума, фильтрованного в области низких частот. В простейшем случае этот шум представляет собой 
производную по времени от случайного стационарного процесса (для 
краткости, в книге такой окрашенный шум назван зеленым). В частности, подробно исследован шум, для которого исходный стационарный процесс является процессом Орнштейна – Уленбека. Как 
показано в гл. 1, при определенных условиях зеленый шум может 
проявиться в системах синхронизации первого и второго родов, броуновском движении, лазерных гироскопах, джозефсоновском переходе и ряде других систем. Для исследования характеристик таких 
систем разработан новый вариант метода усреднения Крылова – 
Боголюбова, который позволяет рассматривать большие интенсивности шума уже в нулевом приближении. Показано, что в развитии 
динамики системы большое значение приобретает «эффективный» 
потенциал, который равен реальному, усредненному по статистике зеленого шума. В частности, необратимые фазовые переходы 
в системах происходят тогда, когда поправочный процесс, определяемый первым и последующими приближениями метода усреднения, 
достигает барьера эффективного потенциала.
Часть систем с зеленым и белым шумами моделируется на компьютере, для чего используются известные предикторные и корректирующие алгоритмы. В книге даются программы, построенные 
на основе этих алгоритмов. Показано, что в случае зеленого шума 
работа систем более стабильна, чем в случае белого шума.

Глава 1. 

Основные понятия, модели, методы

§ 1.1. Белые, красные и зеленые шумы

Теория случайных стационарных процессов широко используется для описания многих статистических явлений в физике, электронике и других отраслях науки. В статистической физике подобными процессами, к примеру, являются флуктуации, возникающие 
из-за действия на данную динамическую систему статистического 
резервуара [1]. Для их описания часто используется основное кинетическое уравнение (или, как говорят, «мастер-уравнение») [2–4]. 
Напротив, в статистической радиофизике эти процессы обычно 
рассматривают ся как изначально заданные внешние шумы, характеристики которых полностью зависят от конкретной экспериментальной ситуации. Конечно, это разделение условно, но тематика 
настоящей работы более близка именно ко второму аспекту физической тео рии.
От статистических характеристик шума, действующего на конкретно рассматриваемую систему, в значительной мере зависит ее 
стохастическая динамика в целом. Известно, что случайный процесс задан, если известен полный набор многомерных функций 
распределения вероятностей [5]. Далее рассматриваются только 
стационарные в широком смысле внешние шумы, т.е. используется 
корреляционная теория, когда принимаются во внимание лишь 
одно- и двумерные распределения этих шумов. В этом случае на первый план выходят среднее и корреляционная функция шума. В соответствии с теоремой Винера – Хинчина, последняя эта функция 
однозначно может быть задана посредством спектральной плотности шума, вид которой может кардинально повлиять на качественные свойства стохастической системы в целом. Это можно показать 
на простом, но важном примере.
Пусть требуется найти стохастический риманов интеграл в среднем квадратичном

 

0
( )
( )

t
t
t dt
ρ
= ζ ′
′
∫
 
(1.1)

§ 1.1. Белые, красные и зеленые шумы
7

от некоторого стационарного в широком смысле [6] процесса ( )t
ζ
 
с нулевым средним. Известно, что полученный таким образом случайный процесс не является стационарным [15]. Нетрудно показать, 

что если 
( )
( ) (
)
t
t
ζ
Ψ τ = 〈ζ
ζ
+ τ 〉  – корреляционная функция процесса 

( )t
ζ
, то дисперсия интеграла (1.1) начинает возрастать пропорционально времени:

     
2
2

0 0
( )
(
)
( )
( )
( )

t t
t
t
t
dt dt
t
d
R t
D t
R t

∞

ρ
ζ
ζ
ρ
−∞
σ = 〈ρ
〉 =
Ψ
−
=
Ψ τ
τ +
=
+
′
′′
′
′′
∫∫
∫
, (1.2)

где угловыми скобками обозначается статистическое усреднение 
и предполагается, что

 
( )
0
D
d

+∞

ρ
ζ
−∞
=
Ψ τ
τ >
∫
. 
(1.3)

Вывод соотношения (1.2) можно найти в работах, где определяются условия эргодичности (см., например, [7, 8]). Остаточный 
член

 

0
( )
( )
2
2 (
)
( )

t
d
R t
t
d

∞
∞

ζ
ζ
Ψ τ
τ
= −
τ
+
τ −
Ψ τ
τ
∫
∫
 
(1.4)

в этом соотношении ограничен при увеличении t , если абсолютная величина 
( )
ζ
Ψ τ  достаточно быстро уменьшается с ростом |
|
τ : 
по меньшей мере, как 
2
|
( ) |
(
)
O
−
ζ
Ψ τ
=
τ
. Пропорциональная зависимость 
2
ρ
σ  от времени обычно называется законом диффузии [3, 9], 
а коэффициент пропорциональности Dρ  – коэффициентом диффузии. 
В соответствии с теоремой Винера – Хинчина [5,10], спектральная 
плотность 
( )
Sζ ω  процесса ( )t
ζ
 представляется интегралом Фурье:

 
1
( )
( )exp(
)
2
S
i
d

+∞

ζ
ζ
−∞
ω =
Ψ τ
− ωτ
τ
π ∫
. 
(1.5)

Из соотношений (1.3) и (1.5) следует, что 
2
(0)
D
S
ρ
ζ
= π
, т.е. коэффициент диффузии пропорционален спектральной плотности 
( )
Sζ ω , 
взятой на нулевой частоте. Таким образом, такая важная физическая 
характеристика, как коэффициент диффузии Dρ , зависит лишь от 
значения спектральной плотности 
(0)
Sζ
 источников флуктуаций, 
обуславливающих диффузионный процесс. Это сразу наталкивает 
на мысль, что величина 
(0)
Sζ
 может служить одним из параметров, 
характеризующим определенные классы шумов. Остановимся на 
этом более подробно.

Глава 1. Основные понятия, модели, методы 
8

Наиболее часто используемой является математическая модель 
источников в виде гауссовского белого шума 
( )
( )
t
w t
ζ
=
 с постоянной спектральной плотностью 
(0)
( )
const
w
w
S
S
=
ω =
, т.е. такого 
стационарного случайного процесса, у которого 
1
( )
w t
 и 
2
( )
w t
 
некоррелированы, если 1
2
t
t
≠
 и 
( )
0
w t
〈
〉 =
. Строго говоря, 
( )
w t  можно 
представить только в виде некоторого обобщенного случайного 
процесса. Утверждение, что процесс является обобщенным, означает, 
что его вероятностная мера может быть введена только на пространстве 
S′  обобщенных функций, а не как вероятностная мера на меньшем 
вещественном евклидовом пространстве дифференцируемых функций1. Поскольку в наших задачах процесс 
( )
w t  будет содержаться 
в правой части стохастических дифференциальных уравнений, будем 
использовать следующую (традиционную) интерпретацию [13]. 
Любое дифференциальное уравнение есть предельная запись некоего 
допредельного (дискретного) уравнения. Если 
( )
w t  содержится 
в правой части дифференциального уравнения, то в его дискретном 
эквиваленте будет содержаться выражение 
( )
k
k
w t
t
Δ
, где k  – целое, 
а 
1
k
k
k
t
t
t
+
Δ
=
−
. 
Обычно выражение 
( )
k
k
w t
t
Δ
 заменяется на 
1
(
)
( )
k
k
k
W
W t
W t
+
Δ
=
−
, 
где 
( )
W t  – некоторый гауссовский случайный процесс, если положить 

( )
( )
t
W t
ρ
=
 и принять условия 
2
(0)
2
( )
const
W
W
W
D
S
S
= π
= π
ω =
. Этот 
процесс принято называть винеровским процессом [2, 3, 8, 10, 14–16]. 
Иногда этот процесс называют процессом броуновского движения [17] или чисто диффузионным процессом [18], или гауссовским 
процессом с некоррелирован ными приращениями [5, 19]). 
Винеровский процесс играет основополагающую роль в современной математической теории случайных процессов. В частности, на его основе построен класс марковских диффузионных процессов, когда решение практических задач сводится к решению 
диффузионного уравнения в частных производных, известного как 
уравнение Фоккера – Планка (Фоккера – Планка – Колмогорова, 
Эйнштейна – Фоккера) для условной плотности вероятности перехода в некоторое состояние, при условии, что в начальный момент 
времени процесс находился в известном состоянии (см. многочисленные книги по теории и практическому применению случайных 

1 Пространство S′  представляет собой совокупность всех обобщенных 
функций, представимых в форме конечных сумм производных от 
обычных функций не более, чем степенного роста при возрастании их 
аргумента [11, 12].

§ 1.1. Белые, красные и зеленые шумы
9

процессов). Ввиду важности этого подхода в приложении 1 изложена 
доказанная в [20] методом характеристического функционала общая 
теорема, которая позволяет при определенных условиях свести 
систему стохастических дифференциальных уравнений к уравнению 
Фоккера – Планка с целью решения конкретных проблем.
В физических приложениях случайный стационарный процесс 
( )
w t  по аналогии с белым светом, имеющим в видимой области 
спектра практически равномерное распределение мощности по 
частотам, называют белым шумом [3, 7, 16, 21]. В этом случае

 
( )
( ) (
)
( )
w
w
w t w t
D
Ψ
τ = 〈
+ τ 〉 =
δ τ , 
(1.6)

где ( )
δ τ  – дельта-функция Дирака; величину 
const
w
D =
 часто называют интенсивностью белого шума 
( )
w t  [22].
Вообще говоря, понятие белого шума вызывает серьезные математические проблемы, поскольку реализации (выборочные функции) белого шума не являются дифференцируемыми (см., например, 
[17]). Однако в реальной ситуации под дельта-функцией всегда подразумевается некоторая симметричная функция ( )
Δ τ  с конечной, но 
малой по сравнению с какими-то другими измеримыми временами 
характерной шириной 2
Δ
τ , обладающая свойством (см., например, [23])

( )
1
d

+∞

−∞
Δ τ
τ =
∫
.

Величина 
Δ
τ  обычно называется временем корреляции случайного 
процесса 
( )t
Δ
ζ
, имеющего корреляционную функцию 
( )
Δ
Ψ
τ =

( )
w
D
=
Δ τ . Очевидно, что при 
0
Δ
τ →
 следует 
( )
( )
t
w t
Δ
ζ
→
. 
Заметим, что во многих случаях для других стационарных процессов 
( )t
ζ
 также можно ввести конечное время корреляции 
ζτ , 
которое является удобным качественным параметром. Это время 
характеризует интервал, на котором корреляционную функцию 

( )
ζ
Ψ τ  еще можно считать отличной от нуля и значения случайного 
процесса на этом интервале остаются все еще статистически зависимыми [5]. Если за интервал времени, равный времени корреляции, изменением состояния динамической системы или статистического ансамбля можно пренебречь, то модель белого шума, когда 

0
ζτ =
, является удобным приближением для решения конкретных 
задач. Однако в статистической физике и особенно в статистической 
радиофизике, где почти всегда необходимо учитывать инерцион

Глава 1. Основные понятия, модели, методы 
10

ность динамических систем, приходится рассматривать коррелированные процессы, для которых 
0
ζτ ≠
 [18, 22]. В этом случае в силу 
соотношения неопределенности, свойственного преобразованию 
Фурье, спектральная плотность случайного стационарного процесса 
будет уменьшаться на частотах порядка 
1
−
ζτ
, т.е. спектр становится 
неравномерным. В современной физической литературе подобные 
шумы обычно называют окрашенными [22, 24].
Простейшим и одним из наиболее популярных примеров окрашенного шума является известный процесс Орнштейна – Уленбека. 
Таким процессом описывается, например, скорость свободной броуновской частицы [3, 16, 24–26,]. То же самое относится и к одномерному движению броуновской частицы с пренебрежимо малой массой 

0
m →
, или, как говорят, передемпфированной частицы (overdamped 
particle) в параболической по тенциальной яме 
2
( )
U x
x
= −α
 (
0
α >
) 
[27–30]. В этом случае стохастическое уравнение Ланжевена движения частицы [16]

mx
x
x
+ κ = −α + υ



приобретает вид
 
x
x
κ = −α + υ

, 
(1.7)

где x  – координата частицы; κ  – коэффициент вязкого трения; 

( )t
υ
 – гауссовский белый шум со средним, равным нулю, и функцией корреляции 
( ) (
)
( )
t
t
Dυ
〈υ
υ
+ τ 〉 =
δ τ , действующий на частицу со 
стороны статистического резервуара (см. § 1.8). Введем обозначение 

1
−
γ = κ α  и новый белый шум 
1
( )
( )
w t
t
−
= κ υ
 с корреляционной функцией (1.6). Тогда

2
2
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
w
w t w t
D
t
t
D
−
−
υ
+ τ
=
δ τ = κ 〈υ
υ
+ τ 〉 = κ
δ τ ,

откуда следует равенство 

2
w
D
D
−
υ
= κ
. Соответственно, из уравнения (1.7) находим, что процесс ( )
( )
t
x t
ξ
=
 удовлетворяет стохастическому уравнению

 
( )
w t
ξ = −γξ +

, 
 (1.8)
который как раз и называют процессом Орнштейна – Уленбека2. Из 
этого уравнения следует, что процесс Орнштейна – Уленбека имеет 
экспоненциально спадающую корреляционную функцию

2 Обычно стохастические уравнения записывают в виде 
( )
( )
d
t
t
ξ
= −γξ
+

( , ( ))
( )
g t
t dW t
+
ξ
, где 
( )
W t – винеровский процесс. В настоящей работе 
везде, как и в уравнении (1.8), 
const
g =
. Поэтому нет причин уточнять, 
какое исчисление Ито или Стратоновича далее используется [2].

§ 1.1. Белые, красные и зеленые шумы
11

 
(
)
( )
exp
|
|
2

w
D

ξ
Ψ
τ =
−γ τ
γ

 
(1.9)

и спектральную плотность в виде лоренцевой функции

 
2
2
1
( )
2

w
D
Sξ ω =
π ω + γ
. 

Как правило, величину 
1
0
−
τ = γ
 выбирают в качестве времени 
корреляции этого процесса. Из формулы (1.9) видно, что дисперсия 
2
(0)
ξ
ξ
σ = Ψ
 процесса связана с интенсивностью 
w
D  белого шума 

( )
w t  соотношением

 
2
2

w
D

ξ
σ =
γ . 
(1.10)

Отметим, что процесс Орнштейна – Уленбека является единственным 
случайным процессом, который является одновременно гауссовским, 
марковским и стационарным (теорема Дуба [31]).
Помимо процесса Орнштейна – Уленбека рассматриваются и другие виды шумов с уменьшающейся спектральной плотно стью в области высоких частот. В частности, в литературе упоминаются такие 
шумы, как широкополосный окрашенный шум [32], белый шум 
с ограниченной полосой [33, 34], гармонический шум или, точнее, 
узкополосный шум [5, 15, 21, 35], случайный телеграфный сигнал (дихотомический шум) [5, 22, 36, 37] и т.д. Во всех этих случаях 
представля ется удобным использовать цветовую терминологию, 
поэтому шумы, как уже отмеча лось выше, традиционно стали называть окрашенными (см. § 1.8). 
Если следовать этой метафоре, то окрашенным можно назвать 
любой шум с неравномерным спектром. В частности, это утверждение относится и к шуму 
( )
G t
ζ
, обладающему следующими свойствами:
 • спек тральная плотность 
(0)
0
G
Sζ
=
,
 • остаточный член 
( )
R t  в (1.4) ограничен.
В этом случае возникает качественно новая ситуация. Теперь 
рассмотренный выше интеграл (1.1) имеет ограниченную дисперсию. Действительно, равенство нулю коэффициента диффузии 

2
(0)
0
G
D
S
ρ = π
=
 и ограниченность 
( )
R t  в соответствии с (1.2) обеспечивают ограниченность дисперсии процесса ( )t
ρ
.
Как уже отмечалось выше, если в пределе |
|
τ → ∞ , то функция 

( )
( )
(
)
G
G
G
t
t
Ψ
τ = 〈ζ
ζ
+ τ 〉  уменьшается медленнее, чем 

2
−
τ
, условие 

0
Dρ =
 может быть недостаточным для ограниченности дисперсии