Необыкновенная формула доктора Эйлера

www.дмк.рф

Пол Дж. Нахин

По признанию автора, к написанию этой книги 
его подтолкнуло «восхищение Эйлером не только 
как математиком, но и как физиком и инженером». На многочисленных примерах читатель 
может убедиться, как одна из основных формул 
комплексного анализа – формула Эйлера – 
возникает в различных разделах математики, 
физики и техники.

• 
Решение задач с комплексными числами и 
векторами
• 
Иррациональность числа «пи»
• 
Ряды Фурье и интегралы Фурье
• 
Применение формулы Эйлера в электронике

Издание предназначено широкому кругу 
читателей – любителей математики и физики.

Пол Дж. Нахин – американский популяризатор 
науки. Автор более 10 бестселлеров в научнопопулярном жанре. Выступал с лекциями по 
математике, в 2017 году был удостоен премии 
Чендлера Дэвиса за выдающиеся достижения в 
области математической литературы.

Необыкновенная формула
доктора Эйлера

Необыкновенная формула доктора Эйлера
Необыкновенная формула доктора Эйлера

Интернетмагазин:
www.dmkpress.com

Оптовая продажа: 
КТК «Галактика»
books@alians-kniga.ru

Необыкновенная
Необыкновенная
формула 
формула 
доктора Эйлера
доктора Эйлера

9 785970 608234

ISBN 978-5-97060-823-4

Необыкновенная формула 
доктора Эйлера

Пол Дж. Нахин

Dr. Euler's  
Fabulous Formula

CURES MANY MATHEMATICAL ILLS

PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD

PAUL J. NAHIN

Москва, 2020

Необыкновенная формула 
доктора Эйлера

ИЗЛЕЧИВАЕТ МНОГИЕ  
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НЕДУГИ

ПОЛ ДЖ. НАХИН

УДК 530.1
ББК 22.31
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Необыкновенная формула доктора Эйлера / пер. с англ. 
А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 406 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-823-4

Пол Нахин признается, что к написанию этой книги его подтолкнуло 
«восхищение Эйлером не только как математиком, но и как физиком 
и инженером». На многочисленных примерах автор показывает, как 
одна из основных формул комплексного анализа – формула Эйлера, – 
являясь безупречным стандартом математической красоты, возникает 
в различных разделах математики, физики и техники. Доказательство 
иррациональности числа p, представление колебания струны на диаграмме, геометрия импульсной функции и даже создание речевого 
скремб лера – все эти столь разные темы объединяет использование 
формулы великого математика. В заключительной части приводится 
биографическая справка об Эйлере, включающая малоизвестные факты 
из его жизни.
Издание предназначено для широкого круга читателей – любителей 
математики и физики.

УДК 530.1
ББК 22.31

Original English language edition published by Princeton University Press 
41 William Street, Princeton, New Jersey 08540. Copyright © 2006 by Princeton 
University Press. Russian­language edition copyright © 2020 by DMK Press. All 
rights reserved.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978­0­691­11822­2 (анг.) 
© 2006 by Princeton University Press
ISBN 978­5­97060­823­4 (рус.) 
©  Оформление, издание, перевод, 
ДМК Пресс, 2020

Посвящается Патрисии Энн,  
прекрасной и удивительной, как формула Эйлера

В юношеском дневнике за апрель 1933 года, незадолго до своего пятнадцатого дня рождения, Ричард Фейнман (1918–1988), будущий лауреат Нобелевской премии по физике, оставил заметку, относящуюся к основной 
теме этой книги. Обратите внимание на разложение в ряд экспоненты, 
синуса и косинуса – сразу под фразой «most remarkable result in math» 
(«Самый замечательный результат в математике». – Прим. перев.). На следующей строке начинается стандартный вывод формулы Эйлера (ее еще 
называют тождеством Эйлера) eiu = cos(u) + i sin(u), из которой «замечательный результат» получается, если положить u = p. (В качестве источника 
Фейнман пользовался десятитомным справочником «The Science History 
of the Universe», впервые опубликованным в 1909 году.) Хотя Фейнман запомнился в первую очередь как физик, он был еще и талантливым математиком, и в книге «Характер физических законов» (1965) писал: «Тем, 
кто не знает математики, трудно постичь подлинную, глубокую красоту 
природы… Если вы хотите узнать Природу, оценить ее красоту, то нужно понимать язык, на котором она разговаривает». Фейнман, безусловно, 
согласился бы с одним из рабочих названий этой книги: «Комплексные 
числа реальны!» (фотография публикуется с разрешения отдела архивов 
Калифорнийского технологического института.)

Да простит мне Бог, наблюдающий за правильным  
употреблением математических символов – в рукописи, 
в печати и на доске, – этот и многие другие мои грехи.

Герман Вейль, с 1933 по 1952 год профессор математики  
в Институте перспективных исследований, цитата из книги  
«Классические группы», Принстон, 1946, стр. 289.  
Книга была издана в СССР: Вейль Г. Классические группы.  
Их инварианты и представления / пер. Д. А. Райкова.  
М.: ГИИЛ, 1947. С. 387.

Содержание

Вступительное слово от издательства .........................................10

О чем эта книга, что нужно знать для ее чтения  
и ПОЧЕМУ вам следует прочитать ее...........................................12

Предисловие. Когда математика вошла в моду? ...................15

Введение ...................................................................................................20

Глава 1. Комплексные числа ............................................................32
1.1.  «Тайна» –1 ..........................................................................................32
1.2.  Теорема Кэли–Гамильтона и формула Муавра .................................38
1.3.  Рамануджан находит сумму ряда .......................................................47
1.4.  Поворот векторов и отрицательные частоты ....................................53
1.5.  Неравенство Коши–Шварца и знак «падение камней» ....................57
1.6.  Правильные n­угольники и простые числа .......................................62
1.7.  Последняя теорема Ферма и разложение комплексных чисел 
на множители ......................................................................................72
1.8.  Разрывный интеграл Дирихле ............................................................82

Глава 2. Путешествия в страну векторов ....................................87
2.1.  Обобщенное гармоническое блуждание ...........................................87
2.2.  Полет птиц при дующем ветре ...........................................................90
2.3.  Параллельный бег ................................................................................93
2.4.  Кошки­мышки ...................................................................................102
2.5.  Решение задачи о бегущей собаке....................................................108

Глава 3. Иррациональность p2 ......................................................111
3.1.  Иррациональность p ..........................................................................111
3.2.  Уравнение R(x) = B(x)ex + A(x), D­операторы,  
обратные операторы  и коммутативность операторов ...................114
3.3.  Нахождение A(x) и B(x) ......................................................................120
3.4.  Значение R(pi) ....................................................................................125
3.5.  Последний шаг (наконец­то!) ...........................................................130

СОДЕРЖАНИЕ 9

Глава 4. Ряды Фурье  ...........................................................................132
4.1.  Функции, колеблющиеся струны и волновое уравнение ................132
4.2.  Периодические функции и сумма Эйлера .......................................147
4.3.  Теорема Фурье для периодических функций и теорема  
Парсеваля ...........................................................................................157
4.4.  Разрывные функции, явление Гиббса и Генри Уилбрэхэм .............180
4.5.  Дирихле вычисляет квадратичную сумму Гаусса ............................190
4.6.  Гурвиц и изопериметрическое неравенство ...................................197

Глава 5. Интегралы Фурье  ...............................................................203
5.1.  Импульсная «функция» Дирака ........................................................203
5.2.  Интегральная теорема Фурье  ...........................................................214
5.3.  Формула плотности энергии Рэлея, свертка   
и автокорреляционная функция ......................................................221
5.4.  Некоторые интересные спектры ......................................................240
5.5.  Суммирование Пуассона ...................................................................260
5.6.  Взаимное распространение и принцип неопределенности ...........268
5.7.  Харди и Шустер и их оптический интеграл .....................................278

Глава 6. Электроника и –1 ............................................................290
6.1.  Зачем нужна эта глава? .....................................................................290
6.2.  Линейные стационарные системы, свертка (снова),  
передаточные функции  и каузальность ..........................................291
6.3.  Теорема о модуляции, синхронные радиоприемники   
и как сделать речевой скремблер .....................................................305
6.4.  Теорема дискретизации и умножение путем дискретизации   
и фильтрации .....................................................................................317
6.5.  Еще о трюках, основанных на преобразовании Фурье   
и фильтрах..........................................................................................321
6.6.  Односторонние преобразования, аналитический сигнал  
и однополосная радиосвязь ..............................................................322

Эйлер – человек, математик и физик ........................................340

Примечания ...........................................................................................363

Благодарности ......................................................................................401

Предметный указатель .....................................................................403

Вступительное слово 
от издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что 
вы думаете об этой книге – что понравилось или, может быть, не 
понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпус кать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, 
зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору 
по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите название книги 
в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой­либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем 
сайте по адресу http://dmk press.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить 
высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. 
Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – мы будем очень 
благодарны, если вы сообщите нам о ней. Сделав это, вы избавите 
других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги. 
Если вы найдете какие­либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о них главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com, 
и мы исправим это в следующих тиражах.

ВСТУПИТЕЛьНОЕ СЛОВО ОТ ИЗДАТЕЛьСТВА 11

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по­прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серь езно относится к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой­либо из наших 
книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет­ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, 
благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные 
материалы.