Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

Г.С. ЖУКОВА 
М.Ф. РУШАЙЛО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

ЧАСТЬ 1

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по естественно-научным и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 2 от 03.02.2020)

Э
л е к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73 
Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

Еникеев И.Х., доктор технических наук, профессор Московского политехнического университета;

Орлик Л.К, кандидат физико-математических наук, профессор Российского государственного социального университета

Жукова Г.С.

Ж  86 
Математический анализ в примерах и задачах : учебное пособие.

Ч. 1 /  Г.С. Жукова, М.Ф. Рушайло. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
260 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072156.

ISBN 978-5-16-015964-5 (общ.)
ISBN 978-5-16-015963-8 (print, ч. 1)
ISBN 978-5-16-108349-9 (online, ч. 1)
Цель учебного пособия — помочь бакалаврам овладеть основными понятиями и методами исследования, используемыми в математическом 
анализе. В части 1 предложен цикл практических занятий по разделам: 
теория множеств, теория пределов; теория непрерывности функций; дифференциальное исчисление функций одной переменной, его применение 
к исследованию свойств функции и построению графика; интегральное 
исчисление функций одной переменной: неопределенные, определенные, 
несобственные интегралы; гиперболические функции; приложения интегрального исчисления к анализу и решению практических задач.

Для освоения каждой темы предложен необходимый теоретический 
и справочный материал, рассмотрено большое число примеров с подробными анализом и решениями, даны варианты самостоятельных работ. Для 
самостоятельной подготовки и контроля качества полученных знаний 
приводятся упражнения и задачи с ответами и указаниями.

Для преподавателей, студентов и аспирантов вузов, изучающих высшую математику.

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-015964-5 (общ.)
ISBN 978-5-16-015963-8 (print, ч. 1) 
ISBN 978-5-16-108349-9 (online, ч. 1)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 
2006, 2020

В В Е Д Е Н И Е

Вторжение математики во все области научной и практической 
деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Идет 
прогрессирующий процесс математизации всех наук. Этому в значительной мере способствует быстрое развитие вычислительной техники 
и ее применение в самых различных областях науки и техники.

В настоящее время решение большинства возникающих задач выполняется на компьютерах с помощью различных вычислительных алгоритмов с использованием "серьезной" математики.

Для анализа многих задач технического, химического, экономического 
или биологического характера необходимо , прежде всего, чтобы эти 
задачи были переведены на математический язык, после чего они анализируются и решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой цепи является именно "перевод" задачи на математический язык. Это объясняется тем, что для правильной математической формулировки даже 
самой простой проблемы необходимо знание не только той науки, из 
которой возникла задача, но необходимы также определенная математическая культура и математические знания.

Требования к математической подготовке современного специалиста 
постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности 
ему необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных известных методов

Эти обстоятельства предъявляют к современному специалисту повышенные требования в их математической подготовке: знание теории 
и овладение навыками решения задач по основным разделам высшей ма3

тематики, умение изложить их основы на четком алгоритмическом 
языке, знание преимуществ и недостатков того ши иного метода решения.

Настоящее учебное пособие написано на базе лекций и практических 
занятий по математическому анализу, читаемых в первом семестре 
студентам первого курса всех факультетов и колледжей Российского 
химико-техиологического университета им. Д.И. Менделеева. В работе 
использованы материалы коллективного труда [6] сотрудников кафедры высшей математики РХТУ им. Д.И. Менделеева.

В книге предложен цикл практических занятий и контрольных работ 
для овладения навыками решения примеров и задач следующих разделов 
математического анализа:

• 
функция;

• 
теория пределов;

• 
теория непрерывных функций;

• 
дифференцирование функции одной независимой 
переменной;

• 
неопределенный и определенный'( интегралы функции одной независимой переменной;

• 
несобственные интегралы',

• 
приложения.

Для контроля полученных знаний предложены четыре контрольные 
работы. В книге также даны образцы контрольных работ с подробным 
анализом. Предложен перечень контрольных вопросов по теории.

Схема изложения материала каждого занятия следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для успешного 
усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом):
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. Ответы ко всем задачам.

В справочном материале нумерация теорем, формул, рисунков и примеров с решениями в каждом параграфе самостоятельная. Нумерация 
задач для самостоятельного решения и ответов к ним начинается с указания номера параграфа.

4

Преподавателям вузов, ведущим практические занятия по математическому анализу, можно было бы посоветовать следующий порядок
изложения материала, включенного в книгу:

1. 
Функция: область определения, четность или нечетность, периодичность. Элементарные функции (§ 1).

2. 
Вычисление предела функции в точке (§2).

3. 
Вычисление предела функции в точке с использованием первого и 

второго замечательных пределов (§ 3).

4. 
Контрольная работа «Вычисление предела функции в точке»,

1 час (§ 21).

Определение производной, ее геометрический смысл. Уравнения 

касательной и нормали (§ 4).

5. 
Вычисление производной по формулам (§5).

6. 
Производная сложной функции (§ 6).

7. 
Дифференцирование неявно заданной функции. Дифференцирование 

функции, заданной параметрически. Дифференциал функции (§ 7).

8. 
Раскрытие неопределенностей (§ 8).

9. 
Вычисление пределов с использованием различных методов (§ 9).

10. 
Контрольная работа (Дифференцирование функции» (§22).

11. 
Возрастание, убывание функции. Экстремумы. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба (§ 10).

12. 
Асимптоты графика. Схема исследования функции и построение 

графика (§ 11).

13. 
Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование 

(§ 12).

5

14. 
Интегрирование разложением. Интегрирование подстановкой

(§ 13).

15. 
Интегрирование по частям (§14).

16. 
Интегрирование рациональной дроби (§15).

17. 
Интегрирование тригонометрических выражений (§16).

18. 
Коллоквиум, 1 час (§25, вопросы 1-22, 31-40).

Интегрирование некоторых иррациональных выражений (§ 17).

19. 
Определенный интеграл: вычисление, приложения (§ 18).

20. 
Решение примеров с использованием различных способов интегрирования (§ 19).

21. 
Контрольная работа «Интегрирование функцию> (§ 23).

22. 
Несобственные интегралы (§ 20).

23. 
Итоговая контрольная работа (§24).

Настоящее пособие может быть использовано студентами вузов 
как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса «Математический анализ», так как все задачи 
имеют ответы, а некоторые и решения. Этому же способствует краткое напоминание теории.

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим высшую математику

6

Глава I

ш щ ы ь т о  в е ш и

ФУНКЦИИ 
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

W И

j§JL ф у н к ц и я .

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

1. МНОЖЕСТВА

Множество — это любая совокупность объектов, называемых элементами множества. Множества обозначают прописными буквами, например 
А, В ,... или X , Y, ..., а их элементы -  строчными, например 

а,Ь,... или х, у ,__

Запись: " а €  А " означает, что элемент а 
есть элемент множества А  В противном случае пишут: а £ А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и 
обозначается символом 0 .

Запись " V x e  А : а" означает, что для всех (для любого) X из множества А  имеет место некое утверждение, обозначенное а .

Запись "Зл^ е  А : а" означает, что существует (найдется) такой 

элемент 
из множества А , для которого справедливо утверждение, 

обозначенное а .

Запись " А с :  В " означает, что множество А  является подмножеством множества В, то есть любой элемент множества А  является также 

элементом множества В .

Множество X  называют ограниченным, если существует такое число 
М  > 0 , что для всех элементов X из X  справед ливо неравенство: 

\ х \ <  М .

Множество X называют ограниченным сверху (снизу), если существует такое число М  > О, что для всех элементов X из X  справедливо 
неравенство: 
х <  М  
(илих > М ) .

Множество X  называют неограниченным, если для любого М >  О 

существует такой элемент Xi} е X , что 
> М .

8

Суммой или объединением множеств А  и В  называется множество, 
обозначаемое A \J В, состоящее из элементов обоих множеств А  и В :

A [ j B  = { x \ x e A  или х е в ] .

Произведением или пересечением множеств А 
и В называется 
множество, обозначаемое А  П В, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множествам А  к В  :

А Г \ В  = { х \ х е  А  и х е в ] .

Разностью 
множеств А н В  называется множество, обозначаемое 
А \ В ,  состоящее из элементов множества 
А , которые не принадлежат множеству В : 
А \ В  = {х\ х е  А  И х<Ё 2?}.

Два множества А н В  называются равными (пишут А - В ) ,  если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

При решении уравнений или неравенств (а ) и  (i?), если возникает 
необходимость в объединении или пересечении множеств их решений, 
для обозначения этого факта используют, соответственно, символику:

Обозначение некоторых числовых множеств.

N  — множество натуральных чисел: N  = {l;2;3;..

Z  — множество целых чисел: Z = {0;±1;±2;...};
R — множество действительных (вещественных) чисел: 
i? = ( -  со;+оо);

(а; Ь) — интервал: (a; b) = {х| а < х  < b\,

[a; Z>] -- отрезок: \а\b\ = (х| а < х < b\,

М
] и М
)  — полуинтервалы:

(a\b\= {х| а < х<Ь}, 
[д;б) = {х| а < x<b\,

9

{а — 5\ а + S') — S  -окрестность точки х  = а :

(а -  5 \и  + S ) = {a'J а -  S  < х < а  + д}.

Промежуток -  общее название для интервала, отрезка и полуинтервала.

2. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА

Абсолютной величиной числа X называется неотрицательное число 

Х \, определяемое по формуле:

х, 
если х > 0 ,

-  х, если х < 0.

Свойства абсолютной величины:

1) 
х

3)

У

Н ~ 4 ;

X

II

к

= 7-4; 
У * 0; 
\у \

4) |х + у |< |л '|

Я

+ \у\

5) \ х -  j | > | x | - | ; p | ;

6) | х \ < а (а > 0) <=> - а  < х  < а <=>

х < а

х > - а

7) Ы > 6 ( 6 > 0 )  <=>х>6 или х < ~Ъ <=>

х > Ъ

х < - Ь .

3. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 

О п р е д е л е н и я .

❖ Если каждому элементу X из множества D  cz R по некоторому правилу соответствует единственный элемент у  из множест
10