Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2020, № 2

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2020 / № 2

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2020 / № 2

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика 
(физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список 
журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Главный редактор серии:
Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель главного редактора:
Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:
Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский 
государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:
Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 
Боголюбов Н. Н. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);
Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;
Гладков С. О. – д. ф.-м. н., проф., Московский авиационный институт (национальный исследовательский 
университет);
Емельяненко А. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский 
государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;
Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Рыбаков Ю. П., – д. ф.-м. н., проф., Российский университет дружбы народов;
Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;
Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. – 2020. – № 2. – 138 с.

© МГОУ, 2020.
© ИИУ МГОУ, 2020.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала 
«Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика»
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия 
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :
A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, 
Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:
V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:
E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:
V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;
N. N. Bogolyubov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Lomonosov Moscow State University;
A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;
E. V. Gevorkyan – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Region State University;
S. O. Gladkov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Aviation Institute (National Research 
University);
A. V. Emelyanenko – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Lomonosov Moscow State University;
E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;
M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);
Yu. P. Rybakov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, RUDN University;
V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;
V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics and Mathematics” publishes 
articles on mathematical problems of thermodynamics, kinetics 
and statistical physics; the theory of the condensed state of 
classical and quantum, macroscopic and microscopic systems; 
the study of various states of substance and physical phenomena 
in them; statistical physics and the kinetic theory of equilibrium 
and non-equilibrium systems; theoretical and experimental 
research of physical features of disordered inorganic systems; 
the study of the experimental state of condensed substances and 
phase transitions in them. The journal is addressed to scientists, 
doctoral students, PhD students and everyone interested in the 
achievements of physical and mathematical sciences.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow Region State University is registered in Federal service 
on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 – 73344.

Index series «Physics and Mathematics» according to the 
union catalog «Press of Russia» 40723

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2020. – № 2. – 138 p.

© MRSU, 2020.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2020.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal 
«Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics»
Moscow Region State University

Editorial board

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÔÈÇÈÊÀ

Зверев Н. В., Зотов А. А.,  Юшканов А. А.  ХАРАКТЕРИСТИКИ 
ТОНКОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛЁНКИ ПО ПЛАЗМОННЫМ 
РЕЗОНАНСАМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Симонов Ю. В., Ушаков И. В. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
ПОВЕРХНОСТНЫХ СТРУКТУР ТИТАНОВОГО СПЛАВА ВТ9 
ПОСЛЕ МНОГОКРАТНОЙ ЛОКАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ 
НАНОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Гладков С. О. К ВОПРОСУ НЕРАВНОМЕРНОГО ВРАЩЕНИЯ 
ПО ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЕ ВОКРУГ ВЕРТИКАЛЬНОЙ 
ОСИ ЗАРЯЖЕННОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ШАРА С УЧЁТОМ 
ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Боброва И. А., Бугримов А. Л., Лаврентьев В. В., Чукаловская Е. М. 
АНАЛИЗ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ЭНТРОПИИ 
В ПРОЦЕССАХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ 
МАТЕРИАЛОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

ÊÎÍÔÅÐÅÍÖÈß «ÏÅÐÑÏÅÊÒÈÂÍÀß ÝËÅÌÅÍÒÍÀß ÁÀÇÀ 
ÌÈÊÐÎ- È ÍÀÍÎÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÛÕ 
ÄÎÑÒÈÆÅÍÈÉ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ»

Беляев В. В. МЕЖДУНАРОДНАЯ МУЛЬТИДИСЦИПЛИНАРНАЯ 
КОНФЕРЕНЦИЯ «ПЕРСПЕКТИВНАЯ ЭЛЕМЕНТНАЯ БАЗА 
МИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ 
СОВРЕМЕННЫХ ДОСТИЖЕНИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ». 
МГОУ, 12–13 ДЕКАБРЯ 2019 ГОДА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Самсоненко Н. В., Ндахайо Ф., Алибин М. А. ВКЛАД МАССЫ 
НЕЙТРИНО (АНТИНЕЙТРИНО) В ПОЛЯРИЗАЦИИ И АСИММЕТРИИ 
ЧАСТИЦ В ПРОЦЕССАХ β-РАСПАДА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

5

Кирдяшев К. П. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СВЯЗИ 
С МЕЖПЛАНЕТНЫМИ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ. . . . . . . . . . . . . . .78

Чан Мья Хейн, Зар Ни Аунг, Камалов Т. Ф. СОЛИТОННОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ КЛЮЧЕЙ. . . . . . . . . . .94

Самсоненко Н. В., Сёмин М. В. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА 
ДВУХЧАСТИЧНЫХ РЕАКЦИЙ РАССЕЯНИЯ С УЧАСТИЕМ 
ТАХИОНОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Самсоненко Н. В., Ндахайо Ф., Алибин М. А. ВЛИЯНИЕ 
МАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА СПЕКТР МАСС 
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Шишов К. А., Чэнь Х. РАЗРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА 
ТУРИСТИЧЕСКОГО ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА И 
ИССЛЕДОВАНИЕ ПУТЕЙ  ПО УВЕЛИЧЕНИЮ 
ЕГО ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

ПАМЯТИ АЛЕКСАНДРА АЛЕКСЕЕВИЧА ЮШКАНОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2020 / № 2

6

CONTENTS

PHYSICS

N. Zverev, A. Zotov,  A. Yushkanov.  CHARACTERISTICS OF A THIN 
CONDUCTIVE FILM BY THE PLASMON RESONANCES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Yu. Simonov, I. Ushakov. MECHANICAL PROPERTIES OF SURFACE 
STRUCTURES OF TITANIUM ALLOY VT9 AFTER REPEATED LOCAL 
PROCESSING WITH NANOSECOND LASER PULSES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

S. Gladkov. TO THE QUESTION OF UNEVEN ON THE PLANE CIRCLE 
ORBIT ROTATING AROUND VERTICAL AXIS OF CHARGING METAL 
BALL WITH ACCOUNT  OF THE DISSIPATIVE FORCES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

I. Bobrova, A. Bugrimov, V. Lavrent’ev, E. Chukalovskaya. ANALYSIS 
OF THE THERMODYNAMIC CRITERIA LONG-TERM STRENGTH 
OF MATERIALS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

CONFERENCE “ADVANCED ELEMENT BASE 
OF MICRO- AND NANOELECTRONICS USING TO-DATE ACHIEVEMENTS 
OF THEORETICAL PHYSICS”

V. Belyaev. CONFERENCE “ADVANCED ELEMENT BASE OF MICRO- 
AND NANOELECTRONICS USING TO-DATE ACHIEVEMENTS 
OF THEORETICAL PHYSICS” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

N. Samsonenko, F. Ndahayo, M. Alibin. CONTRIBUTION OF NEUTRINO 
(ANTINEUTRINO) MASS IN POLARIZATIONS AND ASYMMETRIES 
OF PARTICLES IN β-DECAY PROCESSES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

K. Kirdyashev. THE ELECTROMAGNETIC PROBLEMS 
OF INTERPLANETARY SPACECRAFT COMMUNICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2020 / № 2

7

Chan Myae Hein, Zar Ni Aung, T. Kamalov. SOLITON SIMULATION 
OF QUANTUM KEY DISTRIBUTION  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

N. Samsonenko, M. Semin. RELATIVISTIC KINEMATICS 
OF TWO-PARTICLE SCATTERING REACTIONS WITH PARTICIPATION 
OF TACHIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

N. Samsonenko, F. Ndahayo, M. Alibin. INFLUENCE OF THE MAGNETIC 
INTERACTIONS ON THE MASS SPECTRUM OF ELEMENTARY 
PARTICLES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

K. Shishov, H. Chen. DEVELOPMENT OF AN EXPERIMENTAL MODEL 
OF A TOURIST THERMOELECTRIC GENERATOR AND RESEARCHING 
WAYS TO INCREASE ITS EFFICIENCY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

IN MEMORY OF ALEXANDER YUSHKANOV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

8

 
ÔÈÇÈÊÀ

УДК 533.951, 535.393, 538.958
DOI: 10.18384/2310-7251-2020-2-8-18

ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÒÎÍÊÎÉ ÏÐÎÂÎÄßÙÅÉ Ï˨ÍÊÈ ÏÎ ÏËÀÇÌÎÍÍÛÌ 
ÐÅÇÎÍÀÍÑÀÌ

Зверев Н. В., Зотов А. А.,  Юшканов А. А.
Московский государственный областной университет
141014, Московская область, г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24, Российская 
Федерация

Аннотация.
Цель работы – описание и исследование метода определения характеристик тонких плоских проводящих плёнок на основе использования частот плазмонных резонансов.
Процедура и методы исследования. Зависимости коэффициентов отражения и прохождения излучения от частоты для тонкой проводящей плёнки изучаются и анализируются 
с помощью теоретических соотношений, учитывающих диэлектрические проницаемости 
плазмы электронов проводимости.
Результаты исследования. Предложен и описан метод измерения характеристик тонких 
проводящих плёнок по плазмонным резонансам. Выполнено исследование особенностей 
плазмонных резонансов. Показана связь частот плазмонных резонансов и характеристик 
тонкой проводящей плёнки, таких как её толщина и температура, позволяющая измерять 
характеристики плёнки по этим резонансным частотам. Получены условия для толщины 
плёнки, измеряемой рассматриваемым методом. Приведена оценка для разности частот 
плазмонных резонансов.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенный метод измерения характеристик тонких проводящих плёнок целесообразно использовать в микроэлектронике 
для контроля параметров интегральных схем, в оптике для определения толщин тонких 
слоёв оптических структур, а также в промышленности для контроля тонкоплёночных 
покрытий.
Ключевые слова: оптические коэффициенты, наноплёнка, электронная плазма, плазмонный резонанс

© CC BY Зверев Н. В., Зотов А. А., Юшканов А. А., 2020.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

9

CHARACTERISTICS OF A THIN CONDUCTIVE FILM BY PLASMON 
RESONANCES

N. Zverev, A. Zotov,  A. Yushkanov
Moscow Region State University
ul. Very Voloshinoi 24, 141014 Mytishchi, Moscow Region, Russian Federation
Abstract.
Purpose. The paper describes and studies a method for determining the characteristics of thin 
flat conducting films based on the use of plasmon resonances.
Methodology and Approach. The dependences of the reflection and transmission coefficients 
of radiation on the frequency for a thin conducting film are studied and analyzed by using 
theoretical relations taking into account the dielectric permittivity of the conduction electron 
plasma.
Results. A method for measuring the characteristics of thin conducting films by plasmon 
resonances is proposed and described. The features of plasma resonances are investigated. 
The relationship between the frequencies of plasmon resonances and the characteristics of a 
thin conducting film, such as its thickness and temperature, is shown, which makes it possible 
to measure the characteristics of the film using these resonant frequencies. Conditions for the 
film thickness measured by this method are obtained. An estimate is given for the frequency 
difference of plasmon resonances.
Theoretical and practical implications. The proposed method for measuring the characteristics 
of thin conducting films can be used in microelectronics to control the parameters of integrated 
circuits, in optics to determine the thickness of thin layers of optical structures, and in industry 
to control thin film coatings.
Keywords: optical coefficients, nanofilm, electron plasma, plasmon resonance

Введение
В настоящее время в связи с бурным развитием таких тонких технологий, как 
нанотехнологии или атомные технологии, большое значение приобретает задача 
достаточно точного измерения толщин тонких объектов, имеющих размеры от 1 
нанометра (нм) до 1 микрометра (мкм). Существующие оптические методы измерения размеров тонких объектов дают лишь усреднённые значения длин или 
толщин этих объектов с точностью не выше 10% (см. также [1–3]). Поэтому требуется более точный метод измерения размеров тонких тел. Повышенная точность определения малых размеров необходима при создании таких устройств, 
как интегральные схемы, слоистые структуры и т. д. 
Таким методом измерения характеристик малоразмерных объектов является метод плазмонных резонансов [4–6] (см. также [7] с методом поверхностных 
плазмонов). Этот метод применим к проводящим объектам, таким как металлы, полуметаллы и полупроводники, и основан на возникновении резонансов 
в плазме электронов проводимости, заключённой в узком пространстве, при её 
взаимодействии с электромагнитным излучением.
Кроме этого, с помощью данного метода можно измерять не только размеры, 
но и другие характеристики малоразмерных объектов, например, температуру 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

10

или параметры вещества, из которого данный объект создан. И, наконец, этот 
метод пригоден для дистанционного измерения характеристик тонких объектов.
Целью настоящей работы является описание и исследование метода определения характеристик тонких плоских проводящих плёнок, используя данные 
частот плазмонных резонансов. При этом изучаются зависимости оптических 
коэффициентов отражения и прохождения излучения, для тонкой проводящей 
плёнки, и проводится исследование теоретических зависимостей этих коэффициентов от частоты, учитывающих диэлектрические проницаемости плазмы 
электронов проводимости.

Схема установки и оптические коэффициенты
Схема установки показана на рис. 1 [6]. Предполагаем, что плоская проводящая плёнка (conductive fi lm) толщиной d имеет неограниченные размеры по 
плоскостным измерениям и расположена между двумя прозрачными средами 
с постоянными положительными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. 
Также предполагаем, что данная плёнка сделана из однородного изотропного 
проводника.

Рис. 1. Схема установки.
Fig. 1. Installation diagram.

Источник: [6].

Пусть источник монохроматического электромагнитного излучения (radiation 
source) находится в среде с ε1, и электромагнитная E-волна (плоскость колебаний вектора E волны лежит в плоскости падения) от данного источника падает 
на плёнку под углом падения θ (рис. 1). Затем данная волна либо отражается от 
плёнки, либо проходит через неё, либо поглощается в плёнке. После отражения 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

11

от плёнки или прохождения через плёнку излучение попадает в два датчика 
(detector), плоскость каждого из которых расположена перпендикулярно направлению распространения излучения («лобовое» измерение).
Тогда оптические коэффициенты отражения R и прохождения Tr излучения 
определяются из эксперимента по формулам:

 

2

1

cos
,
Re
,
cos

R
T
r
I
I

J
J
R
T
J
J

⎛
⎞
θ
ε
′
=
=
⎜
⎟
θ
ε
⎝
⎠

 
(1)

где JI, JR и JT – интенсивности падающего, отражённого и проходящего излучений при «лобовом» измерении, θ′ – угол преломления излучения в среду с ε2 
(рис. 1).
Теоретические значения данных коэффициентов R и Tr определяются по формулам [8; 9]:

 

2
2
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(1)
2

(1)
(2)
(1)
(2)
1

cos '
,
Re
,
cos
r
U
U
U V
U
V
R
T
V
V
V
V

⎛
⎞
+
θ
ε
−
=
=
⎜
⎟
+
θ
ε
+
⎝
⎠

 
(2)

где величины U(j) и V(j) (j = 1, 2) имеют вид:

 

( )
( )
1
1
( )
( )

( )
( )
2
2

cos
cos
,
.
cos '
cos '

j
j
j
j

j
j
Z
Z
U
V
Z
Z

θ −
ε
θ +
ε
=
=
θ +
ε
θ +
ε

 
(3)

В формулах (3) Z(j) – поверхностный импеданс E-волны проводящей плёнки, 
равный в предположении зеркального отражения электронов проводимости от 
поверхности плёнки [10; 11]:

 

2
2
( )
2
2
2
2
2
1
(
/ )
.
( ,
)
( ,
) (
)

x
j

n
l
n
tr
n
n
n

ic
k
n d
Z
d
k
k
k
ck
ω
π
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
ω ε ω
ω ε
ω
−
∑
 
(4)

Здесь ω – частота излучения, c – скорость света в вакууме, величины kn и kx 
равны:

 

2

2
1
,
sin ,
n
x
x
n
k
k
k
d
c
π
ω
⎛
⎞
=
+
=
ε
θ
⎜
⎟
⎝
⎠
 
(5)

а суммирование выполняется по всем нечётным n = ±1, ±3, ±5, … при j = 1 и по 
всем чётным n = 0, ±2, ±4, … при j = 2.
В формуле (4) εl(ω, k) и εtr(ω, k) – продольная и поперечная диэлектрические 
проницаемости однородной изотропной плазмы электронов проводимости. Эти 
проницаемости известны из работ [12; 13] для квантовой электронной плазмы 
при учёте квантовых волновых свойств электронов. Данные проницаемости 

определяются безразмерными величинами 

p

ω
ω  и 
,

p

k
υ
ω
 где ωp – плазменная
 
частота электронной плазмы, и либо υ = υF – скорость Ферми электронов проводимости в случае вещества металла плёнки (вырожденная электронная плазма), 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

12

либо 
2
B
T
e

k T
m
υ = υ =
 – тепловая скорость электронов проводимости в случае 

вещества полуметалла или полупроводника (невырожденная электронная плазма). Здесь T – абсолютная температура электронов проводимости, kB – постоянная Больцмана, me – эффективная масса электронов проводимости. Эти проницаемости зависят также от частоты ν столкновений электронов в плазме и от 
массы me.

Особенности плазмонных резонансов и результаты исследования
Плазмонные резонансы в тонкой проводящей плёнке возникают вследствие 
взаимодействия электромагнитных E-волн с колебаниями плазмы электронов 
проводимости, находящейся внутри узкого плоского слоя [4; 5; 7–10]. Частоты 
плазмонных резонансов ωres определяются из условия Reεl(ωres, kn)= 0 в формуле 
(4) [10]. При этом ωres > ωp и ωres ~ ωp. Из формул (2)–(5) следует, что критическое 
поведение оптических коэффициентов R и Tr при резонансных частотах ωres возможно только при отличном от нуля угле падения θ.
Как следует из структуры диэлектрической проницаемости εl(ω, k), частоты 
ωres в основном зависят от толщины d плёнки, а также от величин ωp и либо от 
υF в случае вещества металла, либо от υT в случае вещества полуметалла или 
полупроводника плёнки (см. [4]). Они очень слабо зависят или почти не зависят 
от остальных параметров веществ плёнки и окружающих сред, а также от угла 
падения, если выполняется условие:

 

.

p

c
d << ω
 
(6)

Необходимость данного условия вытекает из оценки вклада kx в kn согласно 
(5). С физической точки зрения, величина c/ωp есть толщина скин-слоя, являющаяся глубиной проникновения электромагнитного излучения в проводник. И 
естественно понять, что плазмонные резонансы можно наблюдать в слое толщиной d гораздо меньшей, чем толщина скин-слоя.
Нижняя оценка для толщины d проводящей плёнки, понимаемая в рамках 
классической физики, следует из того, что эта толщина должна быть много больше характерной длины волны де Бройля электронов проводимости, т. е. должно 
быть выполнено условие

 

,

e
d
m
>>
υ
ℏ
 
(7)

где ℏ – приведённая постоянная Планка, и либо υ = υF для металлической, либо 
υ = υT для полуметаллической или полупроводниковой плёнок.
Далее, в [4; 10] показано, что расстояние между соседними резонансными частотами имеет порядок:

 

~
,
res
d
πυ
Δω
 
(8)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

13

где либо υ = υF для металлической, либо υ = υT для полуметаллической или 
полупроводниковой плёнок. Данная оценка качественно следует из структуры 
проницаемости εl(ω, k) и формул (4) и (5). С одной стороны, формула (8) позволяет достаточно быстро оценить толщину плёнки по известным резонансным частотам ωres и скорости υ электронов проводимости. С другой стороны, 
по известным величинам ωres и d по формуле (8) можно определить параметр υ 
и, следовательно, найти либо скорость Ферми υF, либо по тепловой скорости υT 
определить температуру T электронов проводимости.
Чтобы определить из эксперимента частоты плазмонных резонансов ωres, находят коэффициенты отражения R и прохождения Tr излучения в проводящей 
плёнке по измеренным интенсивностям JI, JR и JT излучений и формуле (1) для 
частот ω в области, в которой находятся частоты ωres. Эти резонансные частоты 
соответствуют критическому поведению коэффициентов R и Tr. Далее, по набору частот ωres и формул (2)–(5) для R и Tr находят толщину d проводящей плёнки, 
а также её другие характеристики, такие как температура T в случае вещества 
полуметалла или полупроводника, а также характеристики материала плёнки из 
величин ωp, ν, υF и me.
Для точного нахождения этих величин должны выполняться условия (6) и (7), 
а для быстрой оценки величин можно использовать формулу (8). Условия (6) и (7) 
с учётом обычных значений ωp, υF и T для металлов, полуметаллов и полупроводников показывают, что толщины d тонких проводящих плёнок должны лежать в 
области от 1 нм до 1 мкм. И тогда частоты плазмонных резонансов плёнки ωres находятся в диапазонах от терагерцового до инфракрасного для вещества полуметалла 
или полупроводника и от видимого до ультрафиолетового для металла.

Рис. 2. Зависимость коэффициента R от ω для плёнки из калия различной 
толщины d, ωp = 6,61 ⋅ 1015 с–1: 1 – d = 1,286 нм, 2 – d = 6,43 нм.
Fig. 2. Th e dependence of the coeffi  cient R on ω for a potassium fi lm of various 
thicknesses d, ωp = 6,61 ⋅ 1015 с–1: 1 – d = 1,286 nm, 2 – d = 6,43 nm. 

Источник: [8].

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 2

14

На рис. 2 и 3 даны теоретические зависимости коэффициентов R и Tr от частоты излучения ω. На рис. 2 показана зависимость коэффициента отражения R от 
ω для плёнок из металла калия двух различных толщин d [8]. А на рис. 3 изображены зависимости коэффициента прохождения Tr от ω для плёнки из полуметалла графита одной толщины при трёх различных температурах [9]. При этом 
всюду угол падения θ = 60°, а диэлектрические проницаемости ε1 = 1 и ε2 = 2. 
Толщины d этих плёнок удовлетворяют условиям (6) и (7), поскольку для калия 
ωp = 6.61⋅1015 с–1 и υF = 8.5⋅105 м/с, а для графита в изотропном приближении 
ωp = 2.54⋅1014 с–1, и эффективная масса электронов проводимости примерно равна массе свободного электрона.
Эти зависимости показывают критическое поведение оптических коэффициентов R и Tr при резонансных частотах ωres > ωp. При этом выполняются соотношения (8), а также зависимость резонансных частот от температуры T в случае полуметалла или полупроводника. Значения же резонансных частот можно 
определить с достаточно малой погрешностью, и относительная погрешность 
определения толщины плёнки d оказывается не хуже 1% (см. [4]).

Рис. 3. Зависимость коэффициента Tr от частоты ω для плёнки из графита толщиной 
d = 20 нм при различных температурах T, ωp = 2,54 ⋅ 1014 с–1:
1 – T = 265К, 2 – T = 294 К, 3 – T = 323 К.
Fig. 3. Th e dependence of the coeffi  cient Tr on the frequency ω for a graphite fi lm of 
thickness d = 20 nm at various temperatures T, ωp = 2,54 ⋅ 1014 с–1:
1 – T = 265К, 2 – T = 294 К, 3 – T = 323 К. 

Источник: [9].

Заключение
В данной работе предложен и описан метод измерения характеристик тонких 
проводящих плёнок по плазмонным резонансам. В результате теоретического 
анализа зависимостей оптических коэффициентов отражения и прохождения 
излучения от частоты для тонкой проводящей плёнки, содержащих диэлектрические проницаемости плазмы электронов проводимости, показана связь частот