Высшая математика

ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА

Рекомендовано 
Министерством образования и науки 
Российской Федерации 
в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНИК

В.С. ШИПАЧЕВ

УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
 
Ш63

Шипачев В.С. 
 Высшая математика : учебник / В.С. Шипачев. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 479 с. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/5394.

ISBN 978-5-16-010072-2 (print)
ISBN 978-5-16-101787-6 (online)

Изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на 
плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального 
исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей 
алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения. 
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений.

Ш63

УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73

© Шипачев В.С., 2015 
ISBN 978-5-16-010072-2 (print)
ISBN 978-5-16-101787-6 (online) 

Р е ц е н з е н т:
Мордкович А.Г., д-р пед. наук, проф.

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 04.09.2020. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 29,94.
ППТ50. Заказ № 00000

ТК  472150-1185673-250814

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий учебник написан автором на основе многолетнего 
опыта чтения лекций и ведения практических занятий по высшей математике на нематематических факультетах в Московском государственном университете и отвечает всем необходимым требованиям, 
предъявляемым к современному математическому образованию.

В учебнике излагаются основы высшей математики, поэтому он 
может быть использован как в университетах, так и в высших технических учебных заведениях, а также в гимназиях, лицеях и колледжах, 
где различные разделы высшей математики объединены в один курс.

Автор стремился изложить материал по возможности полно, 
строго и доступно, преследуя цель не просто сообщить те или иные 
сведения по высшей математике, а вызвать у студентов интерес к математике, расширить их кругозор и способствовать привитию математической культуры.

В основу написания книги положен дидактический принцип — 
от простого к сложному. Так, например, понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функций одной 
переменной, далее вводится понятие предела интегральных сумм и, 
наконец, рассматривается понятие предела для функций нескольких 
переменных.

Вещественные числа вводятся с помощью аксиоматического метода, который дает возможность наиболее компактно изложить необходимые сведения о числах и проще перейти к непосредственному 
изложению основного материала.

Основу учебника составляет математический анализ, включающий дифференциальное и интегральное исчисления, где изучается 
важнейшее понятие высшей математики — понятие функции. Оно 
рассматривается уже в курсе элементарной математики. Однако полное и систематическое изучение этого понятия проводится именно в 
высшей математике. В учебнике понятие функции определяется через понятие множества, что отвечает современному уровню преподавания математики.

Опыт показал, что для многих начинающих значительную трудность представляет решение задач. Поэтому в учебнике главное внимание уделено решению типовых примеров и задач, поясняющих 
теоретический материал. Однако прежде чем начать решать эти при
3

меры, надо сначала изучить нужный раздел и добиться полной ясности в понимании соответствующих понятий и теорем.

Преподавателям хорошо известно, какие трудности возникают у 
студентов при изучении теории пределов. Понятие предела очень 
глубокое и одно из важнейших в математике понятий. Вот почему 
следует обратить особое внимание на формулировки с «е — А»- и 
«е — 5»- терминологией. Важно ясное и четкое понимание сути определений, роли и места каждого слова. Для этого следует детально разобрать предлагаемые примеры и задачи.

При написании учебника автор учитывал, что в настоящее время 
в средних школах изучаются начала высшей математики. В учебнике 
изложен в основном теоретический материал, поэтому для практических занятий следует использовать книгу автора «Задачник по высшей математике», который составлен в полном соответствии с 
учебником и образует с ним единый учебно-методический комплекс. 
Материал учебника соответствует программе общего курса высшей 
математики объемом до 300 учебных часов. На тех факультетах, где 
изучается высшая математика с меньшим количеством часов, часть 
материала может быть опущена без нарушения целостности содержания курса.

Автор выражает глубокую благодарность академику А.Н. Тихонову, профессорам А.Г. Свешникову, Д.П. Костомарову, Н.М. Матвееву, 
А.А. Шестакову за активное участие в работе над учебником.

Автор также искренне признателен чл.-кор. Азербайджанской 
АН проф. А.А. Бабаеву, проф. Г.И. Чандирову и всем преподавателям 
кафедры математики физического факультета Азербайджанского государственного университета, принявшим участие в обсуждении рукописи учебника и сделавшим полезные замечания.

В заключение автор хотел бы отметить, что основой любого сильного государства является мощная экономика, обеспечивающая благосостояние своего народа, но она немыслима без точных наук, 
краеугольным камнем которых является математика. Автор желает 
новому поколению россиян, чтобы его книга помогла им в освоении 
математики на благо возрождения и процветания России. Успеха Вам 
в этом благородном деле!

Автор

Ни одно человеческое исследование 
не может называться истинной 
наукой, если оно не прошло через 
математические доказательства.

Леонардо да Винчи*

ВВЕДЕНИЕ

Математика — самая древняя и в то же время самая юная из наук. 
Она стала складываться во втором тысячелетии до нашей эры, когда 
потребности торговли, землемерия и мореплавания заставили упорядочить приемы счета и измерения, начало которых уходит в еще более 
глубокую древность. Уже строители египетских пирамид владели математическими знаниями.

В Древней Греции начиная с VI в. до н. э. математика приобретает 
статус самостоятельной науки. Окончательно как наука математика 
оформилась в III в. Евклидом в его бессмертных «Началах». По этой 
книге или по ее более доступным изложениям изучали геометрию более двух тысяч лет. Отсюда видно, что математика значительно отличается от всех других наук. Теоретические представления Аристотеля 
в области физики сейчас кажутся несколько наивными, они стали 
достоянием истории науки, хотя они обобщили все имевшиеся к тому 
времени знания об окружающем мире. Теорема же Пифагора и поныне составляет одну из основ геометрии.

Сложившись, математика не перестает развиваться, разрабатываются новые методы, открываются новые области, совершенствуются 
символика и научный аппарат. Возникновение физики Нового времени было связано с непосредственным применением математики 
Кеплером и Галилеем для изучения небесных и земных явлений. Великий поворотный пункт в истории математики наступил в XVII в., 
когда Декарт создал аналитическую геометрию, а Ньютон и Лейбниц — дифференциальное и интегральное исчисление. Эти открытия в огромной степени создали возможность как для собственного 
развития математики, так и для развития других наук, таких, как физика и астрономия.

Бурное развитие математики, последовавшее за этими открытиями, привело на рубеже XIX—XX столетий к новой научной революции, 
связанной, 
в частности, 
с признанием правомерности 
неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана, Бойяи) и создани* Леонардо да Винчи. Избранные естественно-научные произведения. М. 
1955.

5

ем Кантором теории множеств. До сих пор математика продолжает 
развиваться, поражая воображение многообразием специальных областей, новизной и необычностью используемых представлений и 
понятий, неожиданным своеобразием методов, особенностями языка. Процесс дифференциации наук охватил и математику, приведя к 
возникновению внутри нее множества отраслей.

Одновременно с развитием методов и отраслей математики происходило и ее внедрение в другие науки, шел процесс так называемой 
математизации науки. В силу логики развития самой науки математика превратилась в метод научного исследования. Если в период классической физики математика служила преимущественно для 
обработки экспериментальных данных, установления точного количественного отношения между физическими явлениями и процессами, то уже к концу XIX в. математические вычисления стали 
предварять физические гипотезы и открытия. Благодаря использованию математических методов уже не только обрабатывались показания приборов и результаты экспериментов, но стали создаваться 
такие математические модели, реальный физический смысл которых 
еще был не известен и его еще предстояло выяснить.

Именно этот факт нередко получал неправильное истолкование 
как самих ученых, так и идеалистических философов и был зафиксирован в известном афоризме «материя исчезла, остались одни уравнения».

Суть этого явления состоит в том, что, используя математические 
методы, можно проникать в еще не исследованные области физического мира, пока не доступные для исследования физическими методами, открывать в них математические закономерности, создавать 
математические модели неизвестных физических процессов и, тем 
самым, направлять мысль экспериментатора. В наше время физик-теоретик — это прежде всего математик. «Математика для физика, — говорит крупный американский ученый Ф.Дж. Дайсон, — это 
не только инструмент, с помощью которого он может количественно 
описать любое явление, но и главный источник представлений и 
принципов, на основе которых зарождаются новые теории»*.

Наглядным примером роли математического мышления для физических открытий может служить общая теория относительности 
А. Эйнштейна, которая была завершена до экспериментальной проверки, результаты которой практически совпали с предсказанными 
теорией.

* Дайсон ФДж. Математика в физических науках. — В кн.: Математика в 
современном мире. М., 1967.

6

Не менее убедительный пример — история возникновения квантовой механики, которая была первоначально построена чисто математическим путем, на основе некоторых известных, но не объясненных в то время физических данных, в результате гениального, но чисто 
«умозрительного скачка математического воображения» (Ф.Дж. Дайсон). Она не только была подтверждена соответствующими экспериментами, но явилась источником и стимулом дальнейшего развития 
физики микромира со всеми ее впечатляющими результатами, роль 
которых в XX в. хорошо известна.

У всех, кто изучал историю математики и ее применения в науках 
о природе и в технике и размышлял об отношении математики к объективному миру, будь это сами математики, физики или философы, 
неизбежно возникал вопрос о чудесной способности математики давать правильное описание или отображение физических процессов, 
поведения физической вселенной. Ученые, стоявшие у колыбели современной науки, такие, как Кеплер и Галилей, пораженные достигнутыми ими результатами, считали, что книга природы написана ее 
божественным творцом на языке математики, так что ученому остается только прочитать эти записи. С тех пор высказывалось множество предположений о природе математики и ее познавательной 
способности, но ни одно из них не получило всеобщего признания.

В XX в. одним из западных философов Витгенштейном была высказана поразительная мысль, что вся математика есть не что иное, 
как совокупность тавтологий, а математические доказательства представляют собой тавтологические преобразования. Эта теория объясняла абсолютную достоверность математики и ее универсальную 
применимость. Но она была бессильна объяснить способность математики открывать новое в мире, т. е. ту ее способность, которая является важнейшей для развития науки и позволяет все более широко 
применять математику в специальных науках.

Следует подчеркнуть, что математика оперирует не только абстракциями (как и все науки), но абстракциями весьма высокой степени. Даже любое из самых обычных натуральных чисел, например 4, 
есть абстракция, отвлекающаяся от всех специфических особенностей каких-либо четырех предметов (деревьев, ножек стола, углов 
дома и т. д.), характеризуя лишь класс, имеющий четыре члена. Понятие же натурального числа — это абстракция еще более высокая, поскольку оно представляет собой класс всех классов, имеющих не 
менее одного члена.

Сила математики именно в ее способности создавать все более 
высокие абстракции, оперировать ими и изучать их особенности и закономерности. Именно поэтому математические методы можно применять в различных науках помимо физики по мере того, как они

7

сами становятся теоретическими, т. е. начинают создавать достаточно 
высокие абстракции и использовать их.

Немецкий философ XVIII в. Иммануил Кант сказал, что наука 
тем более заслуживает названия науки, чем больше в ней математики. 
В то время математика была неотъемлемым элементом лишь механики, 
физики и астрономии. В наше время настолько повысился теоретический уровень наук, а методы математики настолько разнообразились и 
усовершенствовались, что их слияние оказалось не только возможным, 
но и абсолютно необходимым как для развития этих наук, так и для 
самой математики.

Естественно, что процесс математизации не в одинаковой степени затронул все науки. Огромным успехом является применение математических методов в науках о неживой природе, а также в 
исследованиях в области биологии. Это оказалось возможным главным образом благодаря проникновению биологии во внутриклеточные процессы и анализу их на молекулярном уровне. В качествве 
примера можно привести исследования функционирования и построение моделей некоторых функций нейрона и изучение проблем 
наследственности и расшифровки генетического кода.

В общественных науках, которые были больше всего изолированы от математики, если не считать применения статистических методов в исследовании некоторых социальных процессов и явлений, можно также назвать различные области, такие, как проблемы демографии 
и проблемы структурной лингвистики, где применение математики 
дало хорошие результаты. Но, пожалуй, наиболее значительным научным достижением было внедрение математических методов в экономическую науку и в управление экономическими процессами. В наше 
время научное управление этими процессами в условиях плановой 
экономики может быть осуществлено только на основе применения 
точных математических методов во всех сферах народного хозяйства — от прогнозирования размещения полезных ископаемых до изучения спроса на товары широкого потребления и бытовые услуги, от 
изучения потребности в рабочей силе до планирования транспортных артерий, пассажирских перевозок и экспериментов по искусственному воздействию на атмосферные явления. Короче говоря, 
жизнь современного человека невозможна без математики.

О 
какой, однако, математике здесь идет речь: о так называемой 
«чистой» или прикладной? Но это традиционное разграничение в настоящее время становится все более и более условным и утрачивает 
свой первоначальный смысл. Даже наиболее абстрактные разделы 
«чистой» математики могут, оказывается, получить конкретное приложение в самых неожиданных областях науки и техники. В то же 
время необходимость решения специфических теоретических и

8

практических проблем стимулирует разработку новых абстрактных 
методов и отраслей математической науки.

Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием 
средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычислительного эксперимента такие процессы, которые даже недоступны к 
постановке опыта (проблемы управляемого термоядерного синтеза, 
физики плазмы, лазеров и другие задачи). «Фактически за последние 
два десятилетия сложилось новое направление в теоретических физических исследованиях, — утверждает академик А.А. Самарский. — На 
основе математической модели с помощью ЭВМ проводится изучение 
устройств и физических процессов, «проигрывается» их поведение в 
различных условиях, находятся оптимальные параметры и режимы 
действующих или проектируемых конструкций. Сейчас можно проводить математическое прогнозирование сложных явлений и технических устройств, изучение которых другими способами затруднено»*. 
Открылись качественно совершенно новые возможности математики.

Эпоха научно-технической революции есть эпоха математизации 
науки, техники, экономики и управления. Этим определяется место 
математики в системе высшего образования. Современный научный 
работник или инженер должен не только знать основы математики, 
но и хорошо владеть всеми новейшими математическими методами 
исследования, которые могут применяться в области его деятельности. 
Сегодня никакая серьезная научная и инженерная работа невозможна 
без математики. Можно смело сказать, что изучение математики способствует формированию современного научного мышления, а ее широкое использование является условием дальнейшего прогресса на 
пути развития науки и техники.

* Самарский АЛ. 
Математическое 
моделирование и 
вычислительный 
эксперимент. — Вестник АН СССР. 1979, № 5.

9

Ч А С Т Ь  
П Е Р В А Я

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ 
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 1

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Множества. Обозначения. Логические символы

Понятие множества является одним из основных в математике. 
Оно принадлежит к так называемым первичным, неопределяемым 
понятиям. Слова «совокупность», «семейство», «система», «набор» 
и т. п. — синонимы слова «множество». Примерами множеств могут 
служить множество студентов данной аудитории; совокупность тех 
из них, кто сдал вступительные экзамены без троек; семейство звезд 
Большой Медведицы; система трех уравнений стремя неизвестными; 
множество всех целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное 
число произвольных объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Множества часто обозначают большими, 
а их элементы — малыми буквами. Если х — элемент множества X, 
то пишут х ^ Х ( х  принадлежит X). Если х не является элементом 
множества X, то пишут х ^ Х { х  не принадлежит X). Если х,, ... 
..., хп— некоторые элементы, то запись Х =  {х1У ..., хп} означает, 
что множество X состоит из элементов х„ ..., хп. Аналогичный смысл 
имеет запись Л’={х„ х2, х3, ...}.

Пусть X и У — два множества. Если X н У состоят из одних 
и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут Х =  У. 
Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят что X 
содержится в У или что X — подмножество множества У. В этом 
случае пишут Хс: У" или У=>Х(У содержит X). Если X не содержится в У, то пишут Х<£У. В математике часто используется 
пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается символом 0 . Пустое множество является подмножеством 
любого множества.

В дальнейшем нам придется иметь дело с различными множествами вещественных чисел*. Всюду, где это не может привести 
к неточности, для краткости вещественные числа будем называть 
просто числами.

* Вместо термина «вещественные числа» часто используют термин «дейст 
вительные числа».

10