Математика в школе, 2020, № 1

МАТЕМАТИКА
в школе

1/2020

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 8 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Журавлева Н.А., Шашкина М.Б.
Стереометрия в школе: пора бить тревогу? 
(По результатам профильного ЕГЭ 2015–2019 гг.)

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

13 
«Российское образование в цифрах и фактах» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕН

17 
Прокофьев А.А.
Задачи с параметром на ЕГЭ–2019

ОЛИМПИАДЫ

31 
Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Глухов И.В., Головко А.Ю., Городецкий С.Е., 
Дубинская В.Ю., Кузьменко Ю.В., Подлипский О.К., Терёшин Д.А.
Заключительный этап олимпиады «Физтех–2019» по математике. Часть 2

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

43 
Астапов И.С., Астапов Н.С.
Решение геометрических задач векторным методом
50 
Кузьмичев А.И., Сосновский Ю.В.
Натуральные числа в школьном курсе математики. Часть 1

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

57 
Буфеев С.В.
Всегда ли 1 процент равен 0,01?

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3395. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2020, № 1

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова

Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»

Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ОТКРЫТЫЙ УРОК

61 
Борисова А.М.
Задания на формирование читательской грамотности на уроках математики 

ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА

71 
Утеева Р.А.
Геометрия – наука, методика и искусство преподавания 
(к 80-летию со дня рождения Евгения Викторовича Потоскуева)

СЕТЕМАТИКА

77 
Карпушина Н.М.
Плоды просвещения

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

СТЕРЕОМЕТРИЯ В ШКОЛЕ: ПОРА БИТЬ ТРЕВОГУ?

(По результатам профильного ЕГЭ 2015–2019 гг.)

Геометрия – уникальная наука и учебная дисциплина, в процессе изучения 
которой развиваются логическое мышление, интуиция, культура аргументации 
и доказательных рассуждений. Решение геометрических задач позволяет 
выстраивать причинно-следственные связи между фактами, проводить аналитикосинтетические рассуждения, строить индуктивные и дедуктивные конструкции. Всё 
это необходимо любому культурному и образованному человеку в современном 
информационном обществе, даже если он не будет профессионально заниматься 
математикой. Судьба школьной геометрии, в особенности стереометрии, в 
последние годы складывалась весьма непросто. Анализ результатов профильного 
ЕГЭ 2015–2019 годов заставляет задуматься: а не пора ли бить тревогу?

В 1993 году снизилась учебная нагрузка по математике в основной школе 
с 6 до 5 часов в неделю, а в старшей – с 6 
до 3–4 часов (в зависимости от профиля). 
В некоторых школах дополняли и продолжают дополнять недостающие часы 
за счёт школьного (регионального) компонента. В большинстве школ перешли 
на новый формат, в результате чего в 
5–9 классах «потерялось» 35 часов математики в год, а в 10–11 классах – 70. 
Пострадала от этого прежде всего геометрия. Некоторые учителя стали проводить обучение «блоками»: сначала 
изучается раздел курса алгебры, а затем геометрии. Такой формат, возможно, 
более удобен учителю, но вряд ли идёт 
на пользу ученикам.
Увлечение заданиями в форме тестов, 
появление рабочих тетрадей по предмету, введение новых форм итоговой аттестации (ОГЭ, ЕГЭ) и ряд других причин 
внесли существенные коррективы в процесс геометрической подготовки обучающихся. Прежде всего, школьники перестали осваивать теорию и самостоятельно 
доказывать геометрические факты. Если 

раньше в процессе изучения геометрии 
систематически проводились устные зачёты, экзамены, то теперь такое можно 
встретить достаточно редко. Лишь немногие учителя находят возможность тратить 
на это учебное время. Обучение в 9 классе 
сосредоточено на подготовке к предстоящему ОГЭ, в 11 – к ЕГЭ, а в остальных 
классах – к ВПР.
Изменение требований к результатам 
математической подготовки обучающихся на государственном уровне привело 
к существенному снижению качества 
знаний и умений в области геометрии. 
С планиметрией дела обстоят не так катастрофически, как со стереометрией, но 
тоже объективно оставляют желать лучшего. Естественно, при 4 часах в неделю 
в старшей школе практически нереально 
пройти учебную программу по алгебре и 
началам анализа и стереометрии и при 
этом качественно подготовить обучающихся к ЕГЭ, пусть даже базового уровня. Между тем некоторые старшеклассники, изучающие математику на базовом 
уровне, выбирают для сдачи профильный 
ЕГЭ по математике.

Математика в школе  1 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Практическая ценность и значимость 
учебного материала зачастую оцениваются обучающимися и их родителями одним 
фактором: нужно ли это для сдачи ЕГЭ. 
Отметим ещё одно обстоятельство, негативно влияющее на качество подготовки 
по стереометрии: изучение материала в 
формате «натаскивания», когда разбираются только те задания, что встречаются 
на экзамене, без выстраивания системообразующих связей, без обобщения и поэтапной отработки необходимых умений, 
навыков и способов деятельности. В последние годы для решения заданий по 
стереометрии повышенного уровня сложности некоторые обучающиеся благодаря 
репетиторам стали осваивать алгоритмы 
из курса аналитической геометрии, которых нет в школьной программе. Это, по 
нашему глубокому убеждению, тоже наносит вред качеству геометрической подготовки школьников.
Обратимся к результатам выполнения заданий по стереометрии на ЕГЭ 
по математике профильного уровня в 
Красноярском крае (см. таблицу), изложенным в ежегодных отчётах [1, 4–7]. С 
2016 года знание этого раздела школьного курса геометрии проверяется с помощью двух заданий второй части КИМ. 
Это задания 8 (с кратким ответом) и 14 
(с развёрнутым ответом). Ранее, в 2010–
2015 годах, таких заданий было три: 9, 
12 (с кратким ответом) и 16 (с развёрнутым ответом).
Видим, что верный ответ в задании с 
кратким ответом дают чуть больше половины экзаменуемых. Что касается заданий с развёрнутым ответом, то результативность их выполнения в разные годы
колеблется от 1,07 до 14,13%. Эти колебания, на наш взгляд, во многом зависят от 
содержания конкретных заданий. Дают 
задание чуть легче – и повышается про
цент их выполнения. Общая тенденция, 
отражённая в статистике, вряд ли даёт 
основания делать выводы о повышении 
качества геометрической подготовки старшеклассников.
Попробуем проанализировать, какие 
цели преследуют разработчики ЕГЭ в области проверки знаний и умений обучающихся по стереометрии. Согласно спецификации КИМ ЕГЭ 2010–2019 годов, в 
заданиях по стереометрии проверяется 
«умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами». В 2010–2014 годах задание 16 с 
развёрнутым ответом (в нынешней версии 
это задание 14) было рассчитано на 40 
(25) минут для обучающихся на базовом 
и на профильном уровнях соответственно. 
В 2015 году произошло разделение на базовый и профильный уровни самого экзамена, и это задание стало рассчитываться 
на 30 (20) минут, с 2016 года – на 40 (20) 
минут.
Коренным образом ситуация с содержанием заданий в экзаменационной работе поменялась вместе с командой разработчиков и концепцией экзамена в 2010 
году. В учебно-методических материалах 
для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке 
выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2010 
года отмечалось, что «положение дел, сложившееся с преподаванием геометрии в 
российских школах крайне тяжёлое, а 
положение стереометрии, мягко говоря, 
катастрофическое. Среди множества причин выделим отсутствие на протяжении 
многих лет геометрической (стереометрической) составляющей в получении выпускниками аттестационной оценки за 
курс математики средней школы. Формат 
КИМ ЕГЭ предыдущих лет, когда аттестационная оценка выставлялась только 

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Статистика выполнения заданий по стереометрии 
на ЕГЭ профильного уровня в Красноярском крае

Год
Номер
задания

Проверяемые
элементы
содержания

Результаты выполнения (в % от 
общего числа экзаменуемых)

Набрали
максимальный
балл

Набрали
балл меньше 
максимального 

2015

9
Пирамида. Правильная пирамида. 
Высота пирамиды
55,41
–

12
Цилиндр. Объём цилиндра
24,59
–

16

Прямые и плоскости в пространстве. Признак перпендикулярности 
прямой и плоскости. Угол между 
прямой и плоскостью

4,18
9,95

2016

8
Пирамида. Треугольная пирамида. 
Правильная пирамида. Объём 
пирамиды
67,72
–

14
Прямые и плоскости в пространстве. Призма. Правильная призма. 
Сечения призмы. Объём пирамиды
0,39
6,97

2017

8
Цилиндр. Объём цилиндра
54,47
– 

14

Прямые и плоскости в пространстве. Теорема о трёх перпендикулярах. Многогранники. Расстояние 
между скрещивающимися прямыми

0,98
4,6

2018

8
Призма. Треугольная призма.
Боковая поверхность призмы
57,72
–

14
Прямые и плоскости в пространстве. Теорема о трёх перпендикулярах. Цилиндр
3,29
5,72

2019

8
Цилиндр. Объём цилиндра
57,07
– 

14
Пирамида. Правильная пирамида. 
Сечение пирамиды. Высота пирамиды. Объём пирамиды 
1,07
Нет данных

по разделу “Алгебра и начала математического анализа”, закрепил дополнительную, определённую необязательность 
изучения стереометрии в старшей школе. 
Во многих выпускных классах различных 
регионов в последние несколько лет учащиеся фактически перестали изучать сте
реометрию, особенно во втором полугодии 
11 класса» [8].
С 2010 года стереометрическая задача позиционировалась разработчиками 
как задача «для большинства нормально 
успевающих учеников, а не только для 
избранных», «с минимальными техниче

Математика в школе  1 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

скими вычислениями» [8]. Чтобы получить максимальные 2 балла, в решении 
достаточно было верно описать ситуацию 
и сделать чертёж, указать положение искомого объекта, а также верно провести 
необходимые вычисления. Отсутствие в 
«тексте работы неверных утверждений о 
свойствах и расположении тех или иных 
геометрических объектов» являлось необходимым условием для выставления 
положительной оценки [9]. Заметим, что 
первые пару лет разработчики КИМ придерживались заявленных положений, и 
задания по стереометрии повышенного 
уровня сложности действительно были 
адекватны и решаемы по сравнению со 
стереометрической задачей С4 предыдущей версии (до 2010 года).
С 2015 года структура задания изменилась: оно было разделено на пункты 
а) доказательство некоторого факта и 
б) вычисление некоторой величины. Для 
получения максимальных 2-х баллов 
должны быть правильно и обоснованно 
выполнены оба пункта, а для получения 
1 балла достаточно справиться хотя бы с 
одним из них [3]. Это нововведение сделало проверку задания более корректным 
для экспертов, в то время как содержание 
задания, особенно необходимость проводить серьёзные доказательные рассуждения, сделала его гораздо более сложным 
для экзаменуемых. И тезис о доступности 
и посильности задания стал весьма сомнительным.

Приведём решения заданий по стереометрии с развёрнутым ответом из КИМ 
ЕГЭ разных лет.
Задача 1 (2015 год). В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит 
прямоугольник ABCD со сторонами AB = a, 
BC = b. Длины боковых рёбер пирамиды 

SA = c, 
2
2 ,
SB
a
c


2
2.
SD
b
c



а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и 
плоскостью ASB.
Р е ш е н и е. а) В треугольнике SAB выполняется равенство AB2 + SA2 = a2 + c2 = 
= SB2, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол SAB – прямой. В треугольнике SAD выполняется равенство 
AD2 + SA2 = b2 + c2 = SD2, тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, угол 
SAD – прямой. Получается, что SA  AB и 
SA  AD, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA 
перпендикулярна плоскости ABD. Значит, отрезок SA – высота пирамиды.

Рис. 1

б) Прямая SA перпендикулярна плоскости ABD, следовательно, SA  CB, и 
CB  AB (ABCD – прямоугольник), значит, прямая СВ перпендикулярна плоскости SAB. Тогда SB является проекцией SC 
на плоскость SAB, а угол между прямой 
SC и плоскостью ASB – это угол CSB (см. 
рисунок 1). 
В треугольнике SCB угол SBC – прямой и

tg
BC
CSB
SB



2
2 .
b

a
c



О т в е т: 

2
2
arctg
.
b

a
c


Задача 2 (2016 год). В правильной 
четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 

A

S

C

D

B

Актуальная тема
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

сторона АВ основания равна b, а боковое 

ребро АА1 равно 
1
m
k
b
mk


 (k и m – на
туральные числа, 1 < m ≤ k). На рёбрах 
ВС и C1D1 отмечены точки K и L соответ
ственно, причём 
,
b
BK
k

1
.
b
C L
m

 Пло
скость γ параллельна прямой ВD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите объём пирамиды, вершина 
которой – точка C, а основание – сечение 
данной призмы плоскостью γ.
Р е ш е н и е. Плоскость γ параллельна 
прямой ВD и проходит через точки К и 
L, значит, KМ и LN параллельны прямой 
ВD (рис. 2). Сечение KMLN – трапеция. 
Плоскость γ пересекает плоскость А1С1С 
по прямой PQ, прямая А1С пересекает 
PQ, а следовательно, и плоскость γ в точке Н.

Рис. 2

а) АС – проекция А1С на плоскость 
АВС, АС  ВD как диагональ квадрата, 
тогда по теореме о трёх перпендикулярах 
А1С  ВD. Так как МK параллельна ВD, 
то А1С  МK.
Покажем, что A1C  PQ. В прямоугольнике АА1С1С

2,
AC
b

1
1
.
m
k
AA
b
mk




Из точки Q к стороне АС проведём перпендикуляр QE (рис. 3).

Рис. 3

Найдём длину отрезка PE = CP – C1Q.

1
1
1
1
1
1

2
2
,
2
2
2
C L
b
b
C Q
A C
b
C D
bm
m






(
1) 2
2
,
2
2
2

b
b
CK
b k
k
CP
AC
b
BC
b
k









1
(
1) 2
2
2
2

2 1
.
2

b k
b
PE
CP
C Q
k
m

b
m
k
mk


















Рассмотрим треугольник CPH.

tg
tg

1
2
,
2 1
1
2

CPH
EPQ

m
k
b
mk
b
m
k
m
k
mk
mk





















1
tg
tg

1
1
.
2
2

PCH
ACA

m
k
m
k
b
mk
mk
b













Получается, что
tgCPH ∙ tgPCH = 1,
тогда

1
tg
tg
CPH
PCH





= ctgPCH = tg(90° – PCH),
откуда
CPH = 90° – PCH, CPH + PCH = 90°.
Значит, PHC = 90° и А1С  PQ.
Мы доказали, что A1C  MK и A1C  PQ, 
тогда по признаку перпендикулярности 
прямой и плоскости A1C  γ.

A
P

M

N

L

C
D

K
B

B1

C1
D1

A1
Q

H

A
P
E
C

C1
A1
Q

H

Математика в школе  1 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

б) Искомый объём пирамиды

1
.
3
CKMLN
KMLN
V
CH S



Площадь основания пирамиды

.
2
KMLN
LN
MK
S
PQ




1
2
2
,
b
LN
C L
m



(
1) 2
2
.
b k
MK
CK
k




Найдём PQ. Треугольники PCH и PQE 
(см. рисунок 3) подобны по двум углам 
(QPC общий, CHP = QEP = 90°), значит,

2(
1) 2
1
.
2
PC QE
b
k
m
k
PQ
CH
k CH
mk








Тогда искомый объём

2

(
)
2
3
2

(
1) 2
1
2

CKMLN
CH
mk
m
k b
V
mk

b
k
m
k
k CH
mk















3

2
(
1)(
) 1
.
6

b
k
mk
m
k
m
k
mk
mk








О т в е т: 

3

2
(
1)(
) 1
.
6

b
k
mk
m
k
m
k
mk
mk







Задача 3 (2017 год). Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 
является прямоугольный треугольник 
ABC с прямым углом C, а боковая грань 
ACC1A1 является квадратом. 
а) Докажите, что прямые AB1 и A1C 
перпендикулярны. 
б) Найдите расстояние между прямыми 
AB1 и A1C, если AC = a и BC = b.
Р е ш е н и е. а) Прямая B1C1 перпендикулярна плоскости A1CC1 по условию, 
значит, A1C  B1C1 (рис. 4). Кроме того, 
A1C  AC1 (свойство диагоналей квадра
та). Тогда прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Отсюда следует, что 
AB1  A1C.

Рис. 4

б) Пусть М – точка пересечения A1C и 
AC1. Искомое расстояние – длина отрезка MH (расстояние от точки M до прямой 
AB1), так как прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1 (рис. 4). Этот отрезок 
равен половине высоты С1H1, проведённой 
из вершины прямого угла C1 к гипотенузе 
AB1 треугольника AB1C1. Найдём МН.

1
1
1
1
1
2
2
2
2
1

2
2
,
2
2

AC
C B
a
b
ab
C H
AB
a
b
a
b









2
2
2
.
2 2

ab
MH
a
b



О т в е т: 

2
2
2
.
2 2

ab

a
b


Задача 4 (2018 год). В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости 
основания. На окружности одного из 
оснований цилиндра выбраны точки А и 
В, а на окружности другого основания – 
точки В1 и С1, причём ВВ1 – образующая 
цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось 
цилиндра.
а) Докажите, что угол АВС1 – прямой.
б) Найдите расстояние от точки В 
до прямой АС1, если AB = a, BB1 = b, 
B1C1 = c.
Р е ш е н и е. а) Построим проекцию 
точки С1 на плоскость другого основания 

M
C

B

C1

A

A1

H1

B1

H

Актуальная тема
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

цилиндра (рис. 5). Поскольку отрезок АС1 
пересекает ось цилиндра, то отрезок АС, 
проекция отрезка АС1 на плоскость АВС, 
проходит через центр окружности основания цилиндра, значит, АС – диаметр 
этой окружности. Угол АВС – вписанный, 
опирающийся на диаметр, следовательно, 
прямой.

Рис. 5

Отрезок ВС – проекция ВС1 на плоскость АВС, АВ  ВС, тогда по теореме 
о трёх перпендикулярах АВ  ВС1 и угол 
АВС1 – прямой.
б) Треугольник АВС1 прямоугольный, 
поэтому расстояние от точки В до прямой 
АС1 есть длина высоты ВН, проведённой 
к гипотенузе,

2
2
1
2
2
2
1
.
AB BC
a b
c
BH
AC
a
b
c








О т в е т: 

2
2

2
2
2 .
a b
c

a
b
c






Задача 5 (2019 год). В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна n, а боковое ребро SA равно 
n – 1. На ребрах АВ и SC отмечены точки 
K и М соответственно, причём АK : KВ = 
= SM : MC = k : (n – k). Плоскость α содержит прямую KМ и параллельна прямой 
SA.
а) Докажите, что сечение пирамиды 
SABC плоскостью α – прямоугольник.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной 
которой является точка А, а основанием – 
сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Р е ш е н и е. а) Построим сечение пирамиды SABC плоскостью α. Плоскость 
α параллельна прямой SA, тогда α будет 
пересекать грани SAB и SAC по прямым, 
параллельным SA. В грани SAB через 
точку К проведём прямую, параллельную 
SA и пересекающую ребро SB в точке L. В 
грани SAС через точку M проведём прямую, параллельную SA и пересекающую 
ребро AC в точке N. Через точки M и L 
грани SBC проведём прямую ML, а через 
точки N и K в грани АВС – прямую NK. 
Четырёхугольник MNKL – искомое сечение (рис. 6).

Рис. 6

Поскольку KL N AS и NM N AS, то 
LK N NM.
Треугольники BKL и BAS, а также треугольники CNM и CAS подобны, коэффи
циент подобия равен 
.
n
k
n

 Тогда

,
BL
BK
n
k
CN
CM
BS
BA
n
CA
CS






следовательно,

.
SL
AK
k
AN
SM
BS
BA
n
CA
CS





Таким образом, треугольники LSM и 
BSC, a также треугольники KAN и BAC 

A

C

B

B1

C1

O

H

A

F

P

S

M

N
C

K
B

L

O Q

H

Математика в школе  1 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

подобны, коэффициент подобия равен  
.
k
n  

Поскольку KN N BC и LM N BC, то 
KN NLM.
Таким образом, LK N NM и KN N LM, 
тогда MNKL – параллелограмм.
Пусть точка F – середина ВС, тогда 
AF  BC (см. рисунок 6). Высота пирамиды OS  ABC, тогда АF – проекция AS на 
плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах AS  BC.
Так как KL N AS и KN N BC, то KL  KN 
и MNKL – прямоугольник.
б) Найдём площадь прямоугольника 
MNKL (основания пирамиды AMNKL):

(
1),
n
k
n
k
LK
AS
n
n
n







,
k
k
KN
BC
n
k
n
n





(
)(
1) .
MNKL
k n
k n
S
n




Чтобы найти высоту AH пирамиды 
AMNKL, рассмотрим сечение АSF (рис. 7). 
Саму высоту найдём из прямоугольного 
треугольника AHQ. 

Рис. 7

Имеем:

3 ,
2
AF
n

2
3 ,
3
3
n
AO
AF



2
2
2
2
6
3
(
1)
.
3
3

n
n
n
SO
n







Поскольку  HP N AS, то

cos QAH = cos (90° – SAO) =

2
2
6
3
sin
.
3(
1)

SO
n
n
SAO
AS
n









Далее получим:

3 ,
2
k
k
AQ
AF
n



2
2
6
3
cos
.
2(
1)
k
n
n
AH
AQ
QAH
n







Следовательно,

2
2

1
3

(
–
) 2
– 6
3 .
6

AMNKL
MNKL
V
S
AH

k n
k
n
n
n








О т в е т: 

2
2
(
) 2
6
3 .
6
k
n
k
n
n
n




Видим, что уровень сложности большинства приведённых заданий позволяет сомневаться в правомерности двухбалльной оценки.
Сравнивая задание 14 с заданиями 13 
и 15, в которых требуется решить одно 
уравнение, пусть даже с отбором корней, 
и одно неравенство, видим, что в задании 
14 фактически решаются две разные стереометрические задачи: на доказательство и на вычисление, причём зачастую 
независимо друг от друга.
Можно указать причины типичных 
ошибок, допускаемых теми немногими 
участниками экзамена, кто приступают 
к выполнению данного задания (подробнее об этом см. в статье [2]). Как правило, 
это:
1) неверные представления и изображения пространственных объектов;
2) незнание признаков и свойств объектов в пространстве;
3) недостаточный уровень владения 

A
F

P

S

O Q

H

Актуальная тема
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

основами планиметрии (неумение применять свойства и признаки многоугольников разного вида и т.п.);
4) неумение выстраивать логическую 
цепочку рассуждений и обосновывать все 
шаги решения;
5) некорректные вычисления;
6) некорректное использование алгоритмов и формул аналитической геометрии.
В заключение выскажем наши соображения по поводу возможностей исправить 
сложившуюся ситуацию.
Если мы хотим сохранить хорошие 
традиции математического образования 
и обеспечить хотя бы удовлетворительное качество подготовки по стереометрии, 
стоит пересмотреть методику изучения 
геометрии в школе, причём не только в 
старшей, но и в основной. Необходимо возродить практику отработки доказательств 
и проведения устных зачётов, нужно обращать внимание на рассуждения, аргументацию, оформление решений. Геометрия 
должна изучаться не раз в четверть (одним блоком), а каждую неделю. Планиметрия – это основа, которая закладывается 
в основной школе, и обобщение материала 
по этому разделу должно проводиться как 
в конце девятого класса, так и в начале 
десятого. Возможно использование опорных конспектов, карт с кратким, ёмким 
и наглядным изложением необходимого 
теоретического материала.
Обучающимся при подготовке к ЕГЭ 
стоит пойти по пути проработки основных 
ключевых сюжетов стереометрических задач (определение угла между прямой и 
плоскостью, угла между плоскостями, 
расстояния от точки до плоскости, угла 
и расстояния между скрещивающимися 
прямыми; доказательство параллельности и перпендикулярности прямых и 
плоскостей и др.). Обобщить всю необхо
димую теорию и возможные методы решения в каждом случае. Этот путь более 
продуктивен, чем прорешивание типовых 
вариантов.
Также хотелось бы прояснить ситуацию с содержанием и уровнем сложности 
задания 14 на ЕГЭ. Не секрет, что многие 
обучающиеся и учителя именно успешность сдачи экзамена рассматривают как 
основной результат школьной подготовки. 
В настоящее время это задание примерно 
для 85% выпускников школ является нерешаемым, поэтому вопрос о необходимости качественного изучения стереометрии 
в старших классах остаётся открытым.

Источники

1. Анализ результатов ОГЭ и ЕГЭ по математике в Красноярском крае в 2019 году. 
См. 
https://www.youtube.com/watch?time_
continue=2&v=AgGnuLfCiBw.
2. Журавлева Н.А., Шашкина М.Б. ЕГЭ 
2017. Геометрические задачи с развёрнутым 
ответом // Математика в школе. Электронное 
приложение № 2/2017.
3. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по 
математике. См. http://fipi.ru/sites/default/files/
document/1441039556/matematika.pdf.
4. Методический анализ результатов 
ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2016 году. См. 
https://coko24.ru/wp-content/uploads/2014/08/
Аналитический-отчёт-по-математике-проф-_
ЕГЭ_24_2016-1.pdf.
5. Методический анализ результатов ЕГЭ 
по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2017 году. См. http://www.
kipk.ru//images/docs/Математика_профильного_уровня.pdf.
6. Методический анализ результатов ЕГЭ 
по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2018 году. См. https://coko24.

Математика в школе  1 / 2020

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ru/wp-content/uploads/2018/09/ЕГЭ-2018-АОМА_профильная.pdf.
7. Отчёт о результатах методического анализа результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 
2015 году. См. http://www.boguo.ru/files/fck/file/
Ot4_t-EGYE_matematika_profilnaja_2015.pdf.
8. Учебно-методические материалы для 
председателей и членов РПК по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2010 года. См. http://

fipi.ru/sites/default/files/document/1408710050/
matUMM2010.zip.
9. Учебно-методические материалы для 
председателей и членов РПК по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2012 года. См. http://
fipi.ru/sites/default/files/document/1408709880/
MA_umm_2012.zip.

Н.А. Журавлева, М.Б. Шашкина,
КГПУ им. В.П. Астафьева (Красноярск)

БИБЛИОТЕКА

Ю.А. Глазков, М.В. Егупова. Тренажёр по геометрии. – М.: Экзамен, 2019

Данное пособие (в трёх частях) направлено на реализацию одного из главных положений ФГОС ООО 
– формирование метапредметных умений школьников в практико-ориентированном обучении 
математике, прежде всего умения моделировать, то есть строить и исследовать математические модели. Тематика задач соответствует курсу планиметрии (учебник авторов Л.В. Атанасяна и 
др.) Сами задачи касаются различных проблемных ситуаций, их сюжеты носят познавательный и 
развивающий характер и основаны на реальных событиях и фактах, которые могут иметь место 
в повседневной жизни учащегося, профессиональной деятельности людей и пр. Решение таких 
задач требует знания не только математики, но и других школьных предметов. Отдельные задачи 
предполагают изготовление предметных моделей из подручных материалов и пригодятся для организации проектной деятельности на уроке. Задачи каждого тренажёра объединены геометрическим материалом и сюжетной линией, снабжены пояснениями (указаниями). Пособие содержит 
также задачи для самостоятельного решения. В конце приведены решения и ответы. Книгу можно 
использовать при подготовке к ОГЭ (задания 1–5).
Подробнее о задачах из «Тренажёра» и методике работы с ними мы расскажем позже.