Квантовые измерения

А. В. Белинский

Квантовые
измерения

Учебное пособие

Д о п у щ е н о
УМО по классическому университетскому
образованию РФ в качестве учебного
 пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности
010701 (Физика)

4е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 530.145
ББК 22.343
Б43

Белинский А. В.
Б43
Квантовые измерения : учебное пособие / А. В. Белинский. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. —
185 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-691-5
В пособии освещены вопросы, связанные с основами квантовой
теории, специфическими особенностями квантовых объектов и прецизионными измерениями в случае интерференции третьего порядка
и самовоздействия света в средах с кубичной нелинейностью. Рассмотрены параметрическое рассеяние света в квантовых измерениях,
теория фотодетектирования, принципы квантовой томографии.
Для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в областях квантовой оптики и квантовой информатики,
а также для специалистов соответствующего направления экспериментальной физики.
УДК 530.145
ББК 22.343

Деривативное издание на основе печатного аналога: Квантовые измерения : учебное пособие / А. В. Белинский. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2008. — 182 с. : ил. — ISBN 978-5-94774-725-6.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель
вправе
требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-691-5
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Введение

Посвящается светлой памяти
Давида Николаевича Клышко

Что такое квантовые измерения? В чем их специфика по отношению к обычным измерениям, производимым в классической
физике? Почему их надо выделять как отдельную дисциплину?
Чтобы ответить на эти вопросы, разберем простой пример.
Плотник прикладывает линейку к дощечке и измеряет ее длину.
У него нет сомнения в том, что длина дощечки имеет вполне определенное значение, которое сохраняется неизменным как в течение
всего процесса измерения, так и после него. Иначе, зачем было бы
измерять? Этот риторический вопрос, адресованный к квантовой
теории, принимает особый смысл: там до момента взаимодействия
квантового объекта с измерительным прибором, как правило, измеряемой величины просто не существует. Такая ситуация требует
радикального пересмотра смысла измерений. Это сложная задача
и подходы к ее разрешению мы будем искать постепенно на протяжении всей книги. Пока же отметим возможность появления в
квантовом мире таких эффектов, которые необъяснимы с позиций
классической физики. Они называются квантовыми эффектами.
Большей частью эти эффекты связаны с микромиром. Поэтому
важным требованием к квантовым измерениям является высокая
точность измерителя. Но каким бы прекрасным он ни был, существует фундаментальный предел для точности, сформулированный
Гейзенбергом. Его невозможно превзойти. По какой причине? Если
вследствие воздействия измерителя на объект, то выяснив механизм
этого воздействия, можно было бы постараться скорректировать его
с помощью последующей математической обработки и тем самым
повысить точность. Но если определенного значения измеряемой
величины априори (до измерения) не существовало, то информативно лишь измерение статистических характеристик измеряемой
величины в пределах ее интервала неопределенности. Однократное
же измерение, с какой бы высокой точностью оно бы не было
выполнено, малоинформативно.

Введение

Рассмотрим квантовую систему в чистом состоянии, т. е. в состоянии, когда полностью отсутствует классическая неопределенность.
Такую систему исчерпывающе можно описать волновой функцией ψ.
Ее квадрат модуля |ψ|2 дает распределение вероятности измеряемой
величины. Таким образом, самым информативным измерительным
прибором является измеритель волновой функции. Одиночное измерение редуцирует исходную волновую функцию, которая описывала все возможные значения измеряемой величины, в волновую
функцию, соответствующую лишь измеренному значению. Измерить
же исходную волновую функцию можно только в результате серии
многократных измерений ансамбля идентично приготовленных систем. Решением этой задачи увенчается наш курс теории квантовых
измерений, а начнем мы его с краткого повторения основ квантовой
теории, поясняемых простыми примерами реализации квантовых
измерений.

Глава 1
Дираковская формулировка
нерелятивистской квантовой механики

Одиночную элементарную частицу, движущуюся по прямой, с которой мы свяжем координатную ось q, будем описывать в координатном представлении волновой функцией ψ(q, t). Вероятностная
интерпретация ψ(q, t) заключается в том, что величина |ψ(q, t)|2 dq
дает вероятность нахождения частицы в интервале между q и q + dq
в момент времени t, когда измеряется местоположение частицы.
Фурье-образ ψ(q, t)

ψ(p, t) =
1
√

2πℏ

∞−∞
ψ(q, t) exp
− iqp

ℏ

dq
(1.1)

дает волновую функцию в импульсном представлении. Преобразование Фурье существует лишь тогда, когда существует интеграл
∞−∞
|ψ(q, t)|2 dq, т. е. и функция ψ(q, t), и функция ψ(p, t) должны

быть квадратично интегрируемы. Они однозначно связаны между
собой, и каждая из них полностью представляет то же самое динамическое состояние системы. Величина |ψ(p, t)|2 dp дает вероятность
нахождения импульса частицы в интервале (p, p+dp) при измерении
импульса в момент времени t.
Теорию можно развивать как в импульсном, так и в координатном представлении. Выбор представления аналогичен выбору
системы координат в обычной геометрии. Но в обычной геометрии
с помощью векторов можно обойтись без использования координатной системы. А можно ли квантовую механику построить так,
чтобы формулировка не зависела от вида представления? В этом и
заключается основная цель дираковской формулировки. При этом,
разумеется, не должны быть потеряны очевидные преимущества
конкретного представления. Проводя конкретные вычисления, всегда необходимо использовать удобное представление подобно тому,
как при проведении конкретных вычислений в векторном анализе
всегда может быть выбрана удобная система координат.

Глава 1. Дираковская формулировка квантовой механики

Рис. 1.1. Частица, движущаяся к непрозрачному экрану с двумя узкими
щелями, расстояние между которыми d

Дирак предложил описывать динамические состояния квантовых
объектов при помощи векторов. Попытаемся дать геометрическую
интерпретацию его предложения [1].
Координата q может принимать значения q1, q2, q3, . . . Мы можем представить пространство с конечным или бесконечным числом измерений, которое имеет систему взаимно перпендикулярных осей, каждая из которых обозначается одним из значений q:
q1, q2, q3, . . ., а величины ψ(q1, t), ψ(q2, t), ψ(q3, t), . . . представляют
собой проекции некого вектора состояния соответственно на оси
координат q1, q2, q3, . . . Так как этот вектор комплексный, он не
является обычным вектором, и для него надо ввести специальное
обозначение | ⟩. Дирак назвал его кет-вектором, или просто кет
по следующей причине: английское слово «bracket» означает угловые скобки: ⟨ ⟩. Поместим в них это слово ⟨bracket⟩ и разделим
на две части: ⟨bra|cket⟩. Левая образует гильбертово пространство
бра-векторов, а правая — кет-векторов. Эти пространства различны
(бра — вектор-строка, кет — вектор-столбец), но имеют взаимно однозначное соответствие. Кет-вектор, компоненты которого равны
ψ(q1, t), ψ(q2, t), ψ(q3, t), . . ., обозначается |ψ (t)⟩. Бесконечномерного
пространства мы, к сожалению, изобразить не сможем. Поэтому
проанализируем простой пример.
Рассмотрим одиночную частицу, движущуюся слева направо в
направлении непрозрачного экрана с двумя узкими щелями, расположенными на расстоянии d друг от друга (рис. 1.1).
Сразу за экраном координата частицы q может принимать только
два значения: q1 и q2. Значения волновой функции, соответствующие
обнаружению частицы сразу за первой щелью, отложим по оси
абсцисс, а за второй — по оси ординат (рис. 1.2). По этим проекциям

Глава 1. Дираковская формулировка квантовой механики
7

Рис. 1.2. Наглядная диаграмма кет-вектора в двумерном координатном
представлении

образуем вектор |ψ (t)⟩, который и есть кет-вектор квантового состояния системы. Сама же волновая функция представляет собой
сумму: Ψ(q) = ψ1(q) + ψ2(q). Вообще говоря, она комплексна, и приведенная интерпретация, строго говоря, некорректна. Однако она
может помочь наглядному восприятию векторного гильбертового
пространства, которое определяется как пространство квадратично
интегрируемых функций.
Положим, в частности,

Ψ(q) =
1
√

2

δ
q − d

2

+ δ
q + d

2

.
(1.2)

где δ(x) — дельта-функция Дирака. При этом условия обнаружения
частицы сразу за одной из щелей экрана идентичны.
Согласно (1.1), (1.2), в импульсном представлении

ψ(p) =
1
√

πℏ cos
pd
2ℏ

.
(1.3)

Это значит, что хотя в координатном представлении вектор состояния |ψ⟩ был двумерным, в импульсном представлении он бесконечномерный.
Переход к другому представлению соответствует тому же вектору |ψ⟩, но в другой системе координат, например, p1, p2, p3, . . .

Глава 2
Квантовая нелокальность

Проанализируем полученный результат (1.3). Величина

|ψ(p)|2 D
cos2
pd
2ℏ

(2.1)

определяет распределение вероятности поперечной составляющей
импульса частицы после непрозрачного экрана, т. е. в направлении
оси q (см. рис. 1.1). Таким образом, вероятность обнаружить частицу
на расстоянии, существенно превышающем d (см. рис. 2.1), описывается гармонической зависимостью

P (p) D
1
2

1 + cos
pd
ℏ

.
(2.2)

Если в поперечной плоскости, с которой связана ось x, поставить
фотопластинку, чувствительную к частицам, и периодически посылать одиночные частицы на экран так, чтобы следующая частица

Рис. 2.1. Схема интерференции Юнга: вероятность обнаружения одиночной частицы за экраном с двумя узкими щелями описывается гармонической интерференционной зависимостью от поперечной координаты x,
пропорциональной p

Глава 2. Квантовая нелокальность
9

Рис. 2.2. Одиночную частицу, посылаемую на экран, регистрирует лишь
один из двух детекторов

возникала не раньше, чем зарегистрирована предыдущая, то плотность почернения фотопластинки будет гармонически изменяться
согласно (2.2). При этом x будет пропорционален p. Коэффициент
пропорциональности определяется расстоянием от экрана до плоскости наблюдения, существенно превышающим d.
Такие эксперименты проводились многократно, в частности, с
фотонами. Удивление вызывает тот факт, что частица, которая,
казалось бы, не может разделиться и одновременно пройти через
обе щели, тем не менее, ведет себя так, как будто она это сделала!
Поставим два счетчика частиц сразу за щелями (рис. 2.2). Если
на экран посылаются одиночные частицы, то срабатывать будет
лишь один из двух детекторов.
Снова уберем детекторы и сдвинем щели вверх: верхнюю — на
величину Δ1, а нижнюю — на Δ2, тогда волновая функция, аналогичная (1.2), равна

Ψ(q) =
1
√

2

δ
q − d

2 − Δ1

+ δ
q + d

2 − Δ2

.
(2.3)

При этом вероятность обнаружить частицу на достаточно большом
расстоянии от экрана (рис. 2.1) будет

P (p) D
1 + cos
p
ℏ (d + Δ1 − Δ2)
,
(2.4)

где p D
x.
Если
бы,
согласно
эксперименту
с
установкой
детекторов
(рис. 2.2), одиночные частицы проходили бы то через верхнюю,
то через нижнюю щель, то эта вероятность складывалась бы из
двух вероятностей P1 (Δ1) и P2 (Δ2). Но невозможно найти таких
функций P1 (Δ1) и P2 (Δ2), чтобы P (p), согласно (2.4), была бы
суммой P1 (Δ1) + P2 (Δ2). Это означает, что хотя квантовая частица

Глава 2. Квантовая нелокальность

и не может разделиться, тем не менее, проникает как бы через обе
щели сразу. Это свойство является проявлением так называемой
квантовой нелокальности, характерной тем, что в ее присутствии
наши привычные пространственные интуиции невозможно перенести в микромир. В дальнейшем мы еще не раз столкнемся с парадоксальным поведением квантовых частиц.
Квантовая нелокальность, по-видимому, является проявлением
внутреннего единства сотворенного Богом материального мира, т. е.
фундаментальным свойством вселенной, которую, строго говоря,
нельзя разделить на отдельные локальные независимые области.