Математика для школьников, 2019, № 1
научно-практический журнал
Покупка
Тематика:
Педагогика общего среднего образования
Издательство:
Школьная Пресса
Наименование: Математика для школьников
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 48
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
1 ИДУ НА ЭКЗАМЕН 3 Данченко О.Е., Пчелинцев Ф.А. Зачем в решении задачи нужны оценка и пример? В статье обсуждаются нестандартные задачи, которые решаются с помощью приёма «оценка + пример», обсуждается, зачем нужна оценка в решении и зачем приводить подтверждающий её пример. 7 Малышев И.Г. По следам одной задачи В статье в тригонометрической форме выражаются отношения длин отрезков, на которые делятся точкой пересечения диагонали вписанного в окружность и описанного около окружности четырёхугольников. АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ 11 Гукасян И.Ж. и др. Знакомство с комплексными числами (магистранты МПГУ – школьникам) Статья содержит задачи на тему «Комплексные числа». Она написана будущими учителями математики, а ныне магистрантами математического факультета МПГУ и адресована учащимся VIII–XI классов общеобразовательных школ — тем, кто впервые на уроках математики встретился с этим понятием. ПРОВЕРЬ СЕБЯ 21 Кукушкин Б.Н. Задачник «Математики для школьников» Задачник «Математики для школьников» представляет решения задач, опубликованных в номере 3 за 2018 год. КЛУБ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ 25 Дружинин Б.Л. Отец проективной геометрии Традиционно насчитывается семь чудес света. Из них до наших дней сохранилась только пирамида Хеопса. Пройдут века, и наши потомки наверняка добавят к чудесам Эйфелеву башню. На ней под балконом первого этажа установлены мемориальные доски, с именами семидесяти двух наиболее выдающихся французских учёных XVIII-XIX веков. Четвёртым в этом почетном списке значится Жан-Виктор Понселе.
Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается Адрес редакции и издательства: корреспонденцию направлять по адресу: 127254 , г. Москва, а/я 62 Телефоны: 8 (495) 619-52-87, 619-83-80 Факс: 619-52-89 E-mail: matematika@schoolpress.ru Интернет http://www.школьнаяпресса.рф Главный редактор Е. А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Д. Троицкая Редакторы С.В. Дворянинов, С.И. Калинин, Н.М. Карпушина, С.И. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин Отдел задач Б.Н. Кукушкин Выпускающий редактор И.А. Моргунова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная вёрстка М.М. Лускатов Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № 77–9198 от 14 июня 2001 г. Формат 84 × 108 /16. Усл. п. л. 3,0. Изд. № 3289. Заказ Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13 © «Школьная Пресса», © «Математика для школьников», 2019, № 1 В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «НЛО над фламандской деревней» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info) Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования 30 Дружинин Б.Л. Охота на муху Статья, адресованная учащимся V-VI классов, рассказывает о задачках, которые пришлось решать героям во время прогулки в парке. МАТЕМАТИКА ЭТО ИНТЕРЕСНО 33 Акулич И.Ф. Гиревые упражнения или борьба с близнецами В статье рассматривается задача Шаповалова А.В., условие которой автор переформулировал в популярном во все времена «гиревом» варианте. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА 40 Карпушина Н.М. Загадки портрета математика Какие секреты скрывает от непосвящённых знаменитый портрет Луки Пачоли, итальянского математика и педагога эпохи Возрождения, изображённого по традиции того времени в окружении привычных ему «орудий труда»? Что за многогранник из стекла, привлекающий внимание зрителя, изображён на ней и почему именно его решил увековечить художник или заказчик картины?
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ИДУ НА ЭКЗАМЕН О.Е. Данченко, Ф.А. Пчелинцев ЗАЧЕМ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ НУЖНЫ ОЦЕНКА И ПРИМЕР? В статье обсуждаются нестандартные задачи, которые решаются с помощью приёма «оценка + пример», обсуждается, зачем нужна оценка в решении и зачем приводить подтверждающий её пример. Практически на любой математической олимпиаде встречаются задачи, решаемые с помощью приёма, который можно условно назвать «оценка + пример». Решение таких задач состоит из двух частей. 1. Оценка. В этой части решения оценивается больше и/или меньше чего не может быть нужное нам по условию значение (ответ). Оценка должна охватывать все возможные ситуации, допустимые условием задачи. 2. Пример. Поиск подходящего примера, показывающего, что указанное значение удовлетворяет всем условиям задачи. То есть доказательство того, что описанная ситуация вообще возможна. Задачи этого типа обычно вызывают у учеников два основных вопроса. Зачем нужна оценка? Обязательно ли приводить пример? Постараемся ответить на них в доступной форме. Зачем нужен пример? В школе после ремонта открыли новый кабинет. Несколько учителей решили посмотреть на него. «Интересно, какое максимальное число детей может учиться в этом кабинете?» — спросил один из них услышал разные ответы от коллег. Первый учитель: «Учеников тут может быть не больше, чем детей учится в школе». Второй учитель: «Это слишком! Все наши ученики и в трёх таких кабинетах не поместятся. Давайте разделим объём этого помещения на объём, занимаемый одним ребёнком. Больше найденного числа точно не поместится!» Третий учитель: «Простите, но дети не могут висеть в воздухе! Давайте посчитаем площадь пола и разделим на площадь, которую занимает один ученик». Четвёртый учитель: «Но, коллега, а как же мебель? Надо учесть только ту площадь, которая от неё свободна». Пятый учитель: «К сожалению, и вы не правы. Каждый ученик должен сидеть за партой. В этом кабинете всего 20 парт. Так что больше 20 учеников тут учиться не смогут. В моём шахматном кружке как раз 20 детей, и я готов их рассадить прямо сейчас». Каждый учитель был прав в своей оценке. Учеников не могло быть больше, чем утверждал каждый из них. Но
1/2019 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. только пятый учитель дал верный ответ, поскольку не только объяснил, чем ограничено число детей в кабинете, но и убедился, что указанное число детей может обучаться в классе. Зачем нужна оценка? Руководитель шахматного кружка, получив новый кабинет, предложили своим ученикам такую задачу: «Расставьте на шахматной доске как можно больше ферзей так, чтобы они не били друг друга». «Получается поставить не более пяти фигур, — сказал первый шахматист и показал свой вариант расстановки (рис. 1). — Ни одного ферзя теперь добавить не получится!» «Ты прав, что нельзя добавить новых ферзей на твою доску, — ответил вто рой. — Но смотри, я поставил немного по-другому, и у меня поместилось шесть ферзей (рис. 2). Больше ни одного не добавить!» «А если поставить, как я, то можно и семь фигур использовать (рис. 3), — возразил третий шахматист. — Как и у вас, нового ферзя добавить нельзя. Рис. 3 «Неправда! У меня получилось поставить восемь ферзей, — сказал четвёртый. — Девятую фигуру поставить пока не удаётся». Рис. 4 «Каждый из вас расставил ферзей на доске так, что ни одного нового ферзя поставить не удавалось. При этом всякий раз получалась более удачная расстановка фигур. Может, и восемь не самое большое число фигур! Мы просто не нашли Рис. 1 Рис. 2
ИДУ НА ЭКЗАМЕН Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. более удачной расстановки. А если мы её найдем, то как понять, что это именно она?» — спросил пятый, самый дотошный шахматист. Когда мы находим расстановку, которую не получается улучшить, означает ли то, что она оптимальная? Именно оценка ситуации позволяет ответить на вопрос, действительно ли найденный пример даёт наибольшее возможное число фигур. Давайте попробуем оценить искомое число ферзей в этой задаче. Рассмотрим одну любую строку шахматной доски. В ней может стоять не более одной фигуры. Всего на доске 8 строк, значит, больше 8 не бьющих друг друга ферзей на доске стоять не может. Четвёртый шахматист действительно нашёл наибольшее возможное число фигур. Примеры задач Разберём несколько задач. Задача 1. Какое наибольшее количество пятиклеточных крестов (рис. 5) можно вырезать из доски размером 8 8 клеток? Разрезы разрешается делать только по границам клеток. Рис. 5 Задача сводится к тому, чтобы разместить на доске размером 8 8 клеток как можно больше пятиконечных крестов без перекрытий. Потратив немного времени, можно убедиться, что не удаётся использовать более 8 таких крестов. Один из примеров их размещения показан на рисунке 6. Более сложный вопрос: почему нельзя разместить на этой доске ещё больше крестов? После размещения 8 фигур остаётся достаточно много свободных клеток, что, в принципе, не исключает возможности добавить фигуры. Обычно в решении подобных задач хочется использовать так называемый жадный алгоритм. То есть пытаться размещать фигуры «наиболее компактно». Однако такое решение оставляет много вопросов. А что означает «более компактно»? А вдруг есть другое размещение, казалось бы, «менее компактное», но всё же можно будет использовать больше фигур? Попробуем более чётко обосновать, почему в данной задаче лишние клетки ни при каком размещении крестов не дадут возможности добавить ещё одну фигуру. Оценка. Рассмотрим верхний ряд клеток доски. Всего в нём 8 клеток, из них не более двух будет занято пятиконечными крестами. Значит, у любого из четырёх краёв доски будет не менее 6 клеток, не занятых крестами, а всего на доске таких клеток не менее 20. Следовательно, кресты могут занять не более 44 клеток доски. Каждый крест занимает 5 клеток, поэтому более 8 фигур расположить на доске указанного размера нельзя. О т в е т: 8 крестов. В этой задаче было легко догадаться до примера, после чего осталось дать оцен Рис. 6
1/2019 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. ку, подтверждающую, что в нём указано максимально возможное число крестов. В других задачах ответ может быть менее очевидным и решение надо начинать не с поиска подходящего примера, а наоборот, с оценки. Кроме того, иногда попытка придумать пример помогает улучшить оценку. Задача 2. Каждую клетку таблицы размером 8 × 8 нужно покрасить в какойнибудь цвет, при этом в любой строке и в любом столбце должны быть клетки только двух цветов. Какое наибольшее число цветов может быть использовано? Оценка. Рассмотрим верхнюю строку таблицы. Она содержит клетки одного из двух цветов, назовём их А и В. Рассмотрим все столбцы. Верхняя клетка в них окрашена либо в цвет А, либо в цвет В. В каждом из восьми столбцов может встретиться ещё не более одного цвета, отличного от цветов, использованных в первой строке. Значит, всего цветов будет не более 2 + 8 = 10. Пока мы показали, что для раскрашивания всех клеток таблицы нужно не более 10 цветов. Но, если попробовать привести подходящий пример для 10 цветов, то мы потерпим неудачу. Либо пример уникален и догадаться до него сложно, либо в 10 разных цветов клетки таблицы покрасить нельзя. Попробуем доказать, что 10 цветов быть не может. Допустим, можно раскрасить все клетки в 10 цветов. Так как цветов больше, чем строк в таблице, найдётся строка, содержащая клетки двух цветов, например А и В. Осталось ещё 8 цветов и 7 строк. Значит, найдётся ещё одна строка, содержащая клетки двух цветов, причём отличных от первых двух, например цветов Х и Y. Тогда в любом из столбцов уже имеются клетки двух цветов (первый — какой-то из цветов А, В, второй — какойто из цветов Х, Y). Никаких других цветов ни в одном из столбцов, а значит, и во всей таблице быть не может. Получилось использовать для окрашивания таблицы только 4 цвета. Но мы предположили, что цветов 10. Пришли к противоречию. Наше предположение неверно. Значит, цветов нужно не более 9. Пример окрашивания таблицы размером 8 × 8 в девять цветов, согласно условию задачи, показан на рисунке 7 (для простоты цвета обозначены цифрами от 1 до 9). Рис. 7 О т в е т: 9 цветов. Задача 3. Поилка Ослика имеет форму сот (рис. 8). У Совы есть 6 мл горького лекарства для Ослика, но он согласен выпить лекарство только из трёх сот, расположенных в ряд (Сова не знает, каких именно). Какое наибольшее количество лекарства всегда можно дать Ослику? Рис. 8
ИДУ НА ЭКЗАМЕН Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Оценка. Рассмотрим 6 непересекающихся рядов, состоящих из трёх идущих подряд сот (рис. 9). Рис. 9 Если бы Сова могла заставить Ослика принять больше 1 мл лекарства, то в каждом таком ряду сот было бы налито более 1 мл лекарства. Но тогда общий объём лекарства должен быть больше 6 мл, что противоречит условию. Пример. Лекарство можно разлить так, что Ослик всегда получит 1 мл (рис. 10). Рис. 10 О т в е т: 1 мл. Заметим, что данное разбиение на 6 частей единственное (с точностью до поворота). При этом даже без учёта центральной соты оценка оказалась достаточной. И.Г. Малышев ПО СЛЕДАМ ОДНОЙ ЗАДАЧИ В статье в тригонометрической форме выражаются отношения длин отрезков, на которые делятся точкой пересечения диагонали вписанного в окружность и описанного около окружности четырёхугольников. В одном из известных учебников [1] есть следующая задача (№1353): «В окружность вписан четырёхугольник АВСD, его диагонали АС и ВD пересекаются в точке М. Докажите, что АМ АВ АD МС CB CD ». Решение данной задачи может быть следующим. Выразим отношение длин отрезков диагонали АС через площади соответствующих треугольников (рис. 1): 1 4 1 4 2 3 2 3 S S S S АМ МС S S S S sin . sin( ) ad ad bc bc А теперь посмотрим, как это отношение можно представить в тригонометрической форме записи. Выразим вписанные в окружность углы ψ и η, исходя из углов α (угол при вершине А), β (угол при вершине В) и φ (угол между диагоналями). Для этого достаточно решить систему
1/2019 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. уравнений . Таким образом, имеем: 2 2 . 2 2 Используя теорему синусов, выразим теперь стороны четырёхугольника: 2 cos 2 2 cos 2 2 sin( ) 2 cos 2 2 cos . 2 b R d R a R R с R Стоит отметить, что для вписанного в окружность и одновременно описанного около окружности четырёхугольника (когда a + c = b + d) отсюда получается уже известный результат [2] для угла между диагоналями: cos 2 tg . 2 sin 2 После подстановки значений длин сторон четырёхугольника в соотношение АМ ad МС bc получаем следующее выраже ние для отношения : АМ МС cos cos 2 2 , cos cos 2 2 АM M С или cos cos( ) . cos cos( ) АМ МС Аналогичное представление можно получить для отношения длин отрезков другой диагонали: cos cos 2 2 , cos cos 2 2 MD MB или cos cos( ) . cos cos( ) MD MB Рассмотрим частные случаи четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность. В случае равенства углов α и β имеем равнобедренную трапецию и cos 2 . cos 2 АM M С A a B b C c D d H O R S1 S2 S3 S4 N M Рис. 1
ИДУ НА ЭКЗАМЕН Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. Заметим, что точно такой же результат можно получить и не обращаясь к общим формулам. Для этого достаточно рассмотреть подобие соответствующих треугольников в трапеции и воспользоваться теоремой синусов для них. Если в полученной формуле для тра пеции принять 2 (тогда имеем дело с прямоугольником), то 1. АM MC Рассмотрим следующий часто используемый в задачах четырёхугольник, вписанный в окружность, — четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. В этом случае имеем: sin cos , sin cos АM MC или 2 4 . 2 4 tg АM MC tg Найдём длину отрезка ОМ. С этой целью из центра О описанной окружности проведём перпендикуляры ОН и ОN к диагоналям (рис. 1). Из рисунка следует, что OH = R cos (в равнобедренном треугольнике СОА отрезок ОН является высотой и биссектрисой, а угол СОА равен 2β), аналогично — ON = R cos . Отсюда по теореме косинусов имеем 2 2 cos cos 2cos cos cos( ). NH R Так как четырёхугольник ОНМN вписан в окружность диаметром ОМ и, учитывая соотношение , sin NH OM получаем пред ставление 2 2 cos cos 2cos cos cos . sin R OM Нужное найдено. В частных случаях четырёхугольника АВСD получаем: cos , sin 2 OM R если α = β (четырёхугольник есть трапеция); 2 2 cos cos , OM R если АВСD – четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Рассмотрим отношение длин отрезков диагонали и в случае описанного около окружности четырёхугольника (рис.2): 1 4 2 3 sin . sin S S АМ ad МС S S bc Выразим стороны четырёхугольника ABCD через радиус r вписанной в него окружности, учитывая, что О — это её центр, то есть точка пересечения биссектрис углов данного четырёхугольника: a b c A B C D d O R M Рис. 2
1/2019 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. sin 2 ctg ctg , 2 2 sin sin 2 2 a r r sin 2 , sin sin 2 2 b r sin 2 , sin sin 2 2 c r sin 2 . sin sin 2 2 d r Используя полученные представления и соотношения + = 2 – ( + ), + = 2 – ( + ) для отношения AM MC окончательно будем иметь: tg 2 . tg 2 АM MC Аналогично обосновывается соотноше ние tg 2 . tg 2 DM MB Следует отметить, что полученные формулы выглядят гораздо проще, чем для вписанного в окружность четырёхугольника, они легко запоминаются. Следует заметить также, что если четырёхугольник ABCD есть трапеция, то эти формулы выводятся из подобия соответствующих треугольников. Литература 1. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9. — М.: Дрофа, 2012. — 462 с. 2. Малышев И.Г. О перечне формул клумбового четырёхугольника // Математика в школе. — 2017. — № 6. — С. 38–42. Таблица умножения Известный немецкий алгебраист Эрнст Эдуард Куммер (1810–1893) очень плохо умел считать в уме. Если при чтении лекции ему надо было выполнить простенький расчёт, он обычно прибегал к помощи студентов. Однажды ему надо было умножить 7 на 9. Он начал вслух рассуждать: — Гм… это не может быть 61, потому что 61 — простое число. Это не может быть и 65, потому что 65 делится на 5. 67 — тоже простое число, а 69 — явно слишком много. Остаётся только 63… (Цит. по книге: Kutzler B. Mathematikerwitze. 2006; перевод Ю.М. Фролова.) МАТЕМАТИКИ СМЕЮТСЯ
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ И.Ж. Гукасян и др. ЗНАКОМСТВО С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ (МАГИСТРАНТЫ МПГУ – ШКОЛЬНИКАМ) Статья содержит задачи на тему «Комплексные числа». Она написана будущими учителями математики, а ныне магистрантами математического факультета МПГУ и адресована учащимся VIII–XI классов общеобразовательных школ — тем, кто впервые на уроках математики встретился с этим понятием. В первой части рассмотрена структура комплексных чисел, правила арифметических действий над ними и применение к решению уравнений не выше второй степени. Во второй части — отработка новых понятий и первое знакомство со свойствами комплексных чисел, которых нет у действительных. В третьей части — небольшой тест, проверяющий насколько хорошо усвоены навыки вычислений в комплексных числах и можно ли двигаться дальше. Наконец, в четвёртой части представлены задачи повышенной трудности — для их решения нужны или Идея рисунка: М.О. Колосовцева и Е.А. Танклевская
1/2019 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции. смекалка, или хорошая алгебраическая подготовка. *** В настоящее время комплексные числа изучаются в общеобразовательных школах в X–XI классах на уроках алгебры и начал анализа профильного уровня. Задания ЕГЭ не содержат задач по этой теме, поэтому внимания комплексным числам, как правило, оказывается мало. А жаль: само введение понятия комплексного числа содержит важнейшую математическую идею — идею выхода за пределы изучения реальных объектов и введения в рассмотрение новых абстрактных понятий с той целью, чтобы в результате изучения их свойств получить новое знание об устройстве окружающего нас мира. Эта идея пронизывает всю современную науку математику, и чем раньше учащиеся поймут её, тем более понятной станет для них в будущем математика. Не случайно раньше (до Колмогоровской реформы образования) комплексные числа начинали изучать уже в VI классе. Мы все — авторы этой небольшой статьи — будущие учителя математики и мы очень хотели бы, чтобы знакомство с комплексными числами стало для вас, дорогие ребята, интересным и познавательным. Эта идея пронизывает всю современную науку математику, и чем лучше вы освоите математический аппарат, тем больше обнаружите удивительных свойств у окружающих вас предметов. Когда мы в школе учили алгебру, нам было интересно, почему квадратные уравнения с положительным и нулевым дискриминантом имеют решения, а с отрицательным — нет. К тому времени мы изучили различные множества чисел: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множества рациональных и действительных чисел. Неужели их недостаточно? В самом деле, мы ведь вполне можем обходиться ими для того, чтобы считать, находить в различных задачах скорость движения, вычислять производительность труда проценты, измерять длины и углы. Но оказывается, перечисленных множеств чисел не хватает для решения некоторых алгебраических уравнений. Эту задачу нам помогут решить комплексные числа. Комплексное число — это выражение вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, а i — некоторый новый математический объект, который называется мнимой единицей и про который известно, что i2 = –1. Структура комплексного числа показана на рисунке 1. Складывать и умножать комплексные числа можно, пользуясь правилами сложения и умножения двучленов: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Проверьте сами, что (2 + 3i) – (5 + 3i) = –3. Удивительное дело: складывали два комплексных числа, а получили действительное. Значит, каждое действительное число — комплексное, у которого мнимая часть равна нулю. Например, число –3 А.И. Крупнова, Е.А. Мухин, Т.Б. Савочко, А.С. Шишкова, Ю.В. Гончарова, М.Н. Обулахова Что такое число i и как им пользоваться?