Математика в школе, 2019, № 6

МАТЕМАТИКА
в школе

6/2019

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Малышев И.Г.
К вопросу о проверке заданий ОГЭ

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 6 
Карпушина Н.М.
«И никаких иллюзий (две трети россиян по-прежнему голосуют против Единых 
госэкзаменов)» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

10 
Смирнов В.А., Смирнова И.М.
Визуализация задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

ОЛИМПИАДЫ

17 
Агаханов Н.Х., Глухов И.В., Городецкий С.Е., Подлипский О.К.
Онлайн-этап олимпиады «Физтех–2019» по математике

КОНСУЛЬТАЦИЯ

28 
Калинин С.И., Панкратова Л.В.
Теорема Помпейю и задачи о касательных к параболе

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

38 
Малова И.Е., Еловикова Ю.А., Корпачева М.А., Малинникова Н.А., Чиспияков С.В.
Задачи с экономическим содержанием и работа с ними как с текстовыми.  Часть 1

50 
Петерсон Л.Г., Седова Е.А.
Об учебниках математики УМК «Учусь учиться» для 5–6 классов

У НАС В ГОСТЯХ

61 
Данг Чанг, Седова Е.А. 
О национальном экзамене по математике для выпускников средней школы Вьетнама

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3343. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2019, № 6

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова,
С.В. Пчелинцев, В.И. Рыжик, О.А. Саввина,
Е.А. Седова, А.Л. Семенов

Редакторы:  С.И. Калинин, Н.М. Карпушина,
И.С. Недосекина, В.П. Норин, С.Н. Федин

Выпускающий редактор  И.А. Моргунова

Корректор  И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»

Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОО ОБРАЗОВАНИЯ

68 
Элсаиди М.С.М., Егупова М.В.
О  развитии школьного математического образования в Египте (XIX–XXI вв.). Часть 1

ХРОНИКИ

76 
Кузнецова Т.И.
Всероссийский научно-методический семинар «Передовые идеи в преподавании 
математики в России и за рубежом» в 2018/2019 учебном году

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

79 
Карпушина Н.М.
Неуловимая катенария

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

К ВОПРОСУ О ПРОВЕРКЕ ЗАДАНИЙ ОГЭ

В недавней статье [1] был поднят вопрос о качестве проверки экзаменационных 
работ ЕГЭ. Основываясь на «Методических материалах для председателей и членов 
предметных комиссий субъектов РФ по проверке выполнения заданий с развёрнутым 
ответом экзаменационных работ ЕГЭ по математике» (2015–2018 гг.) автор статьи 
рассуждает о том, что методика проверки решения задач, рекомендованная ФИПИ, 
вызывает вопросы и, мягко говоря, спорная. Настоящая статья продолжает тему об 
оценивании работ ФИПИ, только теперь уже на материалах ОГЭ.

В «Методических материалах для председателей и членов региональных предметных комиссий по проверке выполнения 
заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ОГЭ 2019 года» приведены 
два решения следующей задачи:

Постройте график функции 
2
9
1

9

x
y
x
x





 

и определите, при каких значениях k 

прямая y = kx имеет с графиком ровно 
одну общую точку.
О т в е т: 81.
Перед вами решение первого ученика 
(рис. 1).
Заметим, что строился график одной 
из трёх известных простых функций 

у = х, у = х2 и 
1 .
y
x

 Кроме того, выко
   Рис. 1

лотую точку, координаты которой экзаменуемый указал, он на 
графике отметить не мог (авторы 
задания не стали утруждать себя 
подбором более подходящих коэффициентов, когда вместо чи- 
сел 2 или 3 указали в выражении для функции цифру 9, и это 
– существенное замечание к измерительным материалам). Стоит ещё отметить, что на графике 
видны восемь точек (по четыре 
на каждой ветви), по которым 
он строился. Более того, выпускник выполнил второй пункт задания.
А вот решение той же задачи 
второго ученика (рис. 2).
В отличие от решения первого 
ученика здесь приведена таблица. Координаты выколотой точки 
не указаны. Более того, какая-то 

Математика в школе  6 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

прямая проходит через выколотую точку, 
которая на рисунке находится между –4 
и –5 по оси ординат. 
Но комментарии к решениям в «Методических материалах» таковы.
Комментарий к первому решению. 
Несмотря на описание, по данному рисунку нельзя судить о верности графика. 
Оценка эксперта: 0 баллов.
Комментарий ко второму решению. График построен верно. Наличие 
некоторой прямой на графике не может 
быть поводом для снижения баллов. 
Оценка эксперта: 1 балл. 
Эти комментарии обескураживают. Такое впечатление, что эксперт решил наказать первого ученика за слишком грамотное решение. При этом отметим, что 
решающим при оценивании второго решения оказалось наличие таблицы (даже 
в абсурдной ситуации построения графика 

известной учащимся функции 
1
y
x

).

Посмотрим, чего нужно придерживать
ся при оценивании этого задания, согласно 
«Методическим материалам», оказывается: 
«Основным условием положительной оценки за решение задания является верное 
построение графика. Верное построение 
графика включает в себя: масштаб, содержательная таблица значений или объяснение построения, выколотая точка обозначена в соответствии с её координатами».
А вот как выглядит «идеальное» решение подобного задания от составителей 
критериев для проверки 2016 г.
Постройте график функции

2
10
25 при
4,
3
при
4.
x
x
x
y
x
x






 




Определите, при каких значениях m 
прямая y = m имеет с графиком ровно 
две общие точки.
Р е ш е н и е.
Построим график функции y = x – 3 
при x < 4 и график функции y = x2 – 10x + 
+ 25 при x ≥ 4 (рис. 3).
Прямая y = m имеет с графиком ровно 

Рис. 2

Актуальная тема
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

две общие точки, если она проходит через 
вершину параболы или через точку (4; 1). 
Получаем, что m = 0 или m = 1.
О т в е т: 0; 1.
Как видим, это «идеальное» решение 
противоречит только что процитированным условиям выставления положительной оценки. Так и хочется сказать: «Несмотря на описание, по данному рисунку 
нельзя судить о верности графика». Добросовестное построение графиков предполагает на осях координат оцифровывать все 
метки. Точек на рисунке не видно, таблицы значений нет. Если имеем параболу, 
то, по крайней мере, следует записать её 
в формате у = (х – 5)2 с указанием координат вершины параболы. Итак, график не 
может считаться верным. А если график 
не считается верным, то и второй пункт 
не считается. Таким образом получается, 
что за такое «идеальное» решение следует 
ставить 0 баллов.  Мне скажут, что критерии написаны для проверяющих экзамен 
учителей. Но для учителей и это избыточно. Для проверки достаточно решения подобного задания, представленного одним 
учеником (рис. 4).
Чем оно хуже эталонного решения?
А ведь эти же критерии могут всплыть 
на апелляции. И тогда просто невозможно 
будет объяснить первому ученику, почему 
он получил 0 вместо 2 баллов.
В заключение отмечу, что в «Методических рекомендациях по формированию и 
организации работы предметных комис
Рис. 3

Рис. 4

сий субъекта Российской Федерации при 
проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам 
среднего общего образования в 2019 году» 
указано, что доля заданий/критериев оценивания, по которым оценки эксперта не 
совпали с оценками, выработанными при 
согласовании подходов к оцениванию развёрнутых ответов, для ведущего эксперта по математике допустима в пределах 
одного процента (для остальных предметов, между прочим, это от пяти до десяти 
процентов). Причём это было установлено только в 2019 году. В прошлые годы 
это отличие должно было составлять ноль 
процентов (ноль на самом деле)! В РФ около 170 председателей комиссий ЕГЭ и их 
заместителей и, соответственно, столько 
же ведущих экспертов. И вот представьте, 
170 ведущих экспертов должны мыслить 
абсолютно одинаково при проверке таких 
заданий, и никаких сомнений в адекватности рекомендаций у них быть не должно – таково требование.

Литература

1. Буфеев С.В. Об оценивании работ ЕГЭ // 
Математика в школе. – 2018. – № 7. – С. 3–9.

И.Г. Малышев,
ГБОУ ДПО НИРО (г. Нижний Новгород)

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Барометр ЕГЭ
И НИКАКИХ ИЛЛЮЗИЙ
(две трети россиян по-прежнему голосуют против Единых госэкзаменов)
Последний опрос фонда «Общественное мнение» (проводился 25–26 мая 2019 года в 104 
населённых пунктах, 53 субъектах России при участии 1,5 тысячи респондентов) показал: 
больше половины людей, а именно 64%, по-прежнему не одобряют формат ЕГЭ, из них 15% 
считают, что экзамен ориентирует на получение поверхностных знаний, 13% уверены, что 
его результаты недостаточно отражают знания. 71% опрошенных назвали ЕГЭ менее объективным, чем прежняя система вступительных экзаменов в вузах, и лишь 15% заявили 
о его объективности. 56% респондентов полагают, что за последние 3–5 лет отношение 
к Единому госэкзамену не изменилось, ещё 27% сочли, что оно ухудшилось. По мнению 
опрошенных, с введением ЕГЭ уровень коррупции в сфере образования повысился или 
не изменился – по 32%, затруднились ответить 27%, и только каждый десятый человек 
заявил, что введение ЕГЭ привело к снижению уровня коррупции.
Подробности: http://na.ria.ru/20190531/1555151538.html.

СТУКАЧА ВЫЗЫВАЛИ?
(российских студентов наняли для слежки за школьниками на ЕГЭ)
В начале июня директор образовательного центра по подготовке к ЕГЭ Александр Скаковский 
рассказал о том, что студентов-первокурсников 
педагогических вузов стали привлекать под видом общественных наблюдателей на ЕГЭ для 
слежки за выпускниками. Студентам МПГУ, 
например, присутствовать на госэкзаменах 
изначально предлагают вместо педпрактики 
в летних лагерях, и многие охотно соглашаются. По словам школьников, эти волонтёры ЕГЭ, 
прикидываясь их ровесниками, до или во время экзамена, когда кто-то выходил в туалет, 
просили «помочь» им и выясняли, у кого с собой есть шпаргалки. Тех, кто поддавался на 
провокацию, сдавали организаторам экзамена, школьников удаляли с экзамена, а их работы аннулировали. Оказалось, что в некоторых регионах, в частности во Владимирской 
области, такое практикуется с 2016 года. В этом году всплеск активности «добровольцев» 
был отмечен в Приморском крае и в Волгоградской области. Новость облетела социальные 
сети и СМИ, активно обсуждалась в сообществах репетиторов и учителей. Сопредседатель 
профсоюза работников образования «Учитель» Леонид Перлов отметил, что «ставить молодых ребят в положение доносчиков аморально и безнравственно», а на вопрос, кому 
это может быть выгодно, прямо ответил: «Рособрнадзору как очередное мероприятие по 
повышению безопасности, информационной защищённости при сдаче экзамена».
Подробности: http://www.bfm.ru/news/415786

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Хроники
НОВОСТИ ЕГЭ#1, #2, … , #5
(про скандалы, петиции, нервные срывы и рухнувшие надежды)
Нынешняя ЕГЭ-кампания обрастала новостями не по дням, а по часам. Каждое второе 
просочившееся в прессу известие, как правило, какой-то инцидент, касалось экзамена 
по математике. Вот краткая сводка получивших огласку историй. Первый скандал был 
связан с досрочным ЕГЭ по профильной математике (проводился 29 марта). Выпускник 
из Смоленска Олег Митрофанов за верно решённую задачу № 18 получил 1 первичный 
балл из четырёх, апелляция не помогла, зато показала весь апломб и некомпетентность 
местных экспертов; в Москве работу перепроверили и оценили в 4 балла, однако мнение 
Рособрнадзора региональная комиссия проигнорировала. Желание не признавать свою 
ошибку любой ценой нынче важнее профессионального долга и честности. Это лишь один 
из примеров ущемления прав и интересов учащихся, которое в эпоху ЕГЭ стало нормой и 
для чиновников от образования, и для зависимых рядовых педагогов.
29 мая проводился базовый ЕГЭ по математике. Более 200 выпускников из города Иваново не смогли сдать экзамен «из-за технического сбоя передачи экзаменационных заданий 
по защищённым каналам связи». Выпускник кадетского класса одной из школ Курска, потенциальный медалист, мечтавший поступить в военно-морское училище Санкт-Петербурга, 
честно сдал телефон до начала ЕГЭ, обнаружив его в кармане уже в аудитории, но был отправлен на пересдачу через год и вместо аттестата получит справку об окончании школы. 
В Москве выпускников одной школы вынудили пересдавать базовый ЕГЭ по математике 
из-за бракованных бланков, многие ребята согласились и решали другой вариант до шести 
часов вечера. В тот же день трагедия случилась в Чебоксарах: прямо во время экзамена 
скончалась девушка, страдавшая врождённым пороком сердца.
Во Владикавказе 31 мая «скорая помощь» выезжала к сдающим ЕГЭ по химии и истории 
выпускникам 33 раза. В Симферополе 5 июня перед экзаменом по физике чуть не погиб 
школьник из гимназии для одарённых детей, отличник, претендент на золотую медаль; его 
госпитализировали с высоким давлением, только когда в дело вмешался член комитета по 
здравоохранению Госсовета Крыма. Вообще, ЕГЭ уже подсадил подростков на таблетки. 
По данным опроса популярного проекта «Дети. Mail.ru», 73% родителей выпускников признались: их дети испытывают нервное напряжение в период сдачи госэкзаменов. При этом 
22% школьников принимают препараты для борьбы со стрессом.
11 июня проходил профильный ЕГЭ по математике, и опять не обошлось без скандала. 
Результаты выпускника из Астрахани обнулили из-за чернил, которые не распознал компьютер. Ручка, как и положено, была чёрная и гелиевая. Нет отсканированной работы – нет 
проблемы, решили эксперты и не стали смотреть оригиналы бланков, а просто аннулировали работу. Петицию с просьбой проверить работу ученика подписали более 100 тыс. 
человек, не дожидаясь, пока усовершенствуют технологию проверки или введут «закон о 
чернилах» и, чего доброго, заставят пользоваться дорогими сертифицированными ручками 
для ЕГЭ. «Почему такая жестокость в государстве? Почему взрослые ТАКИЕ ГЛУПЫЕ?» – 
прокомментировал новость один из читателей. В этот раз обошлось: в порядке исключения 
работу астраханца всё же проверили.
Подробности: http://ege.lancmanschool.ru/, http://vk.com/boxdd?w=wall36288_22502

Математика в школе  6 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

А как у других?
ЖЕСТОКАЯ ИРОНИЯ СУДЬБЫ
(как китайские выпускники опоздали на экзамен и поплатились за это)
В июне внимание СМИ привлекла история о шести невезучих учащихся из Китая. Они застряли в лифте отеля и не попали вовремя на вступительный экзамен по английскому языку 
(входит в гаокао – китайский аналог ЕГЭ). Все они жили далеко от пункта сдачи экзамена 
и, чтобы точно не опоздать, приехали накануне и поселились в отеле неподалёку. Когда 
подростков наконец вызволили из лифта, они помчались на экзамен. Однако опоздали на 
несколько минут, и их не пустили в аудиторию. Школьники назвали случившееся ошибкой, 
перевернувшей их жизни. В Китае не предусмотрены переэкзаменовки для пропустивших 
гаокао. Ребята смогут сдать экзамены только в следующем году и, что хуже, должны будут 
повторно отучиться в выпускном классе. Отель предложил каждому из них компенсацию в 
размере 20 тыс. юаней (около 185 тыс. рублей), но родители подростков потребовали как 
минимум по 200 тыс. юаней.
Подробности: http://versia.ru/shkolniki-propustili-yekzamen-i-ostalis-na-vtoroj-god-iz-za-lifta

Из жизни учёных
НЕ ДОКАЗАНО – НЕ ФАКТ!
(из истории математических заблуждений и ошибок)
Плох тот учёный, который не учится на ошибках 
предшественников. История науки знает множество примеров заблуждений математиков: 
по неведению, из-за поспешных выводов, неверных рассуждений... Математика тем и хороша, что в ней ничто не принимается на веру и 
даже ошибки бывают поучительными, пробуждают работу мысли и могут привести к важным 
открытиям. Какая комбинаторная задача много 
веков не поддавалась учёным и кто первый с ней 
справился? Как индукция подвела Пьера Ферма 
и кто обнаружил его ошибку? Что общего у Леонарда Эйлера и героя фантастического рассказа «Пи-человек»? Как учёные Нового времени, 
пробираясь сквозь тернии, изучали трансцендентные кривые? Какой парадокс предложил 
объяснить ведущим математикам своего времени монах Гвидо Гранди? Почему они не справились с задачей и как разрешили парадокс Гранди современные школьники?
Подробности: Наука и жизнь, № 5, 2019.

Портрет педагога
УЧИТЕЛЬ ИЗ ГЛУХОЙ АФРИКАНСКОЙ ДЕРЕВНИ ПРИЗНАН ЛУЧШИМ В МИРЕ
(итоги пятого международного конкурса Global Teacher Prize)
В 2019 году на престижный конкурс было подано 10 тыс. заявок от педагогов из 179 стран. 
Среди 50 финалистов россиян не оказалось (в прошлом году в топ-50 вошла Наталия 
Киселева, учитель математики и информатики столичной школы № 1409). Победителем 

Особые точки
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

и обладателем премии в размере 1 млн. долларов стал учитель физики и математики 
36-летний Питер Табичи, монах-францисканец из Кении. Он преподаёт в деревенской школе, где на 58 учеников приходится всего один учитель, а педагоги располагают единственным компьютером со слабым интернетом. Большинство учеников Питера – это дети из 
бедных или неполных семей, сироты. Школе катастрофически не хватает финансирования, 
поэтому он отдаёт 80% заработка на покупку учебников и школьной формы. Даже в таких 
условиях Питер мотивирует ребят, повышает их самооценку и успеваемость. Его ученики не 
раз побеждали на международных научных конкурсах. Этот факт не мог не привлечь внимания судей к работе кенийца. «Это не моя победа, а моих учеников. Они доказали, что у каждого ребёнка есть шанс на нормальную жизнь, – сказал на церемонии награждения Питер. 
– Моя самая большая радость – наблюдать за тем, как мои ученики обогащаются знаниями 
и добиваются успеха». Премию он собирается потратить на новые компьютеры, развитие 
научной лаборатории и будущие проекты, которые смогут принести пользу людям.
Подробности: http://mama-likes.ru/trogaet/pedagog-iz-gluhoj-afrikanskoj-derevni.html

Пополняем ресурсы
НОВАТОР БЕСКОНЕЧНОСТИ, ЧАРОДЕЙКА ЧИСЕЛ И ОТЕЦ ФРАКТАЛОВ
(нескучные биографии 25 творцов математики под одной обложкой)
В России вышла новая книга замечательного британского популяризатора математики 
Иэна Стюарта «Значимые фигуры» (Альпина нон-фикшн, 2019). В этот раз в поле зрения 
автора попали жизнеописания и открытия знаменитых математиков – древних и современных, мужчин и 
женщин, представителей Востока и Запада – от грека 
Архимеда и китайца Лю Хуэйя до немки Эмми Нётер и 
американца Уильяма Тёрстона. Эта книга, пишет Стюарт, исследует загадочный, почти мистический процесс 
появления на свет новой математики: «Математика возникает не в вакууме; её создают люди. Среди них встречаются личности с поразительно оригинальным и ясным 
умом – личности, с которыми мы связываем великие 
открытия: это пионеры, первопроходцы, значимые фигуры». Биографии и труды этих людей  дают представление 
о том, как на протяжении столетий развивалась «царица 
наук».
Подробности: http://elementy.ru/bookclub/chapters/434568/
Znachimye_figury_Glava_iz_knigi

Нетривиальные суждения

Что в математике точнее, как не сама точность?
И не является ли она следствием внутреннего чувства правды?

И. Гёте, немецкий поэт, мыслитель и естествоиспытатель 
Ведущий рубрики
Карпушина Н.М.

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Задачи на нахождение расстояний и 
углов в пространстве занимают важное 
место в обучении стереометрии и в Едином государственном экзамене по математике. Трудности в их решении во многом 
обусловлены недостаточной наглядностью 
плоских изображений пространственных 
фигур и, как следствие, сложностью проведения необходимых построений. Более 
того, понимание учащимися изображений 
пространственных фигур, умение проводить дополнительные построения приходит только после того, как у них появляются представления о самих пространственных фигурах. 
Эти представления в прошлом веке 
формировались с помощью моделей пространственных фигур и так называемых 
стереометрических ящиков, содержащих 
элементы, с помощью которых можно было моделировать основные многогранники, показывать различные случаи взаим
ного расположения прямых и плоскостей 
в пространстве и многое другое.
Сегодня для моделирования пространственных фигур и формирования необходимых пространственных представлений 
можно использовать различные компьютерные программы. Работа с такими моделями может предшествовать работе с плоскими изображениями пространственных 
фигур.
Здесь мы рассмотрим возможности использования компьютерной программы 
GeoGebra для визуализации задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. В этой программе можно моделировать различные пространственные фигуры, проводить дополнительные построения [1, 2]. Рисунки 3–11 
в этой статье являются фотографиями 
(скриншотами) этих фигур. Аналогичные 
способы визуализации могут быть использованы для обучения учащихся решению 

ЭКЗАМЕНЫ

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ 
НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ 
МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова,
МПГУ (Москва),
e-mail: v-a-smirnov@mail.ru,
i-m-smirnova@yandex.ru

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova,
MSPU (Moscow),
e-mail: v-a-smirnov@mail.ru,
i-m-smirnova@yandex.ru

Ключевые слова: визуализация, расстояние, 
скрещивающиеся прямые.
Keywords: visualization, distance, skew straight 
lines.

Аннотация: в работе рассматриваются возможности использования компьютерной программы 
GeoGebra для визуализации задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Abstract: the paper discusses the possibility of 
using the GeoGebra computer program to visualize problems for finding the distance between the 
skew straight lines.

Экзамены
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

и других задач на нахождение расстояний 
и углов в пространстве.
Напомним, что расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к этим 
прямым, то есть длина отрезка, соединяющего точки на данных прямых и перпендикулярного этим прямым (рис. 1).

Рис. 1

Для доказательства существования общего перпендикуляра к скрещивающимся 
прямым a и b (рис. 2) выберем на прямой 
b какую-нибудь точку B ′ и проведём через 
неё прямую a′, параллельную прямой a. 
На прямой a выберем какую-нибудь точку 
A′ и опустим из неё перпендикуляр A′C 
на плоскость β, которая задаётся пересекающимися прямыми a′ и b. Через точку 
C проведём прямую c, параллельную прямой a′, и обозначим буквой B точку пересечения её с прямой b.

Рис. 2

Наконец, через точку B проведём прямую, параллельную прямой A′C, и обозна
чим буквой A точку пересечения её с прямой a. Отрезок AB будет искомым общим 
перпендикуляром к прямым a и b.
Действительно, прямая AB параллельна прямой A′C, которая перпендикулярна плоскости  β, следовательно, она перпендикулярна прямой b, лежащей в этой 
плоскости. Прямая A′C перпендикулярна 
также прямой c, лежащей в плоскости β 
и параллельной прямой a. Следовательно, прямая A′C также перпендикулярна 
прямой a.
Заметим, что длина общего перпендикуляра AB равна расстоянию от прямой 
a до плоскости  β, и для его нахождения 
можно использовать перпендикуляр A′C, 
опущенный на плоскость  β из любой точки A′ прямой a. На практике осуществить 
подобное построение общего перпендикуляра к данным скрещивающимся прямым 
удаётся сделать не всегда, что существенно затрудняет решение задач.
Проиллюстрировать такое построение можно в компьютерной программе 
GeoGebra. Проведём какие-нибудь две 
скрещивающиеся прямые AB и CD (рис. 3), 
взяв точки A(0; –8; 0), B(0; 0; 4), C(4; 0; 0), 
D(0; 0; 2).

Рис. 3

Через точку D проведём прямую, параллельную прямой AB. Через неё и 

A

a

b
B

A
A´
a

a´

b

c

B
C
B´

0 0
0

–2

–2
–2

–4
–6
–8
–10
–12

–4
–6
–8
–10
–12

2

2

2
4

4

6

6

8

8

10

10

4

6

8

12
Математика в школе  6 / 2019

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

прямую CD проведём плоскость. На прямой AB выберем какую-нибудь точку E 
и опустим из неё перпендикуляр EF на 
эту плоскость. Будем перемещать точку 
E по прямой AB до тех пор, пока точка 
F не займёт положение на прямой CD. 
Полученный отрезок EF будет искомым 
общим перпендикуляром к прямым AB и 
CD (рис. 4).

Рис. 4

Полученное изображение можно поворачивать и смотреть на построенные 
прямые и общий перпендикуляр с разных 
сторон, менять цвет и толщину линий, 
размеры букв и др.
Задача 1. Для единичного куба 

ABCDA1B1C1D1 в программе GeoGebra постройте общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым AA1 и BD1. Найдите 
его длину (рис. 5а).
Р е ш е н и е. Через точки B, D, D1 проведём плоскость. Она будет параллельна 
прямой AA1 (рис. 5б). На ребре AA1 выберем какую-нибудь точку E и опустим 
из неё перпендикуляр EF на плоскость 
BDD1. Будем перемещать точку E до тех 
пор, пока точка F не займёт положение на 
прямой BD1. Полученный отрезок EF будет искомым общим перпендикуляром к 
прямым AA1 и BD1. Он равен расстоянию 
от точки A до прямой BD. Значит, длина 

перпендикуляра EF равна 
2 .
2

Задача 2. Для единичного куба ABCDA1B1C1D1 в программе GeoGebra постройте 
общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым AB1 и BD1. Найдите его длину 
(рис. 6а).
Р е ш е н и е. Обозначим буквами G и H 
середины рёбер B1C1 и AD соответственно. 
Через точки B, G, H проведём плоскость. 
Она будет параллельна прямой AB1 и содержать прямую BD1 (рис. 6б). На прямой AB1 выберем какую-нибудь точку E 
и опустим из неё перпендикуляр EF на 

                                 а)                                                                б)
Рис. 5

0 0
0

–2

–2
–2

–4
–6
–8
–10
–12

–4
–6
–8
–10
–12

2

2

2
4

4

6

6

8

8

10

10

4

6

8

A1
B1

D1

D

C1

A
B

C

E

F

A1
B1

D1

D

C1

A
B

C

Экзамены
13

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

плоскость BGH. Будем перемещать точку E до тех пор, пока точка F не займёт 
положение на прямой BD1. Полученный 
отрезок EF будет искомым общим перпендикуляром к прямым AB1 и BD1. Он равен 
радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник ACB1. Длина это
го перпендикуляра равна 
6 .
6

Задача 3. Для единичного куба ABCDA1B1C1D1 в программе GeoGebra постройте 
общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым AB1 и BC1. Найдите его длину 
(рис. 7а).
Р е ш е н и е. Через точки B, D и C1 проведём плоскость. Она будет параллельна 

прямой AB1 (рис. 7б). На прямой AB1 выберем какую-нибудь точку E и опустим 
из неё перпендикуляр EF на плоскость 
BDC1. Будем перемещать точку E до тех 
пор, пока точка F не займёт положение на 
прямой BC1. Полученный отрезок EF будет искомым общим перпендикуляром к 
прямым AB1 и BC1. Он равен расстоянию 
между плоскостями AB1D1 и BDC1. Это 
расстояние равно трети диагонали куба, 

то есть равно 
3 .
3

Задача 4. Для правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все рёбра которой 
равны 1, в программе GeoGebra постройте 
общий перпендикуляр к скрещивающим
                                 а)                                                                б)
Рис. 6

                                 а)                                                                б)
Рис. 7

A1
B1

D1

D

C1

A
B

C

A1
B1

D1

D

E

F

C1

A
B

C

A1
B1

D1

D

C1

A
B

C

E

H

F

O

G
A1
B1

D1

D

C1

A
B

C