Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2020, № 1

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2020 / № 1

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2020 / № 1

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика (физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Главный редактор серии:
Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель главного редактора:
Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:
Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский 
государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:
Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 
Боголюбов Н. Н. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);
Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;
Гладков С. О. – д. ф.-м. н., проф., Московский авиационный институт (национальный исследовательский 
университет);
Емельяненко А. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский 
государственный университет имени М.В. Ломоносова;
Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;
Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Рыбаков Ю. П., – д. ф.-м. н., проф., Российский университет дружбы народов;
Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;
Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. – 2020. – № 1. – 112 с.

© МГОУ, 2019.
© ИИУ МГОУ, 2019.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала 
«Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика»
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия 
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :
A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, 
Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:
V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:
E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:
V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;
N. N. Bogolyubov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Lomonosov Moscow State University;
A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;
E. V. Gevorkyan – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Region State University;
S. O. Gladkov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Moscow Aviation Institute (National Research 
University);
A. V. Emelyanenko – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, Lomonosov Moscow State University;
E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;
M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);
Yu. P. Rybakov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Professor, RUDN University;
V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;
V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics and Mathematics” publishes 
articles on mathematical problems of thermodynamics, kinetics 
and statistical physics; the theory of the condensed state of 
classical and quantum, macroscopic and microscopic systems; 
the study of various states of substance and physical phenomena 
in them; statistical physics and the kinetic theory of equilibrium 
and non-equilibrium systems; theoretical and experimental 
research of physical features of disordered inorganic systems; 
the study of the experimental state of condensed substances and 
phase transitions in them. The journal is addressed to scientists, 
doctoral students, PhD students and everyone interested in the 
achievements of physical and mathematical sciences.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow Region State University is registered in Federal service 
on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 - 73344.

Index series «Physics and Mathematics» according to the 
union catalog «Press of Russia» 40723

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2020. – № 1. – 112 p.

© MRSU, 2019.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2019.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal 
«Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics»
Moscow Region State University

Editorial board

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Алгазин О. Д. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ С ПОЛИНОМАМИ 
В ПРАВЫХ ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ. . . . . . . . . . . . . .6

Бозиев О. Л., Абазоков М. A. ОБ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЯ 
ХОПФА НАГРУЖЕННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Кириченко А. К., Калашников Е. В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ 
ВИРТУАЛЬНОЙ РЕАЛЬНОСТИ НА АДЕКВАТНОСТЬ ВОСПРИЯТИЯ 
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ НЕРВНОЙ СИСТЕМОЙ ЧЕЛОВЕКА . . . . . . . . . . . . . .37

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ

Каримов Ф. А., Юшканов А. А. ЗЕРКАЛЬНО-ДИФФУЗНЫЕ 
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПОВЕРХНОСТИ 
МЕТАЛЛА С УЧЁТОМ ЗАВИСИМОСТИ ОТ УГЛА ПАДЕНИЯ  . . . . . . . . . . . . .50

Зинган А. П., Васильева О. Ф. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ 
СТИМУЛИРОВАННОЙ АТОМНО-МОЛЕКУЛЯРНОЙ КОНВЕРСИИ 
С УЧАСТИЕМ ДВУХ ИМПУЛЬСОВ РЕЗОНАНСНОГО ЛАЗЕРНОГО 
ИЗЛУЧЕНИЯ И ИМПУЛЬСА МИКРОВОЛНОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В 
СИСТЕМЕ АТОМОВ ОДНОГО СОРТА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Бишаев A. М., Абгарян М. В. ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ МАГНИТНОГО 
ПОЛЯ НА СТРУЮ, ИСХОДЯЩУЮ ИЗ СТАЦИОНАРНОГО 
ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Сыроватко Ю. В. РАСЧЁТ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ 
НЕПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ ТЕМПЕРАТУРАХ 
ПЛАВЛЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Емельянов В. А. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОГО 
КРИСТАЛЛА ЖК-1289  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2020 / № 1

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS

O. Algazin. EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE 
PROBLEMS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH 
POLYNOMIALS IN THE RIGHT-HAND SIDES OF THE EQUATION 
AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

O. Boziev, M. Abazokov. APPROXIMATION OF THE HOPF EQUATION 
BY LOADED EQUATIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

A. Kirichenko, E. Kalashnikov. MODELING THE INFLUENCE 
OF VIRTUAL REALITY ON THE ADEQUACY OF PERCEPTION 
OF REALITY BY THE HUMAN NERVOUS SYSTEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

SECTION II. PHYSICS

F. Karimov, A. Yushkanov. MIRROR-DIFFUSE BOUNDARY CONDITIONS FOR 
ELECTRONS ON A METAL SURFACE TAKING INTO ACCOUNT 
THE DEPENDENCE ON THE INCIDENCE ANGLE   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

A. Zingan, O. Vasilieva. FEATURES OF DYNAMICS OF STIMULATED 
ATOMIC–MOLECULAR CONVERSION INVOLVING TWO PULSES 
OF RESONANT LASER RADIATION AND A PULSE OF MICROWAVE 
RADIATION IN A SYSTEM OF ATOMS OF ONE SPECIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

A. Bishaev, М. Abgaryan. STUDY OF THE EFFECT OF THE MAGNETIC 
FIELD ON A JET OF A STATIONARY PLASMA THRUSTER  . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Yu. Syrovatko. CALCULATION OF SURFACE TENSION OF NONTRANSITION METALS AT MELTING TEMPERATURES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

V. Emelyanov. DIELECTRIC PROPERTIES OF LIQUID CRYSTAL 
LC-1289  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

6

© CC BY Алгазин О. Д., 2020.

ÐÀÇÄÅË I. 
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 517.958
DOI: 10.18384/2310-7251-2020-1-6-27

ÒÎ×ÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß 
ÃÅËÜÌÃÎËÜÖÀ  ÑËÎÅ Ñ ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ Â ÏÐÀÂÛÕ ×ÀÑÒßÕ 
ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÃÐÀÍÈ×ÍÛÕ ÓÑËÎÂÈÉ

Алгазин О. Д.
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)
105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, Российская Федерация

Аннотация. Цель работы – найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, 
ограниченном двумя гипер плоскостями.
Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и ДирихлеНеймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование 
Фурье для обобщённых функций медленного роста.
Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и 
Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного 
уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или 
тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного 
роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм 
построения этого решения и рассмотрены примеры.
Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики.
Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, задача Дирихле, задача Дирихле-Неймана, преобразование Фурье, обобщённые функции медленного роста

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

7

EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE 
HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH POLYNOMIALS IN THE RIGHTHAND SIDES OF THE EQUATION AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS

O. Algazin
Bauman Moscow State Technical University
ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1, 105005 Moscow, Russian Federation

Abstract. Purpose. We have found exact solutions to boundary-value problems for the 
inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional 
infinite layer bounded by two hyperplanes.
Methodology and Approach. The paper considers Dirichlet and Dirichlet–Neumann boundaryvalue problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions. The Fourier 
transform of generalized functions of slow growth is applied.
Results. It is shown that the Dirichlet and Dirichlet–Neumann boundary-value problems 
with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions for the inhomogeneous 
Helmholtz equation with the polynomial right-hand side have a solution that is a quasipolynomial containing, in addition to power functions, hyperbolic or trigonometric functions. 
This solution is unique in the class of functions of slow growth if the parameter of the equation 
is not an eigenvalue. An algorithm for constructing this solution is presented and examples are 
considered.
Theoretical and Practical Implications. Exact solutions to boundary-value problems for one of 
the well-known equations of mathematical physics have been obtained.
Keywords: Helmholtz equation, Dirichlet problem, Dirichlet–Neumann problem, Fourier 
transform, generalized functions of slow growth.

Введение
К уравнению Гельмгольца приводят многие задачи математической физики, 
например, задачи, связанные с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, электромагнитными и т. д.), и задачи диффузии некоторых 
газов при наличии распада или цепных реакций. Также любое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводится к уравнению 
Гельмгольца [1]. 
В данной статье получены точные решения в виде квазиполиномов краевых 
задач Дирихле и Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в слое в случае, 
когда правая часть уравнения Гельмгольца и правые части краевых условий являются полиномами. Если параметр уравнения Гельмгольца стремится к нулю, 
то уравнение Гельмгольца переходит в уравнение Пуассона, а квазиполиномиальные решения краевых задач переходят в полиномиальные решения краевых 
задач для уравнения Пуассона [2]. Таким же способом получены точные полиномиальные решения краевых задач для уравнения Трикоми в полосе [3; 4]. 
Поиску решений уравнений с частными производными в виде полиномов или 
квазиполиномов посвящены работы многих авторов [5–11].

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

8

1. Постановка задачи
Рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца в неограниченной области 
(слое) с полиномиальной правой частью:

 
(
)
(
)
(
)
,
 
,
,
,  
,  
,  0
,
n
u x y
u x y
P x y
x
y
a
Δ
+ ν
=
ν ∈
∈
<
<


 
(1)

где x = (x1, ..., xn), Δ – оператор Лапласа,

 

∂
∂
∂
Δ =
+…+
+
∂
∂
∂

2
2
2

2
2
2
1
,
n
x
x
y

P(x, y) – полином от переменных x и y.
На границе слоя зададим краевые условия Дирихле:

 
(
)
( )
(
)
( )
,0
,  
,
,
,
n
u x
x
u x a
x
x
= ϕ
= ψ
∈
 
(2)

где ϕ(x), ψ(x) – полиномы.
Далее в разделе 2 показано, что неоднородное уравнение Гельмгольца (1) имеет полиномиальные решения, и приведена формула получения такого решения. 
Если (
)
,
u x y

 – некоторое полиномиальное решение неоднородного уравнения 

Гельмгольца (1), то для функции (
)
(
)
(
)
,
,
,
v x y
u x y
u x y
=
− 
 получаем однородное 

уравнение Гельмгольца: 

 
(
)
(
)
,
 
,
0,  
,
,  0
,
n
v x y
v x y
x
y
a
Δ
+ ν
=
ν ∈
∈
<
<


 
(3)

и краевые условия Дирихле:

 
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
,0
,0 ,  
,
,
,  
.
n
v x
x
u x
v x a
x
u x a
x
= ϕ
−
= ψ
−
∈


 
(4)

Решив задачу Дирихле для однородного уравнения Гельмгольца (3), (4), мы 
получим решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения Гельмгольца 
(1), (2) по формуле:

 
(
)
(
)
(
)
,
,
,
.
u x y
v x y
u x y
=
+ 

Аналогично рассматривается смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с 
краевыми условиями:

 
(
)
( )
(
)
( )
 
,0
,
,
, 
,
n
y
u x
x
u
x a
x
x
= ϕ
= ψ
∈
 
(5)

которая также сводится к задаче для однородного уравнения (3) с краевыми условиями:

 
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
,0
,0 ,
,
,
,
.
n
y
y
v x
x
u x
v
x a
x
u
x a
x
= ϕ
−
= ψ
−
∈




Решения u(x, y) краевых задач (1), (2) и (1), (5) будем искать в классе функций 
медленного роста по переменной x при каждом фиксированном y из интервала  
(0, a), то есть при ∀y∈(0, a) найдётся такое m ≥ 0, что

 
(
)(
)

2
2
2
2
1
2
 
,
1
, 
.
n

m

n
u x y
x
dx
x
x
x
x
−
+
< ∞
=
+
+…+
∫ 
 
(6)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

9

Поэтому можно применять преобразования Фурье для обобщённых функций 
медленного роста по переменной x [12].

2. Полиномиальное решение неоднородного равнения Гельмгольца
Неоднородное равнение Гельмгольца (1) с полиномиальной правой частью 
P(x, y), 

 
(
)
(
)
(
)
,
 
,
,
,
,  
,
,
n
u x y
u x y
P x y
x
y
Δ
+ ν
=
ν ∈
∈
∈




имеет полиномиальные решения, одно из которых можно получить по следующей непосредственно проверяемой формуле. 
Для v ≠ 0:

 
(
)
(
)
[
](
)
(
)
/2

1
1
,
1
 
,
,
,

j
k
j
j
j
P x y
u x y
P x y
+
=
−
=
+
Δ
ν
ν
∑
 
(7)

где k – наибольшая из степеней мономов полинома P(x, y), [k/2] – целая часть 
числа k/2.
Для v = 0 мы имеем уравнение Пуассона, и его полиномиальные решения приведены в [2].
Пример 1.

 
(
)
(
)
[
]
2
2
2
1
2
2
1
1
2
,
,
,
3
5
,
5,  /2
2.
x
x x
P x y
x x y
x x y
k
k
=
=
+
=
=

По формуле (7) получаем:

 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
1
1
1
,
3
5
6
10
6
24
.
u x y
x x y
x x y
x y
x y
x x
x
=
+
−
+
+
+
ν
ν
ν

3. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца 
в случае v = –λ2

Поскольку решение задачи Дирихле для неоднородного уравнения сводится к решению задачи Дирихле для однородного уравнения, рассмотрим задачу 
Дирихле для однородного уравнения:

 
(
)
(
)
2
,
 
,
0,  
0,    
,  0
, 
n
v x y
u x y
x
y
a
Δ
− λ
=
λ >
∈
<
<

 
(8)

 
(
)
( )
(
)
( )
,0
, 
,
, 
,
n
u x
x
u x a
x
x
= ϕ
= ψ
∈
 
(9)

где ϕ(x), ψ(x) – полиномы.
Применим преобразование Фурье по x [12]: 

 
(
) (
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
 
 
,
,
,
,
,
,
x u x y
t y
U t y
x
t
t
x
t
t
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
ϕ
= Φ
ψ
= Ψ
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦




получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения 
второго порядка с параметром t ∈ n:

 
(
) (
)
(
)
2
2
,
,
0,
, 0
n
yy
t
U t y
U
t y
t
y
a
− λ +
+
=
∈
<
<

 
(10)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

10

 
(
)
( )
(
)
( )
 
,0
,
,
.
U t
t
U t a
t
= Φ
= Ψ
 
(11)

Единственное решение краевой задачи (10), (11) даётся формулой:

 
(
)
(
) ( )
(
)
( )
,
,
,
,
n
n
U t y
L
t a
y
t
L
t y
t
=
−
Φ
+
Ψ
 
(12)

где 

 

(
)

2
2

2
2
,
.
 

n
sh y
t
L
t y
sh a
t

⎛
⎞
+ λ
⎜
⎟
⎝
⎠
=
⎛
⎞
+ λ
⎜
⎟
⎝
⎠

Применяя обратное преобразование Фурье, получим единственное в классе 
функций медленного роста решение задачи Дирихле (8), (9) в виде свертки:

 
(
)
(
)
( )
(
)
( )
,
,
*
,
*
,
n
n
u x y
l
x a
y
x
l
x y
x
=
−
ϕ
+
ψ
 
(13)

где (
)
(
) (
)
1
,
,
,
.
n
n
t
l
x y
L
t y
x y
− ⎡
⎤
=
⎣
⎦


Чтобы найти свертку (13) с полиномами ϕ(x) и ψ(x) достаточно рассмотреть 
случай монома.

3.1. Случай n = 1
Рассмотрим сначала плоский случай: 
(
)
(
)
=
∈
∈
×


1,
,
,
0,
.
n
x
x y
a

(
)
(
)
1
1
,
,
L
t y
L t y
=
 четная функция переменного t:

 

(
)
(
)
(
)

(
)

2
2

1
1
2
2
,
,
.
 

sh y t
L
t y
L t y
sh a t

+ λ
=
=
+ λ

Пусть ( )
( )
0
0,  
1.
x
x
x
ϕ
=
ψ
=
=

Решение задачи Дирихле:

 
(
)
(
)
( )
0
1
,
,
*
u
x y
l
x y
x
=
ψ
=

(
) (
)
(
)
(
)
1
1
1
0
,
,
lim
,
ixt

x
x
t l t y dt
l t y dt
l t y e dt
∞
∞
∞

−∞
−∞
−∞
→
=
ψ
−
=
=
=
∫
∫
∫

(
) (
)
(
)
(
)

(
)

(
)
(
)

2
2

1
1
0
0
0
2
2
lim
,
,
lim 
,
lim 
 .
 
t
x
x
x

sh y x
sh
y
l t y
x y
L x y
sh
a
sh a x
→
→
→

+ λ
λ
⎡
⎤
=
=
=
=
⎣
⎦
λ
+ λ


Пусть теперь ( )
( )
ϕ
=
ψ
=
0,
.
k
x
x
x

Соответствующее решение задачи Дирихле:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

11

 
(
)
(
)
( )
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
1
,
,
*
,
,
k
k
u
x y
l
x y
x
x
t l t y dt
x
t
l t y dt
∞
∞

−∞
−∞
=
ψ
=
ψ
−
=
−
∫
∫

(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0
0
1
,
1
,
,
k
k
j
j
j
j
k
j j
k
j
j
k
k
j
j
C x
t
l t y dt
C x
t l t y dt
∞
∞
−
−
=
=
∞
−∞
=
−
=
−
∑
∑
∫
∫

где 
(
)
!/ !
!
j
k
C
k
j k
j
=
−
 – биномиальные коэффициенты. 

Поскольку последний интеграл для нечётных j равен нулю в силу чётности 
l1(t, y) относительно переменной t, то

 
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
/2
/2
2
2
2
2
2
1
2
0
0
,
,
,
,
k
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
k
k
m
m
u
x y
C
x
t
l t y dt
C
x
p
y
∞
−
−
=
=
−∞
=
=
λ
∑
∑
∫

где [k/2] – целая часть числа k/2.
Пользуясь свойствами преобразования Фурье, получим:

 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
 1
0
,
,
lim
,
m
m
ixt
m
x
p
y
t
l t y dt
t
l t y e dt
∞
∞

−∞
−∞
→
λ
=
=
=
∫
∫

(
) (
) (
)
(
)

2
2
 1
1
2
0
0
 lim
,
,
1
  lim
 
,
.

m
m
m
t
m
x
x
t
l t y
x y
L x y
x
→
→
∂
⎡
⎤
=
= −
⎣
⎦
∂


Функции p2m(λ, y) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по 
x функции:

 

(
)
(
)

(
)

(
)(
)
(
)

2
2
2

1
2
0
2
2

sh
1
,
,
,
2
!
sh
 

m
m

m
m

y x
x
L x y
p
y
m
a x

∞

=

+ λ
−
=
=
λ
+ λ
∑

то есть L1(x, y) является производящей функцией для p2m(λ, y). Эти функции 
можно вычислить по рекуррентной формуле: 

 

(
)
(
)
(
)

0
sh
,
,
sh

y
p
y
a

λ
λ
=
λ

(
)
(
)
(
)
−
∂
λ
= −
−
λ
=
…
λ ∂λ
2
2
2 
1
 
,
2
1
 
,
, 
1,2,
m
m
p
y
m
p
y
m
 
(14)

Докажем эту формулу.
Поскольку 

 

( )
( )
(
)

2
2
sh
,
sh
 

ys
f s
s
x
as
=
=
+ λ

является чётной аналитической функцией комплексного переменного s, и её 
особые точки ±iπk/a, k ∈  лежат на мнимой оси, то в круге |s| < π/a имеем разложение:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2020 / № 1

12

 
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0

n
n
n
m
n
m
m
n
n
n
n
n
n
n
m
f s
a s
a
x
a
C
x
∞
∞
∞
−
=
=
=
=
=
=
+ λ
=
λ
=
∑
∑
∑
∑

2
2
2
2
0
.
m
m
n
m
n
n
m
n m
x
a C
∞
∞
−
=
=
=
λ
∑
∑

Значит,

 
(
) (
) (
)
2
2
2
2
,
1
2
!
,
m
m
n
m
m
n
n
n m
p
y
m
a C
∞
−
=
λ
= −
λ
∑

(
)
( )
(
)
(
)

2
0
2
0
sh
,
,
sh

n
n
n
y
p
y
a
f
a

∞

=
λ
λ
=
λ
=
λ =
λ
∑

(
) (
)
(
)
1
1
2
2
2
2
2
2
1
,
1
2
2 !
,
m
m
n
m
m
n
n
n m
p
y
m
a C
∞
−
−
−
+
−
=
−
λ
= −
−
λ
∑

(
)
(
)
2
2
1
2
1
,
m
m
p
y
−
∂
−
−
λ
=
λ ∂λ

(
) (
)
1
2
2
2 2
2
2
1
2
!
 
2

m
m
n
m
n
n
n m
n
m
m
a
C
m

∞
−
−
=
−
+
= −
λ
=
∑

(
) (
)
(
)
2
2
2
2
1
2
!
,
,
m
m
n
m
n
n
m
n m
m
a C
p
y
∞
−
=
= −
λ
=
λ
∑

что и требовалось доказать.
Таким образом,

 

(
) (
)
(
)
(
)

2
sh
1
,
2
1 !!
.
sh

m

m
y
p
y
m
a

λ
∂
⎛
⎞
λ
=
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
λ ∂λ
λ

Например,

 

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
ch
sh
ch
,
,
sh
sh

y
y
a
y
a
p
y
a
a

λ
λ
λ
λ
= −
+
λ
λ
λ
λ

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2

4
3
2
2
2
3 ch
3
sh
6
ch
ch
,
sh
sh
sh

y
y
y
y
ya
y
a
p
y
a
a
a

λ
λ
λ
λ
λ
= −
+
−
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
2

3
2
2
3
2
3 sh
ch
6
sh
ch
3
sh
.
sh
sh
sh

a
y
a
a
y
a
a
y

a
a
a

λ
λ
λ
λ
λ
+
+
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ

При λ, стремящемся к нулю, функции p2m(λ, y) переходят в полиномы p2m(y) , 
которые рассмотрены в [2]. Например,

 

(
)
(
)
(
)

0
0
0
sh
lim
,
lim
,
sh

y
y
p
y
a
a
λ→
λ→
λ
λ
=
=
λ