Математика и информатика

Математика и информатика 

Практикум 

3-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 
2020

УДК 51/68
ББК 22.1+32.81

М34 

Р е ц е н з е н т ы : 

Чусавитина Г.Н., профессор,  кандидат педагогических наук 
ФГБОУ ВПО «МГТУ» 

М34

ISBN 978-5-9765-2412-5

Практикум является частью учебно-методического комплекса дисциплины
«Математика и информатика». В книге рассмотрены прикладные вопросы,  задачи, 
тестовые задания и лабораторный практикум  по дисциплине. Практикум 
разработан для студентов гуманитарных факультетов, изучающих дисциплины 
«Информатика» и «Математика и информатика» и содержит  разделы, 
определяющие 
базовый 
уровень 
подготовки 
современных 
специалистов: 
представление и кодирование информации, аппаратное обеспечение компьютера, 
основы алгоритмизации и программирования, сведения о вычислительных сетях и 
информационной 
безопасности, 
а 
также 
комплекс 
лабораторных 
работ, 
посвященный формированию навыков использования прикладных программных 
средств. 

Издание адресовано студентам и преподавателям гуманитарных факультетов
высших учебных заведений. 

ISBN 978-5-9765-2412-5
© Коллектив авторов, 2015 
© Издательство «ФЛИНТА», 2015 

УДК 51/68
ББК 22.1+32.81

 
 
Мат 
 
ематика и нформатика  [Электронный ресурс] : учеб. пособие /Е.Н. 
Гусева, И.Ю. Ефимова, И.И. Боброва,  И.Н. Мовчан, Л.А. Савельева. — 3-е изд., 
стер. — М.: ФЛИНТА, 2020. — 197 с.

Содержание 
 
Глава 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ........................................................................ 5 
§ 1.1. Понятийный аппарат аксиоматического метода .............................................................. 5 
§ 1.2. Основные понятия теории множеств ................................................................................. 7 
§ 1.3. Бинарные отношения ........................................................................................................ 14 
§ 1.4. Основные операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна ............................. 17 
§ 1.5. Высказывания. Основные операции над высказываниями ........................................... 22 
§ 1.6. Комбинаторика .................................................................................................................. 27 
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ..................... 33 
§ 2.1. Функции: основные понятия и определения .................................................................. 33 
§ 2.2. Дифференциальное исчисление функций определенного порядка .............................. 36 
§ 2.3. Дифференциальное уравнение ......................................................................................... 37 
§ 2.4. Числовые ряды ................................................................................................................... 40 
§ 2.5. Неопределенные интегралы ............................................................................................. 42 
§ 2.6. Определенные интегралы ................................................................................................. 45 
Глава 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............................................................. 48 
§ 3.1. Основные понятия теории вероятностей ........................................................................ 48 
§ 3.2. Свойства вероятностей ..................................................................................................... 49 
§ 3.3. Теоремы сложения вероятностей ..................................................................................... 50 
§ 3.4. Теоремы умножения вероятностей .................................................................................. 51 
§ 3.5. Дискретные случайные величины ................................................................................... 54 
§ 3.6. Нормальный закон распределения вероятностей ........................................................... 56 
§ 3.7. Элементы теории вероятностей.  Математика случайного ........................................... 58 
Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ......................................... 63 
§ 4.1. Основные понятия математической статистики ............................................................ 63 
§ 4.2. Характеристики вариационного ряда: среднее выборочное ......................................... 66 
§ 4.3. Статистическое распределение выборки ........................................................................ 70 
§ 4.4. Закон распределения вероятностей ................................................................................. 76 
§ 4.5. Характеристики вариационного ряда: мода, медиана ................................................... 82 
Глава 5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАТИКИ ............................... 85 
§ 5.1. Информация и ее свойства ............................................................................................... 85 
§ 5.2. Единицы измерения информации .................................................................................... 87 
§ 5.3. Позиционные системы счисления. Переводы чисел ...................................................... 91 
§ 5.4. Представление целых чисел в ЭВМ ................................................................................ 94 
§ 5.5. Логические основы ЭВМ .................................................................................................. 96 
§ 5.6. Локальные и глобальные компьютерные сети ............................................................... 99 
§ 5.7. Топологии вычислительных сетей ................................................................................. 102 
§ 5.8. Сетевые сервисы и  стандарты ....................................................................................... 104 
§ 5.9. Защита информации в компьютерных сетях ................................................................ 109 
Глава 6. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ ................. 113 
§ 6.1. Понятие алгоритма и его свойства.  Блок-схема алгоритма ....................................... 113 
§ 6.2. Основные алгоритмические конструкции. Базовые алгоритмы ................................. 123 
§ 6.3. Программы линейной структуры ................................................................................... 129 
§ 6.4. Операторы ветвления ...................................................................................................... 132 
§ 6.5. Операторы цикла ............................................................................................................. 138 
§ 6.6. Итерационные циклы ...................................................................................................... 141 
Глава 7. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ ................................... 148 
§ 7.1. Классификация программного обеспечения ................................................................. 148 
§ 7.2. Операционные системы .................................................................................................. 148 
§ 7.3. Текстовые процессоры .................................................................................................... 148 

 
3 

§ 7.4. Электронные таблицы ..................................................................................................... 148 
§ 7.5. Средства компьютерной графики .................................................................................. 148 
§ 7.6. Базы данных ..................................................................................................................... 148 
Глава 8. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ ....................................... 155 
§ 8.1. Архитектура компьютера ............................................................................................... 155 
§ 8.2. Аппаратные средства ЭВМ ............................................................................................ 159 
§ 8.3. Процессор и его функции ............................................................................................... 163 
§ 8.3. Запоминающие устройства компьютера ....................................................................... 166 
§ 8.4. Периферийные устройства ПК ....................................................................................... 169 
Глава 9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ........................................................................ 173 
§ 9.1. Моделирование как метод познания ............................................................................. 174 
§ 9.2. Классификация и формы представления моделей ....................................................... 177 
§ 9.3. Методы и технологии моделирования .......................................................................... 183 
§ 9.4. Информационная модель объекта.................................................................................. 188 
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ............................................................................... 193 
Ответы к главе № 2 .................................................................................................................... 193 
Ответы к главе № 4 .................................................................................................................... 193 
Ответы к главе № 8 .................................................................................................................... 194 
Ответы к главе № 9 .................................................................................................................... 195 
 

 
4 

Глава 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 

§ 1.1. Понятийный аппарат аксиоматического метода 

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры 
мышления, формирование научного мировоззрения.  
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах 
действительного мира. 
В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В 
основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, 
а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. 
Основными методами в математических исследованиях являются математические 
доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не 
сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для 
оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. 
В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.  
Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится на основе 
частных посылок.  
Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует 
заключение частного характера. 
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является 
одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы 
многих поколений ученых. 
Дедуктивная система изложения сводится: 

• 
к перечислению основных понятий; 

• 
к изложению определений; 

• 
к изложению аксиом; 

• 
к изложению теорем; 

• 
к доказательству этих теорем. 
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.  
Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом 
Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, 
которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности 
предыдущих теорем или аксиом 
Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: о смысле 
основных понятий, об истинности аксиом.  
Но 
это 
не 
значит, 
что 
эти 
вопросы 
вообще 
неразрешимы. 
Образцом 
аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. 
Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.). Эта система в 
основных чертах сохранилась и по сей день. Основные понятия: точка, прямая, плоскость. 
Основные образы: лежать между, принадлежать, движение. Элементарная геометрия 
имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп.  
 
 
 

 
5 

Пример из теста 
ЗАДАНИЕ № 1 
К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии  относятся… 
1) множество, точка, прямая;  
2) отрезок, угол; 
3) окружность, геометрическая фигура;  
4) луч, четырёхугольник. 
Решение 
К неопределяемым понятиям теории относятся понятия, которые принимаются без 
определения. Эти понятия достаточно сложно определить, и их содержание можно 
выяснить только из опыта. В геометрии к неопределяемым понятиям, например, относятся 
такие понятия, как «множество», «точка», «прямая», «плоскость».  Каждому понятию 
теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В определении 
разъясняется смысл понятия с помощью  неопределяемых и предшествующих данному 
понятий. Например, как мы знаем из школьного курса геометрии, отрезок – это часть 
прямой, ограниченная двумя точками. Угол – это геометрическая фигура, состоящая из 
точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Окружность – это геометрическая фигура, 
состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. 
Ответ: множество, точка, прямая. 
ЗАДАНИЕ 2. Среди предложенных математических утверждений аксиомой 
является следующее… 
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы 
равны. 
2) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. 
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, 
параллельная данной.  
4) Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она 
перпендикулярна и другой. 
Решение 
Аксиома – это предложение, принимаемое без доказательства. Среди предложенных 
высказываний лишь одно является аксиомой, а именно аксиома параллельных прямых: 
«Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, 
перпендикулярная данной». Все остальные высказывания являются теоремами. 
Ответ: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, 
перпендикулярная данной» 
ЗАДАНИЕ 3. Из приведенных высказываний истинным является следующее… 
 
1) В аксиомах идет речь об основных математических понятиях, таких как  «точка», 
«прямая», «плоскость».  
2) При аксиоматическом построении какой-либо теории некоторые аксиомы 
 выводятся путем доказательства из других аксиом 
3) Основные понятия теории – это понятия, наиболее часто используемые в этой 
теории. 
4) Любую систему аксиом можно выбрать произвольно. 

 
6 

Решение 
Все приведенные в данном задании высказывания относятся к аксиоматическому 
методу построения какой-либо теории. Как мы знаем, аксиома – это предложение, 
принимаемое без доказательства. Поэтому ни одну аксиому нельзя доказать и тем более 
вывести из других аксиом. А к основным понятиям теории относятся понятия, которые 
принимаются без определения, так называемые неопределяемые понятия. К основным 
понятиям в планиметрии, например, относятся такие понятия, как «точка», «прямая», 
«плоскость». Эти понятия достаточно сложно определить, и их содержание можно 
выяснить только из опыта. 
Ответ: В аксиомах идет речь об основных математических понятиях, таких как 
 «точка», «прямая», «плоскость». 
Контрольные вопросы 

1. В чем сущность аксиоматического метода. 
2. Приведите примеры применения аксиоматического метода в математике. 
3. Дайте определение понятия индукция? 
4. Дайте определение понятия дедукция? 
5. В чем сущность дедуктивной системы? 

 

§ 1.2. Основные понятия теории множеств 

Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в 
случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо 
взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество. Понятие 
множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней 
структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, 
обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность 
элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие 
условия:  
1. 
Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли 
указанный элемент данной совокупности.  
2. 
Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от 
друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых 
элементов).  
Множество может быть задано списком, например:  

 
Список показывает из скольких элементов, и каких именно состоит множество. 
Общепринято список элементов заключать в фигурные скобки. Расположение элементов в 
списке может быть произвольным, но для удобства чтения предпочтительным является 
так называемый естественный порядок. С помощью списка можно задавать только 
множества, состоящие из небольшого числа элементов. Некоторые бесконечные 
множества удается задавать оборванным списком. Так можно задать, например множество 
натуральных чисел и множество неотрицательных четных чисел:  

 

 
7 

Третий способ задания множеств состоит в указании порождающей процедуры. 
Вместо оборванного списка множества Q можно написать  

 
Элементами множеств могут быть не только числа, но и любые объекты: предметы и 
цвета, графические образы и произвольные абстрактные понятия. Единственное 
требование, которое всегда соблюдается: число элементов, составляющих множество 
должно быть целым. Множества могут быть элементами других множеств, например:  

 
Здесь символы B, C, D в одном случае обозначают элементы, а в другом – 
множества.  
Над множествами определены следующие операции: 

• объединение (или сумма) (обозначается как 
);  

• разность (обозначается как 
реже 
);  

• дополнение (обозначается как 
или 
);  

• пересечение (или произведение) (обозначается как 
);  

• симметрическая разность (обозначается как 
реже 
).  
Для множеств определены следующие бинарные отношения: 

• отношение равенства (обозначается как 
),множества А и В равны, если 
они содержат одни и те же элементы (другими словами, если 
и 
).  

• отношение включения (обозначается как 
), множество А является 
подмножеством множества В, если все элементы А являются элементами В.  
 
 
 Основные понятия и обозначения, связанные с множествами: 
• запись 
означает, что 
является элементом множества 
.  

• подмножество связывает с множеством знак включения 
(A входит в B). Знак 

включения можно поворачивать: 
(B покрывает или содержит A).  

• 
пустое множество 
не содержит ни одного элемента и является подмножеством 
любого множества.  
Числовые множества. Основные виды чисел 
Натуральные 
числа, 
получаемые 
при 
естественном 
счёте; 
множество 

натуральных чисел обозначается N. Т.о. 
(иногда к множеству 

натуральных чисел также относят ноль, то есть 
). Натуральные числа 
замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). 
Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, 
а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения. Эти числа были 
введены, например, для натурального счета, для перечисления и нумерации, каждое новое 
образовывалось добавлением к предыдущему единицы. 
Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством 

отрицательных чисел и нулём, обозначаются 
. Целые 
числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Эти 

 
8 

числа были также введены ради практических нужд, например, для того чтобы было 
удобно работать например, с  налогами. 
Рациональные числа - все целые и дробные числа (как положительные, так и 
отрицательные), включая и нуль. Такие  числа, представимы в виде дроби m/n (n≠0), где m 
и n — целые числа. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» 
арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на 
ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q. Эти числа были 
введены, например, для работы с частями целого, для представления частей целого. 
Иррациональные числа - это числа, представимые бесконечными, но не 
периодическими десятичными дробями. Их совокупность обозначают часто буквой I. Эти 
числа введены, например, для нахождения сторон квадратов, равновеликих (равных по 
площади) другим фигурам. 
Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение 
множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для 
математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных 
чисел 
обозначается 
R. 
Кроме 
рациональных 
чисел, 
R 
включает 
множество 
иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения 
на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на 
алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является 
иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим. Эти числа ввели для 
объединения всех ранее введенных чисел в одно целое, в более крупный числовой 
формализм. 
Комплексное число - это число, представимое символически в виде суммы вида 
c=a+bi, где a,b - некоторые вещественные числа, а i - корень уравнения i2=-1.Величина 

называется мнимой единицей. Число a - действительная составляющая 
комплексного числа c, а b - мнимая составляющая этого числа c. Совокупность 
комплексных чисел обозначается обычно буквой C и включает в себя совокупность R, а 
следовательно, и совокупности Q, I, N. Эти числа были введены, например, для того, 
чтобы можно было находить решения квадратных уравнений с отрицательными 
дискриминантами, когда решение таких уравнений стало необходимостью. 

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: 

 
Постоянной (константой) называется величина, численное значение которой не 
изменяется (считается неизменным). Если для некоторой постоянной неважно ее 
значение, а важно лишь то, что она постоянная, то обычно эту постоянную в математике 
обозначают сокращением const(константа).  
Переменной называется величина, принимающая различные числовые значения 
при различных условиях, в различных задачах. Для переменных используют буквенные 
или буквенноцифровые обозначения. Кроме них, для переменных необходимо указывать 
и второй их атрибут - совокупность значений, которые может принимать данная 
переменная. Эта совокупность называется областью изменения переменной. 
Пример. Переменная a для работы с длинами отрезков имеет область изменения [0;M], 
где M - любое конечное число. 

 
9 

Совокупность значений переменной с областью изменения от вещественного числа 
a включительно до вещественного числа b включительно называется отрезком (замкнутым 
интервалом, промежутком) и обозначается как [a;b]. Если одно из чисел a, b не 
включается в область изменения, то промежуток (интервал) называется полуоткрытым 
(или полузамкнутым) и обозначается как (a;b] или [a;b), а если оба эти числа не 
включаются, то промежуток называется открытым интервалом или просто интервалом и 
обозначается как (a;b). 
Длиной промежутков [a;b], (a;b], [a;b), (a;b) назовем число, равное b-a. В 
математике есть два совершенно особых числа. Это, на самом деле, и не числа вовсе (в 
выше введенном понимании, то есть отождествляемые с конкретными определенными 
количествами), а некоторые математические абстракции, удобные обобщения "очень 
больших" положительных и "очень больших" отрицательных чисел. Эти "числа" 
обозначаются 
как 
(положительная 
бесконечность) 
и 
(отрицательная 
бесконечность) и играют очень важную роль в математике. 
Пример из теста 
ЗАДАНИЕ 1. 

– 
множество 
натуральных 
чисел, 
 – 
множество 
целых 
чисел, 

 – 
множество 
рациональных 
чисел, 
 – 
множество 
действительных 
чисел. 
Тогда справедливы следующие высказывания: 

1) 
;   2) 
  ;  3) 
 ;4) 
. 
Решение 

Натуральные числа – это целые положительные числа. Число 4
3  не является целым, а 

значит, и натуральным; следовательно,  высказывание «
» истинно. Число -2 

является целым, значит, высказывание «
» также истинно. Любое целое число 

является действительным, т.е. высказывание «
» ложно. Рациональные числа – это 

числа, которые можно представить в виде дроби, 
 не является рациональным числом, 

следовательно, высказывание  «
» является ложным. 
 

ЗАДАНИЕ 2. Даны два множества: 
 – интервал числовой оси; 
 – 
отрезок числовой оси. Тогда для них истинными высказываниями являются… 

1) 
 

2) 
 

3) 
 

4) 
 
 
 

 
10 

Решение 

Изобразим 
данные 
множества 
 и 
 на 
числовой 
прямой. 
                         

 
По определению в пересечение множеств входят элементы, принадлежащие обоим 
множествам одновременно. По рисунку видно, что пересечением исходных множеств 

будет промежуток 
, т.е. та часть числовой оси, на которой присутствует штриховка и 
снизу, и сверху. Объединение множеств  по определению включает все элементы, 
принадлежащие хотя бы одному из множеств, т.е. та часть числовой оси, на которой 
присутствует какая-либо штриховка. В нашем случае таким множеством будет 

промежуток 
. 

Ответ: 
,
. 
 
 
 
 
ЗАДАНИЕ 3. Установите соответствие между множествами и верными для них 
высказываниями. 
1. А – множество натуральных чисел, кратных 3; В – множество натуральных чисел, не 
кратных 
3 
2. А – множество натуральных чисел, кратных 6; В – множество натуральных чисел, 
кратных 
2 
3. А – множество натуральных чисел, кратных 2; В – множество четных натуральных 
чисел 
1) множества А и В равны  
2) А является подмножеством В  
3) А и В не пересекаются  
4) В включено в А 
 
Решение 

1. А – множество натуральных чисел, кратных 3; В – множество натуральных чисел, не 
кратных 3. В первое множество входят числа, делящиеся на 3, т.е. 3, 6, 9, 12, 15,и т.д., а во 
второе – не делящиеся на 3, т.е. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11  и т.д., то есть эти множества не 
имеют общих элементов.  
2. А – множество натуральных чисел, кратных 6; В – множество натуральных чисел, 
кратных 2. В первое множество входят числа 6, 12, 18, 24 и т.д., во второе – числа 2, 4, 6, 
8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 и т.д. В первое множество входят числа, делящиеся на 2 и на 3; а во 
второе множество числа, делящиеся на 2; значит, каждый элемент первого множества 
является элементом и второго множества, то есть множество А является подмножеством 
В. 

 
11 

3. А – множество натуральных чисел, кратных 2; В – множество четных натуральных 
чисел.  
По определению четные числа – это числа, делящиеся на 2, значит, множества А и В 
состоят из одних и тех же элементов, следовательно, множества А и В равны. 
 
ЗАДАНИЕ 4. Выписать все подмножества множества А  при A ={a,b,c}:  
 
Решение: 

 
Всего оказалось восемь подмножеств, из них два несобственных: A0 и A7. 
 
 
Задания для самостоятельного решения: 
ЗАДАНИЕ 1 

Заданы множества  
 и 
. Верными для них являются утверждения …  
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:  

1) множество 
 есть подмножество множества 
 
2) множество 
 конечно 

3) множества 
 и 
 не равны 

4) множество 
 конечно 

5) множество 
 есть подмножество множества 

ЗАДАНИЕ 2 
Принято обозначать: 
 N-множество натуральных чисел; 
 Q-множество рациональных чисел; 
 Z-множество целых чисел; 
 R-множество действительных чисел. 
Тогда верным утверждением будет… 

1) 
    2) 
      3) 
     4) 
 

ЗАДАНИЕ 3. Заданы множества 
 и 
. Верным для них будет 
утверждение… 

1) «Множества 
 и 
 равны»  

2) «Множество 
 есть подмножество множества 
» 

3) «Множества 
 и 
 не имеют общих элементов»  

4) «Множество 
 включает в себя множество 
» 
ЗАДАНИЕ 4.  

 
12