Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства

Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена

Ю. В. Маслова

ОСНОВЫ
МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Часть II. Евклидовы пространства

Учебно-методическое пособие
для студентов педагогических вузов

Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А. И. Герцена
2018

1

ББК 22.151.1
М 31

Маслова Ю. В.
М 31
Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства: учебно-методическое пособие для студентов педагогических
вузов. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. — 57 с.

ISBN 978-5-8064-2529-5

Материал, представленный в учебно-методическом пособии, соответствует действующей учебной программе по геометрии, которая является частью основной образовательной программы подготовки бакалавра
по направлениям «01.03.02 – Прикладная математика и информатика» и
«44.03.01 – Педагогическое образование», профиль «Математическое образование». Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как
предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс
линейной алгебры студентами пройден.

ББК 22.151.1

ISBN 978-5-8064-2529-5
c⃝ Маслова Ю. В., 2018
c⃝ Смилга Л. Б., оформление обложки, 2018
c⃝ Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2018

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.................................................................................................. 5
§ 1. Евклидово векторное пространство........................................................6
1.1. Определение и следствия из аксиом евклидова векторного пространства............. ..........................................................................................6
1.2. Примеры евклидовых векторных пространств..............................7
1.3. Длина вектора и угол между векторами........................................8
1.4. Ортонормированный базис...........................................................12
1.5. Изоморфизм евклидовых векторных пространств......................16
1.6. Ортогональное дополнение...........................................................18
Вопросы и упражнения к § 1.........................................................................19
§ 2. Евклидово точечное пространство.........................................................21
2.1. Определение евклидова точечного пространства.........................21
2.2. Примеры евклидовых точечных пространств..............................21
2.3. Расстояние между точками...........................................................22
Вопросы и упражнения к § 2.........................................................................23
§ 3. Декартовы координаты..........................................................................24
3.1. Декартова система координат.......................................................24
3.2. Переход к новой системе координат..............................................24
Вопросы и упражнения к § 3.........................................................................25
§ 4. Плоскости в евклидовом точечном пространстве..................................27
4.1. Задание плоскости точкой и нормальным подпространством.....27
4.2. Перпендикуляр к плоскости.........................................................28
4.3. Расстояние от точки до гиперплоскости.......................................29
4.4. Ортогональные плоскости............................................................30
Вопросы и упражнения к § 4........................................................................32
§ 5. Преобразования евклидова точечного пространства............................34
5.1. Определение и простейшие свойства движения...........................34
5.2. Теорема подвижности...................................................................34
5.3. Аналитическое задание движения. Род движения.......................35
5.4. Группа движений. Равенство фигур. Инвариантная фигура......35
5.5. Виды движений.............................................................................36
5.5.1. Параллельный перенос.......................................................36
5.5.2. Симметрия относительно k-мерной плоскости..................36
5.5.3. Поворот вокруг (n−2)-мерной плоскости..........................37

3

5.6. Примеры аффинных преобразований евклидовых точечных
пространств................................................................................................39
5.6.1. Гомотетия..........................................................................39
5.6.2. Подобие.............................................................................40
Вопросы и упражнения к § 5......................................................................40
§ 6. Многогранники в евклидовом точечном пространстве.......................42
6.1. Определитель Грама. Объёмы...................................................42
6.2. Определение правильного многогранника.Символ Шлефли....44
6.3. Простейшие примеры правильных многогранников.................46
6.4. Теорема Шлефли о классификации правильных
многогранников..........................................................................................49
Вопросы и упражнения к § 6......................................................................50
§ 7. Групповой подход к геометрии............................................................51
Литература........................................................................................54

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебно-методическое пособие написано в соответствии
с действующей учебной программой по геометрии и предназначено для
студентов факультета математики РГПУ им. А.И. Герцена. Оно состоит из двух книг и посвящено геометрии n-мерных пространств. Первая
книга («Основы многомерной геометрии. Часть I. Аффинные пространства») посвящена n-мерным аффинным пространствам, вторая книга
(«Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства»)
посвящена n-мерным евклидовым точечным пространствам. В пособии
изложены наиболее наглядные вопросы геометрии n-мерных пространств,
относящиеся к k-мерным плоскостям и многогранникам рассматриваемого пространства. Классификация квадрик в аффинном и евклидовом
пространствах в этом пособии не излагаются. Для изучения этих тем
предлагаем читателю обратиться к книгам [7], [9].
Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и
указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс линейной
алгебры ([3], [4]) студентами пройден.
Автор настоящего пособия поставил перед собой ряд задач:
1) познакомить читателя с основными принципами аксиоматического построения математической теории (в частности, геометрии);
2) построить n-мерное евклидово точечное пространство, основываясь
на аксиоматическом методе;
3) изложить наиболее наглядный материал геометрии n-мерных пространств: k-мерные плоскости и многогранники;
4) подобрать набор задач и упражнений, необходимых для лучшего усвоения теоретического материала.
Автор считает своим долгом поблагодарить Т.Г. Ходот за помощь
и поддержку при подготовке данного пособия, а также за полезные комментарии и исправления.

5

§ 1. ЕВКЛИДОВО ВЕКТОРНОЕ
ПРОСТРАНСТВО

1.1. Определение и следствия из аксиом
евклидова векторного пространства

Пусть V – векторное пространство, R – поле действительных чисел.
Определение. Скалярным произведением векторов пространства
V называется отображение V × V → R, которое каждой упорядоченной
паре элементов u и v из V ставит в соответствие число из R, которое
мы будем обозначать (u, v), удовлетворяющее следующим аксиомам.
Аксиома V1. ∀ u , v ∈ V
(u, v) = (v, u).
Аксиома V2. ∀ u , v , w ∈ V
(u + v, w) = (u, w) + (v, w).
Аксиома V3. ∀ u , v ∈ V
∀ l ∈ R
(l u , v ) = l( u , v ).
Аксиома V4. ∀ u ∈ V
(u ̸= 0 → (u, u) > 0).

Определение. Векторное пространство V , на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым векторным пространством.
Будем обозначать евклидово векторное пространство через E. Если при этом размерность евклидова векторного пространства равна n,
то оно называется n-мерным евклидовым векторным пространством и
обозначается En.
Таким образом, система аксиом n-мерного евклидова векторного
пространства состоит из четырех групп: I и II группы – аксиомы векторного пространства, III группа – аксиомы размерности и V группа –
аксиомы скалярного произведения.

Из аксиом V группы непосредственно вытекают следующие три
свойства евклидового векторного пространства.
Следствие 1. ∀ u , v , w ∈ E
( u , v + w )=( u , v )+( u , w ).
Следствие 2. ∀ u , v ∈ E
∀ l ∈ R
( u , l v )=l( u , v ).
Следствие 3. ∀ u ∈ E
(0, u )=0.
Доказательство. Поскольку 0 = 0 u и (0 u , u )=0( u , u )=0, cледовательно, (0, u ) = (0 u , u )=0.
Следствие 4. u = 0 ⇐⇒ (u, u) = 0.

6

1.2. Примеры евклидовых векторных пространств

1) В n-мерном координатном пространстве Rn зададим скалярное
произведение. Пусть u = (u1, u2, . . . , un) и v = (v1, v2, . . . , vn) – векторы
пространства Rn. Скалярное произведение векторов u и v положим
равным сумме произведений соответствующих компонент:

( u , v ) = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn.

Легко проверить, что в этом случае все аксиомы скалярного произведения выполнены. Следовательно, пространство Rn, с заданным таким
образом скалярным произведением, является n-мерным евклидовым векторным пространством. Будем называть его n-мерным координатным
евклидовым пространством.
2) Множество геометрических векторов с операциями сложения
векторов и умножения вектора на число из R, на котором задано скалярное произведение векторов формулой (u,v)=|u|·|v|·cos(u, v), является
евклидовым векторным пространством. Аксиомы V1 – V4 выполняются,
это доказано в курсе аналитической геометрии.
3) Рассмотрим двумерное координатное пространство R2. Определим скалярное произведение в R2 следующим образом: для любых векторов u = ( u1, u2) и v = ( v1, v2) положим

( u , v ) = u 1 v 1 + u 1 v 2 + u 2 v 1 + 2 u 2 v 2.

Пусть u = ( u1, u2), v = ( v1, v2), w = ( w1, w2) – произвольные векторы из R2 и l – произвольное число из R. Проверим, что аксиомы V1 –
V4 выполняются.
V1: ( u , v ) = u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + 2u2 v2 = u1 v1 + u2 v1 + u1 v2 +
2v2 u2 = u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + 2v2 u2 = ( v , u ).
V2: ( u + v , w ) = ( u1 + v1) w1 + ( u1 + v1) w2 + ( u2 + v2) w1+
+2( u2 + v2) w2 = ( u1 w1 + v1 w1) + ( u1 w2 + v1 w2) + ( u2 w1 + v2 w1)+
+(2u2 w2 + 2v2 w2) = ( u1 w1 + u1 w2 + u2 w1 + 2u2 w2) + ( v1 w1 + v1 w2+
+ v2 w1 + 2v2 w2) = ( u , w ) + ( v , w ).
V3: (l u , v ) = (l u1) v1 + (l u1) v2 + (l u2) v1 + 2(l u2) v2 = l( u1 v1+
+ u1 v2 + u2 v1 + 2 u2 v2) = l( u , v ).
V4: пусть u ̸= 0, тогда ( u , u ) = u1 u1 + u1 u2 + u2 u1 + 2 u2 u2 =
= u2
1 + 2 u1 u2 + 2 u2
2 = ( u1 + u2)2 + u2
2 > 0.
Таким образом, пространство R2, с заданным на нём скалярным
произведением ( u , v ) = u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + 2 u2 v2, является двумерным евклидовым векторным пространством.

7

1.3. Длина вектора и угол между векторами

Понятие скалярного произведения даёт возможность определить
длину вектора и угол между векторами. Пусть, далее, E – евклидово
векторное пространство.
Определение. Длиной (или нормой) вектора u ∈ E называется
число, равное арифметическому квадратному корню из его скалярного
квадрата, то есть
| u | =
( u , u ).

Заметим, что из определения следует, что длина нулевого вектора
равна нулю.
Из определения также следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

| u |2=( u , u ).

В случае, если | u | = 1, вектор u называется нормированным.
Заметим, что для любого ненулевого вектора u ∈ E вектор l u при

l = ±
1
( u , u )
является нормированным. Действительно,

|l u | =
(l u , l u ) =
l2( u , u ) = |l| ·
( u , u ) = |l| · | u | =

1
( u , u )
·
( u , u ) = 1.

Теорема 1 (неравенство Коши – Буняковского). В евклидовом векторном пространстве для любых его векторов u и v выполняется следующее неравенство:

|( u , v )| ≤ | u | · | v |.
(1)

Доказательство. Если хотя бы один из векторов нулевой, то
|( u , v )| = 0 и | u | · | v | = 0, и следовательно, утверждение теоремы
выполнено. Пусть теперь векторы u и v ненулевые. Рассмотрим вектор
u + l v , где l ∈ R. По аксиомам группы V и их следствиям имеем
( u + l v , u + l v ) ≥ 0, то есть

( u , u ) + 2l( u , v ) + l2( v , v ) ≥ 0.
(2)

8

Это возможно тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного
трёхчлена отрицательный или равен нулю, то есть

( u , v )2 − ( u , u ) · ( v , v ) ≤ 0.
(3)

Это равносильно неравенству |( u , v )| ≤ | u | · | v |. Теорема доказана.
Неравенство (1) называется неравенством Коши – Буняковского.
Напомним, что два вектора называются коллинеарными, если они
линейно зависимы. Следовательно, нулевой вектор коллинеарен любому
вектору.
Замечание. Знак равенства в формуле (1) имеет место тогда и
только тогда, когда векторы u и v коллинеарны.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда векторы
u и v ненулевые. Пусть векторы u и v коллинеарны, тогда v = l u .
Откуда получаем

|( u , v )|=|( u , l u )|=|l( u , u )|= |l|·|( u , u )|=|l|·( u , u )=
=|l|| u |2=|l|| u |·| u | =|l u |·| u |=| v |·| u |.

Пусть теперь |( u , v )|=| u |·| v |. Тогда формула (3) будет иметь вид

( u , v )2-( u , u )·( v , v )=0,

и квадратное уравнение

( u , u )+2l( u , v )+l2( v , v )=0

имеет вещественный корень. Следовательно, ( u + l v , u + l v )=0. Таким
образом, u +l v =0, и векторы u и v коллинеарны. Теорема доказана.
Определение. Векторы u и v называются сонаправленными, если v =l u и l > 0. Векторы u и v называются противоположнонаправленными, если v =l u и l < 0.
Теорема 2 (неравенство треугольника). Для любых векторов
u и v ∈ E выполнено неравенство

| u + v | ≤ | u | + | v |,

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы
u и v сонаправлены или один из векторов нулевой.
Доказательство. Рассмотрим выражение | u + v |2. Используя
неравенство Коши – Буняковского (1), получаем:

| u + v |2= ( u + v , u + v )= ( u , u )+ 2( u , v )+ ( v , v )≤
≤| u |2+ 2| u |·| v |+ | v |2= (| u | + | v |)2.

9

Следовательно, | u + v | ≤ | u | + | v |.
Согласно замечанию выше, равенство ( u , v ) = | u | · | v | возможно
тогда и только тогда, когда один из векторов нулевой или векторы u и v
коллинеарны и сонаправлены, то есть v = l u и l>0. Теорема доказана.
Следствие 1. Если векторы u и v ненулевые, то выполнено
неравенство

−1 ≤ ( u , v )

| u | · | v | ≤ 1.

Полученную дробь можно рассматривать как косинус некоторого аргумента.
Определение. Углом между ненулевыми векторами u и v евклидова векторного пространства E называется вещественное число a,
для которого выполняются условия

cos a = ( u , v )

| u | · | v |,
0 ≤ a ≤ p.
(4)

Определение. Векторы называются ортогональными, если угол
между ними равен p

2.
Далее, договоримся считать нулевой вектор ортогональным любому вектору.
Ортогональные векторы u и v будем обозначать следующим образом: u ⊥ v .
Теорема 3. u ⊥ v ⇔ ( u , v ) = 0.
Докажите это самостоятельно.
Следствие 2. Если u ⊥ v , то l u ⊥ m v для любых вещественных чисел l ̸= 0 и m ̸= 0.
Докажите это самостоятельно.

Из (4) следует, что |( u , v )| = | u | · | v | · cosa. В школьном курсе
геометрии это равенство рассматривается как определение скалярного
произведения. В нашем случае при изложении материала в соответствии
с аксиоматикой Вейля оно является лишь следствием из определения
угла между векторами.

Теорема 4 (теорема Пифагора). Если векторы u и v ортогональны, то | u + v |2=| u |2+| v |2.
Это легко следует из теорем 2 и 3 этого пункта.
Следствие 3. Если векторы u 1, u 2,..., u n попарно ортогональны,
то | u 1 + u 2 + ... + u n|2=| u 1|2 + | u 2|2 + ... + | u n|2.

10

Теорема 5. Если ненулевые векторы u 1, u 2,..., u n евклидова векторного пространства попарно ортогональны, то они линейно независимы.
Доказательство. Рассмотрим равенство

l1 u 1 + l2 u 2 + ... + ln u n = 0,

где l1, l2, ..., ln ∈ R. Покажем, что оно выполнено только в случае, когда
l1 = l2 = ... = ln = 0.
Так как

(l1 u 1 + l2 u 2 + ... + ln u n, u i) = (0, u i) = 0

и

(l1 u 1 +l2 u 2 +...+ln u n, u i) = l1( u 1, u i)+l2( u 2, u i)+...+ln( u n, u i)

для произвольного u i ∈ { u 1, u 2, ..., u n}, получаем

l1( u 1, u i) + l2( u 2, u i) + ... + ln( u n, u i) = 0.

Поскольку ( u j, u i)=0 для всех j ̸= i, получаем li( u i, u i)=0. Но, так
как u i ̸= 0 и ( u i, u i) ̸= 0, следовательно li = 0.
В силу того, что рассуждения верны для произвольного вектора
u i ∈ { u 1, u 2, ..., u n}, получаем l1 = l2 = ... = ln = 0. Следовательно,
векторы u 1, u 2, ..., u n линейно независимы. Теорема доказана.
Следствие 4. В n-мерном евклидовом векторном пространстве
любая система, состоящая из n ненулевых попарно ортогональных векторов, является базисом этого пространства.
Теорема 6 (процесс ортогонализации). Если в евклидовом векторном пространстве существует линейно независимая система из n
векторов, то в нём существует и система из n попарно ортогональных ненулевых векторов.
Договоримся систему векторов, состоящую из одного вектора, считать ортогональной.
Доказательство. Пусть u 1, u 2, ..., u n – произвольная линейно
независимая система векторов евклидова векторного пространства. Построение новой системы будем проводить по индукции относительно n.
Если n = 1, то положим v 1 = u 1, и система, состоящая из одного
вектора v 1, искомая.
Если n > 1, то предположим, что для n−1 искомая система построена: v 1, v 2, ..., v n−1. Положим v n = u n + l1 v 1 + l2 v 2 + ... + ln−1 v n−1,

11

где li = −( u n, v i)

( v i, v i) и i ∈ {1, 2, ..., n − 1}. Проверим, что v n ⊥ v i для

любого i ∈ {1, 2, ..., n − 1}. Действительно,

( v n, v i) = ( u n + l1 v 1 + l2 v 2 + ... + ln−1 v n−1, v i) =

= ( u n, v i) + l1( v 1, v i) + l2( v 2, v i) + ... + ln−1( v n−1, v i) =

= ( u n, v i) + li( v i, v i) = ( u n, v i) − ( u n, v i)

( v i, v i) · ( v i, v i) =

= ( u n, v i) − ( u n, v i) = 0.

Нетрудно проверить, что в системе векторов v 1, v 2, ..., v n нет нулевых
элементов. Действительно, вектор v 1 ̸= 0. Пусть при k = 1, 2, ..., n − 1
векторы v 1, v 2, ..., v k ненулевые, тогда, если предположить, что вектор
v k+1 = 0, то получаем, что вектор u k+1 является линейной комбинацией
векторов v 1, v 2, ..., v k. В свою очередь, векторы v 1, v 2, ..., v k линейно
выражаются через векторы u 1, u 2, ..., u k. Следовательно, вектор u k+1
является линейной комбинацией векторов u 1, u 2, ..., u k, и система векторов u 1, u 2, ..., u k, u k+1 линейно зависима. Но это противоречит условию линейной независимости системы u 1, u 2, ..., u n.
Таким образом, мы построили систему v 1, v 2, ..., v n попарно ортогональных ненулевых векторов. Теорема доказана.

1.4. Ортонормированный базис

Определение. Базис e 1, e 2, ..., e n евклидова векторного пространства называется ортонормированным, если его элементы попарно ортогональны и имеют единичные длины, то есть

( e i, e j) =

0, если i ̸= j ,
1, если i = j .

Теорема 7. В каждом n-мерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть u 1, u 2, ..., u n – произвольный базис
n-мерного евклидова векторного пространства. Применим к векторам
u 1, u 2, ..., u n процесс ортогнализации (см. теорему 6 п. 1.3), получим
ненулевые векторы v 1, v 2, ..., v n, которые попарно ортогональны. По
теореме 5 п. 1.3 система векторов v 1, v 2, ..., v n линейно независима.

12