Эконометрика

Серия «Учебные издания для бакалавров» 
 
 
 
В. П. Яковлев 
 
  

 
ЭКОНОМЕТРИКА 
 
Учебник 
 

Рекомендовано уполномоченным учреждением  
Министерства образования и науки РФ — 
Государственным университетом управления  
в качестве учебника для студентов  
высших учебных заведений, обучающихся  
по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент» 
(уровень бакалавриата) 
 
Регистрационный номер рецензии 019 от 25 февраля 2015 г. 
(Федеральный институт развития образования) 
 

 

 

Москва 
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
2019 

УДК 519.862.6 
ББК 22.19 
Я47 
 
 
Рецензенты: 
Б. И. Олейников — доцент Российского экономического университета  
им. Г. В. Плеханова; 
Н. А. Веклич — доцент Российского государственного университета нефти 
и газа им. И. М. Губкина. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Яковлев В. П. 
Я47 
        Эконометрика: Учебник для бакалавров / В. П. Яковлев. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и 
К°», 2019. — 384 с. 
ISBN 978-5-394-02532-7 

В учебнике дается строгое изложение оснований и методов 
эконометрики на основе доступного математического аппарата. 
Теория вероятностей базируется на классическом определении 
вероятности события, полученном формализацией понятий статистики. Для иллюстрации привлекается общеизвестная сотовая 
система связи. Метод наименьших квадратов дополняется построением моделей на основе минимаксной аппроксимации. 
Особенности временных рядов со случайными моментами возникновения отсчетов иллюстрируются расчетом корреляции 
финансовых потоков. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по 
направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент» (уровень 
бакалавриата), магистрантов, экономистов и инженеров. 
 
УДК 519.862.6 
ББК 22.19 
 
 
 
 
ISBN 978-5-394-02532-7 
© Яковлев В. П., 2015 
 
© ООО «ИТК «Дашков и К°», 2015

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ  .............................................................................. 7 

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ  .......................................... 11 

§ 1.1. Определение случайного события  ............................... 11 

§ 1.2. Свойства вероятности события  .................................... 15 

§ 1.3. Свойства статистического ансамбля  ........................... 19 

§ 1.4. Ансамбль событий половинной вероятности  ............. 21 

§ 1.5. Эпсилон-зависимость  .................................................... 28 

§ 1.6. Независимые последовательности  
при конечном числе испытаний  ..................................................... 36 

§ 1.7. Формализация теории вероятностей  ........................... 39 

§ 1.8. Примеры вероятностных пространств  ........................ 45 

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ  ...................................... 50 

§ 2.1. Распределение вероятностей  ........................................ 50 

§ 2.2. Непрерывные случайные величины  ............................ 54 

§ 2.3. Классификация  .............................................................. 57 

§ 2.4. Примеры законов распределения  ................................ 60 

§ 2.5. Совместное распределение вероятностей  ................... 65 

§ 2.6. Функции от случайных величин  .................................. 68 

§ 2.7. Линейные преобразования  случайных величин  ........ 74 

§ 2.8. Многомерное гауссово распределение  ......................  78 

§ 2.9. Центральная предельная теорема  ..............................  82 

Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ  .....................................  85 

§ 3.1. Случайные функции  ....................................................  85 

§ 3.2. Экстраполяция временного ряда  ...............................  89 

§ 3.3. Интерполяция и фильтрация  временных рядов  ......  94 

§ 3.4. Выборочное представление  ........................................  99 

§ 3.5. Декорреляция, или отбеливание  ............................... 104 

§ 3.6. Стационарные процессы  ............................................ 108 

§ 3.7. Спектральное разложение  ......................................... 111 

§ 3.8. Свойства корреляционной функции  ......................... 114 

§ 3.9. Наборы случайных процессов  ................................... 117 

§ 3.10. Эргодическая теория  ................................................ 124 

§ 3.11. Случайные точечные потоки  ................................... 128 

§ 3.12. Последовательности импульсов  ............................. 133 

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  СТАТИСТИКА  ................ 139 

§ 4.1. Методы статистики  .................................................... 139 

§ 4.2. Задача различения гипотез  ........................................ 146 

§ 4.3. Функция правдоподобия  ............................................ 151 

§ 4.4. Распознавание образов  ............................................... 158 

§ 4.5. Статистическое оценивание  ...................................... 162 

§ 4.6. Максимально правдоподобное оценивание  ............. 166 

§ 4.7. Оценка параметров гауссова распределения  ........... 169 

§ 4.8. Измерение параметров импульсов заданной  
формы  ............................................................................................ 173 

Глава 5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ  ТЕХНОЛОГИИ .............. 180 

§ 5.1. Информация  ................................................................ 180 

§ 5.2. Аналого-цифровое преобразование  .......................... 187 

§ 5.3. Квантование случайного сигнала  ............................. 192 

§ 5.4. Кодирование источника сообщений  ......................... 197 

§ 5.5. Свойства энтропии  ..................................................... 203 

§ 5.6. Количественная мера информации  ........................... 207 

§ 5.7. Эпсилон-энтропия  ...................................................... 212 

§ 5.8. Оптимизация цифровой системы  .............................. 221 

Глава 6. ИМИТАЦИОННОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ  ........... 233 

§ 6.1. Парная регрессия  ........................................................ 233 

§ 6.2. Множественная регрессия  ......................................... 240 

§ 6.3. Планирование натурного эксперимента  .................. 251 

§ 6.4. Регрессионный анализ  ............................................... 261 

§ 6.5. Статистические свойства регрессии  ......................... 270 

§ 6.6. Интервальное оценивание  ......................................... 280 

§ 6.7. Интервальная значимость регрессии  ........................ 285 

§ 6.8. Обобщенный метод наименьших квадратов  ........... 293 

§ 6.9. Расчет регрессии на основе критерия минимума  
максимального уклонения  ........................................................... 303 

§ 6.10. Нелинейная аппроксимация  .................................... 315 

§ 6.11. Аппроксимация многочленами нарастающих  
степеней  ......................................................................................... 319 

§ 6.12. Многомерная аппроксимация  ................................. 328 

Глава 7. ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ  ...................................... 335 

§ 7.1. Основные закономерности  финансовой  
деятельности  ................................................................................. 335 

§ 7.2. Непрерывные проценты  ............................................. 339 

§ 7.3. Риск и диверсификация  ............................................. 345 

§ 7.4. Динамические потоки  ................................................ 350 

§ 7.5. Потоки при случайной длительности импульсов .... 359 

§ 7.6. Потоки при произвольном распределении  
интервалов между импульсами  ................................................... 362 

§ 7.7. Страхование жизни  .................................................... 370 

ЛИТЕРАТУРА  ............................................................................ 380 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Современное состояние экономики характеризуется широким внедрением математического моделирования. Соответствую- 
щий математический аппарат адаптируется к актуальным потребностям практики, что зачастую связано с достаточно сложными преобразованиями, которые не удается упростить без потери практической направленности. В результате задача изучения 
основ моделирования сталкивается с необходимостью максимального упрощения математических выкладок при сохранении 
тесной связи с экономической практикой. Для разрешения противоречий математической строгости и практических требований 
удобно использовать подход, известный как физический уровень 
сложности, при котором математический аппарат упрощается 
так, чтобы он был доступен прикладникам. При этом сужается 
математическая область применимости выводов с сохранением 
принципиальных условий практического использования. Такой 
подход способствует получению моделей, понятных при интерпретации результатов специалистами. 
Моделирование в экономике обычно основывается на аппарате прикладной теории вероятностей, излагаемой в эконометрике. Роль приложений этой теории неоднократно подчеркивалась 
классиками при разработке математического аппарата. Так, основанный А. Н. Колмогоровым математический журнал имеет характерное название «Теория вероятностей и ее приложение»; 
свойства случайных процессов с некоррелированными приращениями, изложенные в главе 3, лежат в основе физической теории 
турбулентности, завершенной известным законом Колмогорова–
Обухова. Отметим также, что уникальная теория минимаксного 
приближения, описанная в главе 6, появилась в статье П. Л. Чебышева «Теория механизмов и машин, именуемых параллелограммами». 

Вероятностное моделирование требует изложения основ 
теории вероятностей с использованием хорошо известных экономических категорий. Для этого применяется традиционный подход классической статистики на основе понятия генеральной совокупности N элементов и введение вероятности как отношения 

n
p
N

 числа элементов n с заданным признаком к полному чис
лу элементов 
.
N  Конкретное значение n  получается путем исследования всей генеральной совокупности. Для исключения 
влияния числа опрашиваемых элементов в теории вероятностей 
переходят к бесконечно большому значению N , а значение вероятности p  получается путем предельного перехода N . Использование соответствующих результатов дифференциального 
исчисления позволило с помощью этого определения сформулировать достаточный признак независимости двух событий, эквивалентный требованию отсутствия информационной связи между 
генераторами этих событий. Наглядность понятий классической 
статистики позволяет интерпретировать постулаты вероятностного пространства и ввести понятие условного события. 
С помощью понятия случайного события дается определение 
случайной величины как совокупности попарно несовместимых событий. При этом среднее значение и другие моменты распределения 
определяются как среднее арифметическое реализаций при достаточно большом значении их числа. Обобщение понятия степенного 
момента приводит к усреднению функции от случайной величины. 
Большое значение в эконометрике имеют случайные величины,  
образованные суммированием, перемножением или делением пар 
случайных величин. Из известных примеров случайных величин 
выделяются гауссовы наборы, определяемые с помощью характеристических функций. При доказательстве центральной предельной 
теоремы для суммы случайных величин используется упрощенное 
предположение о совпадении их дисперсий. 
Существенное значение для экономического моделирования 
имеют динамические соотношения, описываемые с помощью 
очевидного обобщения случайной величины как функции времени, т. е. привлечение теории случайных процессов и последовательностей, или рядов. В рамках обычно используемой модели 
временного ряда важна теория Н. Винера интерполяции, экстра

поляции и фильтрации, а также процедура «отбеливания», т. е. 
переход к некоррелированным значениям ряда. Модель временного ряда с эквидистантными значениями моментов фиксации 
имеет очевидный недостаток. Например, она неприменима к исследованию рядов, значения которых фиксируются в рабочие дни 
с пропусками в выходные. В этих случаях удобна модель стационарного случайного процесса, вероятностные характеристики 
которого задаются в произвольные моменты времени. 
В эконометрике обычно рассматриваются корреляционные 
свойства процесса, которые изучаются путем спектрального анализа. Важна эргодичность ряда, обеспечивающая возможность 
получать моменты случайного процесса путем усреднения по 
времени. При моделировании актуальны методы генерирования 
наборов случайных процессов с заданными корреляционными 
свойствами и рядов, значения которых возникают в случайные 
моменты времени. 
Для оценки рисков при использовании результатов вероятностных расчетов в математической статистике используют обратный переход от бесконечного числа элементов генеральной 
совокупности к конечному числу. Такой переход предполагает 
замену реализаций случайной величины набором независимых 
случайных величин. При этом арифметические средние или другие конструкции исходных реализаций случайных величин оказываются случайными оценками. Кроме требования достоверности, т. е. стремления к исходным неслучайным характеристикам 
при безграничном увеличении числа реализаций, выдвигается 
дополнительное требование несмещенности, подразумевающее 
совпадение средних оценок с истинными значениями. 
Большое значение при практических применениях имеет понятие оптимальности, или эффективности оценивания, предполагающее выбор тех вариантов, которые гарантируют минимальное 
значение дисперсии несмещенных оценок при конечном числе 
реализаций. Минимальное значение необходимо сравнить с тем, 
которое получено с помощью квазиоптимального оценивания, 
осуществляющегося с помощью вполне конкретных приемов, 
стоимостное представление которых можно заранее фиксировать. 
Важную роль в методологии эконометрики играют понятия 
определяющих и определяемых переменных. Для доступного по

нимания смысла этих определений удобно использовать хорошо 
известную в быту и экономической практике информационную 
систему, реализуемую в сотовой связи и Интернете. Актуальна 
оптимизация отдельных подсистем – квантования, кодирования и 
помехозащиты, а также системы в целом. 
При изучении основ эконометрики – метода наименьших 
квадратов – огромное внимание обращается на доказательство 
основополагающих соотношений с использованием в качестве 
определяющих переменных ортогональных последовательностей 
метода планирования эксперимента. Иллюстрирующие примеры 
используют общедоступные статистические массивы временных 
рядов для курсов доллара и евро. Приводится строгий вывод основных распределений интервального оценивания – хи-квадрат, 
Стьюдента и Фишера. При этом дополнительно получены интегральные распределения, обычно приводимые как справочный 
материал без ссылки на источник расчета. Иллюстрация особенностей обобщенного метода наименьших квадратов проводится с 
использованием оценок корреляций и дисперсий курсов доллара 
и евро в зависимости от дней недели при усреднении за полугодовой период. Оценка рисков результатов метода наименьших 
квадратов получается путем сравнения с результатами метода 
минимизации максимального уклонения текущих курсов доллара 
и евро, получаемых путем определения «коридора» минимальной 
ширины относительно полиномов нарастающей степени, внутри 
которых располагаются все точки аппроксимируемой функции. 
Практическим примером случайных последовательностей 
являются финансовые потоки импульсов, возникающих в случайные моменты времени со случайными амплитудами и длительностями. Кроме известного потока с экспоненциальным распределением 
интервалов 
между 
импульсами 
рассмотрена 
совокупность распределений, позволяющая описать различные 
стратегии банковской деятельности. Получаются расчетные соотношения для корреляций и дисперсий потоков, соответствующих линейному и экспоненциальному наращениям, а также их 
известных модификаций. 

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 

§ 1.1. Определение случайного события 

В основе моделирования экономических процессов и явлений лежит математическая логика и основополагающие положения – аксиомы. Такие аксиомы, как правило, отражают естественнонаучные понятия, выработанные в физике и получившие 
распространение в прикладных дисциплинах. Основное положение гласит: всякая натуральная величина считается заданной,  
если известен способ ее измерения. Поэтому задать случайную 
величину – значит задать способ измерения ее параметров. Экономические приложения сочетают современные естественнонаучные результаты и общественные закономерности, поэтому для 
возможности их успешного использования также целесообразно 
исходить из такого принципа. 
Случайное событие определяется количественным показателем – вероятностью. Таким образом, случайным называется событие, которому можно приписать вероятность. Для натурального определения вероятности используется понятие эксперимента. 
В результате такого эксперимента может произойти или не произойти некоторое событие. Рассматриваются испытания, которые 
можно повторять многократно. Совсем необязательно самим 
проводить испытания, можно просто за ними наблюдать или даже воображать их проведение. Классическим примером являются 
азартные игры. При бросании монеты “орел” может выпасть или 
не выпасть; если сделана ставка, что выпадет “орел”, это благоприятное событие. При игре “в кости” бросается кубик (он заменил употреблявшуюся ранее кость с явно выраженными шестью 
гранями). В результате может произойти одно из шести собы- 
тий – выпадение помеченной цифрой грани. Здесь само испыта

ние осуществляется при нашем непосредственном участии. Если 
нас интересует некоторое экономическое явление, мы должны 
воспользоваться результатами испытаний, проведенных, возможно, с другими целями, а не для поиска нужного нам явления, т. е. 
здесь мы практически не участвуем в проведении испытаний. 
Вероятность определяется путем анализа результатов серии из 
N испытаний, результаты испытаний можно трактовать как выход 
некоторого генератора испытаний или источника событий. Результаты можно наблюдать в последовательные моменты времени на 
выходе одного источника. Кроме того, можно вообразить набор источников, расположенных в различных точках пространства, выходы которых фиксируются в один и тот же момент времени. Мыслимы также различные комбинации приведенных способов получения 
результатов испытаний, или проведения эксперимента. 
Дадим определение вероятности события на основе анализа 
результатов испытаний, часто называемое классическим. Итак, в 
серии из N  испытаний n  раз фиксировался некоторый, скажем, 

благоприятный для нас исход. Рассмотрим частоту 
n
n
p
N

; если 

при безграничном увеличении N величина pn все ближе к некоторому значению p, то говорят, что событие, которое характеризует 
благоприятный исход, имеет вероятность, равную р. 
Классическому определению можно придать строгую математическую формулировку [1]. Рассматривается бесконечная бинарная 
последовательность 
1
2
,
,...
,...,
N
a a
a
члены которой могут принимать 
значения 0  или 1. Если 
1,
ia 
 будем говорить, что реализуется событие; с точки зрения математика событие – абстрактное понятие, 
не отражающее какой-либо практический смысл. Рассмотрим расходящийся ряд 
1
2
...
N
a
a
a



 с частными суммами 

1
.

N

N
i
i
S
a



                                  (1.1.1) 

Если ряд сходится в смысле Чезаро, 

lim
,
N
S
p
N 
                                 (1.1.2) 

будем считать, что событие случайно, а p  его вероятность. Вообще 
говоря, один и тот же предел p  имеют многие последовательности 

1
2
,
,...
,
N
a a
a
 их совокупность образует статистический ансамбль [2]; 
всякая последовательность из этого ансамбля однозначно его определяет. Кроме того, конкретное значение ai нельзя отождествить с 
единственной последовательностью, оно принадлежит всему ансамблю, поэтому можно считать, что реализации ai получены от 
разных источников, в частности, при наличии достаточно большого 
числа последовательностей в ансамбле, величинам ai можно поставить в соответствие разные источники событий. 
Использование определения случайного события как бинарной 
последовательности, для которой существует предел – сумма ряда в 
смысле Чезаро, равная вероятности, удобно с практической точки 
зрения. Во-первых, всю совокупность последовательностей, имеющих одинаковый предел, можно считать ансамблем, причем по 
единственной реализации – члену бинарной последовательности – 
нельзя определить конкретного представителя ансамбля, т. е. каждая 
реализация принадлежит всему ансамблю и не присвоена одной последовательностью [3]. Во-вторых, последовательность, по которой 
находится вероятность – предел, считается заданной, ее нельзя менять в процессе перехода к пределу. В-третьих, в состав ансамбля 
входят вполне детерминированные последовательности, определяемые 
известным 
алгоритмом. 
Например, 
последовательность 
010101…, или 001100110011… принадлежит ансамблю с половинной вероятностью. Тем самым полностью оправдывается использование «псевдослучайных» последовательностей в качестве характеристик ансамбля, определяющих его вероятностные свойства. 
Разумеется, особенности псевдослучайных последовательностей как 
членов ансамбля определяются далеко не полностью, их отнесение к 
ансамблю дает лишь некоторые их черты. Однако противопоставление на основе такого положения детерминированных и случайных 
объектов ничем не оправданно. 
Приведем пример «псевдослучайной» функции из теории синтеза разностной диаграммы направленности антенны с минимальным уровнем боковых лепестков. Идеальная функция непрерывной 
антенны имеет распределение тока в ограниченной области (раскрыве) – преобразование Фурье диаграммы направленности – в виде 
непрерывной функции, показанной на рис. 1.1 для уровня боковых 
лепестков порядка 0,05 по амплитуде. 
Для реализации квазиоптимальной диаграммы направленности использовалась эквидистантная линейная решетка излучате

лей с одинаковыми амплитудами, из которой выбрасывались некоторые элементы так, чтобы полученная плотность оставшихся 
излучателей имитировала оптимальное распределение тока, т. е. 
число излучателей на небольшом интервале раскрыва было пропорционально соответствующему значению тока. 
На рис. 1.2 изображена последовательность экстремумов – максимумов и минимумов боковых лепестков диаграммы направленности, полученной при конкретном выборе групп оставленных элементов. Начиная с некоторого значения угловой координаты x , значения 
которой изображены на горизонтальной оси, эта последовательность 
может считаться случайной функцией. В частности, можно рассчитать гистограмму экстремальных значений, показанную на рис. 1.3; 
она близка к равномерному распределению Нетрудно убедиться, что 
вероятность выхода за область значений интенсивности (0, 0,05) примерно равна 0,15; она характеризует отличие полученного уровня 
боковых лепестков от расчетного. Незначительная перегруппировка 
излучателей, затрагивающая формирование групп на всем раскрыве, 
дает иную реализацию диаграммы направленности. Все полученные 
таким образом реализации в точности воспроизводимы любое количество раз, т. е. функция является псевдослучайной.  

 

Рис. 1.1. Оптимальное распределение тока 

 

Рис. 1.2. Экстремумы псевдослучайной диаграммы направленности