Математика для школьников, 2019, № 4
научно-практический журнал
Покупка
Тематика:
Педагогика общего среднего образования
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика для школьников
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 48
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
4 СОВЕТЫ К УРОКУ 3 Малышев И.Г. Свойства описанного четырёхугольника В статье представлен один из способов доказательства теоремы Брианшона для описанных четырёхугольников. В результате получено отношение длин отрезков, на которые точка пересечения диагоналей делит расстояние между точками касания окружности с противоположными сторонами четырёхугольника. 7 Троицкий Е.В. О нахождении коэффициентов многочлена по его значениям В статье рассказывается о том, как в классической задаче определения коэффициентов многочлена по его значениям дополнительная информация о коэффициентах может быть использована для минимизации вычислений. ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ 9 Карпушина Н.М. Славный Гугений В статье рассматриваются биография и достижения знаменитого нидерландского учёного и изобретателя Христиана Гюйгенса, сделанные им в молодые годы. АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 20 Балк М.Б., Паравян Н.А. Неравенства Гюйгенса и их применение Статья представляет собой адаптированный для школьников вариант публикации в журнале «Математика в школе» в 1974 г. В ней излагается материал для внеклассных занятий учащихся старшей школы. Всё доказательство тригонометрических неравенств Гюйгенса представлено в виде 8-ми задач с решениями. 26 Калинин С.И. Алгебраические неравенства Гюйгенса и их применение В работе рассматриваются алгебраические неравенства Гюйгенса, обсуждаются вопросы использования данных неравенств при решении уравнений и оптимизационных задач.
Научнопрактический журнал для учащихся старшего и среднего возраста Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается Адрес редакции и издательства: корреспонденцию направлять по адресу: 127254 , г. Москва, а/я 62 Телефоны: 8 (495) 6195287, 6198380 Факс: 6195289 Email: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф Главный редактор Е. А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакторы С.И. Калинин, Н.М. Карпушина, С.И. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка М.М. Лускатов Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № 77–9198 от 14 июня 2001 г. Формат 84 × 108 /16. Усл. п. л. 3,0. Изд. № 3365. Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © «Школьная Пресса», © «Математика для школьников», 2019, № 4 В оформлении обложки использована карти на Жоса де Мея «НЛО над фламандской де ревней» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://impossible.info) Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования 32 Троицкий Е.В. Тригонометрическое неравенство Гюйгенса и сравнение средних значений В статье приведено доступное учащимся старших классов доказательство неравенств, являющихся усилением тригонометрического неравенства Гюйгенса. СЕТЕМАТИКА 40 Карпушина Н.М. Вирусная задачка Об одной простой с виду задаче, появившейся на видеохостинге YouTube, имеющей неочевидное нетривиальное решение, которое по достоинству оценят любители геометрии. МАТЕМАТИКА — ЭТО ИНТЕРЕСНО 42 Акулич И.Ф. Не рой другому яму Или о том, как решить задачу, придуманную для школьной олимпиады по математике. 48 Указатель статей, опубликованных в журнале «Математика для школьников» в 2019 году
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. СОВЕТЫ К УРОКУ И.Г. Малышев СВОЙСТВА ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА В статье представлен один из способов доказательства теоремы Брианшона для описанных четырёхугольников. В результате получено отношение длин отрезков, на которые точка пересечения диагоналей делит расстояние между точками касания окружности с противоположными сторонами четырёхугольника. Среди четырёхугольников есть такие, которые не требуют уточнения — выпуклый он или невыпуклый — это описанные четырёхугольники. Известно, что центр вписанной в четырёхугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трёх его углов пересекались в одной точке [1]. Более известен другой критерий описанного четырёхугольника — для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны: a + c = b + d. Кроме этих критериев есть и другие интересные свойства. Согласно теореме Ньютона [1], середины диагоналей и центр вписанной окружности в этих четырёхугольниках лежат на одной прямой (см. рис.1). В одной из статей [2] был представлен вариант доказательства теоремы Ньютона, который позволил дополнить теорему, а именно, указать отношение длин получившихся отрезков. На рисунке 1 точки Р и Q — середины диагоналей, а точка О это центр вписанной окружности. При этом отношение sin sin 2 2 . sin sin 2 2 PO OQ α γ ⋅ = β δ ⋅ Но в описанном четырёхугольнике интересным свойством обладает и точка пересечения диагоналей. Известна теорема Шарля Жульена Брианшона (1783–1864) для четырёхугольника [1]: — В описанном четырёхугольнике пря Рис. 1 Теорема Брианшона
4/2019 МАТеМАТИКА дЛЯ ШКОЛьНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. мые, соединяющие точки касания противоположных сторон, проходят через точку пересечения его диагоналей. Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, найдём отношение, в котором точка пересечения диагоналей делит сами диагонали. Для это нужно напомнить некоторые формулы площади четырёхугольников. На рисунке 2 в четырёхугольнике проведены перпендикуляры из двух вершин к стороне и из точки пересечения диагоналей. Выпишем отношения площадей треугольников: . BCD ABD ABM BCM S S DN BD S MQ BM S = = = Из принципа равных отношений следует, что . ABD BCD ABM BCM ABC S S S DN S S S MQ + = = + . Таким образом, площадь четырёхугольника рав на 1 . 2 DN CP S AB MQ ⋅ = ⋅ Для площади опи санного четырёхугольника выпишем известную формулу площади sin . 2 S abcd β + δ = ⋅ Из рис. 2 следует, что DN = d ⋅ sin α и CP = b ⋅ sin β, следо вательно, 1 sin sin . 2 S abd MQ α ⋅ β = ⋅ Таким образом, 1 sin sin . 2 sin 2 abd MQ c α ⋅ β = ⋅ β + δ Учи тывая, что О — это центр вписанной окружности, выразим все стороны четырёхугольника через радиус вписанной окружности и функции углов: sin 2 ctg ctg , 2 2 sin sin 2 2 a r r α + β α β = ⋅ + = ⋅ α β ⋅ sin 2 , sin sin 2 2 b r β + γ = ⋅ γ β ⋅ sin 2 , sin sin 2 2 c r γ + δ = ⋅ γ δ ⋅ sin 2 . sin sin 2 2 d r α + δ = ⋅ α δ ⋅ Так как треугольники СНМ и МQА подобны, то отношение СМ к МА можно найти из следующих фор мул: 1, CM CH CP MQ CP MA MQ MQ MQ − = = = − или sin 2 2 1. sin CM bc MA ad β + δ = ⋅ − α После подста новки сторон в формулу и небольших преобразований, учитывая, что δ + β = = 360° – (γ + α), получаем отношение Рис. 2
СОВеТы К УРОКУ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. длин отрезков диагоналей в описанном четырёхугольнике: tg 2 tg 2 CM MA α = γ и tg 2 . tg 2 DM MB β = δ Теперь вернёмся к теореме Брианшона. На рисунке 3 показан описанный четырёхугольник, где x, y, z, t — отрезки касательных, равные, соответственно, ctg , 2 r α ⋅ ctg , 2 r β ⋅ ctg , 2 r γ ⋅ ctg , 2 r δ ⋅ а Р, Q, Е и F— точки касания. Для отрезков МР и МQ в треугольниках запишем векторные равенства: , t z MP MC MD z t z t = ⋅ + ⋅ + + . x y MQ MB MA x y x y = ⋅ + ⋅ + + Перепишем эти равенства в другом виде: tg tg 2 2 , tg tg tg tg 2 2 2 2 t z PM CM DM z t z t CM DM = ⋅ + ⋅ = + + γ δ = ⋅ + ⋅ γ δ γ δ + + tg tg 2 2 . tg tg tg tg 2 2 2 2 MQ MA MB α β = ⋅ + ⋅ α β α β + + Воспользуемся теперь полученным ранее результатом для отношения отрезков диагоналей: tg 2 tg 2 CM MA α = ⋅ γ и tg 2 . tg 2 DM MB β = ⋅ δ Таким образом, выраже ния для векторов будут иметь вид: tg cos cos 2 2 2 sin 2 tg cos cos 2 2 2 , sin 2 PM MA MB α γ δ ⋅ ⋅ = ⋅ + γ + δ β γ δ ⋅ ⋅ + ⋅ γ + δ tg cos cos 2 2 2 sin 2 tg cos cos 2 2 2 . sin 2 MQ MA MB α α β ⋅ ⋅ = ⋅ + α + β β α β ⋅ ⋅ + ⋅ α + β Можно заметить, учитывая одинаковые знаменатели в этих формулах, что оба вектора коллинеарные и связаны раРис. 3
4/2019 МАТеМАТИКА дЛЯ ШКОЛьНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. венством: cos cos 2 2 . cos cos 2 2 MQ PM α β ⋅ = ⋅ γ δ ⋅ Следо вательно, прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон четырёхугольника, проходят через точку пересечения его диагоналей. Кроме того, как и в теореме Ньютона для описанных четырёхугольников, так и в теореме Брианшона имеем важное продолжение. А именно, мы получили отношения, в котором делятся отрезки, соединяющие точки касания окружности со сторонами: cos cos 2 2 , cos cos 2 2 MQ MP α β ⋅ = γ δ ⋅ cos cos 2 2 . cos cos 2 2 MF ME α δ ⋅ = γ β ⋅ Частные случаи четырёхугольников Для вписанного и одновременно описанного четырёхугольника [3] (см. рис.4), когда γ = 180° – α и δ = 180° – β, эти от ношения несколько упрощаются: tg tg , 2 2 MK MH α β = ⋅ tg 2 . tg 2 MF ME β = α Диагонали при этом делятся точкой пересечения в отношении: 2 tg 2 CM MA α = и 2 tg . 2 DM MB β = На рисунке 4 также указаны центр вписанной окружности (О), центр описанной окружности (N) и середины диагоналей (Р, Q). Причём, согласно результатам, приведённым в статье [3], sin , sin PO OQ α = β sin sin . MO NO = α ⋅ β В случае трапеции ∠BCD = 180° – β и ∠ABC = 180° – α, где α и β углы при основании трапеции (рис.5), отношения, в котором делятся отрезки, включая диагонали, равны: tg tg , 2 2 MC BM MN MA MD MH α β = = = ⋅ tg 2 , 2 PO OQ tg β = α sin . sin ME MF α = β Рис. 4 Рис. 5
СОВеТы К УРОКУ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Первые два равенства можно было получить и без общих формул. Учитывая, что ctg ctg , 2 2 AD r α β = ⋅ + tg tg , 2 2 BC r α β = ⋅ + ctg , 2 АН r α = ⋅ ctg , 2 HD r β = ⋅ получаем те же отношения из подобия треугольников. Трапеция интересна ещё и тем, что точка пересечения диагоналей и центр вписанной окружности лежат на диаметре, перпендикулярном основаниям трапеции. Таким образом, приведённый вариант доказательства теоремы Брианшона позволил существенно её дополнить. Перечисленные теоремы и формулы соответ ствуют уровню электива для старших классов, в то же время материал для трапеций может быть востребован и на учебных занятиях. Литература 1. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 3 т. — Т. 1: Планиметрия. Преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2018. — 312 с.: ил. 2. Малышев И.Г. О расположении центра окружности, вписанной в четырёхугольник // Математика для школьников. — 2018. — №1. — С. 3–5. 3. Малышев И.Г. О новых формулах и теоремах элементарной геометрии // Математика в школе.— 2018. — №4. Дискприложение. Однажды десятиклассник Серёжа решал онлайн следующую задачу на одном обучающем сайте. Коэффициенты многочлена P5(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f являются среднесуточными значениями температуры воды в некоторых экваториальных областях Тихого океана, записанными в градусах Цельсия в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой. Программа позволяет обучающемуся онлайн ученику запрашивать зна чения многочлена P5(x) в любой точке x0 и выдаёт P5(x0) с точностью до десятых. Требуется найти все коэффициенты P5(x), сделав наименьшее число запросов. Серёжа не знал, как решать задачу, и попросил помочь своего старшего брата Николая — студента первого курса технического вуза. Николай сказал: — Нет ничего проще: запроси значения P5(x) в шести различных целочисленных точках, например, при x0 равном 0, 1, –1, 2, –2, 3, составь систему линейных урав Троицкий Е.В., МГУ им. Ломоносова. О НАХОЖДЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОЧЛЕНА ПО ЕГО ЗНАЧЕНИЯМ В статье рассказывается о том, как в классической задаче определения коэффициентов многочлена по его значениям дополнительная информация о коэффициентах может быть использована для минимизации вычислений.
4/2019 МАТеМАТИКА дЛЯ ШКОЛьНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. нений и реши её. Независимо от того, в каких именно различных точках ты запросишь значения искомого многочлена, полученная система будет иметь и притом единственное решение. Этот разговор братьев услышала их младшая сестра Оля — ученица 6го класса. Она как раз изучала десятичные дроби. Оля внимательно несколько раз прочла условие задачи и спросила братьев, почему они никак не учитывают остальную информацию о коэффициентах многочлена — про Тихий океан. Братья засмеялись и сказали, что иногда в таких задачах специально дают отвлекающую от сути дела информацию, и то, что замеры температуры были сделаны именно в Тихом океане, не избавляет от необходимости решать систему из шести линейных уравнений с шестью неизвестными. Оля отошла в сторонку и начала думать. Тем временем Серёжа запросил значения многочлена в перечисленных выше точках и правильно нашёл все коэффициенты. Однако он был весьма разочарован, поскольку получил за это задание далеко не максимальный балл. Такая оценка объяснялась тем, что количество запросов значений многочлена могло быть меньше, чем 6. — Значит, — растерянно сказал Николай, — надо учитывать Тихий океан! Но как? — Температура воды в Тихом океане около экватора не может принимать отрицательные значения! Следовательно, искомые коэффициенты неотрицательные, — сказал Серёжа. — Точно! — согласился Николай, — а ещё они заведомо меньше ста градусов Цельсия, ведь при этой температуре вода уже кипит! — Но тогда я знаю, как надо решать эту задачу! — воскликнула Оля. — По надобится значение многочлена только в одной точке! Вернись, пожалуйста, к решению этой задачи, Серёжа, пусть программа тебе новый многочлен загадает! Серёжа, хоть и не поверил сестре, отправил запрос на сайт на повторное решение задания. Коэффициенты P5(x) были программой изменены, и Серёжа получил новую возможность решать эту задачу. — Запроси, пожалуйста, значение P5(x) при x0 = 1000 и сообщи его мне, — попросила Оля. — Хорошо, вот: 23 519 020 917 726 825, 2. И…что? — Ответ: a = 23,5; b = 19,0; c = 20,9; d = 17,7; e = 26,8; f = 25,2! Внеси, пожалуйста, эти значения в строку ответов! — сказала Оля. Серёжа записал значения. — Ответ — верный! Но как это получилось? — воскликнул он и посмотрел на брата, — ты понимаешь? — Да, понимаю! Молодец, Оля! — ответил Николай. А теперь вопросы к читателям: Вопрос 1. Почему сработал Олин метод? Указание: заметьте, что все искомые коэффициенты имеют вид **,* , где вместо звёздочек стоит одна из цифр 0, 1, 2, … 9. Вопрос 2. В каких других значениях x0 можно было запрашивать значения P5(x), чтобы было достаточно одного запроса? О т в е т : например, при x0 = 10000. Вопрос 3. А если бы коэффициенты многочлена были записаны в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой, то можно ли воспользоваться этим же методом? В какой точке x0 тогда следует запрашивать P5(x)? (Предполагается, что значение P5(x) будет также дано с точностью до тысячных). О т в е т : например, при x0 = 100000.
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ Н.М. Карпушина СЛАВНЫЙ ГУГЕНИЙ В этом году исполняется 390 лет со дня рождения замечательного нидерландского учёногоуниверсала и изобретателя Христиана Гюйгенса (1629–1695), одного из основателей нынешней науки. «Если говорить кратко, он был одним из главных украшений нашей эпохи», — сказал о Гюйгенсе немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц, называвший себя его учеником. В этом номере мы собрали материалы, посвящённые Гюйгенсуматематику. Вы узнаете о том, почему учёного прозвали наследником Архимеда, когда и как он получил признание, какие интересные задачи решал Гюйгенс в юности и в начале научной карьеры и какое классическое неравенство названо его именем. Гюйгенс принадлежит к тем гениальным людям, которые равно успевают и в теории, и в практике. Франсуа Араго Талант по наследству Христиану Гюйгенсу посчастливилось родиться в самой просвещённой и самой свободной стране Европы, каковой были в первой половине XVII века Нидерланды. Обретя независимость от Испании, страна вступила в «золотой век» и переживала период бурного экономического и культурного развития. Это была эпоха расцвета торговли, навигации, ремесла, науки и искусства, давшая миру немало гениев. Высокого уровня в Нидерландах достигли математика, механика, оптика и астрономия. Одним из тех, кто стоял у истоков современной науки, был Христиан Гюйгенс. Он появился на свет 14 апреля 1629 года в Гааге во влиятельной дворянской семье, где, как заметил один биограф, по наследству передавались не только титул и богатство, но и таланты. Добавим сюда семейную традицию изучать право и служить при дворе. Ещё дед Христиана, в честь которого назвали мальчика, был видным сановником и секретарём принца Вильгельма I Оранского. Отец будущего учёного Константин Гюйгенс (1596–1687) снискал славу незаурядного государственного деятеля и дипломата; король Яков I посвятил его в рыцари, а Людовик XIII наградил орденом Святого Михаила. Этот человек с детства отличался пытливым умом и был прекрасно образован. Знал семь языков, играл на разных музыкальных инструментах, хорошо разбирался в искусстве и литературе. В молодости изучал математику, логику и право. Интересовался ме
4/2019 МАТеМАТИКА дЛЯ ШКОЛьНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ханикой и оптикой. Даже в зрелом возрасте сохранял тягу к знаниям, и это качество передалось его сыну Христиану. Константин Гюйгенс — яркий представитель «золотого века» Нидерландов. Современники знали его как одарённого поэта и композитора, ценителя живописи, мецената и почитателя наук, а по сути, учёноголюбителя. Ему довелось общаться со многими европейскими знаменитостями. Гюйгенсстарший помогал молодому Рембрандту ван Рейну, снабжая начинающего художника выгодными заказами. Поддерживал отношения с французским драматургом Пьером Корнелем и английским поэтом Джоном Донном, чьи стихи переводил на голландский язык. Дружил с математиком и философом Рене Декартом и переписывался с Мареном Мерсенном. В 1628 году Декарт вынужденно покинул Францию и переехал в Нидерланды. Здесь он прожил 20 лет, написал и издал свой самый известный труд «Рассуждение о методе» (1637). Обучение по плану Для своих старших сыновей, Константина и Христаина1, Гюйгенс разработал программу домашнего обучения. В будущем обоих ждала учёба в Лейденском университете2, который он сам когдато окончил. Отец был первым воспитателем и учителем мальчиков, а когда братья подросли, в дом стали приглашать гувернёров. По словам наставников, Христиан демонстрировал удивительные способности и превосходную память. Взглянем на список достижений юного дарования. В семь лет мальчик научился писать и читать, в восемь лет знал азы арифметики, говорил на латыни и учился пению. Ещё через год он успешно постигал историю, географию и начала астрономии. В десять лет Христиан освоил латинское стихосложение и научился играть на виоле, а ещё через год на лютне. В двенадцать лет знал основные законы логики и свободно применял их в своих рассуждениях. Тогда же он начал изучать греческий и французский языки. Затем освоил итальянский язык и игру на клавесине. Добавим к этому списку риторику, рисование, фехтование, верховую езду и танцы. В 14 лет Христиан увлёкся прикладной механикой и стал конструировать 1 В семье росли пятеро детей. Константин был на год старше Христиана, братья воспитывались вместе и были очень дружны. Впоследствии первый стал служить при дворе вместе с отцом. 2 Старейший университет Нидерландов. Открыт в городе Лейдене в 1575 году. К середине XVII века в нём обучались студенты из многих стран Европы, а к концу века появились первые русские слушатели из числа отправленных Петром I для обучения за границу. Портрет Константина Гюйгенса. А. Ханнеман, 1640