Математика для студентов медицинских училищ и колледжей

В.В. Беликов
В.В. Кудрявцева 

МАТЕМАТИКА 

для студентов  
медицинских училищ и колледжей 

Учебное пособие

3-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2020

УДК 51(075.8) 
ББК 22.1я73 

    Б43 

       Беликов В.В. 
Б43     Математика для студентов медицинских училищ и колледжей

[Электронный ресурс]: учеб. пособие / В.В. Беликов, В.В. 
Кудрявцева. – 3-е изд., стер. – М.: ФЛИНТА, 2020. – 246 с. 

ISBN 978-5-9765-2060-8

Учебное пособие соответствует Федеральному государствен
ному образовательному стандарту среднего профессионального
образования по дисциплине «Математика» для всех специальностей медицинских колледжей и училищ. В пособии изложены все
изучаемые разделы математики, направленные на овладение основными понятиями и применение математических знаний в работе медицинского персонала среднего звена. Пособие может
быть использовано как под руководством преподавателя, так и
для самостоятельного изучения дисциплины студентами, так как
в каждой главе в качестве примеров предложены задачи с решениями и ответами. 

Для студентов и преподавателей медицинских училищ и кол
леджей. 

УДК 51(075.8) 
ББК 22.1я73 

ISBN 978-5-9765-2060-8
© Беликов В.В. , Кудрявцева В.В., 2015
© Издательство «ФЛИНТА», 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ ......................................................................... 4 
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ........................... 6 
§ 1. Предел функции .............................................................. 6 
§ 2. Производная и дифференциал функции .......................20 
§ 3. Неопределенный интеграл .............................................39 
§ 4. Определенный интеграл ................................................57 
§ 5. Дифференциальные уравнения .....................................71 
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА  ..........................81 
§ 1. Теория множеств ............................................................84 
§ 2. Математическая логика ................................................88 
§ 3. Элементы комбинаторики  .............................................89 
§ 4. Теория вероятностей ...................................................101 
§ 5. Математическая статистика ........................................135 
ГЛАВА 3. ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИКИ .......................155 
§ 1. Математическое моделирование ................................156 
§ 2. Математическая химия ...............................................160 
§ 3. Математическая биология ..........................................166
§ 4. Планирование  и обработка результатов медикобиологических экспериментов ..........................................179 
§ 5. Санитарная (медицинская) статистика .......................191 
§ 6. Заключение ....................................................................202 
ГЛАВА 4. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ..................................204 
ПРИЛОЖЕНИЯ .......................................................................209 
Ответы и указания к заданиям к главе 1 ...........................209 
Ответы и указания к заданиям к главе 2 ...........................225 
Ответы и указания к заданиям к главе 4 ...........................237 
Справочные материалы ......................................................239 
ЛИТЕРАТУРА .........................................................................242 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие написано на основе опыта ведения теорети
ческих и практических занятий в медицинском училище и 
предназначено для изучения и углубления знаний по математике на учебных занятиях и для организации самостоятельной работы студентов.

Книга представляет собой освещение всех изучаемых разде
лов математики, направленных на овладение основными понятиями, и применение математических знаний в работе медицинского персонала среднего звена.

Учебное пособие содержит материал, предусмотренный Фе
деральным 
государственным 
образовательным 
стандартом 

среднего профессионального образования по дисциплине «Математика» для всех специальностей медицинских колледжей и 
училищ.

В результате изучения обязательной части цикла обучаю
щийся должен:

уметь решать прикладные задачи в области профессио
нальной деятельности;

знать: 


значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;


основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;


основные понятия и методы теории вероятностей и 
математической статистики; основы интегрального и 
дифференциального исчисления

В учебном издании рассматриваются основные понятия сле
дующих разделов математики: теория пределов, основы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление), дискретная математика, логика, теория вероятности, 
математическая статистика. Введению каждого нового понятия 
предшествует небольшая историческая справка и формулировки 
прикладных задач, приведших к этому понятию. 

Кроме этого, в книге предусмотрен раздел, показывающий 
применение и значение изученных понятий в различных науках 
и отраслях человеческой деятельности, связанных с медициной 
и здравоохранением. Рассматривается важность математического моделирования различных процессов при их изучении, важность планирования проведения экспериментов и правильной 
обработки их результатов. Показан процесс получения расчетных формул, встречающихся на других дисциплинах. 
Учет профессиональной направленности курса математики, 
способствует воспитанию у студентов уверенности в профессиональной значимости изучаемого предмета. Решая задачи с медицинским содержанием, студенты убеждаются в справедливости теоретических основ математики и видят их практическое 
применение. Кроме этого, появляются сознательные мотивы 
изучения предмета. Мотивация и профильность в современном 
обучении играют важную роль в успешном усвоении дисциплины. Каждая тема включает в себя основные теоретические понятия, примеры решения задач, задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы. 
Цель создания книги заключается в том, чтобы помочь студентам расширить, суммировать и систематизировать знания по 
математике, полученные в средней школе; научить их пользоваться ими для совершенствования навыков своей будущей работы; показать важность и практическое применение всех разделов математики в выбранной профессии; дать фундаментальные знания о способах применения математики в различных 
научных и практических областях. 
Учебное пособие может быть использовано как под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения дисциплины студентами, так как в каждой главе в качестве примеров предложены задачи с решениями и ответами. 
Книга поможет студентам в изучении основ высшей математики, может быть использована в качестве справочного материала при написании курсовых и дипломных проектов и будет полезна преподавателям для рассмотрения профильной направленности математики. 
 

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчисления. 
В основе математического анализа лежит идея разложения на 
бесконечно малые элементы. 
Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684  г., когда Лейбниц опубликовал 
первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». В 
дальнейшем ученики и последователи Лейбница, такие как братья 
Бернулли, Лопиталь, Эйлер, Лагранж и др. в своих трудах 
ввели ряд базовых определений, таких как функция, предел, 
дифференциал, первообразная и др., сформулировали и доказали большое количество теорем, ставших основой современной 
науки. 

§ 1. Предел функции 

1.1. Предел функции в точке. Свойства пределов 

Предел функции является одним из основных понятий математического анализа. 
Рассмотрим функцию 
)
(x
f
y 
. Пусть данная функция 

определена на некотором интервале 

b
a,
, кроме, быть может, 

точки 


b
a
x
,
0
. Пределом функции 
)
(x
f
y 
 будет назы
ваться такое значение 
A
y 
, к которому будет стремиться зна
чения функции, при стремлении аргумента x  к 
0
x . 

Это интуитивное описание понятия предела. Существует несколько формальных определений предела функции (по Гейне, 
по Коши, по базе множеств и окрестностное определение по Коши). Так как все эти определения являются эквивалентными, т.е. 

из одного можно вывести все остальные, то рассмотрим только 
одно из них.

Определение

Число A называется пределом функции 
)
(x
f
y 
в точке

0
x , если для любого наперед взятого положительного числа 

найдется отвечающее ему положительное число 
 


 
такое, 

что для всех аргументов 
x , удовлетворяющих условию 




0
x
x
, выполняется неравенство 
 


 A
x
f
.

Обозначение

 
A
x
f

x
x


 0
lim

Такую запись обычно читают «Предел функции 
 
x
f
при x

стремящемся к 
0
x
равен A »

Свойства пределов

Указанные ниже свойства выполняются, если все функции 

определены на интервале 

b
a,
, кроме, быть может, точки 



b
a
x
,
0
и пределы указанных функций в точке 
0
x
суще
ствуют.

0

y

x
x0

A

A+ε

A–ε

x0–δ
x0+δ

1. 
Функция не может иметь двух разных пределов в одной 
точке, т.е. если предел существует, то он является 
единственным. 
2. 
Предел постоянной величины равен самой величине. 
C
C

x
x


 0
lim
, 
const
C 

3. 
Предел арифметической суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций. 

 
 


 
 
x
g
x
f
x
g
x
f

x
x
x
x
x
x
0
0
0

lim
lim
lim








4. 
Предел произведения конечного числа функций равен 
произведению пределов 
этих функций. 

 
 


 
 
x
g
x
f
x
g
x
f

x
x
x
x
x
x
0
0
0

lim
lim
lim








5. 
Из свойств 2 и 4 следует, что постоянный множитель 
можно 
выносить за знак предела. 
 
 
x
f
C
x
f
C

x
x
x
x
0
0

lim
lim







6. 
Из свойства 4 также следует, что натуральный показатель степени можно выносить за знак предела. 

 


 

n

x
x

n

x
x
x
f
x
f







0
0

lim
lim
, 
N
n

7. 
Предел отношения двух функций равен отношению 
пределов этих функций, если предел знаменателя не 

равен 0. 
 
 

 

 
x
g

x
f

x
g

x
f

x
x

x
x

x
x

0

0

0
lim

lim

lim







, если
 
0
lim

0




x
g

x
x

1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 

Определение 

Функция 
 
x

 
 называется бесконечно малой при 

0
x
x 
, если 
 
0
lim

0




x

x
x

. 

Свойства бесконечно малых функций 

1. 
Функция, равная алгебраической сумме конечного 
числа бесконечно малых функций, бесконечно малая. 
2. 
Произведение ограниченной функции на бесконечно 
малую функцию есть функция бесконечно малая. 
3. 
Произведение конечного числа бесконечно малых 
функций есть функция бесконечно малая. 
4. 
Отношение двух бесконечно малых функций 
может быть функцией произвольного поведения. 

Определение 

Функция 
 
x
f
f 
 называется бесконечно большой при 

0
x
x 
, если 
 




x
f

x
x
0

lim
. 

Свойства бесконечно больших функций 

1. 
Если функция 
 
x
f
 бесконечно большая, то 
 x
f
C
 

бесконечно малая, 
const
C 
. 

2. 
Если функция  
x

 бесконечно малая, то 
 
x

C

 бес
конечно большая, 
const
C 
. 

3. 
Произведение конечного числа бесконечно больших 
функций есть функция бесконечно большая. 

4.
Произведение бесконечно большой функции на постоянную величину или ограниченную функцию 
бесконечно большая функция.

5.
Бесконечно большая функция в натуральной степени 
есть бесконечно большая функция.

1.3. Замечательные пределы

Под замечательными пределами понимаются уже доказанные 

соотношения, которыми можно пользоваться при вычислении 
пределов.

Замечательных пределов существует несколько, но только 

два из них имеют исторически сложившиеся названия.

Первый замечательный предел

1
sin
lim
sin
lim

0
0















, где  – произвольная бесконечно 

малая функция.

Пример 1.1.1

1.
1
3

3
sin
lim

0



x

x

x
, т.к. 
0
3
lim

0



x

x
, т.е. x
3
– бесконечно 

малая функция при 
0

x
.

2.
 



 
1
sin
lim

0



x
arctg

x
arctg

x
, т.к. 
 
0
lim

0



x
arctg

x

3.


1

4

4
sin
lim
2
3

2
3

0









x
x
x

x
x
x

x
, т.к. 
0
4
lim
2
3

0





x
x
x

x

4.
1
5
sin

5
lim

0



x

x

x
, т.к. 
0
5
lim

0



x

x

Второй замечательный предел 



e








 















1

lim
0 1
1
1
lim
, где 
...
718281
,2

e
 

Под   подразумевается любая бесконечно большая функция, а под   – бесконечно малая. 

Пример 1.1.2 

1. 
e
x

x

x
















2

2

1
1
lim
, т.к. 






2
lim x
x

2. 
 


 
e
x
x

x





sin

1

0
sin
1
lim
, т.к. 
 
0
sin
lim
0



x

x

1.4. Вычисление пределов 

В общем случае для вычисления предела необходимо под
ставить в функцию вместо переменной x  значение 
0
x  и вычис
лить значение функции. 

Пример 1.1.3 

1. 




36
4
5
3
5
lim
4
3
lim
2

5

2

5











x
x
x
x

2. 











2
2
lim
lim

x
x
x

 
При подстановке и попытке вычисления значения предела 
могут получиться следующие неопределенности, т.е. выражения, значения которых не определены. 
К неопределенностям относятся следующие выражения: 

1. 

  – бесконечность делить на бесконечность 

2. 
0
0  – ноль делить на ноль