Математический анализ. Сборник задач и решений с применением системы Maple

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

СБОРНИК ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ 
С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ MAPLE

О.С. КУЗНЕЦОВА
М.Н. КИРСАНОВ

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по техническим и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») 
(протокол № 8 от 22.06.2020)

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
К89

Кузнецова О.С.
К89  
Математический анализ. Сборник задач и решений с применением 
системы Maple : учебное пособие / О.С. Кузнецова, М.Н. Кирсанов. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 375 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1160964.

ISBN 978-5-16-016476-2 (print)
ISBN 978-5-16-108735-0 (online)
Сборник содержит теоретический материал, условия и примеры решений задач с ответами, а также более 400 тестовых вопросов по математическому анализу для контроля усвоения теоретического и практического материала. Все задачи и тестовые вопросы могут быть использованы как для 
самостоятельного решения, так и в качестве контрольных работ и типовых 
заданий при очном, очно-заочном и дистанционном обучении. Пособие 
содержит рекомендации применения системы компьютерной математики 
Maple для решения задач и краткий справочник по основным командам 
этой системы.
Для студентов и преподавателей технических и экономических вузов.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Р е ц е н з е н т ы:
Прохоров Д.В., доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой математического анализа Саратовского национального исследовательского государственного университета имени 
Н.Г. Чернышевского;
Ткачёв В.Г., доктор физико-математических наук, профессор Математического института Университета Линчёпинга (Швеция)

А в т о р ы:
Кузнецова О.С., кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Саратовского национального исследовательского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского;
Кирсанов М.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Национального исследовательского университета «МЭИ»

ISBN 978-5-16-016476-2 (print)
ISBN 978-5-16-108735-0 (online)
© Кузнецова О.С., Кирсанов М.Н., 
2020

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Часть I.
Предел последовательности

Глава 1. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Классификация множеств действительных чисел . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Основные операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава 2. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . . . . 19
2.3 Основные теоремы о пределах последовательностей . . . . . . . . . . . 20
2.4 Верхняя и нижняя грани множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Арифметические действия с пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 «Эталонные» пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8 Фундаментальность последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Часть II.
Предел и непрерывность функции в
точке

Глава 1. Понятия функции, предела и непрерывности . . . . . . . . . . . 28

1.1 Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 Окрестность. Определения непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Предел функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Теоремы о пределах функций в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Глава 2. Односторонняя непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Односторонняя непрерывность. Односторонние пределы . . . . . . . . . 40
2.2 Классификация разрывов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции . . . . . . 44

3.1 Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции . . . 44
3.2 Предел функции в бесконечно удалённой точке . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Часть III.
Производная функции
одной переменной

Глава 1. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Оглавление

1.1 Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2 Интерпретация производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3 Теоремы о средних значениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4 Дифференциал первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава 2. n-дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Теоремы о дифференцируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Производная параметрической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Производная неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Правило Лопиталя – Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Глава 3. Исследование поведения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Теоремы о дифференцируемых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Исследование функции и построение графика . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Замечания о наибольшем и наименьшем значении. . . . . . . . . . . . . 70

Часть IV.
Интеграл

Глава 1. Неопределённый интеграл и первообразная . . . . . . . . . . . . 72

1.1 Определение первообразной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.2 Метод непосредственного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3 Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.4 Тригонометрические подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.7 Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы . . . . 87
1.8 Интегрирование тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . 90
1.9 Дифференциальные биномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.10 Эллиптические интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Глава 2. Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.1 Интеграл Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2 Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3 Интеграл Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Геометрический смысл определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Понятие несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6 Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Часть V.
Функции многих
переменных

Глава 1. Дифференцирование функций многих переменных . . . . . . 112

Оглавление
5

1.1 Пространство Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.2 Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.3 Частные производные
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.4 Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1.5 Частные производные сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Глава 2. Экстремумы функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . 120

2.1 Необходимое условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.2 Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Часть VI.
Дифференциальные
уравнения

Глава 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . 128

1.1 Порядок дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.2 Применение дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Глава 2. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.1 Определение, порядок и решение дифференциального уравнения . . . 130
2.2 Интегральные кривые и изоклины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.3 Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Глава 3. Классификация и методы решения ДУ . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Однородные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3 Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.4 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.5 Линейные уравнения n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6 Схема решения однородного линейного ДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.7 Схема решения неоднородного ЛДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Часть VII.
Ряды

Глава 1. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.1 Предварительные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1.2 Свойства сходящихся числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.3 Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами . 154
1.4 Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Глава 2. Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.1 Равномерная сходимость функциональных рядов. . . . . . . . . . . . . . 160
2.2 Свойства равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4 Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Оглавление

2.5 Разложение некоторых функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . 168

Часть VIII.
Математика в Maple

Глава 1. Вычисления и символьные преобразования . . . . . . . . . . . . 170

1.1 Ввод информации и простейшие вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . 171
1.2 Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1.3 Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1.4 Предел. Построение графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1.5 Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1.6 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1.7 Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
1.8 Обыкновенные дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.9 Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

1.10 Информационный пакет MathematicalFunctions . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 2. Программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

2.1 Оператор цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
2.2 Условный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
2.3 Процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.4 Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
2.5 Преобразование и упрощение выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Часть IX.
Тесты

Глава 1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Глава 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.1 Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2.2 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
2.3 Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.4 Пределы рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.5 Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Глава 3. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

3.1 Производные 1 и высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3.2 Дифференциал 1 и 2 порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.3 Касательная и нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.4 Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.5 Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.6 Производная неявной и параметрической функций . . . . . . . . . . . . 236
3.7 Приближённые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Глава 4. Интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.1 Первообразная по определению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Оглавление
7

4.2 Табличные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.3 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.4 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.5 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.6 Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.7 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Глава 5. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.1 Область существования функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.2 Частные производные и дифференциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.3 Экстремум и наибольшее (наименьшее) значения . . . . . . . . . . . . . 261

Глава 6. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.1 Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.2 Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.3 ДУ n порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . 265
6.4 Замена переменных в ДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.5 Различные типы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 273

Глава 7. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Часть X.
Задачи

Глава 1. Множества. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . 283

1.1 Множества и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1.2 Предел числовых последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
1.3 Вычисление предела числовой последовательности . . . . . . . . . . . . 287

Глава 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

2.1 Первый замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
2.2 Второй замечательный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
2.3 Второй замечательный предел-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
2.4 Предел с корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Глава 3. Производная функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . 292

3.1 Производная функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3.2 Производная в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.3 Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3.4 Производная неявной функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3.5 Производная параметрически заданной функции . . . . . . . . . . . . . . 305
3.6 Вторая производная от многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.7 Производная второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
3.8 Асимптоты функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
3.9 Экстремумы функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.10 Исследование на экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3.11 Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Оглавление

Глава 4. Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

4.1 Интеграл от тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4.2 Интегрирование дроби-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
4.3 Интегрирование дроби-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.4 Интегрирование дроби-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.5 Интегрирование дроби-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.6 Интегрирование дроби-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
4.7 Метод неопределённых коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.8 Интегрирование дифференциальных биномов . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.9 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

4.10 Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
4.11 Определённый интеграл-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4.12 Определённый интеграл-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.13 Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
4.14 Приложения определённого интеграла-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Часть XI.
Ответы

Глава 1. Ответы к заданиям по последовательностям . . . . . . . . . . . 345

Глава 2. Ответы к заданиям по пределам функций . . . . . . . . . . . . . 346

Глава 3. Ответы к заданиям по производным . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Глава 4. Ответы к заданиям по интегралам . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Глава 5. Ответы к тестам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Предисловие

Широко распространено мнение студентов, особенно первокурсников, о необычайной сложности математического анализа, который, в
том или ином объёме, приходится изучать практически всем вчерашним школьникам. Авторы пособия имеют многолетнюю практику преподавания математического анализа именно такой аудитории, ежегодно
встречаясь с почти массовыми трудностями в восприятии, которые
имеют несколько однотипный характер.
Авторы настоящего пособия задались целью издать сборник задач
по математическому анализу, который необходим многим специальностям ВУЗов. Особое внимание уделено применению цифровых технологий к данному классическому курсу, а именно, решение задач и демонстрация возможностей современной математической компьютерной
системы Mаple.
В пособии в достаточной мере представлен теоретический материал
(основные теоремы и следствия, без доказательств), индивидуальные
варианты задач, а также тестовые вопросы. Более 400 тестовых вопросов, относящихся к типу множественного выбора, снабжены ответом
или ответами и в пособии конкурируют с традиционными задачами в
смысле удобства проверки правильности решения и оценивания студенческих работ преподавателем. Пособие также может быть использовано
при подготовке к студенческим олимпиадам по математике, наравне с
такими изданиями, как [36].
Варианты индивидуальных задач разработаны на основе двух
генераторов
проф.
М.Н.
Кирсанова,
МЭИ
и
А.А.
Финогeнова,
ЮГУ.
Ссылки
на
генераторы
задач
vuz.exponenta.ru
и

http://generatorzadach.blogspot.com.
Данное пособие в черновом варианте было апробировано в течение нескольких лет работы со студентами Саратовского социальноэкономического института (филиала) РЭУ им. Г.В. Плеханова.
Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о
книге: astra1987@yandex.ru, mpei2004@yandex.ru

Часть I

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Глава 1

Элементы теории множеств

При изучении наук примеры
полезнее правил.

И. Ньютон

1.1 Понятие множества

Язык теории множеств — наиболее общий, универсальный язык, с
помощью которого можно привести определение математики как науки,
изучающей различные отношения на множествах. Обозначим
A, B, M1, M2, . . . — множества; a, b, m, . . . — элементы множества;
a ∈ M — «элемент a принадлежит множеству M»;
a /∈ M — «элемент a не принадлежит множеству M».
Пусть E — некоторое свойство, тогда запись

M = {a : a обладает свойством E}

определяет множество M, состоящее из тех и только тех элементов a,
которые обладают свойством E. Например, B = {a ∈ R : a > 0} —
множество всех положительных действительных чисел.

Определение 1.1. Пусть каждый элемент множества M1 является элементом множества M2. Тогда говорят, что множество M1
является подмножеством множества M2 1: M1 ⊂ M2 (рис. 2.6).

1⊂ — знак включения множеств.

1.1
Понятие множества
11

Определение 1.2. Два множества M1 и M2 совпадают (M1 =
= M2), если выполнены оба включения M1 ⊂ M2 и M2 ⊂ M1.

M2

M1

Рис. 1.1. Включение множеств M1 ⊂ M2

Совпадение двух множеств означает, что оба множества состоят из
одних и тех же элементов. Обозначения для числовых множеств:
N — множество натуральных чисел, N = {1, 2, 3, . . .};
Z — множество целых чисел, Z = {. . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .};
Q — множество рациональных чисел, Q = { m

n : m ∈ Z, n ∈ N};
R — множество действительных (вещественных) чисел;
C — множество комплексных чисел;
∅ — пустое множество (не содержащее чисел-элементов).
Кванторы — это сокращения, используемые для записи математических формул и высказываний. Приведём их.
∀ — квантор общности, «для любого», «для всех, для каждого»;
∃ — квантор существования, «существует», «найдется»;
∃! — «существует единственный».
Остановимся на свойствах натуральных чисел — элементов множества N и вытекающим из этих свойств методом доказательства
математических утверждений — методом математической индукции.
1) 1 ∈ N;
2) Если n ∈ N, то n + 1 ∈ N;
3) Аксиома Паскаля 1: Если некоторое множество M ⊂ N содержит 1
и ∀n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M, то M = N.
Б.
Паскалем
был
предложен
метод
математической
индукции
(ММИ): пусть даны утверждения A1, A2, . . . и выполнены условия
1-2, то есть:
1) Утверждение A1 справедливо;
2) ∀n ∈ N из справедливости An следует справедливость An+1.
Тогда все утверждения A1, A2, . . . справедливы (верны). С помощью
метода математической индукции можно доказать формулу бинома

1Blaise Pascal (1623 – 1662) — французский математик, механик, физик, литератор
и философ.

Элементы теории множеств
Глава 1

Ньютона 1:

(a + b)n =

n
k=0
Ck
n an−k · bk.
(1.1)

Определение 1.3. Величина

Ck
n =
n!

k!(n − k)!
(1.2)

называется числом сочетаний 2 из n по k или биномиальным коэффициентом; n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n — n-факториал 3, 0! = 1.

Пользуясь ММИ, докажем формулу (1.1) бинома Ньютона.

Пример 1.1. 1) Проверим справедливость формулы (1.1) при n = 1:

(a + b)1 =

1
k=0
Ck
1a1−kbk = C0
1a1−0b0 + C1
1a1−1b1 = a + b.

2) Предположим, что формула (1.1) справедлива при некотором n.
3) Докажем, что формула (1.1) справедлива при n + 1:

(a + b)n+1 = (a + b)n · (a + b) =

n
k=0
Ck
nan−kbk
· (a + b) =

=
C0
nanb0 + C1
nan−1b1 + C2
nan−2b2 + C3
nan−3b3 + . . .

. . . + Cn−1
n
a1bn−1 + Cn
na0bn· (a + b) =

= C0
nan+1b0+C1
nanb1+C2
nan−1b2+C3
nan−2b3+. . .+Cn−1
n
a2bn−1+Cn
na1bn+

+C0
nanb1+C1
nan−1b2+C2
nan−2b3+C3
nan−3b4+. . .+Cn−1
n
a1bn+Cn
na0bn+1 =

= C0
nan+1b0 +(C1
n + C0
n)anb1 +(C2
n + C1
n)an−1b2 +(C3
n + C2
n)an−2b3 +. . .

. . . + (Cn
n + Cn−1
n
)a1bn + Cn
na0bn+1.

Заметим, что C0
n = C0
n+1 = 1, Cn
n = Cn+1
n+1 = 1 и

Ck
n + Ck−1
n
=
n!

k!(n − k)! +
n!

(k − 1)!(n − (k − 1))! =

1Isaak Newton (1642 – 1726) — английский физик, математик, механик, астроном.
2Число сочетаний Ck
n равно числу способов, которыми можно выбрать k предметов
из данных n предметов, k ⩽ n. В системе Maple это функция двух натуральных чисел
binomial(n,k).
3Факториал в системе Maple имеет естественную форму записи. Например, 3! дает
результат 6.

1.2
Классификация множеств действительных чисел
13

=
n!

(k − 1)!(n − k)!·
1

k +
1

n − k + 1

=
n!

(k − 1)!(n − k)!· n − k + 1 + k

(n − k + 1) · k =

=
n! · (n + 1)

(k − 1)! · k · (n − k)! · (n − k + 1) =
(n + 1)!

k! · ((n + 1) − k)! = Ck
n+1,

то есть
Ck
n + Ck−1
n
= Ck
n+1.
(1.3)

Пользуясь свойством (1.3), получаем формулу бинома (1.1) при n +
+ 1:
(a + b)n+1 =

= C0
n+1an+1b0 + C1
n+1anb1 + C2
n+1an−1b2 + C3
n+1an−2b3 + . . .

. . . + Cn
n+1a1bn + Cn+1
n+1a0bn+1 =

n+1
k=0
Ck
n+1an+1−kbk.

Пример 1.2. Пользуясь методом математической индукции, докажите формулы

1. 1 + 2 + 3 + . . . + n = n · (n + 1)

2
;

2. 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = (2n + 1) · (n + 1) · n

6
;

3. 13 + 23 + 33 + . . . + n3 =
n · (n + 1)

2

2
.

1.2 Классификация множеств действительных чисел

Определение 1.4. Множество действительных чисел x ∈ R,
таких, что a < x < b, называется числовым интервалом (a, b).
Множество
чисел
x
∈
R,
удовлетворяющих
неравенству
a ⩽ x < b или a < x ⩽ b, называется полуинтервалом [a, b)
или (a, b].

Определение 1.5. Множество чисел x ∈ R, удовлетворяющих
неравенству a ⩽ x ⩽ b, называется отрезком [a, b].
Интервалы (a, +∞) и (−∞, a) называются полуосями (лучами).
Интервал (−∞, +∞) называется осью.

Определение 1.6. Множество U(x0) называется окрестностью
точки x0, если существует интервал (a, b) такой что (a, b) ⊂ U(x0)
и x0 ∈ (a, b) (рис. 1.2).

Элементы теории множеств
Глава 1

x
x0

b
a

U(x0)

Рис. 1.2. Окрестность U(x0) точки x0

Определение 1.7. Числовое множество вида

Uε(x0) = {x ∈ R : |x − x0| < ε} = {x ∈ R : x0 − ε < x < x0 + ε}

называется ε – окрестностью точки x0 (рис. 1.3).

x

x0
x0 + ε
x0 − ε

Рис. 1.3. ε-окрестность точки x0

Определение 1.8. Пусть множество X ⊂ R и x0 ∈ X. Точка
x0 называется внутренней точкой множества X, если существует
окрестность U(x0) точки x0, такая что U(x0) ⊂ X.

Определение 1.9. Mножество X, все точки которого внутренние, называется открытым. Пустое множество открытое по
определению.

Пример 1.3. Множество X = (0; 1) ∪ (1; 3) открытое.

Определение 1.10. Пусть множество X ⊂ R и x0 ∈ X. Точка x0
называется предельной точкой множества X, если в окрестности
U(x0) точки x0 найдутся точки множества X, отличные от x0.
Множество X, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Заметим, что предельная точка множества X может как принадлежать множеству X, так и не принадлежать ему.

Пример 1.4. Если X = [0; 1) полуинтервал, то его множество
предельных точек является отрезком [0; 1].

Пример 1.5. Пусть X = [0; 1) ∪ 2. Для такого X множество
предельных точек есть отрезок [0; 1].

Замечание 1.1. Можно доказать, что только два множества являются одновременно и замкнутым и открытым — это пустое множество
∅ и вся числовая прямая R.

1.3
Основные операции над множествами
15

A

Рис. 1.4. Множество A

A

Рис. 1.5. Дополнение A

1.3 Основные операции над множествами

Введём обозначения:
∨— «или», знак операции логического сложения 1;
∧ — «и», знак операции логического умножения 2.
Соответствующие определениям операций над множествами диаграммы Эйлера-Венна 3 на рис. 1.4-1.13.

Определение 1.11. Объединением множеств A и B называется
множество (рис. 1.6) A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}.

Определение 1.12. Пересечением множеств A и B называется
множество (рис. 1.8) A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}.

Определение 1.13. Разностью
множеств A и B называется
множество (рис. 1.10) A \ B = {a : a ∈ A ∧ a /∈ B}.

Определение 1.14. Симметрической разностью множеств A и
B называется множество AΔB, состоящее из элементов, которые
принадлежат или множеству A, или B, но не являются их общими
элементами (рис. 1.12) AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A).

Определение 1.15. Декартовым произведением множеств X
и Y
называется совокупность всевозможных упорядоченных пар
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Теорема 1.1 (cвойства основных операций над множествами).
Справедливы следующие утверждения:
1) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;
2) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

1В системе Maple есть специализированный пакет Logic, в котором операция логического сложения a ∨ b обозначена так: a & or b.
2Операция логического умножения в системе Maple: a &and b.
3Схематичное изображение возможных отношений нескольких подмножеств универсального множества, которое изображается в виде прямоугольника, где располагаются
простые фигуры (например, круги) — остальные рассматриваемые множества A, B и др.

Элементы теории множеств
Глава 1

A ∪ B

Рис. 1.6. Объединение A и B

A ∪ B

Рис. 1.7. Дополнение к A ∪ B

A ∩ B

Рис. 1.8. Пересечение A и B

A ∩ B

Рис. 1.9. Дополнение к A ∩ B

A \ B

Рис. 1.10. Разность A и B

A \ B

Рис. 1.11. Дополнение к A \ B

AΔB

Рис. 1.12. Симметрическая AΔB

AΔB

Рис. 1.13. Дополнение до AΔB

3) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C);
4) A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅;
5) M ∩ M1 = M1, если M1 ⊂ M.

Задачи для самостоятельного решения 1.1, с. 283.

Операции с множествами в системе Maple см. с. 173.