Как испечь пи...

Автор идеи 
и научный редактор серии
СЕРГЕЙ ДЕМЕНОК

Митчелл Соколин

КАК ИСПЕЧЬ

УДК 51
ББК 22.1
С59

ISBN 978-5-6040743-4-3

© Соколин М., 2018, текст
©  Виролайнен А., 2018, перевод

на русский язык

© ООО «Страта», 2018, оформление

 
Соколин М.

 
 Как испечь Пи… / Митчелл Соколин. —                                
Пер. с английского Алёны Виролайнен.— СПб.: 
Страта, 2018. — 84 с., илл. — (серия «Просто»)

 
ISBN 978-5-6040743-4-3

Сила и красота математики заключается в том, каки
ми путями ищет ответы на вопросы эта наука, какими 
путями действует и как проливает свет на многие непонятные вещи. Именно этот свет позволяет ясно видеть 
и мыслить, а также является первым шагом к пониманию 
окружающего мира. Чтобы понять математику, необходимо обратить внимание на то, каким образом она изучает 
предметы и процессы. Зачастую в математике «процесс 
приготовления» гораздо важнее самих «ингредиентов». 
Автор книги приводит аналогии с самыми разными вещами, чтобы читателям было проще и интереснее понять, 
как работает математика, и доказывает, что одна из главных целей этой науки — упростить сложное.

Не менее содержательна и гастрономическая состав
ляющая. Автор сравнивает математические процессы 
с приготовлением блюд и дарит самые настоящие рецепты аппетитных десертов, достойных стать финалом стола, накрытого по случаю празднования даты, почитаемой 
всеми любителями математики: книга приурочена к Дню 
числа Пи — одной из главных математических констант, 
своеобразного символа этой науки.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть 

воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы 
то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая 
фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение 
в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

С59

УДК 51

ББК 22.1

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Что такое математика?   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Математическая абстракция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Генерализация, или обобщение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Мотивация: внутренняя или внешняя? . . . . . . . . . . . . . . 36
Аксиоматический метод в математике . . . . . . . . . . . . . . . 42
Логично/нелогично . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Что такое теория категорий? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Контекст  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Взаимоотношения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Сходство  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Универсальные свойства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Подводя итоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Каждый год 14 марта любители математики 
празднуют День числа π, одного из самых популярных математических понятий.

Кто и когда впервые открыл число π, до сих пор загадка, 

однако известно, что в древнем Вавилоне этой константой уже 
пользовались строители.

Число π — математическая константа, которая равна от
ношению длины окружности к длине диаметра, равна она 
3,1415926535… вплоть до бесконечности.

Число π входит во многие математические, физические 

и технические формулы, в том числе не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности, через число π могут быть выражены разные математические величины, оно используется в теории хаоса и теории 
вероятностей, в комбинаторике, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии 
областях математики.

Помимо традиционного понимания π, есть масса других 

значений этого числа.

Так, при измерении размеров Великой пирамиды в Гизе 

оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к её длине, 
то есть ½ π.

Если рассчитать длину экватора Земли с использованием 

числа π с точностью до девятого знака, ошибка составит всего 
около 6 мм. Тридцати девяти знаков после запятой в числе π достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей 
известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью, не превышающей радиус атома водорода!

Вот такое универсальное число π! А все, что универсально, 

полезно для абстрактных идей, которыми с легкостью манипулирует математика. Этой науке и посвящена настоящая книга.

ВВЕДЕНИЕ

Шоколадное суфле

Масло сливочное 40
шоколад 40
яйца 40
сахар 50
мука 40

Масло и шоколад растопить на пару, остудить. Яйца с сахаром взбить 
миксером, добавить шоколад и муку, перемешать и выложить смесь 
в форму. Запекать в духовке 10 минут при 200 оС. *

М

атематика — это наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций 

подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математика — великая и сложная наука, в связи с чем она окружена большим количеством мифов. Вот лишь некоторые из них.
Математика изучает только цифры

Можно считать, что предназначение микроволновой печи — 
разогревание пищи. Безусловно, разогревать готовые блюда — 
её прямое назначение, но, тем не менее, этот кухонный прибор 
может быть использован и для ряда других целей, например, 
таких, как приготовление овощей или курицы, топление масла, 
шоколада, размораживание рыбы. Аналогично и в математике — это наука не только о цифрах, но и обо многом другом: 
она изучает объекты, структуры и процессы.
Цель математики — получить правильный ответ

Кулинария — это всего лишь использование и комбинирование 
различных ингредиентов для приготовления вкусного блюда, 
не так ли? Но иногда основное внимание приковано к самому 
процессу приготовления блюда, нежели к составляющим его 

* 
Здесь и далее: вес ингредиентов приведен в граммах, рецептуры блюд 
рассчитаны на 4 порции

Как испечь пи…

ингредиентам, например, как в рецепте приготовления густых 
сливок, который включает в себя всего лишь один ингредиент — сливки, а инструкция представляет собой сам процесс 
их приготовления. Точно так же и математика изучает способы 
объединения одних идей для создания новых.
Математика — точная наука: ответ может быть 
только правильным или неправильным

И снова сравним математику с кулинарией: приготов
ление блюда может пойти не по плану — заварной крем 
свернётся, суфле вместо воздушного получится резиновым, 
а курица не прожарится, что сделает её и вовсе опасной для употребления в пищу. Но, иногда, когда процесс приготовления 
идёт не по плану, вы с удивлением обнаруживаете, что случайно или вынужденно изобрели совершенно новый рецепт. Здесь 
можно провести параллель с математикой: например, если вы 
скажете, что 10+4 = 2, вам ответят, что это неверно, потому что 
в школе учат складывать числа по точным правилам. Но если посмотреть на этот вопрос с другой стороны и при других обстоятельствах, например, когда речь идёт о времени, то ответ будет 
верным: если к 10 часам ночи прибавить 4 часа, то будет 2 часа 
ночи. Поверьте, мир математики гораздо куда более странный 
и интересный, чем вы могли себе представить.
Все математики — невероятно умные люди

Этот популярный миф является доказательством того, что большинство людей в мире считают математику очень сложной наукой. К сожалению, многие не понимают, что в действительности 
математика стремится к упрощению. В этом и заключается суть 
следующего вопроса о математике: получается, что если мы хотим сделать что-то проще, значит, до этого оно было сложным? 
Безусловно, математика — объёмная и непростая наука, но она 
стремится сделать сложные вещи более простыми. Иными словами, математика старается стать проще.

Многих людей математика сбивает с толку, вводит в заблу
ждение, а некоторые её и вовсе боятся, а иногда и то и другое 

Введение

7

случается одновременно. Это часто связано с тем, каким образом был преподнесён учебный материал на школьных уроках. 
Именно так случилось с автором: учителя физкультуры в школе считали, что как спортсмен я никуда не гожусь и что я — 
никчёмный командный игрок, это абсолютно отбило у меня 
интерес к занятиям спортом. Но сейчас я поддерживаю хорошую физическую форму и даже участвовал в беговом марафоне. 
Тем не менее любые командные виды спорта до сих пор вызывают у меня страх, что, весьма вероятно, связано со школьными 
воспоминаниями об уроках физкультуры. Так и в математике: 
очень важно бережно преподносить учебный материал на уроках в школе, чтобы в дальнейшем эта наука не вызывала у бывших учеников замешательства или страха.

Что исследуют математики? Невозможно же просто обна
руживать новые числа? Что же тогда можно изучать? Книга, 
которую вы держите в руках, — ответ на эти вопросы. Конечно же, у этих вопросов нет простого объяснения, они требуют 
времени и внимания к себе. В прошлом считалось, что математика заключается в измерении величин либо чисел. Но спустя 
некоторое время возникло определение математики как учения 
о бесконечных величинах. Чтобы приблизиться к пониманию 
того, что представляет собой математика, необходимо рассмотреть и прояснить некоторые нюансы и недоразумения о ней. 
Математика — наука далеко не только о цифрах, а иногда 
и не о цифрах вовсе. Теория категорий, взаимоотношения, контексты, процессы, принципы, структуры… В книге будут приводиться аналогии с разными вещами для того, чтобы читателям 
было проще и интереснее понять, как на самом деле работает 
и действует математика. Что бы вы ни думали, математика гораздо интереснее, чем можно представить.

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?  

Пирожное с кремом тирамису

Крепкий кофе 40
коньяк 10
сыр маскарпоне 60
яйца 80
печенье песочное 25
горький шоколад 25
сахар
соль

Отделить желтки от белков. Взбить белки с щепоткой соли (чтобы 
масса загустела и не вываливалась из миски). Взбить желтки с сахаром, добавить маскарпоне, аккуратно взбить на небольшой скорости. Ввести сырную массу во взбитые белки, медленно перемешать, 
поднимая лопаткой массу снизу вверх. В кофе добавить коньяк, 
печенье опустить в кофе на 1 секунду, выложить им дно приготовленной формы (высота 5–6 см). Сверху на печенье поместить крем, 
заполнив форму целиком. Убрать в холодильник на 6 часов. Готовое 
пирожное посыпать крошкой горького шоколада.

Т

очно так же, как в кулинарных рецептах, в математике 
присутствуют ингредиенты и способы их приготовле
ния. Согласитесь, соблюдение метода приготовления блюда — 
очень важная составляющая процесса, поэтому, чтобы понять 
математику, необходимо обратить внимание именно на то, 
каким образом она изучает предметы и процессы. Зачастую 
в математике «процесс приготовления» гораздо важнее самих 
«ингредиентов». Математика намного сложнее и интереснее 
той, какую преподавали нам на уроках в школе. Так что же такое 
математика?

Давайте сравним математику с…

книгой рецептов: что, если бы рецепты составлялись 
на основании имеющегося под рукой?

Как правило, процесс приготовления какого-либо блюда происходит следующим образом: вы решаете, что хотели бы пригото

Что такое математика? 

9

вить и съесть на ужин, затем идёте в магазин, покупаете все необходимые для его приготовления ингредиенты и отправляетесь 
на кухню. Но иногда может происходить наоборот: вы пошли 
за покупками в магазин или на рынок и внезапно какой-то продукт привлекает ваше внимание; например, сорт рыбы, который 
вы раньше не пробовали. Вы покупаете эту рыбу и только по 
дороге домой придумываете, какое блюдо и каким образом будете готовить.

Или вы покупаете какой-нибудь новый кухонный прибор 

и неожиданно для себя решаете попробовать приготовить с его 
помощью разные блюда. Допустим, вы купили блендер и тут же 
принялись экспериментировать, пытаясь приготовить в нём всё 
подряд: мороженое, картофельное пюре, крем-суп, коктейль 
или смузи.

Таким образом, к процессу приготовления пищи можно под
ходить с разных сторон, одна из которых является гораздо более 
практичной, чем другая. Большинство книг рецептов поделены 
на главы по названию блюд, но не по способам их приготовления: главы идут в порядке приготовления блюд из того или иного 
продукта: например, приготовление блюд из рыбы, затем блюд 
из птицы, затем супы, десерты и так далее. Бывает, что целая часть 
отведена рецептам приготовления блюд из какого-нибудь одного 
продукта, например, из овощей или курицы. Бывают главы, посвящённые приготовлению праздничных блюд. Но вряд ли вы 
найдёте в кулинарной книге главу под названием «Блюда, которые можно приготовить при помощи миксера», или «Рецепты 
блюд, в которых необходимо использовать кухонную лопатку».

Таким же образом происходит и с предметами и объектами, 

которые мы изучаем: мы пытаемся дать им объяснение в соответствии с изучающей их наукой. Что бы то ни было — ботаника, кулинария или парикмахерское искусство, как только мы 
решаем приступить к изучению чего-либо, мы начинаем пользоваться методами и техниками для исследования данного предмета или объекта либо же изобретаем новые.

Однако в математике изучение объектов обусловлено при
менением уже существующих методов и техник. Это похоже 

Как испечь пи…

на покупку блендера, когда решение о том, что с его помощью 
будет приготовлено, принимается уже после приобретения. Всё 
это напоминает вопрос: что же появилось раньше — курица 
или яйцо? Математика определяется методами, при помощи 
которых она изучает предметы, а изучаемые предметы определяются этими методами.
Сравним математику с изобразительным искусством

Определение математики техниками, которые в ней используются, равносильно определению искусства его стилями, например, 
кубизмом или импрессионизмом, на которых внимание сосредоточено в большей степени, чем на самом предмете искусства. 
Вряд ли у художника-кубиста получится удачно нарисовать насекомых.

Техника, которой пользуется математика, — логика — наука 

о законах и операциях правильного, доказательного мышления. 
Эта наука подразумевает только научное рассуждение об объектах исследования. Никаких экспериментов, слепой веры в математике быть не может. Может быть логика и только логика.

Итак, мы подошли к вопросу о том, что же изучает матема
тика. Как можно охарактеризовать изучаемые ею объекты? Ответ прост: математика изучает то, что можно объяснить, то, что 
соответствует и отвечает правилам логики.

Значит, математика — это наука обо всём, что подчиняется 

правилам логики.

Безусловно, математика изучает числа, цифры. Но помимо 

этого математика изучает также фигуры, графики и даже логические идеи, которые не видны глазу. Одной из причин, по которой математика продолжает развиваться, является открытие 
новых методов и способов для дальнейшего изучения объектов.
Сравним ее с горами

Речь пойдёт о том самом чувстве, которое испытывает человек, взобравшись на высокую гору, с которой он может видеть 
вершины, которые находятся ниже и которые он обозревает 
с высоты. У этого примера есть определённое сходство с мате

Что такое математика? 

11

матикой: чем больше научных вершин покоряет данная наука, 
тем больше вершин для дальнейшего изучения ей открывается. 
В математике есть две огромные вершины: абстракция и генерализация.

Первая вершина — абстракция — это мысленное отвлече
ние в математике, фиксация внимания лишь на определенных, существенных для цели или задачи свойствах объектов рассмотрения. Вторая вершина — это генерализация, в процессе которой 
мы создаём более сложные объекты, используя те, которые уже 
знаем и понимаем. Таким образом, в математике мы получаем 
полиномы, матрицы, четырёхмерное пространство и многое 
другое. Эти процессы мы рассмотрим ниже.

В развитии математики можно выделить следующие этапы:

1  Первым, что изучала математика, были числа.

2  Для изучения этих чисел были разработаны методы.

3  Люди начали понимать, что эти методы могут использо
ваться для изучения и других объектов.

4  Люди начали поиски других объектов, которые могли бы быть 

изучены при помощи методов, используемых в математике.

Но если задуматься, должен был быть и этап под номером 0 — 

до того, как люди начали изучать числа, их необходимо было изобрести, не так ли? Мы привыкли считать числа самым основным 
и базовым элементом математики, но, тем не менее, были времена, 
когда их не существовало вовсе. Открытие, или изобретение чисел, являет собой не что иное, как первый процесс абстракции.

Далее читателям предстоит узнать об абстрактной матема
тике, а также понять, что вся сила и красота этой науки заключается не просто в ответах на вопросы и не только в решении поставленных задач — вовсе нет. Вся сила и красота математики 
заключается в том, какими путями ищет ответы на вопросы эта 
наука, какими путями действует и как проливает свет на многие 
непонятные вещи. Именно этот свет позволяет нам ясно видеть 
и мыслить, а также является первым шагом к пониманию нами 
окружающего мира.