Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2003, №2

УДК 539.3:534:532.5 

 

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ 

СТРУКТУРЫ В ВЯЗКОУПРУГИХ СТЕРЖНЯХ 

 

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук 

Кубанский государственный аграрный университет 

Лаптев В.Н. – канд. техн. наук 

Кубанский государственный аграрный университет 

Елисеев Н.И. – соискатель 

Краснодарский военный институт им. С.М. Штеменко 

 

Предложен вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупру
гого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических 

кинематических уравнений. Проанализирован общий случай, когда вязкоупругие свой
ства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для эволюционного урав
нения Кортевега де Вриза – Бюргерса, к которому сводятся методом возмущений полу
ченные уравнения движения, определено точное решение, описывающее продольные 

уединенные волны. Определены условия формирования ударно-волновых структур де
формации сжатия и растяжения стержня.  

 

В работе [1] исследуются уединенные нелинейные волны в упругих 

стержнях. Дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях 

при упругих объемных деформациях рассмотрены в монографии [2]. В от
личие от [2] в предлагаемой cтатье проанализирован более общий случай 

распространения уединенных волн, когда вязкоупругие свойства стержня 

проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. 

Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сече
ния, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Вве
дем систему координат, направив ось x вдоль линии центров тяжести по
перечных сечений, а оси y и z расположим в одном из них. Учитывая 

инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек 

стержня функциями [1] 

),
,
(
1
t
x
u
u =
 
 
,
2
x
yu
u
ν
−
=
 
x
zu
u
ν
−
=
3
, 
 
 
 
(1) 

где 
3
2
1
,
,
u
u
u
– соответственно перемещения по осям x, y, z, t  – время, ν - 

коэффициент Пуассона. 

Конечные деформации стержня зададим соотношениями тензора 

Грина: 

),
(
2
1
,
,
,
,
j
k
i
k
i
j
j
i
ij
u
u
u
u
+
+
=
ε
  
 
 
 
(2) 

предполагая, что 
,
1
x
x =
,  
,
2
y
x =
  
.
3
z
x =
 

Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания 

наследственных реологических свойств стержня [3] 

]
d
)
(
)
(
[
)
(

d
)]
(
)
(
[
2
)
(

)
(

)
(

τ
τ
θ
α
−
θ
=
σ

τ
τ
α
−
µ
=

∫

∫

∞
−

τ
−
β
−

∞
−

τ
−
β
−

t
t

ij

t
t
ij
ij

e
t
K
t

e
e
t
e
t
s
, 
 
(3) 

где 
ij
ij e
s ,
 − соответственно компоненты девиаторов напряжений и дефор
маций; 
ii
σ
=
σ
3
1
 − среднее напряжение, 
ii
ε
=
θ
 − объемное расширение, 

)
2
1(3
ν
−
=
E
K
 − модуль объемной деформации, 
)
1(
2
ν
+
=
µ
E
 − параметр Ламе; 

β
α,  - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е − мо
дуль Юнга;
ν  − коэффициент Пуассона. 

С целью упрощения исследования интегральные операторы в урав
нениях (3) заменим дифференциальным разложением функции 
)
(
),
(
τ
θ
τ
ij
е
 в 

ряд Тейлора по степеням (
τ
−
t
), ограничиваясь при этом двумя слагаемы
ми, при условии t
β >>1.  

В результате получаем приближенные формулы для компонент на
пряжений 

)
2
(
ij
ij
ij
L
µε
+
λθδ
=
σ
,  
 
 
 
(4) 

где введен оператор L, определяемый равенством 
)
(
t
L
β
α
−
+
∂
∂

β

α
=
1
2
 и дейст
вующий на функцию 
)
f(t  по правилу 
f)
1(
f
f
2
β
α
−
+
β

α
=
t
L
, а 
)
2
1
)(
1(
ν
−
ν
+

ν
=
λ
E
 − 

параметр Ламе. 

Формулы (4) представим в развернутом виде: 

(
)
)
(
)
([
]
ν
µ
+
λ
+
λ
ν
+
µ
+
λ
+
=
σ
2
2
2
2
2
11
2
2
2
2
1
xx
x
x
u
r
u
Еu
L
; 

(
)
)
[
]
λν
+
λ
+
ν
µ
+
λ
=
σ
=
σ
2
2
2
2
2
33
22
2
(
2
1
xx
x
u
r
u
L
; 

(
)]
[
2
12
xx
x
xx
u
u
u
y
L
ν
+
ν
−
µ
=
σ
; 

 
 
(
)]
[
2
13
xx
x
xx
u
u
u
z
L
ν
+
ν
−
µ
=
σ
 

или 

(
)]
[
2
2
2
2
1
11
xx
x
x
u
r
A
u
A
u
E
L
+
+
=
σ
; 

(
)]
[
у
у
2
xx
2
2
x
1
33
22
2u
B
B
E
L
r
u
+
=
=
; 

(
)(
)+
−
+
=
xx
x
xx
12
2
н
н
н
1
2
у
u
u
u
Ey
L
; 

(
)(
)−
+
=
+
xx
x
xx
13
2
н
н
н
1
2
у
u
u
u
Ez
L
, 

где 
 

(
)1
2 3
1
+
ν
−
ν
= a
A
, 
(
)1
2
2
2
1
+
ν
−
ν
ν
= a
B
, 
(
)
ν
−
ν
=
1
2
2
a
A
,  

3
2
ν
= a
B
,  
(
)(
)
ν
−
ν
+
=
2
1
1
2
1
a
,   
2
2
2
y
z
r
+
=
. 

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа 

∫∫∫
∫
=
δε
σ
−
δ
ρ
=
δ
V
ij
ij
i
i

t

t
V
u
u
t
J
0
d
}
{
d

2

1
&
&
,  
 
 
(5) 

где точкой обозначена производная по t, ρ − плотность материала стержня, 

ij
δε − вариации деформаций, 
iu
δ  – вариации перемещений, а тройной инте
грал вычисляется по объему стержня. 

Вычислим вариации деформаций стержня 

xx
xx
x
x
x
u
u
r
u
u
u
δ
ν
+
δ
+
δ
=
δε
2
2
11
, 

x
x
u
u
δ
ν
+
ν
−
=
δε
=
δε
)
(
2
33
22
, 

)
(
2
2

2

12
xx
x
x
xx
xx
u
u
u
u
y
u
y
δ
+
δ
ν
+
δ
ν
−
=
δε
, 

)
(
2
2

2

13
xx
x
x
xx
xx
u
u
u
u
z
u
z
δ
+
δ
ν
+
δ
ν
−
=
δε
. 

Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя фор
мулы (4), а также вариации компонент деформации 

(
)
{
+
+
+
+
+
+
−
=
δ
x
xx
x
x
x
xx
x
x
u
u
r
A
u
A
u
u
r
Б
u
Б
u
E
L
w
2
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
[
 

+
(
)
+
+
+
ν
xx
xx
x
xx
xx
x
u
r
A
u
u
A
u
u
r
3
2
2
2
1
2
2
 

(
) +
ν
−
ν
−
ν
+
ν
+
x
xx
x
x
xx
x
u
u
r
B
u
B
u
r
B
u
B
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
2
 

+ (
) (
)
(
(
) +
ν
+
−
ν
−
ν
+
−
ν
+
ν
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
u
u
u
u
u
r
2
2
2
2
4
1
4
 

+ (
) ) ] } u
u
u
u
u
xx
xx
x
xx
x
δ
ν
+
−
ν
2
. 

После преобразований приходим к равенству: 

(
[
{
+
+
+
+
−
=
δ
xx
x
xx
x
xxx
xx
xx
x
xx
u
u
A
u
u
u
u
r
A
u
u
A
u
E
L
w
2
1
2
2
1
3
2
2
2
 

)
(
+
+
+
ν
+
+
+
2
1
2
2
2
2
2
4
2
2
2
x
xxx
xxx
x
xx
xxx
xx
x
xx
u
u
A
u
u
u
r
u
u
u
r
A
u
r
A
 

)
(
−
ν
+
ν
+
+
+
xxx
xx
xx
x
x
xxx
xx
x
xx
u
u
r
B
u
u
B
u
u
r
A
u
u
A
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
 

  
) +
ν
−
ν
−
ν
−
xxx
xx
x
xx
xx
x
u
u
u
B
r
u
r
B
u
u
B
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
 

  
+ (
)
(
)
(
xx
xx
x
xx
x
xxxx
u
u
u
u
u
r
2
2
2
2
1
4
ν
−
ν
−
ν
+
ν
(
) ) ] } u
u
u
u
x
xx
x
xx
δ
ν
+
−
ν
−
2
2
. 

Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в 

него значения вариации внутренней энергии:  

(
)
(
)
[
{
(
)
+
ν
+
ν
−
−
−
ν
−
+
ν
+
−
ρ
xxxx
xx
x
xx
ttxx
tt
u
r
u
u
A
B
u
u
E
L
u
r
u
1
4
2
2

2
2

1
1
2
2
 

 
(
) −
ν
+
ν
−
ν
−
−
ν
+
ν
+
ν
−
ν
+
−
ν
+
1
2
3
4
2
6
1
4
2
3

2
4
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
r
r
B
r
A
A
r
u
u
r
r
B
r
A
r
xxx
xx

 
(
)
(
)
(
)
+
ν
+
ν
+
ν
+
−
ν
+
−
ν
+
ν
−
xxxx
x
xx
xx
x
xxx
xx
x
u
u
r
r
u
r
A
u
u
B
A
u
u
u
r
1
2
6
3
1
2

2
3
2
2
4
2
2
2
1
1

2
3

 
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
ν
+
ν
+
ν
+
ν
−
ν
+
xxxx
x
xx
u
u
r
r
A
u
r
r
B
r
A
2
4
2
2
2
1
3
2
4
2
2
2
2
1
2
1
4
1
2
2
2
 

] }
0
3
6
2
2
4
2
2
4
2
2
=
ν
+
ν
+
xxxx
xx
xxx
xx
u
u
r
A
u
u
r
A
. 

 После преобразования уравнение представим в виде: 

  
(
)
{
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
+
ν
−
+
+
ν
+
−
ρ
xxxx
xx
x
xx
ttxx
tt
u
r
u
u
B
A
u
LE
u
r
u
1
4
2
4
2

2
2

1
1
2
2
 

 
 
(
+
ν
+
ν
−
+
ν
+
ν
+
ν
−
ν
−
+
2
2
1
2
2
2
3

2
2
2
2
4
6
2
1
4
3
2
B
A
A
r
u
u
B
A
z
xxx
xx
 

 
 
(
)
(
) )
(
)
−
α
+
ν
+
+
ν
+
ν
+
ν
+
ν
+
4
2
2
2
1
1

3
4
6
3
1
2
1
2
3
xx
xx
x
xxx
xx
x
u
r
u
u
B
A
u
u
u
 
 

 
 
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
ν
+
ν
−
+
ν
+
ν
+
ν
−
3
4

2
2
1
2
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
xx
xxxx
x
u
B
A
r
u
u
z
 

  
(
)
}
0
3
6
1
4

2
4
2
2
3
4
2
2
2
1

4
2
=
ν
−
ν
−
ν
−
ν
+
ν
+
xxxx
xx
xxx
xx
u
u
r
A
u
u
r
A
A
r
. 

В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным пере
менным  

 
t
l
c

l
x −
=
ξ
, 
t
l
c
ε
=
τ
, 
A
u
u =
*
, 
d
x
x =
*
, 
d
y
y =
*
,  

где A – амплитудный параметр возмущения; l , d – соответственно харак
терные длина волны и поперечный размер стержня, 
−
c скорость волны, 

l
A
=
ε
 – характеристика нелинейности волнового процесса. 

Допустим, что 
l
A
=
ε
 – малый параметр, т.е. характерная длина волны 

l  значительно превосходит амплитудный параметр A, а поперечный раз

мер стержня и реологические постоянные 
,
,β
α
 определяют отношения по
рядков 

  
 
 
)
(
2
ε
=
β

α
O
l

c
, 
 
)
( ε
= O
l
d
. 

 Пренебрегая членами порядка выше, чем ε , получаем безразмерное 

уравнение движения стержня: 

 
+
β

α
−
β
α
−
+
ν
+
ε
+
−
Ε
ρ
ξξξ
ξξ
ξξξξ
ξτ
ξξ
u
l

c
u
u
l

r
u
u
c

2
2

2
2
2
1
2
 

(
)
(
)

0
1
1
4
1
2
4
2
2

2
2

1
1
=
β
α
−
ν
+

ν
−
ε
β
α
−
+
ν
−
+
ξξξξ
ξξ
ξ
u
l

r
u
u
В
A
   
(6) 

Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим 

функцию 
)
,
(
τ
ξ
u
в виде асимптотического разложения 

K
+
ε
+
=
1
0
u
u
u
. 
 
 
 
 
 
(7) 

Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в урав
нение (6), и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом при
ближении получим  

                                
0
1
0

2
=
β
α
−
+
ρ
−
ξξ
u
E
c
. 

Согласно условию 
0
0
≠
ξξ
u
, из последнего уравнения найдем скорость 

распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне  

)
1(
β
α
−
ρ
=
E
с
. 
 
 
 
 
 
(8) 

Из формулы (8) при 
0
=
α
, т.е. отсутствии свойства вязкости, вытека
ет известная формула для скорости распространения продольной волны в 

линейно-упругом стержне: 

 
ρ
=
E
с
. 

Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции 
1
u  

в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, что

бы u 0 удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза – Бюргер
са: 

0
3
2
1
=
ψ
+
ψ
+
ψψ
+
ψ
ξξ
ξξξ
ξ
τ
b
b
b
, 
 
 
 
 
(9) 

где 
ξ
=
ψ
0
u
, 
,
1
1
β
α
−
=
b
 

ε

ν
=
2

2
2

2
2l

d
r
b
, 

ε
β

α
−
=
l

c
b
2
3
. 

При исследовании продольных волн в линейно-вязкоупругих стерж
нях были введены малый параметр 
ε
=
l
A
и отношение порядков 
,
~
ε
l
d
из 

которого следует Al ~ d2.. Таким образом, для возникновения уединенной 

волны в стержне требуется условие, связывающее характерный линейный 

размер стержня, амплитуду и длину волны. 

В работе [4] представлено подробное описание точного решения это
го уравнения (9): 

 
 
)]
2
(
1[
5
6
)]
2
(
1[
12
1
1
1

3
1
2
2
1
1

2
ωτ
−
ξ
+
+
ωτ
−
ξ
−
=
ψ
k
th
k
b
b
k
th
k
b
b
,      
 (10) 

где 

2
2

2
3
2
1
25
b

b
k =
, 
1
2

3
3
2
1
3
3
1
2
25
1
5
6
щ
k
b
b
k
b
k
b
−
+
=
      

или  

1

1
3

1

2
1
2
1

1

1
3
1
2

1

2
1
2
5
6
12
)
2
(
5
6
)
2
(
12
b
k
b
b
k
b
k
th
b
k
b
k
th
b
k
b
+
+
ωτ
−
ξ
+
ωτ
−
ξ
−
=
ψ
, 

где 
 
 

2

3
1
5b
b
k
±
=
, 
   
2
2

3
3
125

6
щ
b

b
=
. 

Используя следующие обозначения 

 
 

1

2
1
2
1
12
b
k
b
c
−
=
, 

1

1
3
2
5
6
b
k
b
c =
, 

1

1
3

1

2
1
2
3
5
6
12
b
k
b
b
k
b
c
+
=
, 

получим выражение: 

 
 
3
1
2
1
2
1
)
2
(
)
2
(
с
k
th
с
k
th
с
+
ωτ
−
ξ
+
ωτ
−
ξ
=
ψ
. 

При 
1
в
б <  запишем неравенства вида 
0,
1 >
b
 
0
2 >
b
 
0
3 <
b
, 
0
щ<  и 

найдем коэффициенты с1, с2, с3: 

2
1

2
3
1
25

12

b
b

b
с
−
=
,   
0
c1 < ;  

2
1

2
3
2
25
6
b
b
b
с
±
=
, 
2c  имеет знак 1k ,  

)1
2
(
25
6
25
6

25

12

2
1

2
3

2
1

2
3

2
1

2
3
3
±
=
±
=
b
b
b
b
b
b

b
b

b
с
, 
0
3 >
c
. 

Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом 
0
<
3
b
 и 
0
<
1k
 

уравнение примет вид: 

 
 
 
,
)
2

|
|
|
|(
)
2

|
|
|
|(
3
1
2
1
2
1
c
k
th
c
k
th
c
+
τ
ω
−
ξ
−
τ
ω
−
ξ
=
ψ
  

где   
 

 

2
1

2
3

2
1

3
3
2
2
1

2
3
2
3
b
b
b
b
b
b
b

b
b

b
b
с
25
18
25
6

25

12
=
+
=
. 

Согласно условию 
−∞
→
θ
, получим 
3
2
1
c
c
c
ш
+
−
→
, 

где   
 
 
 
 

τ
ω
−
ξ
=
θ
|
|
|
k
|
1
, а 
2
2
1

2
3
2
2
1

2
3
2
2
1

2
3
2
2
1

2
3
3
2
1
b
b

b

b
b

b

b
b

b

b
b

b
с
с
с
25

12

25

18

25

6

25
=
+
+
−
=
+
−
12
. 

При 
+∞
→
и
  

0
25

18

25

6

25

12
ш
2
2
1

2
3
2
2
1

2
3
2
2
1

2
3
3
2
1
=
+
−
−
=
+
+
→
b
b

b

b
b

b

b
b

b
с
с
с
. 

Производную представим следующим выражением: 

=
ψ θ
'
)
4
1
)
2
|
|
|
|(
(
25

24

)

2

|
|
|
|(

1
1
2
2
1

2
3

1
2
+
ωτ
−
ξ
ωτ
−
ξ
−
k
th
b
b

b
k
ch
. 

Из уравнения 
0
' =
ψθ
 найдем критические точки функции. В ходе пре
образований получаем: 
4
1
)
2

|
|
|
|(
1
−
=
ωτ
−
ξ
k
th
. Функция 
)

2
(θ
ψ
 будет максималь
на в точке, определенной значением 
кр
θ , являющимся корнем уравнения:  

4
1

2
−
=
θ
th
. 

Тогда максимальное значение функции найдем по формуле  

3
2
1
max
4
16
)
2
(
с
с
с
кр
+
+
=

θ

ψ
,  

которую можно записать в виде  

2
2
1

2
3
max
4
3
)
2
(
b
b

b
кр
=
θ
ψ
. 

Вышеприведенный анализ показывает, что при ранее указанных ус
ловиях решение уравнения (9) будет иметь структуру ударной волны, т.е. в 

линейно-вязкоупругом стержне образуется ударная волна растяжения 

)
0
(
>
ψ
. 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
    ψ 

 

   D1

2
D  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      θ 

 
 
 
 
     
кр
θ
 
 
 
 
 
 
 

Зависимость деформаций от перемещений 

 

На рисунке представлена зависимость деформации от перемещения и 

введены обoзначения: 

.
b
b

b
c
D
,
b
b

b
D
кр
max
2
2
1

2
3
3
2
2
2
1

2
3
1
25

18
4
3
2
=
=
=
θ
ψ
=
 

Возвращаясь к размерным переменным 

ct
ct
x
k
k
е
k
щ
(
l
щф
о
и
1

1
1
−
−
=
−
=
), 

определим поправку к скорости распространения волны, согласно выраже
нию: 

ε
ω

1k
. 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пла
стинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985. 

 
2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические за
дачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002.  

146 с. 

3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: 

Наука, 1972. 

4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравне
ний, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 

1990. Т. 54. Вып. 3. С. 450–453.