Элементарная математика: планеметрия

О.В. Шабашова

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА: 

ПЛАНИМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие 

3-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 513.1(075.8) 
ББК 22.150.0 

Ш12 

Научный редактор 

Уткина Т. И., доктор педагогических наук, профессор,  
заведующий кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики 
обучения математике Орского гуманитарно-технологического 
института (филиала) ОГУ 

Рецензенты: 

Макарова Л. Н., доктор педагогических наук, профессор кафедры 
общей педагогики и психологии Тамбовского государственного 
университета им. Г. Р. Державина; 

Шаршов И. А., доктор педагогических наук, профессор кафедры 
общей педагогики и психологии Тамбовского государственного 
университета им. Г. Р. Державина 

Ш12 

Шабашова О.В. 
Элементарная математика: планиметрия [Электронный 
ресурс]: учеб.-метод. пособие / О.В. Шабашова. – 3-е изд., стер. – 
М.: ФЛИНТА, 2020. – 132 с.
ISBN 978-5-9765-2464-4

Решение планиметрических задач является одним из 
слабых мест в профессиональной подготовке будущего учителя 
математики. Цель настоящего пособия – оказать помощь 
студентам в развитии умения решать задачи школьного курса
геометрии. Наличие теоретического материала, раскрывающего 
разнообразие методов решения планиметрических задач, и
большого числа разобранных примеров даст возможность 
использовать пособие не только студентам, но и учителям. 

УДК 513.1(075.8) 
ББК 22.150.0 

ISBN 978-5-9765-2464-4     
 
© Шабашова О. В., 2015 
© Издательство «ФЛИНТА», 2015 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение . .............................................................................................. 4 
1. Основные методы решения планиметрических задач ........... 5 
1.1. Геометрические методы .............................................................. 5 
1.1.1. Метод дополнительных построений ..................................... 5 
1.1.2. Метод вспомогательной окружности ................................... 14 
1.1.3. Метод геометрических преобразований ............................... 23 
1.2. Алгебраические методы .............................................................. 30 
1.2.1. Метод поэтапного решения ................................................... 30 
1.2.2. Метод составления уравнений .............................................. 34 
1.3. Метод координат ......................................................................... 43 
1.3.1. Метод координат в простейших задачах на плоскости ...... 43 
1.3.2. Этапы применения метода координат  
при решении задач………………………………………….……… 46 
1.4. Векторный метод ......................................................................... 53 
1.4.1. Теоретические основы векторного метода ........................... 53 
1.4.2. Применение векторного метода при решении задач ........... 55 
2. Задачи к практическим занятиям .............................................. 61 
2.1. Задачи на повторение курса планиметрии ................................ 61 
2.2. Задачи на усвоение методов решения  
геометрических задач………………………………………………..87
3. Тематические контрольные задания .......................................... 99 
Библиографический список .................................................................. 131 

3 

Шабашова О. В. 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Решение задач является одним из важнейших элементов подготовки будущего учителя математики, который должен уметь выполнять задания школьного курса различной трудности, четко и грамотно излагать решение устно и в письменной форме, анализировать 
ошибочные решения, обучать решению задач, творчески владеть материалом школьного курса.  
Для приобретения этих навыков необходимо, чтобы каждый 
студент систематически самостоятельно решал задачи школьного 
курса математики. Настоящее пособие предназначено для организации и управления учебной деятельностью студентов по самостоятельному решению задач под руководством преподавателя. 
Пособие охватывает первый раздел программы дисциплины 
«Элементарная математика» и посвящено планиметрии.  
В первой главе представлен курс лекций по основным методам 
решения планиметрических задач. В лекциях рассматриваются особенности каждого из методов решения, выделяются их теоретические 
основы, даются некоторые общие указания и рекомендации (эвристики) по поиску решения задач тем или иным методом, приводится достаточное количество примеров, призванных показать планомерный 
процесс решения задачи, включающий анализ условия, поиск решения, составление плана решения, оформление решения.  
Во второй главе предложены задачи для практических занятий, 
которые разбиты на две группы. Первая группа представлена задачами, направленными на повторение основных вопросов школьного 
курса планиметрии и отработку навыка решения типовых задач. Вторая группа содержит подборку задач, направленных на формирование 
у студентов умения использовать различные методы решения задач.  
В заключительной главе представлены материалы для диагностики качества подготовки студентов по разделу «Планиметрия» дисциплины «Элементарная математика». 
Учебно-методическое пособие адресовано студентам математических и физико-математических специальностей, обучающимся по 
направлению «Педагогическое образование». Наличие теоретического 
материала и подробно разобранных примеров дает возможность использовать это пособие учителям математики общеобразовательных 
учреждений с целью повышения их профессионального мастерства. 

4 

Элементарная математика: планиметрия 
 

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 
 
1.1. Геометрические методы 
 
Выделяют две основные модификации геометрического метода 
решения геометрических задач: метод дополнительных построений и 
метод геометрических преобразований. Особенностями этих методов 
являются богатое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания (алгоритмизации), отсутствие четких границ области применения. Кроме того, при решении достаточно сложных задач приходится использовать комбинации различных методов. Тем не 
менее, можно выделить специфику каждого из этих методов.  
 
1.1.1. Метод дополнительных построений 
 
Дополнительное построение – один из наиболее эффективных 
методов решения геометрических задач. Однако применение этого 
метода основано на геометрической интуиции, на умении видеть и 
сопоставлять простые геометрические факты и конфигурации.  
При решении геометрических задач обычно приходится выполнять следующие дополнительные построения:  
1) проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из прямых, имеющихся на рисунке; 
2) «удлинение» медианы («удвоение» или «удлинение» на треть); 
3) проведение радиусов в точки касания двух окружностей или 
окружности и прямой; 
4) добавление середин каких-либо сторон или диагоналей и рассмотрение средних линий соответствующих треугольников (метод 
«средних линий»); 
5) достраивание трапеции до треугольника продолжением её боковых сторон до пересечения (см. табл. 1.1); 
6) параллельный перенос одной из диагоналей трапеции с целью 
получения треугольника со сторонами, равными диагоналям трапеции (см. табл. 1.1); 

5 

Шабашова О. В. 
 

7) разбиение трапеции на параллелограмм и треугольник отрезком, параллельным одной из боковых сторон трапеции (см. табл. 1.1); 
8) разбиение трапеции на прямоугольник и два прямоугольных 
треугольника (см. табл. 1.1).  
 
Таблица 1.1 
 

Дополнительные построения в трапеции

 
Несмотря на многообразие дополнительных построений, можно 
указать три их основные разновидности.  
1. Продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние 
или до пересечения с заданной прямой (или друг с другом). 
2. Проведение прямой (отрезка) через две заданные точки. 
3. Проведение через заданную точку прямой, параллельной 
(перпендикулярной) данной прямой. 
Для того чтобы поиск подходящего дополнительного построения осуществлялся планомерно, целесообразно пользоваться соответствующими эвристиками. Некоторые из них приведены в таблице 1.2. 

 
Таблица 1.2 
 

Геометрическая 
конфигурация

Рекомендуемые

дополнительные построения

1
2

В 
трапеции 
известны 

длины всех сторон 

1. Построить две высоты трапеции из концов меньшего основания для разбиения трапеции на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

6 

Элементарная математика: планиметрия 
 

Продолжение таблицы 1.2 
 

1
2

2. Разбить трапецию на параллелограмм и треугольник отрезком, параллельным одной из боковых сторон трапеции

В трапеции заданы 
длины диагоналей или 
угол между ними

Провести через одну из вершин трапеции прямую, 
параллельную диагонали, с целью получения 
вспомогательного треугольника

В 
трапеции 
известны 

острые углы при большем основании 

1. Достроить трапецию до треугольника продолжением её боковых сторон до пересечения. 
2. Разбить трапецию на параллелограмм и треугольник отрезком, параллельным одной из боковых сторон трапеции

Окружность вписана 
в многоугольник  

Построить центр окружности и провести радиусы 
в точки касания окружности со сторонами многоугольника («скелетный» чертеж)

Внутреннее или внешнее 
касание окружностей 

Построить линию центров, проходящую через точку касания, и воспользоваться тем, что расстояние 
между центрами окружностей равно сумме радиусов окружностей в случае внешнего касания и равно разности радиусов окружностей  при внутреннем касании

Окружность 
вписана 

в угол 

Построить центр окружности, учитывая, что он 
лежит на биссектрисе угла, провести радиусы 
в точки касания окружности со сторонами угла

Две окружности касаются 
прямой 

Построить линию центров, радиусы в точки касания, выделить прямоугольную трапецию и построить в ней высоту, чтобы воспользоваться соотношениями в прямоугольном треугольнике

Окружность 
проходит 

через две заданные точки А и В

Построить серединный перпендикуляр к отрезку 
АВ – прямую, на которой будет находиться центр 
окружности

Окружность 
проходит 

через три заданные точки А, В и С, не лежащие 
на одной прямой 

1. Построить точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам АВ и ВС – центр окружности – и провести радиусы ОА, ОВ, ОС. 
2. 
Построить 
треугольник 
АВС, 
вписанный 

в окружность, и воспользоваться его свойствами 
и (или) свойствами окружности для нахождения 
искомых величин

Задана медиана 
треугольника 

Удвоить медиану с последующим достраиванием 
треугольника до параллелограмма, стороны и одна 
диагональ которого равны сторонам треугольника, 
а другая диагональ равна удвоенной медиане

7 

Шабашова О. В. 
 

Окончание таблицы 1.2 
 

1
2

Имеется середина одной 
или нескольких сторон 
четырехугольника 
или 

параллелограмма 

Добавить середины других сторон или диагоналей 
и рассмотреть средние линии соответствующих 
треугольников (метод «средних линий») 

Требуется найти отношение отрезков РМ:МК, 
полученных при пересечении данных отрезков в 
треугольнике 

Провести через точку М и (или) через концы отрезка РК прямые, параллельные сторонам данного 
треугольника или имеющимся отрезкам. Применить теорему Фалеса о пропорциональных отрезках или подобие треугольников

В 
четырехугольнике 

сумма 
противоположных углов равна 1800 

Рассмотреть вспомогательную окружность, описанную около четырехугольника, указать ее центр, 
при необходимости провести радиусы в точки касания, воспользоваться свойствами центральных и 
вписанных углов

 
Пример 1. Основание равнобедренного треугольника равно 
4
, а медиана боковой стороны 5. Найти  длины боковых сторон. 
 

 
Другая сторона и диагональ параллелограмма не известны и 
равны между собой. Если обозначить половину искомой боковой 
стороны через х, можно воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма для составления уравнения с одним неизвестным. 

 

 
Рис. 1.1 

Анализ условия и поиск решения

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и медианой АМ. 
Знание длин стороны АС и медианы АМ не 
позволяет определить длины каких-либо 
других отрезков в треугольнике. Применив 
прием «удлинения» медианы, получим параллелограмм АВА1С, в котором известна 
диагональ АА1, равная удвоенной медиане 
АМ, и сторона АС. 

А

В

С

А1 

2х

4
2

5

М

х

4
2

8 

Элементарная математика: планиметрия 
 

План решения 
 
1. Удвоив медиану, достроить треугольник до параллелограмма. 
2. Ввести неизвестную величину – половину искомой боковой 
стороны. 
3. Составить уравнение на основе свойства диагоналей параллелограмма и, решив его, отыскать боковую сторону треугольника. 
Решение. 
1. Дополнительное построение: «удвоим» медиану АМ и достроим Δ АВС до параллелограмма АВА1С. 
2. В параллелограмме АВА1С: АС = ВА1 = 4√2; АА1 = 10,  
АВ = А1С = ВС = 2. 
3. По свойству диагоналей параллелограмма: АА1
2 + ВС2 = 2АВ2 + 
2АС2 или 102 +4х2 = 8х2 + 64, 4х2 = 36, х2 = 9; х = 3 ⇒ 2х = 6 = АВ. 
Ответ: 6. 
 
Пример 2. Найти площадь трапеции, длины оснований которой – 10 и 24, а длины боковых сторон – 13 и 15. 

 

 
Рис. 1.2 

Анализ условия и поиск решения
В трапеции известны длины всех 
сторон, для нахождения площади не 
хватает высоты трапеции. Построим 
две высоты трапеции ВВ1 и СС1 из 
концов меньшего основания с целью 
получения прямоугольника и двух 
прямоугольных треугольников.  

 
В результате основание АD разобьётся на три отрезка: В1С1=10 
и АВ1, С1D, длины которых в сумме дают 14. Если ввести неизвестную величину для одного из них, то можно будет применить теорему 
Пифагора для установления связи между сторонами прямоугольных 
треугольников. Заметим, что вводить в качестве неизвестной величины искомую – высоту трапеции (ВВ1 = х) – нерационально, поскольку 

В
С

А
D
B1 
C1 

10

10

x
14-x

13
15

9 

Шабашова О. В. 
 

это приведет к необходимости решать иррациональное уравнение  

с двумя радикалами: 
.
х
х
24
15
10
13
2
2
2
2
=
−
+
+
−
 
Примем за неизвестную величину длину АВ1: АВ1 = х, тогда  
DC1 = 14 – х. Теперь можно выразить квадрат высоты трапеции из 
двух прямоугольных треугольников по теореме Пифагора. Получим 
уравнение с одной неизвестной, определив которую, сможем вычислить площадь трапеции. 

 
План решения 
 
1. Построить две высоты трапеции ВВ1 и СС1 из концов основания ВС. 
2. Ввести вспомогательную неизвестную величину – длину отрезка АВ1 и выразить через нее отрезок DC1. 
3. Из прямоугольных треугольников выразить по теореме Пифагора квадрат высоты трапеции, составить и решить уравнение. Определить высоту трапеции. 
4. Вычислить площадь трапеции. 
Решение. 
1. Дополнительное построение: ВВ1 и СС1 – высоты ⇒ ВВ1С1С – 
прямоугольник ⇒ ВС = В1С1 = 10, ВВ1 = СС1. 
2. Пусть АВ1= х, по условию АD = 24,  тогда С1D = 14-х.  
3. АВВ1, В1 = 900: по теореме Пифагора: ВВ1
2 = 169 – х2; 

·СС1D, С1 = 900: по теореме Пифагора: СС1
2 = 225 – (14 – х)2 
Учитывая, что ВВ1
2 = СС1
2, получим:  
169 – х2 = 225 – (196 – 28х + х2).  
Откуда х = 5. Тогда ВВ1
2 = 169 – х2 = 169 - 25 = 144, ВВ1 = 12. 

4. SABCD = 
2
BC
AD +
 ВВ1 = 
 12 = 204. 

Ответ: 204. 

 
Пример 3. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка 
М, такая, что АМ=
5
2 АС, а на стороне ВС – точка К, такая,  

10 

Элементарная математика: планиметрия 
 

что ВК=
3
1 ВС. Определить, в каком отношении отрезок ВМ делит 
отрезок АК. 
 

 
Рис. 1.3 

Анализ условия и поиск решения
Требуется определить отношение отрезков, значит, следует применить подобие треугольников или 
теорему Фалеса о пропорциональных отрезках. Воспользуемся подобием. Через вершину А проведем 
прямую, параллельную стороне ВС, 
и обозначим через Е точку ее пересечения с прямой ВМ.  
Получим две пары подобных 
треугольников: 
∆АМЕ и 
∆СМВ; 

∆АРЕ и ∆КРВ. 
 
Из подобия ∆АМЕ и ∆СМВ найдем отношение АЕ : СВ, а значит и отношение АЕ : ВК. Это отношение позволит определить отношение нужных нам отрезков АР и РК, поскольку они являются 
сходственными сторонами в подобных треугольниках АРЕ и КРВ. 

 
План решения 
 
1. Ввести обозначения для длин отрезков АМ, МС, ВК и КС. 
2. Через вершину А провести прямую, параллельную стороне 
ВС, и обозначить через Е точку ее пересечения с прямой ВМ. 
3. Обосновать подобие треугольников АМЕ и СМВ, найти отношение АЕ : СВ. 
4. Доказать подобие треугольников АРЕ и КРВ, найти коэффициент подобия и определить искомое отношение отрезков. 
 
Решение. 
1. Пусть АМ = 2х, МС = 3х, ВК = у, КС = 2у.  

2х
3х

у

2у

2у

А

В

С

К

М

Е

Р

11