Квантовая физика в избранных задачах

А.Н. ПАРШАКОВ

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА  
В ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧАХ

© 2019, À.Í. Ïàðøàêîâ
© 2020, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-273-4

À.Í. Ïàðøàêîâ
Êâàíòîâàÿ ôèçèêà â èçáðàííûõ çàäà÷àõ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
À.Í. Ïàðøàêîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2020. – 256 ñ.

ISBN 978-5-91559-273-4

 ïîñîáèè èçëîæåíû îñíîâíûå ïðèíöèïû è àïïàðàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè, èñïîëüçóåìûé ïðè ðåøåíèè êëþ÷åâûõ çàäà÷ ôèçèêè àòîìîâ è ìîëåêóë, ïîâåäåíèÿ ôîíîíîâ è ýëåêòðîíîâ â
òâåðäîì òåëå. Ðàññìîòðåíî ìàêðîñêîïè÷åñêîå ïðîÿâëåíèå êâàíòîâûõ çàêîíîâ ïðîâîäèìîñòè òâåðäûõ òåë è èõ ïðèìåíåíèå â ýëåêòðîííîé è èçìåðèòåëüíîé òåõíèêå.
Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ,
åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ êâàíòîâóþ ìåõàíèêó è å¸ ïðèìåíåíèÿ â ðàìêàõ êóðñà îáùåé ôèçèêè.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
7

1.1. Гипотеза де Бройля  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
7
1.1.1. Масса фотона  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
8
1.1.2. Опыт Дэвиссона и Джермера. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
10
1.1.3. Дифракция нейтронов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
14
1.1.4. Опыт Штерна и Эстермана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
16
1.1.5. Частица в потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
18

1.2. Принцип неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
20
1.2.1. Мысленный опыт Гайзенберга  . . . . . . . . . . . . . . . . .  
21
1.2.2. Парадокс Эйнштейна  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
23
1.2.3. Давление частицы в потенциальной яме  . . . . . . . . . .  
25
1.2.4. Гармонический осциллятор. Нулевые колебания . . . .  
25
1.2.5. Атом гелия  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
28
1.2.6. Диаметр пятна от пучка атомов серебра. . . . . . . . . . .  
29
1.2.7. Эффект Вавилова–Черенкова  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
30
1.2.8. Комптоновское рассеяние на атомных электронах. . .  
31
1.2.9. Измерение силы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
32
1.2.10. Естественная ширина спектральной линии . . . . . . . .  
33

Глава 2. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
35

2.1. Уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
40
2.1.1. Свободная частица  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
40
2.1.2. Преобразования Галилея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
42
2.1.3. Частица в одномерном потенциальном поле  . . . . . . .  
43
2.1.4. Ортогональность волновых функций . . . . . . . . . . . . .  
44

2.2. Квантование энергии и момента импульса . . . . . . . . . . . . . .  
46
2.2.1. Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
46
2.2.2. Осциллятор в электрическом поле. . . . . . . . . . . . . . .  
48
2.2.3. Осциллятор в трехмерном пространстве  . . . . . . . . . .  
49
2.2.4. Трехмерный изотропный осциллятор  . . . . . . . . . . . .  
50
2.2.5. Квантование момента импульса. . . . . . . . . . . . . . . . .  
52
2.2.6. Ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
55
2.2.7. Атом водорода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
56
2.2.8. Потенциал атома водорода  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
59
2.2.9. Дейтрон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
60
2.2.10. Соотношение неопределенностей в форме Вейля  . . .  
63

Оглавление
4

2.3. Потенциальные барьеры и ямы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
65
2.3.1. Прямоугольный потенциальный барьер. . . . . . . . . . .  
68
2.3.2. Барьер конечной ширины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
72
2.3.3. Частица в потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
79
2.3.4. Сферически симметричная яма . . . . . . . . . . . . . . . . .  
84
2.3.5. Энергетическое уширение в кристалле  . . . . . . . . . . .  
86

Глава 3. ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88

3.1. Сдвиг и ширина спектральных линий. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88
3.1.1. Сдвиг частоты излучения атома водорода  . . . . . . . . .  
88
3.1.2. Движущиеся газоразрядные лампы  . . . . . . . . . . . . . .  
89
3.1.3. Время жизни возбужденных атомов. . . . . . . . . . . . . .  
90
3.1.4. Оценка температуры излучающих атомов  . . . . . . . . .  
93
3.1.5. Ударное уширение линий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
95

3.2. Характеристическое рентгеновское излучение  . . . . . . . . . . .  
97
3.2.1. Появление Kα-линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
98
3.2.2. Сплошной рентгеновский спектр  . . . . . . . . . . . . . . .  
99
3.2.3. Энергия связи L-электронов титана  . . . . . . . . . . . . .  
100
3.2.4. Скорость фотоэлектронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
101

3.3. Молекулярные спектры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
102
3.3.1. Энергетический спектр двухатомных молекул . . . . . .  
102
3.3.2. Момент инерции молекулы водорода  . . . . . . . . . . . .  
105
3.3.3. Отношение энергии квантов колебаний 
и вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
106
3.3.4. Амплитуда нулевых колебаний молекул. . . . . . . . . . .  
108
3.3.5. Энергия диссоциации и нулевые колебания  . . . . . . .  
109

Глава 4. ФОНОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ. . . . . . . . .  
111

4.1. Фононы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
111
4.1.1. Закон дисперсии для одномерного кристалла  . . . . . .  
114
4.1.2. Закон дисперсии для одномерной цепочки атомов 
с разной массой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
119
4.1.3. Закон дисперсии для двух- и трехмерной 
решетки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
122
4.1.4. Колебания ограниченной цепочки атомов. . . . . . . . .  
124
4.1.5. Число колебаний в двух- и трехмерном 
кристалле  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
127
4.1.6. Рассеяние фотонов на фононах . . . . . . . . . . . . . . . . .  
130

4.2. Колебания атомов и тепловые свойства  . . . . . . . . . . . . . . . .  
132
4.2.1. Внутренняя энергия колебаний решетки 
кристалла  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
132
4.2.2. Теплоемкость твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
136
4.2.3. Нагрев металлической пленки. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
139
4.2.4. Дебаевская температура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
142
4.2.5. Фононное давление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
144
4.2.6. Размер кристаллов поваренной соли . . . . . . . . . . . . .  
147
4.2.7. Тепловое расширение твердых тел. . . . . . . . . . . . . . .  
148

Оглавление

Глава 5. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
154

5.1. Распределение Ферми–Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
154
5.1.1. Уровень Ферми в металлах при низких 
температурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
158
5.1.2. Ширина «размытия» распределения 
Ферми–Дирака  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
162
5.1.3. Вероятность заполнения состояний вблизи 
уровня Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
163
5.1.4. Энергия Ферми и скорость электронов . . . . . . . . . . .  
163
5.1.5. Энергия Ферми и температура вырождения 
жидкого гелия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
164
5.1.6. Давление электронного газа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
164
5.1.7. Сжимаемость электронного газа  . . . . . . . . . . . . . . . .  
167
5.1.8. Концентрация свободных электронов в металле  . . . .  
168
5.1.9. Плотность тока термоэмиссии. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
169
5.1.10. Контакт двух металлов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
172

5.2. Динамика электронов в кристаллической решетке  . . . . . . . .  
174
5.2.1. Закон дисперсии для электронов в одномерной 
кристаллической решетке  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
174
5.2.2. Закон дисперсии электронов при наличии 
примесей в решетке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
178
5.2.3. Эффективная масса электрона. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
181
5.2.4. Закон дисперсии для электронов в трехмерной 
решетке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
182

5.3. Фермиевские электроны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
184
5.3.1. Фермиевский импульс электрона 
в кубической решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
187
5.3.2. Доля электронов в возбужденных состояниях  . . . . . .  
188
5.3.3. Размер кристалла для определения его 
электронной теплоемкости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
189
5.3.4. Теплоемкость электронного газа . . . . . . . . . . . . . . . .  
191
5.3.5. Фермиевская скорость электронов 
в одномерном кристалле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
192
5.3.6. Движение электрона в одномерном металле 
во внешнем электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . .  
194

Глава 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ. . . . . .  
195

6.1. Концентрация носителей заряда в чистых 
полупроводниках  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
201
6.2. Уровень Ферми в чистых полупроводниках  . . . . . . . . . . . . .  
204
6.3. Уровень Ферми в полупроводниках n-типа. . . . . . . . . . . . . .  
205
6.4. Ширина запрещенной зоны и энергия активации  . . . . . . . .  
207
6.5. Температурный коэффициент сопротивления. . . . . . . . . . . .  
209
6.6. Время жизни электронов и дырок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
210
6.7. Переменная ширина запрещенной зоны. . . . . . . . . . . . . . . .  
211
6.8. Контактные явления в полупроводниках  . . . . . . . . . . . . . . .  
212

Оглавление
6

Глава 7. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРОЯВЛЕНИЯ 
КВАНТОВЫХ ЗАКОНОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
218

7.1. Уравнение Шредингера в магнитном поле  . . . . . . . . . . . . . .  
218

7.2. Макроскопическое представление волновой функции  . . . . .  
220

7.3. Волновая функция для электронов 
при низких температурах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
222

7.4. Квантование магнитного потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
223

7.5. Переходы Джозефсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
226

7.6. Джозефсоновская генерация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
230

7.7. Сверхпроводящие квантовые интерферометры . . . . . . . . . . .  
232

7.8. Применения слабой сверхпроводимости. . . . . . . . . . . . . . . .  
234

7.9. Квантовый эффект Холла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
236

Приложение 1. ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ 
ИНТЕГРАЛОВ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
244

Приложение 2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ   . . . .  
245

Приложение 3. ФОРМУЛЫ НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИН 
В ГАУССОВОЙ СИСТЕМЕ И СИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
248

Сп и с о к  р ек омендуемой л итературы   . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
249

Г Л А В А 
 1

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ

1.1. 
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ

Квантовая физика является завершающим разделом 
курса общей физики. Предметом изучения квантовой физики являются микрообъекты (микрочастицы) и системы, состоящие из большого числа микрочастиц. Принципиальное отличие микрочастиц от 
привычных нам тел заключается в том, что каждая микрочастица 
сочетает в себе свойства и частицы и волны. В этом проявляется их 
корпускулярно-волновой дуализм. Квантовая механика имеет статистический (вероятностный) характер в отличие от классической физики, 
где делаются детерминированные выводы. В то же время выводы, 
получающиеся из квантового рассмотрения систем частиц, гораздо 
лучше согласуются с тем, что реально наблюдается на опыте. Более 
того, именно квантовая физика в ряде случаев позволяет объяснить 
то, что «обычная» классическая физика сделать не в состоянии, или 
ее выводы совершенно не согласуются с опытными фактами. Естественно, квантовая физика представляет собой большой самостоятельный раздел физики, поэтому мы рассмотрим только некоторые 
вопросы, имеющие существенное значение для ее понимания.
В 1923 году стало почти ясно, что теория Бора и старая теория 
квантов лишь промежуточное звено между классическими представлениями и какими-то новыми взглядами, позволяющими глубже 
проникнуть в исследование квантовых явлений. Открытый к этому 
времени эффект Комптона и изучение фотоэффекта рентгеновских 
лучей лишний раз подтвердили представления Эйнштейна о световых 
квантах. Следовательно, с еще большей остротой встала дилемма: что 
такое свет — волны или частицы? Соотношение Эйнштейна между 
частотой и энергией, введенное им в теории фотонов, ясно показало, 
что этот дуализм излучения неразрывно связан с самим существованием квантов. Но тогда почти сам собой возникает вопрос: поскольку 

Глава 1. Волновые свойства частиц

свойства электрона в стационарном состоянии атома описываются с 
помощью постоянной Планка, нельзя ли предположить, что и электрон также двойственен, как и свет? И в 1924 году Луи де Бройль 
выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одних 
лишь оптических явлений, а присущ также и частицам вещества. 
По его идее частицы вещества также должны проявлять волновые 
свойства, т.е. движение электрона или другой микрочастицы связано 
с некоторым волновым процессом, длина волны которого должна 
быть равна

 
λ
π
= 2 ℏ
p
,

а частота ω = E / ℏ , где E — энергия; p — импульс частицы. 
Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с энергией E и 
импульсом p, движущейся вдоль направления x, соответствует плоская 
гармоническая волна

 
Ψ( , )
exp
x t
A
i Et
px
=
−
−
(
)
⎡

⎣
⎢⎢
⎤

⎦
⎥⎥
ℏ
,

где E
p
k
=
=
=
ℏ
ℏ
ℏ
ω
π
λ
,
/
2
 (k — волновое число). Так как энергия E в принципе определена всегда с точностью до произвольной 
постоянной (физическим смыслом обладает изменение ΔE), то частота ω = E / ℏ  является принципиально ненаблюдаемой величиной 
(в отличие от дебройлевской длины волны).
 1.1.1. Масса фотона. При измерении расстояния между Землей 
и Луной ( L =
⋅
3 8 108
,
 м) локацией ее поверхности оказалось, что 
результаты в оптическом и радиодиапазоне (λ = 20 см) не совпадают. 
Отличие в результатах измерений объяснялось попаданием излучения 
в разные точки лунной поверхности, которые могли отличаться по 
высоте на ΔL = ±100  м. С другой стороны, этот результат можно 
интерпретировать как результат отражения фотона с ненулевой 
массой от ровной поверхности. Принимая это, оценить возможную 
верхнюю границу массы фотона mγ (в эВ).
Применение локации для измерения расстояний как в оптическом, так и в радиодиапазоне предполагает, что известна скорость 
распространения сигналов. Скорость распространения сигналов в 
оптическом диапазоне известна — это скорость света c. Движению 
же фотона с ненулевой массой согласно гипотезе де Бройля можно 
сопоставить плоскую гармоническую волну

 
Ψ x t
A
i
Et
px
,
exp
(
) =
−
−
(
)
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
ℏ
,

1.1. Гипотеза де Бройля

где энергия E = ℏω , импульс p
k
=
=
ℏ
ℏ
2π
λ
/
 (ω — частота; k — волновое число; λ — длина волны). Эта волна обладает как фазовой, так 
и групповой скоростью. Для определения фазовой скорости v найдем 
дифференциал фазы волны и положим его равным нулю

 
d Et
px
dx
dt
E
p
−
(
) =
→
=
=
0
v
.

Отсюда следует, что волны де Бройля обладают дисперсией даже 
в вакууме, так как их скорость зависит от частоты (даже в нерелятивистском случае v =
=
E
p
m
/
/
ℏω
2
). Поэтому найдем групповую 
скорость u. По определению

 
u
d
dk
d
d
k
dE
dp
=
=
(
)
(
) =
ω
ω
ℏ
ℏ
.

С  учетом  релятивистской  связи  энергии  и  импульса 

E
p c
m c
2
2 2
2 4
=
+
 находим

 
u
pc
E
=
2

 
 (1.1)

или

 
u
c

m c
=

+
⎛

⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞

⎠
⎟⎟⎟⎟
1
2

2
γ λ
πℏ

 
 (1.2)

(при этом мы учли, что p = 2π
λ
ℏ /
).
То, что групповая скорость оказалась меньшей скорости света и 
обуславливает разницу в измерении расстояния разными методами. 
Так как отношение расстояний равно отношению скоростей, то 
должно выполниться равенство

 
L
L
L
u
c
−
=
2Δ
.

Отсюда с учетом (1.2) и того, что ΔL
L
/
<< 1  находим

 
m c
c
L
L
γ
π
λ

2
8
4
0 6 10
≤
≈
⋅
−
ℏ
Δ
,
 эВ.

И в заключение этой задачи вернемся к выражению (1.1). С учетом 
релятивистского определения импульса p
E
c
=
v /
2 , где v — скорость частицы, из (1.1) следует, что групповая скорость волны де 
Бройля равна скорости движения частицы и является уже наблюдаемой величиной (в отличие от фазовой — из-за неоднозначности 

Глава 1. Волновые свойства частиц

энергии E). Этот факт в свое время сыграл важную роль в развитии 
принципиальных основ квантовой физики, и в первую очередь, в 
физической интерпретации волн де Бройля. Вначале из-за совпадения скорости частицы и групповой скорости волн де Бройля была 
сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты весьма 
малой протяженности и таким образом решить парадокс дуализма 
свойств частиц. Однако эта соблазнительная интерпретация оказалась 
ошибочной, так как все составляющие пакет гармонические волны 
из-за дисперсии распространяются с разными скоростями. Это приводит к тому, что даже в вакууме волновой пакет «расплывается». 
Для микрочастиц пакет расплывается практически мгновенно, в то 
время как сама частица является стабильным образованием. Таким 
образом, представление частицы в виде волнового пакета оказалось 
несостоятельным.
 1.1.2. Опыт Дэвиссона и Джермера. На рис. 1.1 приведена кривая, 
полученная в опытах Дэвиссона и Джермера по дифракции электронов от монокристалла никеля, падающих под углом скольжения 
ϕ =
°
80 . По оси абсцисс отложено значение ускоряющего потенциала, а по оси ординат — относительная интенсивность рассеянных электронов. При больших порядках отражения k максимумы 
эквидистантны (расстояние между ними 3,06 В1/2), а при малых эта 
закономерность, показанная стрелками, нарушается. Оценить немонохроматичность падающих электронов и показатель преломления 
никеля для волны де Бройля электронов, соответствующих третьему 
максимуму, который наблюдается при V = 8 16
1 2
,
/
B
. Найти межплоскостное расстояние d никеля.

Рис. 1.1

1.1. Гипотеза де Бройля

О немонохроматичности электронов говорит то, что число дифракционных максимумов kmax ограничено (равно 12). Из волновой 
оптики известно, что это значение обратно относительному разбросу 
длин волн

 
kmax =
λ
λ
Δ
.

Воспользуемся теперь связью энергии нерелятивистского электрона E и его импульса p

 
E
p
m
=
2

2
.

И так как импульс электрона обратен его де бройлевской длине 

волны λ, то E ∝ 1
2
λ

.

Откуда находим относительную немонохроматичность энергии 
электронов

 
Δ
Δ
E
E
k
=
=
=
2
2
1
6
λ
λ
max

.

При проникновении в металл волн де Бройля, изменяется длина 
волны, так как энергия электрона возрастает на величину, равную 
работе выхода электрона из металла. А это позволяет говорить о 
показателе преломления волны де Бройля. Его, как и в оптике, 
следует принять равным отношению длины волны в вакууме λ1 к 
длине волны внутри металла λ2. С учетом того, что длина волны 
обратна корню из энергии, представим выражение для показателя 
преломления в виде

 
n
E
E
E
A
E
A
E
=
=
=
+
=
+
λ
λ
1

2

2

1

1

1
1
1
. 
 (1.3)

Здесь E1 — энергия электрона в вакууме, A — работа выхода. 
И, выражая энергию электрона через ускоряющее напряжение V, а 
работу выхода через внутренний потенциал V0, приходим к следующему выражению для показателя преломления электронных волн

 
n
V
V
=
+
1
0 . 
 (1.4)

Отсюда видно, что показатель преломления может заметно отличаться от единицы лишь для медленных электронов, для которых 
ускоряющее напряжение V не слишком велико по сравнению с 

Глава 1. Волновые свойства частиц

внутренним потенциалом V0. Но воспользоваться формулой (1.4) для 
определения показателя преломления нам не удастся, так как неизвестен внутренний потенциал металла. Поэтому для определения n 
воспользуемся законом преломления волн де Бройля. Он идентичен 
классическому закону Снеллиуса (рис. 1.2)

 
cos
sin
ϕ
ψ = n  
 (1.5)

(это следует из выражения (1.3) и того, что при проникновении 
электронов в металл сохраняется касательная составляющая их 
скорости, т.е. выполняется равенство v
v
1
2
cos
sin
ϕ
ψ
=
).

Рис. 1.2

Рассмотрим две интерферирующие волны, представленные лучами ′1  и ′2  на рис. 1.2. Их «оптическая» разность хода (выделена на 
рисунке жирными отрезками) равна

 
Δ =
=
2
2
dn
dn
sin
cos
θ
ψ .

Значение cos
sin
ψ
ψ
=
−
1
2
 можно найти из (1.5)

 
cos
cos
ψ
ϕ
=
−
1
2
2
n
n
.

Таким образом, «оптическая» разность хода интерферирующих 
волн будет равна

 
Δ =
−
2
2
2
d n
cos ϕ .

Для образования максимума порядка k необходимо выполнить 
условие Δ =
=
(
)
k
k
λ
1 2 3
, , ... . Поэтому с учетом преломления формула 
Вульфа–Брэгга примет вид

 
2
1 2 3
2
2
d n
k
k
−
=
=
(
)
cos
, , ...
ϕ
λ
.  
(1.6)

1.1. Гипотеза де Бройля

Именно эта формула и позволит нам определить как показатель 
преломления n, так и межплоскостное расстояние d, так как значение λ определяется ускоряющим напряжением V 

 
λ
π
=
2
2
ℏ
meV

.

Подставляя сюда известные значения ℏ,m  и e, получаем

 
λ Å
⎡⎣ ⎤⎦ = 12 26
,
V

,

где λ выражено в ангстремах Å, а напряжение V в вольтах. Тогда 
формулу (1.6) можно записать в виде

 
2
12 26
1 2 3
2
2
d n
k
V
k

k
−
=
=
(
)
cos
,
, , ...
ϕ
.  
(1.7)

Здесь Vk — значение ускоряющего напряжения, соответствующего 
максимуму дифракции порядка k, а значение d будет выражено в 
ангстремах.
Конечно, даже при известных k и Vk из (1.7) не найти одновременно d и n, но мы можем воспользоваться тем, что при достаточно 
больших Vk (соответственно при больших k) значение n → 1 . Тогда 
формула (1.7) перейдет в

 
2
12 26
d
k
Vk
sin
,
ϕ =
. 
 (1.8)

Отсюда, кстати, следует, что при больших 
Vk  максимумы 
отражения располагаются эквидистантно. Из рис. 1.1 видно, что 
это происходит при k > 6 , причем само напряжение удовлетворяет 
равенству V
k
k = 3 06
,
. Подставляя это значение в (1.8), находим

 
d =
⋅
⋅
° ≈
12 26
3 06 2
80
2 03
,
,
sin
,
Å .

Для определения же показателя преломления воспользуемся тем, 
что нам по условию задачи задано значение Vk = 8 16
,
 при k = 3 . 
Тогда из (1.7) при найденном d нетрудно найти и значение n 

 
n
k
d Vk
=
⎛

⎝
⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ +
⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥
≈
6 13
1 12

2
2

1 2
,
cos
,

/

ϕ
.

Глава 1. Волновые свойства частиц

 1.1.3. Дифракция нейтронов. Чтобы получить пучок нейтронов, 
обладающих заданной энергией E = 1  эВ, используют брэгговское 
отражение первого порядка от кристалла LiF, для которого расстояние 
между плоскостями кристаллической решетки d = 2 32
,
Å  (рис. 1.3). 
На кристалл падает пучок нейтронов с различными энергиями. Оценить разброс нейтронов по энергиям ΔE в отраженном пучке, если 
угловая ширина этого пучка Δθ =
°
0 1
,
. Какую толщину кристалла D 
следует выбирать в этом эксперименте? Кристалл вырезан так, что 
отражающие плоскости параллельны поверхности кристалла.

Рис. 1.3

Обратимся к формуле Вульфа–Брэгга 

 
2d
k
sin θ
λ
=
. 
 (1.9)

Отсюда следует, что в рассеянном излучении с углом раствора 
Δθ содержатся длины волн в некотором интервале Δλ. В силу связи 
длины волны и энергии

 
λ
π
=
∝
2
2
1
ℏ
mE
E

 
 (1.10)

интервалу длин волн Δλ соответствует интервал энергии

 
Δ
Δ
E
E
= 2
λ
λ . 
 (1.11)

Длина волны, соответствующая энергии нейтронов E = 1  эВ, 
рассчитанная по формуле (1.10), равна 0 285
,
A
o

. Тогда из (1.9) при 

k = 1  получаем sin
,
θ
λ
=
≈
2
0 06
d
. И так как угол θ << 1 , то из (1.9) 

следует

 
Δ
Δ
λ
λ
θ
θ
=
. 
 (1.12)