Критерии проверки отклонения от экспоненциального закона. Руководство по применению

КРИТЕРИИ 
ПРОВЕРКИ ОТКЛОНЕНИЯ
ОТ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ЗАКОНА

РУКОВОДСТВО ПО ПРИМЕНЕНИЮ

Б.Ю. ЛЕМЕШКО
П.Ю. БЛИНОВ

МОНОГРАФИЯ

Москва
ИНФРА-М
2021

УДК 519.23(075.4)
ББК 22.172
 
Л44

Лемешко Б.Ю.

Л44  
Критерии проверки отклонения от экспоненциального закона. Ру
ководство по применению : монография / Б.Ю. Лемешко, П.Ю. Блинов. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 352 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/1097477.

ISBN 978-5-16-016328-4 (print)
ISBN 978-5-16-108625-4 (online)
Монография рассчитана на специалистов, в той или иной степени стал
кивающихся в своей деятельности с вопросами статистического анализа 
данных, с обработкой результатов экспериментов, применением статистических методов для анализа различных аспектов и тенденций окружающей 
действительности.

В руководстве рассматриваются вопросы применения статистических 

критериев, ориентированных на проверку гипотезы о принадлежности 
анализируемой выборки экспоненциальному (показательному) закону 
распределения. Указываются недостатки и преимущества различных критериев.

Приводятся оценки мощности критериев и результаты сравнительного 

анализа критериев, а также таблицы, содержащие процентные точки и модели распределений статистик, необходимые для применения критериев.

Следование рекомендациям обеспечит корректность и повысит обосно
ванность статистических выводов при анализе данных.

Будет полезна инженерам, научным сотрудникам, специалистам раз
личного профиля (медикам, биологам, социологам, экономистам, и др.), 
сталкивающимся в своей деятельности с необходимостью статистического 
анализа результатов экспериментов, а также преподавателям вузов, аспирантам и студентам.

УДК 519.23(075.4)

ББК 22.172

Р е ц е н з е н т ы:

Попов А.А., доктор технических наук, профессор, профессор ка
федры теоретической и прикладной информатики Новосибирского 
государственного технического университета;

Селезнев В.А., доктор физико-математических наук, профессор, за
ведующий кафедрой инженерной математики Новосибирского государственного технического университета

ISBN 978-5-16-016328-4 (print)
ISBN 978-5-16-108625-4 (online)

© Лемешко Б.Ю., Блинов П.Ю., 

2021

Оглавление

Предисловие ..................................................................................... 6
ВВЕДЕНИЕ ...............................................................................................7

1. 
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ..............................................................10
1.1. 
Общие сведения о проверке статистических гипотез .....10
1.2. 
Проверяемая гипотеза при проверке показательности 
и виды критериев ................................................................16
1.3. 
Конкурирующие гипотезы, рассматриваемые при 
проверке показательности ..................................................17

2. 
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ 
ВЫБОРОК ПОКАЗАТЕЛЬНОМУ ЗАКОНУ ....................................24
2.1. 
Критерий Шапиро–Уилка (Shapiro–Wilk test)..................24
2.2. 
Критерий Фросини (Frocini test) ........................................28
2.3. 
Корреляционный критерий экспоненциальности ............30
2.4. 
Критерий Кимбера–Мичела (Kimber–Michael test) .........35
2.5. 
Критерий Фишера (Fisher test) ...........................................37
2.6. 
Критерий Гнеденко (Gnedenko test) ..................................40
2.7. 
Критерий Харриса (Harris test) ..........................................45
2.8. 
Критерий Бартлетта–Морана (Bartlett test) .......................49
2.9. 
Критерий Пиэтра (Pietra test) .............................................53
2.10. Критерий Эппса–Палли (Epps–Pulley test) .......................57
2.11. Критерий Холландера–Прошана (Hollander–Proshan 
test) ........................................................................................59
2.12. Критерий наибольшего интервала.....................................61
2.13. Критерий Кочара (Kochartest) ............................................64
2.14. Критерий Климко–Антла–Радемакера–Рокетта 
(Klimko test) ..........................................................................67
2.15. Критерий Гринвуда (Greenwood test) ................................69
2.16. Критерий Эпштейна (Epstein test) .....................................69
2.17. Критерий Дешпанде (Deshpande test)................................73
2.18. Обобщенный критерий Морана .........................................80
2.19. Критерий Морана (Moran test / Tchirina test) ...................80
2.20. Критерий Вонга–Вонга (Wong and Wong test) .................82
2.21. Критерии Хегази–Грина (Hegazy–Green tests) .................84

2.22. Критерий Мадукайфе (Madukaife test) ..............................90
2.23. Критерий Лоренца (Lorenz test) .........................................93
2.24. Критерий Кокса–Оукса (Cox–Oakes test) ..........................95
2.25. Критерий Джексона (Jackson test) .....................................98
2.26. Критерий Джини (Gini test) ..............................................100
2.27. Критерий Аткинсона (Atkinson test)................................103
2.28. Критерий Садепура (Sadeghpour test) .............................112
2.29. Критерий Тико (Tiko test) .................................................117
2.30. Критерий Клара (Klar test) ...............................................121
2.31. Критерий Хензе (Henze test) ............................................125
2.32. Критерий Барингхауса–Хензе (Baringhaus–Henze 
test) ......................................................................................134
2.33. L–критерий Хензе–Мейнтаниса (Henze–Meintanis 
L–test) ..................................................................................139
2.34. W–критерии Хензе–Мейнтаниса (Henze–Meintanis 
W–tests) ...............................................................................143
2.35. Критерий Фортиана–Гране (Fortiana–Grane test) ...........149
2.36. Критерий Монтазери–Тораби (Montazeri–Torabi 
test) ......................................................................................153
2.37. Критерий Тораби (Torabi tests) ........................................158
2.38. Интегральный критерий типа L2 .....................................162
2.39. О критериях, основанных на характеризациях 
экспоненциального закона ...............................................165

3. 
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОЩНОСТИ 
КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОСТИ .............168
3.1. 
Ранжирование критериев по мощности относительно 
гипотез Hi–Н3 .....................................................................168
3.2. 
Сравнительный анализ мощности критериев по всем 
рассмотренным конкурирующим гипотезам ..................176
3.3. 
Рейтинг специальных критериев 
экспоненциальности ..........................................................180

4. 
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ 
ПРИ ПРОВЕРКЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОСТИ .............................183
4.1. 
Критерий Колмогорова .....................................................184
4.2. 
Критерий Купера ...............................................................188
4.3. 
Критерий Крамера–Мизеса–Смирнова ...........................191
4.4. 
Критерий Ватсона .............................................................193

4.5. 
Критерий Андерсона–Дарлинга .......................................196
4.6. 
Критерии Жанга ................................................................198
4.7. 
Сравнение мощности непараметрических критериев 
согласия ..............................................................................204

5. 
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ ТИПА ХИ–КВАДРАТ 
ПРИ ПРОВЕРКЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОСТИ .............................207
5.1. 
Критерий согласия χ2 Пирсона ........................................207
5.2. 
Критерий согласия Никулина–Рао–Робсона ..................217

6. 
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ .........................221
6.1. 
О вычислении достигнутого уровня значимости ..........221
6.2. 
О влиянии ошибок округления на распределения 
статистик критериев ..........................................................223

Заключение .............................................................................................233
Библиографический список .................................................................234
Приложение А.........................................................................................245

2
-[128, 129, 130, 131, 147. 

6

5547].  
121], 
3381--7

nn 
-32], 
6]. 
43-100-[71
8

78, 80, 101, 102, 114]. 
115]  
[14,15,110].  
660 138]. 
 
 
 
 

9

1. 

1.1. 

0
H  S 0
H . S , 
0
H  S  0
(
)
G S H
. 
0
H  *
S  S  0
H  0
H .   
0
H  0
H . 
0
H  --0
H  10

1
S 
 

1
0
1
0
(
)
1
(
)
S
g s H
ds
G S
H

, 
(1.1) 

0
(
)
g s H
 0
H .  
0
(
)
G S H
 0
H . 
n 0
(
)
G S H
1
S 

0
(
)
G S H
 *
S  
1
S 0
H  *
1
S
S 

value
p
 0
H :  

*

*
*
0
0
{
}
(
)
1
(
)
value
S
p
P S
S
g s H
ds
G S
H
.  
(1.2) 

11

0
H  *
{
}
P S
S
.  
 

 
. 1.1. 0
H   

 
. 1.2. 0
H  
12

0
H  *
/2
S
S

*
1
/2
S
S 
 
*
*
0
0
2min
(
), 1
(
)
value
p
G S
H
G S
H
. 
 
(1.3) 

 

 
. 1.3. 0
H   
0
H 0
H 1
H . 
13